장음표시 사용
321쪽
dens quartum c.fum tu poserema figura, quam superaddidi, uti necessariam ργο intelligentia octauae propositionis. Et componendo in hyperbola , de diuidendo in ellipsi prima deinde bconiunecndo in duabus figuris prioribus , & occurrere faciamus respectivum cum respectivo in reliquis figuris post in uersionem, ut fiat, &c. Idest component in burebatis , ct in Hi bus comparando disserentias termi
morum ad conssequentes, deinde comparando homologorum disserentias in duabus figuris prioribus , se stimas in reliquii , tune enim A H ad G E est , ut A Cad C G , orsum a communi altitudine E A , eris tectangulum H A E ad rectangulum G E A ,τι A C ad C G. Sed rectangulu- HAE aequale es quadrato A E mna cum rectangulo H E A . cai quale es quadratum B E , ergo quadratum A B quale es rectangulo H A E propterea quod A B subtendis angulum rectum E in triangula B A E quare quadratu A B ad rectangulum AGE eandem proponione Dabet quam C A ad C G.
A B tangat recta linea I M , & occurrat aius I M quadratum , &c. Suppleri dura
322쪽
constructio , qua deficit in hae propositioM , ut nimirum sensus continuatus sis a punctis M , A, I educatur adaxim perperieulares M R . A se I S secius diametros in R, is S , ct A m I M se musuo secent in L . erit I Sorae natim adaxim a plicara , ct A I , sicura etiam I M contingit sectionem.
addatur duabus extremitatibus transuersae , aut insistant ad duas e tremitates recti, aut diminuatur a duabus extremitatibus inclinati A, de C duo intercepta , &c. Expungo verba apposititia. Aut in spra ad duas extremitates recti ἔ qua sensum perturbant. Educamus I M tangentcm , & I S perpendicularem. Et quia A D est aequalis D C , &c. Iris Educa v I M eant,genem Iectionem in I, PAE
323쪽
secet axis in M , O S perpendicularem , seu ordinatim appliea-
Prop. I. lib. 2. Prop. a huius.
tam , eum secans in S. Et quia traanguis A V duo latera A C , A B secam tur proportionatiter , Foticet bifariam is D , o R ; ergo I D parallela est bisse C έ- enue tan'ens I M parrigera 'si S A, cum ambo ad diametrum I L intordinatim applicara I pariter se I S para gelu es B E cum simi ad axim r
oisti D I S , C E E erant, mitiar es ideo M S ad S I eris O A g ad ga I ad S D eris , et tR E ad E C : quan ex aequali ordinata M S ad S D ea dem proportionem habebit, quam A E ad E C: esque quadratum I M ad quadratum N D, τι M S ad S D; ergo quadratum I N ad quadratum N D es,GA E ad E C , sec.
Continens Proposit. Apollonij VIII. IX. X.
