장음표시 사용
331쪽
rso Apollonij Pergaei Notae in Propos t. XVII.
σ quadratum I L ad quadratum I P erit mi quadratum H E ad quadratum E G: cr comparando antecedentes ad termis usummas quainatum I L ad quadratum I L una cum quadrato I P habuit eandem proportionem , quam qua dratum H E ad summam quadrati H E cum quadrato E G: sed prius quari tum A C ad quadratum I L erat ut rectangulum A H E ad quadratam H E igitur quadratum A C ad summam qua ali I L cum quadrato I P eadem proportionem habebit quam rectangulu- A H E ad quadratum E G una cum qu drato E H.
SIue ad differentiam duorum quadratorum I L , I P erit, ut C G in H lE ad differentiam duorum quadratorum ex H E , & ex E G , &c.αuoniam ut dictum es quadratum L L ad quadratum I P eandem proportionε habet, quam quadratum H E ad quadratum G E , ct comparando antecedentes ad terminorum disserentias quadratum I P ad disserentiam quadrari I L aquadrato I P eandem proportionem habebit, quam quadrarum H E ad dissserentiam inter quadratum H E , se quadratum E G r est e quadratum C A ad qώadratum I L , ut rectangulum A H E ad quadratu H E ergo ex aequali quadrarum A C ad quadratorum ex I L , ct ex I P d eremiam eandem tr portionem habebit, quam rectangulum A H E ad quadratorum ex E G, σ με es disserentiam.
332쪽
Continens Proposit. Apollonii XII. XIII.
XXIX. XVII. XXII. XXX. XIV. &XXV.
XII. XIII. Tm Isserentia quadratorum duorum axium hy-XXV. perboles aequalis est differentiae quadratorum quarumlibet duarum diametrorum coniugatarum. XXVIIII. Nempe differetiae inter quadrati a figuris earumdediametrorum aequales sunt. XXVII. Et differentia duorum axium maior est disserentia quarumlibet duarum diametrorum coniugatarum. XXII. Et summa quadratoru duorum axium ellipsis aequalis est summae quadratorum quarumlibet duarum diametrorum coniugatarum . XXX. Nempe summae quadratorum, & figurarum earundem diametrorum homologarum sunt aequales. XIIII. Axis vero transuersi quadratu ad disserentiam quadratorum duarum diametrorum coniugatarum eandem proportionem habet, quam praesecta ad duplam inuersae.
333쪽
In eisdem figuris , quia quadratum A C ad quadratum sui coniugati ari Def. i. sin propositione 12. 33. 23. 2 nempe C A ad A F erectum ipsius est . N a. ut Praesecta C G ad Interceptam G A , siue ad C H ; ergo quadratum A C in hyperbola ad differentiam quadratorum axium ipsius , I in ellipsi ad eorundem summam eandem proportionem habet, quam C G adH G. Demonstratum autem prius suit, quadratum C A ad quadratum bI L eandem proportionem habere , quam C G ad H E , & quadratum
6 & . I L ad quadratum N O eandem proportionem habet, quam H E ad EhV G , Insuper quiadratum I L ad summam quadratorum I L , N O in ellipsi , aut ad eorundem differentiam in hyperbola eandem proportionem habebit, quam H E ad H G; & in propositione 14. vi H E ad excessum H E . E G , quod est duplum D G ; igitur ex aequalitate quadratum A. C , siue ad summam duorum quadratorum I L , NO, quemadmodum habetur in propositione a a. & 3 o. siue ad eorundem differentiam , veluti habetur in propositionibus i a. 13. 1 . eandem proportionem habebit, quam C G ad H G , siue ad duplum D G , ut in propositione x q. & demonstratum suit in eadem proportione esse quadratum A C ad summam quadratorum A C, & eius coniugati, & est propositio 23. aut ad corundem differentiam , di est propositio 12. 'quapropter summa quadratorum I L , N O coniugatarum in ellipsi, nempe quadratum I L una cum eius figura est aequale aggregato quadrati A C una cum quadrato eius coniugati 3 o. nempe quadrato A C, & illius figurae . & in hyperbola diis rentia quadratorum I L , N O nempe excessus quadrati I L supcr illius figuram aequalis est differentiae duorum quadratorum A C, & rccti illius nempe quadrato A C , & illius figurae 17. & ostensum iam cst , quod I cI in hyperbola maior est, quam A C ; ergo differentia A C & illius coniugati niaior quam differentia I L , & N O : atque sic ostcndctur , quod
334쪽
differentia I L . & N O maior sit, quam differentia quarumlibet duarum
coniugatarum ab axi remotiorum. Et hoc erat ostendendum.
