장음표시 사용
341쪽
..t ut A D ad se ipsam , siue ut A C ad se ipsam , quae est ut D E ad
Prop.6. se ipsam , & haee Ostensa est , ut quadratum I L ad quadratum N O; igi-hm tur I L, & N O sunt aequales,& sie demonstrabitur, quod S T, V X sunt aequales, & hoc erat propositum.
PROPOSITIO XXVIAT in ellipsi fieri pin
test, ut H E sit a qualis E G, si nimirum punctum B cadat in Q , Sctunc B E cadet super in
& erit diameter I L aequalis suae coniugatae ; & VO-cabo eas aequaleS. . Quia C G ad C H , nempe quadratum A C ad suam figuram maiorem proportionem habet in primis figuris,. & minorem in secunda cllipsi, quam C G ad G E , nempe quam quadratum A C ad figuram ipsius I L s 18. ex . &CG ad G E in primis figuris maiorem proportionem habet, &in .
XXI. Deinde sit AC aequalis QR in hyperbola fiet A C aequalis ere cto . & conuenient duo puncta H ,.& G in puncto D, eritque A C ad Ol
342쪽
in secunda ellipsi minorem, quam C Gad GM, nempe quam quadratum A C ad figuram ipsus S T i8. ex 7. I ergo figura ipsius A C est minor ; in secunda vero maior quam figura ipsius I Li & similiter fioura ipsius I L maior, aut minor est figura ST. Et hoc est propositi
PROPOSITIO XXXXILIN hyperbole , & ellipsi sit
ma duorum axium minor est summa quarumlibet duarum co- iugatarum diametrorum eiusdesectionis. XXXXIII. Et planum ab eis contentu minus est plano a duabus coniugatis contento , &planum a proximioribus axiconiugatis contentum minus est plano a remotioribus contentO- . - QIisdem figuris manentibus, quia L, & I L . quim S Ti & siquidem A C aeqtialis fuerit α', erit quoque I L aequalis N O, & S T aequalis V X ri. ex 7. ergo summa ipsorum A C. Q R minor est, qua sumina I L , N O , & quam S T , V X si vero A C non fuerit aequalis ipsi Q. R. utique differentia duorum quadratorum A C, QR aequalis erit differentiae quadratorum ItaN Ο : & propterea summa ipsorum A C , QR minor erit, quam si ma I L , N O : & haec summa ex
hac eadem demonstratione minor etiam erit, quam summa duarum
ST, V X. At in ellipsi ; quia AC ad maiorem proportionem habet, quam I L ad N O 18. ex 7. J habebit quadratum ex summa A C . ad earundcm duarum
summarii quadratorum maiore proportioncm, quam quadratum
lumnae I L , N O ad quadratorum
343쪽
summam earundem: & summa duorum quadratorum ipsarum aequalis est summae duorum quadratorum AC, Q K c 22. zx 7. y ergo fumara A C, O R minor est , quam sui iama IL, NO. atque sic ostendetur, quod suma II., N is minor est, quam summa S T, V X. Quod crat propositu.
DEinde in ellipsi quadratum summφ A C , mi minus est quadrato summae I L , N O ; & summa duorum quadrato in As ,
aequalis est summae duorum quadratorum I L , N Ο et et . ex .' igitur remanet A C in Q I minus quam I L in N O . & similiter I .L in N ominus erit, quam S T in V X. Sed in hyperbola , quia quilibet axium minor:est homologa diametro coniugatarum ; igitur planum rectangulum ab axibus contentum iniunus est eo quod a duabus coniugatis continetur hoc igitur in hyperbole manifestum est.
In ellipsi autem, quia A C ad ml maiorem proportioncm habet iquam I L ad N o per conuersionem rationis. & permutando maior AC ad minorem I L minorem proportioncm habebit, quam differentia ipsarum A C , QR ad differentiam ipsarum I L.& N O; & propterea diis, rentia ipsarum AC,&QR maior erit differentia reliquarum I L , & No. Et similiter ostendetur, quod excessus I L super N O maior sit, quam excessus S T super v X. - PROP.
344쪽
dratum QR, nempe figura aris A C minor est in prima , & maior in secunda ellipsi, qdam quadratum N O , nempo qua figura I L c et 8 ex 7. estque A C maior in pri-hma , & minor in secunda figura quam I L ; igitur erectum ipsius AC minus est in prima figura ,& m,
ius in secunda, quam erectum I L. Et sic ostende iatur , quod erearum ipsius I L maius sit, siue minus, quam erectum S T.