XI. XV. XIX. XVI. XVIII. XVII. & XX.
VIII.TN hyperbola , vel cllipsi quadratum axis inclinati, siuel transuersi ad quadratum summae duarum diametrorum coniugatarum eiusdem sectionis habebit eandem proportione m, quam productum presectae axis in suam interceptam compaTatam ad quadratum summae suae interceptae, & potentis comPa
324쪽
, IX. Vel ad quadratum, differetiae coniugatarum e dem proportionem habet, quam productum praesectae in suam interceptam comparatam ad quadratum dissereniatiae interceptae , dc potentis
X. Vel ad rectangulum sub duabus coniugati S contentum eandem proportionem habet, quam praesecta axis ad suam potentem comparatam. XI. Ad summam vero duorum quadratorum ex coniugatis eandem proportionem habet, quam praesecta ad summam praesectae , & interceptae comparatarum. XV. Sed ad quadratum erecti unius coniugatae eandem pr portionem habet, quam praesecta axis in suam interceptam comparatam ad quadratum suae praesectae comparatae. XIX. Sed ad quadratum disserentiae unius coniugatarum , &eius erecti eandem proportionem habet, quam productum p sectς axis illi diametro homologs in suam interceptam comparatam ad quadratum excessus praesectae , & interceptae compar
tarum . UXVI. Ad quadratum vero summae inclinatae diametri,& eius erecti eandem proportionem habet, qnam praesecta axis in suam interceptam comparatam ad quadratum summae interceptae , &praesectae comparatarum. XVIII. Sed ad figuram inclinatae unius coniugatarum ea dem proportionem habet, quam axis praesecta ad praesectania
XVII. Et ad summam duorum quadratorum inclinatae, &erecti unius coniugatarum eandem proportionem habet, quam praesecta in interceptam comparatam ad duo quadrata praesectae,& interceptae comparatarum. XX. Et tandem ad excessum duorum quadratorum laterum figurae inclinatae duarum coniugatarum eandem proportionem, habet, quam productum praesectae in interceptam comparata ad excessum quadratorum praesectae,& interceptae comparatarum. N n a Iisdem
325쪽
Iisdem figuris manentibus sit H V potens comparata, & IP sit erecta a ipsius I L. Dico quod quadratum A C ad quadratum summae I L, & NO est ut C G in E H ad quadratum E H V. Quia quadratu A D aequale 37 laxi. est S D in D M s 3 . ex 1. 2 ergo S D in D M ad quadratum I D, nempe E C in C A ad quadratum C B propter similitudinem trianguloru est ut quadratum A D ad quadratum I D, nempe ut quadratum A C ad quadratum I L : estque quadratum C B ad C E in E H , ut C A ad A
permutando ; igitur A C in C E ad quadratum C B, quod habebat c ut ostensum est 2 eandem proportionem, quam quadratum A C ad quadratum I L , erit ut G C in C E ad C E in E H , nempe ut CG ad E H, seu C G in E H ad quadratum E H ; igitur quadratum A C ad quadratum I L eandem proportionem habet, quam C G in E H ad quadratum E H. Et quadratum I L ad quadratum N O, seu LIad Ι Ρ est vi H E ad E G 6. . ex 7. 2 scilicet ut quadratum E H adH E in E G , quod aequale suppositum fuit quadrato H V i Ideoquo I L ad No eandem proportionem habebit , quam E H ad H V ; qua-Propter quadratum I L, siue ad quadratum summae ipsarum I L. N O est ut quadratum H E ad quadratum E H V; siue ad quadratum differentiae I L , & N O erit ut quadratum E H ad quadratum differentiae E FI , &H V , siue ad I L in N O habebit eandem proportionem , quam E H adH V ; siue ad duo quadrata I L , N O candem proportionem habebit, quam E H ad summam E H , E G ; eo quod quadratum I L ad quadratum N O est vi E H ad E G ; siue insuper ad quadratum I P eandem
proportionem habebit, quam quadratum E H ad quadratum E G ; vel potius ad quadratum differentiae I L , & I P erit ut quadratum E H ad quadratum differentiae E H , & E G , vel rursus ad quadratum rectae lineae ex L I, & I P compositae , erit ut quadratum H E ad quadratum summae duarum H E , E G , atque ad L I in I P eandem proportionem habebit, quam HE ad EGi vel ad quadratum ipsius L I cum quadrato I P habebit eandem proportionem , quam quadratum H E ad duo qua-
326쪽
drata H E , & ipsius E G , siue ad differentiam duorum quadratorum LI, & ipsius I P eandem proportionem habebit, quam quadratum H Ead differentiam duorum quadratorum H E, & E G. Et lain ostensum est quod quadratum A C ad quadratum I L eandem proportionem habet , quam C G in H E ad quadratum H Ei 8. ergo ex aequalitate Quadratum A C , sue ad quadratum summae I L , N O cst, ut C G in H E ad qu, C dratum E H V ; V. siue ad quadratum differentiae eius , quae est inter II L , N O est ut C G in H E ad quadratum excessus E H supra HVrio. siue ad I L in N Ο erit, ut C GadH V: ii. siue ad duorum quadratoc: rum I L. N O summam, erit vis C G ad summam G E, E H, I a. siue ad quadratum I P erit, ut C G in H E ad quadratum E G: a 33. siue ad quadratum differen- ti.e L I, I P erit , ut C G in EH ad quadratum differentiae Hl, E , E G: i . siue ad quadratum ex recta linea aequali sumae duarum L I, I P , erit ut C G in E H ad quadratum ex recta linea composita ex H E , E G i1 1 1. siue ad L I in I P erit ut C G ad G E 16. siue ad duo quadrata ex k L I, & eκ I P erit ut C G in E H ad duo quadrata E G, & E H : 17.i siue ad differentiam duorum quadratorum ex L I, & ex I P erit ut C Gi in E H ad differentiam duorum quadratorum ex H E , & ex E G. Et
a π Isdem figuris manentibus sit H V potens comparata , &c. Praeter de DI nitiones fuerius expositas hic aeua ahae deciarari debent, ignotum enim es
quid nam nomme Hora comparata , ct Potentis comparata intelligi debeat. Itaq; rectangulum sub praesecta compar.ua , ct intercepta comparata contentum, Mest rectangulum H E G vocatur Figura companua : crs quadratum recta linea H V aequale fuerit rectangulo H E G vocatur H V Potens comparata.