IN eisdem figuris . quia quadratum A C ad quadratum sui coniugati in
propositione 12.& a 3. nempe A C ad A F erectum ipsus est ut praesecta C G ad Interceptam G A , seu C H : ergo quadratum A C in hyperbola ad differentiam quadratorum axium ipsius , & in ellipsi ad ill rum snmmam est , ut C G ad H G , &e. Id . Auri quadratum AC ad
quadrMum axis ei coniugati QR ,siae C A ad eius erectum A F eandem pro- y portionem habet , quam praesec a C G ad Interceptam G A , vel ad G H, ct hului. comparando antecedentes ad terminorum dissoentias Hr sperbola, o ad temminorum seminas in ellipsi, quadratum C A ad disserentiam quadratorum ex axi. A C , ct ex axi αμ habebit in 'perbola eandem proportionem , quam C Gad disserentiam inire C G , ct C H r in ellusi vero quadratum A C ad summam quadratorum ex A C , se ex QR eandem proportionem habuit , quam C G ad summam ipsius C G cum C H.
, Et quia iam demonstratum est , quod quadratum C A ad quadratum I L sit, ut C G ad E H dcc. Relicta abstrusa complicatione propositionum Arabiti Interpretis distin&iori methodo ituti in praecedenti sectione factum espropositiones declarabimus. Iuoniam in hyperbola quadratum I L ad quais tum N O eandem proportienem habet, quam H E ad E G comparando antec dentes ad terminorum disserentias , quadratum I L ad disserentiam quadrati I L a quadrato N O eorim proportienem habebis, quim H E ad ipsarum HE , o E G isserenti avi ined quadratam A C ad quadratum I L es ut C Gad Π E veluti in pretiati e 8. sensum es in ergo ex aequalitare quadratum AC ad quadratorum ex IL , o ex N O disseremiam eandem proporatonem . habebis,
335쪽
habebit, quam C G ad ipsarum II E , ct E G diserentiam , seu ad II Grseae in eadem hyperbola quadratum A C ad quadratorum A C , or VR disseren- am eandem proportionem habet , quam C G ad ipsarum C G , o C H disserentiam , seu ad H G et eluti in principio huius proositionis dictum es P ergo
quadratum A C ad quadrarorum ex A C , or ex disserentiam , eandem proportionem habebit, quam ad quadratorum ex I L , ct ex N O disserentiam a se ideo in h perbola disserentia quadratorum axiam A C, O aequalis es disserentia quadratorum I L , or N O coniugatarum.
huius. Veniam in ellipsi quadratum I L ad quadratum N O eandem proportio- nem habet , quam H E ad G E; comparando antecedemes ad terminora - summas quadratum I L ad quadratorum ex I L , or ex N O summam eandem proportionem habebit, quam H E ad ipsarum H E, ct E G Ium
mam: se quadratum AC ad quadratum I L est, τι C G ad H E τι in octa se propositione dictum est ergo ex aequali quadratum A C ad quadratorum ex s. I L , ct ex N O summam eandem proportionem habebit, quam 'C G ad sum mam i arum H E , ct E G , seu ad G H r sed in principio praecedentis nota sensum es, quod in tariasi quadratam A C ad quadratorem ex A C, or ex aeR summam eandem proportionem haset, quam C G ad summam Vsarum C G, or C H, seu ad G H : quare quadrarum A C eadem proportionem habet adsummam quadratorum ex C A , or ex acR , quam ad summam quadratorum ex IL , se ex N O ; or propterea in elbas quadrata duorum axium AC , ct a simul sumpta qualia seunt quadratis duarum coni aurum diametrorum I L sct N o simul sumptis.