Et quia erectum ipsius A C minus est in prima ellipsi, & maius in secumda , quam erectum ipsius IL , & A C maior est ilia prima, & minor in secunda figura quam I L , is, tur differentia AC, eiusq; erecti , quae sunt duo I tera figura: A C, in quo-m
345쪽
Iibet casu maior erit differentia I L, eiusque erecti. Pari modo ostendetur quod differentia ipsus I L, & eius erecti maior sit differentia ipsius ST . eiusque erecti. Et hoc erat ostendendum.
terum figurae axis inclinati maior est differentia lateru figu-rς sui homologi eiusde sectionis:& differetia laterum figurae inclinati proximioris axi maior est disserentia laterum syrae inclinati ab illo remotioris. In hyperbole A B P sit axis CA , & I L , S T sit duae aliae di
metri , & centrum D; atque ere
ctus ipsius A C sit A F , & ipsius I L sit I Κ, atque ipsius S T sit ST: & educamus C B , CP , p, rallelas duabus homologis diam tris I L, S T/, & duas ad axesu. perpendiculares B E , P M , lac mulque duas interceptas C H , AG, & sit inclinatus A C in prima figura maior, quam A F, in secuda vero minor. Et quoniam A Cad A F supponitur vi H A ad A Gerit
346쪽
erit quadratum A C ad quadratum differentiae ipsarum AC, A F, ut quadratum H A ad quadratum H G , at ad quadratum differentiae ipsarum I L , I K est , ut E H in H A ad quadratum H G i p. ex . I ad quadratum vero differentiae S T,S Z est, ut H M in H A ad quadratum H G 19. ex 7. 9 est vero M H in H A maius quam E H in H A, atque E H in H A maius quam quadratum H A ; igitur A C ad differentiam ipsarum A C, A F minorem proportionem habet, quam ad differentiam ipsarum I L , I K , & ad differentiam earundem I L , I K minorem proportionem habet, quam ad differentiam ipsarum S T , S Z ; igitur differentia ipsarum A C , A F maior est , quam differentia ipsarum I L, I Κ, atque differentia earundem I L , I K maior est quam differentia S T, SZ. Quod erat Propositum.
SD in primis Iguris axis A C maior , quam axis VR. . uia quadratum' , A C ad quadratum- R eandem proportionem habet, quam H A ad AG lib. .esque G A minor quam G E : ergo H G ad G A maiorem proponionem habet Desin. i. quam ad G E et se componendo in 'perbolis , o dividori is ellipsi H A ad A h ηM
proportionem habet, quam quadratum I L ad quadratum N O; ergo quadraium AC ad quadratum maiorem proportionem habet, quam quadratum I L ad quadratum N O : propterea A C ad maiorem proportionem habet , quam I L ad N O r o sunt quoque earundem proportionum ripi cara pariter inaequales, nimirum axis A C ad eius latus rectum A F maiorem proportionem habebit, quam diameter I L ad eius latus rectum I K. Secundo quia G E minor es , quin G M; ergo H G ad G E maiorem pro-
el psi H E ad E G maiorem proportionem hiauit, quam H M ad M G , se quadratum I L ad quadratum N O habet eandem proportionem , quam H E ME G ; nec non quadratum S T ad quadratum V X eandem proportionem baset, quam H M ad N G ; ergo quadratum I L ad quadratum.N o maiorem proportionem haset, quam quadratum S T ad quadratum V x, ct IL ad N omasorem proportionem habebit, quam S T ad V X, ct earundem proponi num duplicata inaequales quoque erant,scilicet I L ad eius latus rectum mi rem proportionem habebit, quam S T ad eius latus rectum. Deinde in secum
347쪽
nec non H E minor quam H M ergo HA ad eandem H G minorem proportionem haberit, quam H E , o comparando antecedentes , ad terminarum Lem.1. Iummas vel ad disseremias es A ad Alib. I. G minorem proportionem habet, quam H E ad E G , o Hiier H E ad E Gminorem proportionem habet , quam Hex I . I6. M ad M G r es vero quadratum A C
δ' ad quadratum a R , ut H A ad A G , Defin. I. , ' huriis o quadratum I L ad quadratum NO, Pror. 7. τι H E ad E G ; pariterque quadratum GH s T ad quadratam V X est , vi H Mad M G i ct iris A C ad Ot m no- rem proportionem habebit, quam IL ad N O , o I L ad N o minorem pro ditionem habebit, quam ST ad V X ; sera i simititer earundem proportionum δε Di cata eodem ordine inaequatis erunt , scrilicet AC ad eius latus rectam minorem proportionem haserit qua- I L ad eius recZum latus , M. Ad perfectionem partis secunda propositionis 28. requiri