b Ergo S D in D M ad quadratum D I , nempe E C in C A ad quadratu C E,&e. AEqualia enim spatia, sicilicet rectanguis S D M, se quadra D A ad idem qaadratum I D habenι eandem proportionem ; sed quia triangula M I D, ct A B C similia sunt , propterea quod latera homologasant parrigua inter se ; pariterque triangula D S I, o G E B sunt milia , is sensum esin 6. ct 7. huius i ergo S D ad D I eriι τι E C M C B , atque M D ad D Ies ut A C ad C B erunt composita proportiones eadem inter se, scilicet rectam gulum S D M ad quadratum D I eandem proportionem habebis , quam rectam gulum E C A ad quadratum C B ; quare ut quadratum A D ad quadratum D I, seu ut quadruplum ad quadruplum , statuet ut quadratum A C ad qua-Haium I L , eo quod Λ D, o I D semissi sunt diametrorum AC , I L. Notae
327쪽
SIue ad quadratum differentiae eius , quae est inter I L , N O est ut C cG in H E ad quadratum E H , H V , &e. Licet nouem subsequentes
propositiones fulti ex octava dericantur , nequeunt tamen omnes simul congi bata unico haustu deustrari I itaque opere praetiam erit aliquantisper brravita tem nImram Arabici Interpretis relinquere. Tria demonstrara sunt in propos tione octaua , qua in sequentibus nouem propositionibus usum habent. Primo quod quadratum A C ad quadratum I L eandem proportionem habeaι , quam rectangulum C G in H E ad Puriatum H E . Secundo quod I L ad N O ea dem proportionem habeat, quam H E intercepta comparata ad II V pote rem is & 16. comparatam. Tertio quod quadratum I L ad quadratum N O, seu LI ad Gua
latus rectum I P ,s vi H E ad E G , vel vi quadratum H E ad rectangulum H E G, vel ad quadratu H V. Modo propositio nona sic demonstruitur. IPuia I L ad N O eandem rationem habet quam H E ad H V, erunt antecedentes ad disserentias terminorum proportionales , ides I L ad disserentiam i arum I GO N O eandem proportionem habebit, quam H E ad disserentiam ipsarum EH , se H V r atque quadratum I L ad quadratum ex disserentia i aram I L, ct N O descriptum eandem proportionem habuit, quam quadratam H F ad quadratum ex aesserentia i aram E H , se H V descriptam r eras aurem qua- - i RiR dratum AC ad quadratum I L , ut rectangulum C G in H E ad qaadratum E H ς ergo ex maeali ordinata quadratum A C ad quadratum ex disserentia irfarum I L , or N D descriptum eandem proportionem habebit, quam rectari iam C G in H E ad quadratum ex disserentia i arum E H, o H V. Nota
328쪽
Conicor. Lib. VII. 287 Notae in Proposit. X.
o bis eandem proportionem, quam E H ad H V positis communibus altitudiantias I L, o E H habebit quadratum I L ad rectangulum I L in N O eandeproportionem , quam quadratum E H ad rectangulum E H in H V i sed qua- Gaium a C aes quadratum I L habebas eandem proportionem, suam rectangm Iom CG ia E H ad quadratum E H ; ergo ex aquatitate qua atum A C ad rectangulum sub I L in N O eandem proportionem habet, quam rectangulum CG in H E ad rectauulum E H in H U, siue quam habes C G , ad HU.