336쪽
Conicor. Lib. VII. 29sNotae in Proposit. XXIX.
R aepiatis es d eremiae inter quadratum I L a quadraIo eius coniugata N O ; esque V R media proportionalis inter figura latera A C Iε. liis. r. A F ; ergo rectangulum C A Fstis extremis contemam aequale es quadrato imrermedia I Re Et propterea disserentia inter quadratum AC , o rectangulum C A F qualis eris disserentiae inter quadratum A C a quadrato α . rari ratione erit disserentia quadrati I La rectangulo LI P aqualis disseremna quadrati I La quadrato N O; se propterea tu b perbole disserentia D Hati axis A C a rectan uis sub Aura lateribus eontentum C A F qualis est disserentia quadrati diametri I La rectangulo L I P sub lateribas stura eius. ci
semma quadratorum ex I L , se ex N O : estque rectangulum C A F ex i s. - quale quadrato . . , ct rectangulum LI P aequale quadrato N O tib vr in praecedenti nota dictum es igitur in elli quadrasum axu A C , ct rectangulum C A F sub eius lateribus colentum mulsempta qualia sunt quadrato ex I L cum recta uis figura eius LI P.
337쪽
Notae in Proposit. XIV. dc XXU.
mam nedum in M'rbola, sed eriam in ei Est quadrarum A C adsum: Gm quadratorum ex I L, ct ex N O eandem proportionem habet, qua . A H ad summam i,arnm H E , ct E G , atque quadratorem ex IL , ct ex N O summa ad eorundem quadratorum disserentiam eandem propo tionem habet , quam usarum H E, O E G summa ad earundem disserentiam E G disterentiam ; sed is et mi ipsarum H E , o E G Hsserentia aquatis es displo E D i igitur in ellipsi quadratum A C ad quadratoram ex I L , se ex δἰ o disserentiam eandem proportionem habebit, quam praesecta C G ad duplum inuersa E D.
ET ostensum iam est , quod I L in hyperbola maior est , quam A C ;
ergo differentia A C , & illius coniugati maior est , quam differentia homologorum suorum a sitis coniugatis,& differentia proximioris homologi ad suam coniugatam maior est differentia remotioris a sua coniu- rata, &e. Hoc autem sis demonstrabitur. In diametris A C, ct I L prorit zor'A M aequalis ad R , o I R aequalis N O , o ab ibidem ferentur A S aequalis Ida , ct IT aequalis N O. ciueniam M S bifariam secatur in A , ct ei
rx aequali quadratum A C ad quadratorum ex I L , σ ex N O disseren- eandem proportionem habet , quam C.G , e H A ad ipsarum H E , ct
338쪽
indirectum ainitur S C, erit rectanguliam M C s C eum quadrato ex A S , sia ex QR quale quadrato ipsius A C; ergo rectanguinitim M C S aquale es diffrentia quadrati A C a quadrato de Re pari ratione I I rectangulum L L T v cum quadrato N O aequatieνit quadrato I L: ergo similiter rectangulum Κ LT quati es ae erantia quadraurum ex IL , o GNO I sque quadratum I L maius quadrato A C, cum diameter I L in ser-diola maior sit . quam axis C A; igitur rectangulam V LT una cum quadrato N O maias eris rectangulo M C S mna cum quadraro apstr es mera νω- tum M C S aequale rectangulo V L T cumsint disserentia quadratorum ex con- me Rogatu Hamuris, quam perbola osen sum quales i ergo quadrasum N ''UNOO , scilicet residuum maioris summae, maius eris quadrato R . usae est res aeuum 6amma minoras : se propterea N O maior erit. γλ Rr era aut
eata erit similiter iusserentia quadratorum ex diametris coniugatis remotior
bus ab am aequalis disserentia quadratorum axium A C , ct , se ideo P p i qualis
339쪽
aqualis eris di serentia quadratorum ex I L , ct ex N O; esque ariter diam ter in remotior ab axe maior quam I L; ergo, mili ratioranio ostendetur, quodae serentia coniugatarum diameirorum ab axe remoturum minin es, quam Hs ferentia propinquiorum I L , ct N O.