I N ess si cuius axes in quales sunt, duas diametral coniugatas inter
348쪽
In eadem Dura coniungatur recta linea δε atterminos axium conia ent ,s per centrum huic parataclusit e d , fers irim centrum, O semipartitionem applicatae A aduratur diameter a be Dico Hametros coniugatos a b , ct e daquatis e se inter β. aeuaniam a termino a ordinatim anticatae Atacitae Lais metram a b ducitur ad axιm perpendicularis α D cadens in centrum D I ergo H D ad D G eandem proportunem habet, quam quadrarum Hametri ab ad quadratum eius coniugata c d ; Hia H D, OG D aequales inter se, cum semiaxes , atquὲ intercepta sint aequales inters ; ergo diametra coniugatae a b, cd aequales erunt inter se hoc praemis. Reperiantur in ellipsi duae diametrι coniugata inter se aequales a b ,e d, ct inter a , ct A ponantur diametrι I L, ST , quarum coniugata NO, V X, se ducasur retiqua recta linea, ut prius fac um es , o ponatur primo loco axis A C maior quam ar Rr Dico I L marorem esse 'sa N O , o S T maiorem V X. I sua quadratam A C ad
quadratum R eaniam tropertionem habet, quam H A ad AG , o quadratum I L ad quadratum N O eandem proportio nem habet , quam H E aὰ E Giparaterque quadratum S T ad Dadratum V X eandem propo timem habet , quam H M a
huius. Defin. I. liuius. Prop 7 huius
349쪽
Gius es quadrato N O , or quadratam S T maius quadrato VX ; ideoque quando axis A Cmaior es, quam Δ' , erit diameter I L maior eius coniugata N O , o S T maior quam V X. Pari ratione , quando axis A Cminor es, quam R eris es Aminor, quam A G , o H E m nor , quam E G, atque H A mia inor , quam M G : se propterea in secunda h perbola, o secunda ellipsi etiam diameter I Lminor erit , quam N O , o S Tminor erit quam V X. Iium cotineti in reliquis diametris , dummodo in ellibi radant inter A, ct a , nam ab is aqualis suae coniugata e d : or vltra pse crum a ad partes di diametri cadentes minores sunt suis coniugatis in prima eut 1 ,σmator I m Iecu a, cam propinquiores sint axi . Si vero fuerit unus duorum axium in hyperbola aut ellipsi maior, tunc eius homologa diameter coniugata maior est , &c. Non nulla in hoc textu defiunt; non enim omnes diametri in elli,s sunt inaequales ut in Lemmate i. osensum est , ct irio texius corrigi debuit. O
ET conuenient duo puncta H , & G in puncto D ; eritque A C ad Q bR , ut A D ad se ipsam , siue ut A C ad se ipsam, &c. ia qua
quadratum V X es τι H M ad MG; sed quando axium quadrata sunt inter se aequalia, tunc quidem praesecta C G, seu H A aequalis es interceptae G A, o terminus G ,seu H cadit m cereo D ; se ideo H E et et D E aequalis es E G vel E D: paraterq; H M aequalis es M Gequare coniugatam diametroru quadrata aequalia sunt inter se; ct etia transe. nersa latera suis erect squalia erunt.
350쪽
Quia C G ad A G , nempe quadratum A C ad suam figuram in maiori , & in figura secunda ellipsi in minori proportione , &c. Idem Iaia prima , secunda Agara hyperboles,Gr in prima figura et sis habet C G ad
G A maiorem proportionem , quam ad
G E , eo quod G E maior est, quam GA : at in secunda figura etapsis proportio minor est ; quia G E minor es, qua
A G. Propositum vero aliter ostendetur
Idioniam ex demonseratis in nota prvasit. 27. in 'perbola , atque ex propositione I r. libri quinti in ellipsi erit axis minor , ct rectus minor Hametro rem N O , or N O minor remotiore V X , ideoque quadratum a minus erit quadrato N O , ct quadratum N O minus quam quadratum V X: es vero figura, seu rectangulum C A F sus extremis contentum quale quadrato me ex media proportionali inter istas desicriptum d pariterquὲ r ctangulum L I K aequale est quadrato
diametri ra coniugata N O , nec non
rectangulum T S Z aequale erit quadrato V X , ergo recta ulum C A Fmmus es rectangulo L IK, atque rectangulum L I K minus es rectangulo TS X. E contra in ellipsi sicunda. a uia a J malis es, quum N O , se Mem/ιor , quam V X ; ergo rectangulum C A F maius es rectangulo L I K , o hoc maius eris rectangulo T S Z. Notae