SIue ad duorum quadratorum I L, N o summam erit ut C G ad summam G E , & E H, &c. a uia quadratum I L ad quadratum N O erat, mi H E ad E G , antecedentes ad summas terminoram erunt proportionales , ριliere quadratum I L ad quadratum I L simia cum quadrato No eandem pro- pων gportionem habebit, quam H E ad summam 'sarum H E, ct E G ; erat au- huius. rem quadratum C A ad quadratum I L , ut C G ad E H; ergo ex aquatitate quadratxm A C ad quadrata ex I L , cst ex N O simul sumpta eandem ' portionem habebit, quam C G , vel H A ad summam i arum H E , o G E. Notae
329쪽
288 Apollonij Pergaei. Notae in Proposit. XV.
SIue ad quadratum I P erit ut C G in E H ad quadratum E G , &e. fa uoniam I L ad I P erat vi H E ad E G i ergo qua aium I L ad qua- aerarum I P erit τι quadratum H E ad quadratum E G ; erat autem qua a tum A C ad quadrasam I L, ut rectangulum C G , seu A H in H E ad qua dratum E H 33 igitur ex aqualitate quadratam A C ad quadratum I P ea rim proporti em habebis, quam rectangulum A H E ad quadratum G E.
SIue ad quadratum differentiar I. I, & I P erit ut C G in E H ad qua- odratum differentiae H E , E G , &c. uia I L ad I P erat τι H E ad UE G , comparando antecedentes ad terminoram disserentias , Acilicet I L ad differentiam i arum I L , o I P eandem proportionem habebit, quam E H ad disserentiam ipsarum E H, H E G , se quadratum I L ad quadratum ex EFfferentia i aram IL , or I P descriptum eandem proportionem habebit, qua quadratum H E ad quadrarum ex asserentia ipsarum H E, ct G E Hscripturerat autem quadratum C A ad quadratum I L , ut rectangulam a H E ad quadratum H E ; ergo ex aequalitate quadratum A C ad quadratum ex disserentia i arum I L , ct I P eandem proportionem habebit, quam rectangulum A H E ad quadratum ex disserentia i arum H E , Ur E G. Notae
330쪽
Conicor. Lib. VII. 2 89 Notae in Proposit. XVI.
SIue ad quadratum ex recta linea aequali summar duarum I L , & Ι Ρerit, ut C G in H E ad quadratum ex recta linea composita ex H E,
E G , &c. Guia I L ad I P erat vi H E ad E G comparando, antece entes aes summas remmorum, erit I L ad I L , ct I P simul siumptas , τι H E ad H RO E G simul sumptas , o quadratum I L ad quadratum ex summa i a me I L ,σ I P descraptum , erat ut quadratum H E ad quadratum ex summa duarum H E , or E G descriptam a se erat prius quadrarum A C ad quadratum I L , τι rectangulam A H E ad quadratum H E ; igitur ex aequalitate quadratum A C ad quadrarum ex summa inarum I L , cr I P defcraptam eadem proportionem habebit, quam rectangulum A H E ad quadratum ex summa ipsarum H E , o E G descriptum.
E ad G E positis communibtis altitudinuus I L , H E habebit quadratum I L ad rectangulum sub I L , GT I P eandem proportionem , quam quadratum M E ad rectangulum H E G e sed quadratum A C ad quadratum I L eandem proportionem habebat, quam rectangulum A H E ad quadrarum H E; ergo exaequasti te quadratum A C ad rectangulum L I P eandem proportionem habuit quam rectangulum A H E'ad rectangulum H E G , seu ut A es , IC G ad