Continens Proposit. XXL XXVIII. XXXXII.
A Xes hyperboles si fuerint aequales , tunc quaelibet diametri con iugatae in illa sectione aequales sunt ΣΙ. si vero se rit et 8. v ruis duorum axium in hyperbola , aut ellipsi maior, a tunc eius diameter homologa maior erit sua coniugata , quous que ad duas aequales diametros coniugatas in ellipsi perueniatur, & axis maior ad suum coniugatum , λὶ ad erectum eius. maiorem proportionem habet , quam quaelibet alia diameter eiusdem sectionis ad sibi coniugatam , siue ad eius creeiunia; eritque proportio maioris diametri axi proximioris ad sibi coniugatam , siue ad eius erectum maior proportione maioriS coniugatarum ab illo remotioris ad minorem, siue ad eius erectu. Et minima figurarum diametrorum erit figura axis inclinati, siue transiuersi , & maxima erit figura recti in ellipsi : atque figurae reliqua una diametrorum sue diametri sint inclinatae, vel transuersae) maiores sunt, qua figurae diametroru ab axi remotioru 2 q. Et in ellipsi erectus axis transuersi minor est, qua erectus cuiuslibet alterius diametri, &erectus proximioris diametri minor est erecto cuiuslibet remotioris 37. Et
excessus axis transuersi super eius coniugatum maior est , qua excessus homologarum diame trorum , stiper suas eoniugatas,& excessus proximioris homologae sit per suam coniugatania
maior est , quam excessuS re o motioris super eius coniugata.
Et disterentia duorum laterum figurae axis maior est , quanta
340쪽
disserentia duorum laterum figurae siti homologi; pariterqtie proximioris axi homologi disserentia duorum laterum figurae eius maior est , quam disserentia duorum laterum figurae remotioris.
SIt itaque sectio A B P , & duo axes coniugati eius A C, R , centrum D ; sintque I L, NO duae aliae diametri con iugatae ; pariterque ST, V X , & educamus ad axim C A Mperpendiculares B E , P M. Dico quod si suerit A C aequalis ζ ; erit quoque I L aequalis ipsi N O , & S T ipsi V X. Si
vero suerit eorum aliquis reliquo maior, utique eius homologa diameter maior quoque erit sua coniugata , & similiter in reluquis propositionibus
Sit prius alter axis A C maior in prima figura , sed mi in secundata a sintque A G , C hi duae interceptae diametri A C. Et quia quadratum A C ad quadratum o R., nempe A C ad eius erectum est ut A H ad H. C , seu ad A Gι & habet H A ad A G maiorem proportionem in prima e ne fisura , & minorem in secunda , quam H E ad E G , quae ostensa est l.ulas f 6. 7. ex 7. ut quadratum I L ad quadratum N O , nempe I L ad eius
erectum . Et similiter proportio illa maior, aut minor est, quam H M ad
M G . quae est ut quadratum S T ad quadratum V X; igitur A C ad . ,
siue ad erectum ipsius A C in prima maiorem proportionem habet, & in secunda minorem, quam I L ad No, siue ad erectum ipsius I L, siue quam ST ad V X, vel ad erectum ipsus
S Τ ; sed quia H E ad E G in prima
figura maiorem proportionem , & in secunda minorem , quam H M ad MG habebit I L ad N O maiorem proportionem in prima , & minorem in secunda , quim S T ad V X , cumque H E in prima figura sit maior,&in secunda minor , quam E G, paruterque H M , quam M G. erit I L in prima maior , & in secunda minor,