장음표시 사용
351쪽
3io Apollonij Pergaei Notae in Propositi XXXXII.
ERit igitur aegregatum A C , MI minus quam aggregatum I L, No , &c. Hoc sensum es m nota proposit. 27. huius. At in ellipsi , quia A C ad ml maiorem proportionem habet, quam IL ad N O, erit quadratum ataresati A C , QI ad summam duorum quadratorum ipsarum in maiori proportione, quam quadratum aggregati I L , N O ad summam duorum quadratorum earundem , & summa duorum quadratorum ipsarum , &c. Fiat A R aequalis duabus A C ct , - IO Di aequalis duabus I L , or N O ; alae secetur A R in m , ut sis A m uis, ' ad m R , ut I L ad L O. Visia in prima elliasi A C ad aTR , mel ad C R in hac figura maiorem proportionem habet, quam I L ad N O , seu ad L O in praesenti Aura t, Erga A C ad C R A K C F.
maiorem proportionem habet , quam ,--οῦ ---
Lem. a. A m ad m R ; ideoq: A C ad ean- I i 'dem A R maiorem proportionem ha- ubebit quam A m ; or propterea A mminor erit, quam A C : sed A in maior eli quam M R , eo quod I Lpriori hamaloga maior es , quam LO : ρι in secunda HIU A C ad C Rminorem proportionem habet, quam
352쪽
I L ad L O , qu quam A m ad in R ; σ A C ad eandem A R minorem proportionem habra quam A m ; ideoque A C minor erit, quam A m , o A m Lem. 1. minor quam in R , ficuti I L minor est , quam L. Oese propterea secta A R vi) 3 kfariam in n in utroq; casu C n semiisserenita mamme , or minime siticet A C , ct C R maior erit , quam m n semidisserenIta inaequatium intermeat rum A m , se R m : suntque aeuo qua ara ex A C , o ex C R aequatia quadratis ex R n , cst ex C n bis sumptis , atque quadrata ex A m , ct ex R inaequalia snt quadratis ex R n , ct ex m n bis sumptis , sed duplum quadratin C eum duplo quadrati n R maiora sunt duplo quadrati n m cum aevo quadrati n R cum n R sit commuis , o n C maior i n m ; igitur in et troque casu duo quadrata ex maxima , ct ex minima , sectaret quadratum A C una eum quadrato C R maiora seunt quadrato A in , est quadrato m R simul sin ptis r se quadratum A R minorem proportionem habet ad summam quadrat rum ex A C , se ex C R , quam ad summam quadrati A in , cst quadrati mR ; sed quadratum Io ad quadratum I L sea cum quadrato L O eandem proportionem habet , quam quadratum A R ad summam duorum quadratorum ex A m , cr ex m R propterea quod A R , o I O diuiduntur proponienaliter inm, o Ly: igitur quadratum A R ad summam quadrati A C una eum qu drato C R minorem Aroportionem habet, quam quadratum Io ad summam qua drati I L eum quadrato L O. Non secus ostende ur , quod quadratum summae I L, ct N O ad quadrati ex I L, o quadrati ex N summam habet minorem proportionem , quam qua dratum summa ST , est V X ad quadratorum ex S T , atque ex V Xyum- ex ar. mam e is ideo I L cum N O minores erant, quam S T cam V X. huius
o minus quam S T in V X , &c. iasi ex quadrara summa A C , est R auferantur duo quadrata ex C A . est ex abi simul simpla , ν manent duo rectangula sob C A , cta R contenta: paraterque δε um recta uti ex I L in N O est residuum quadrati ex summa tuarum I L , est N O destripii , postquam allata sunt
quadratum ex I L , o quadratum ex
N O simul: sed bina quadrata utrinq; allata sunt aequaba inter se is elli io somma A C, QR minor es quam
mmma I L , N O; Ergo duplum ro
o rectaraulum sub A C , o IZ minus est rectanguis sub I L, ct N o.
353쪽
portionem habet, quam I Lad No post couersionem rationis, & permutationem A C maior ad I L , minorem , habebit proportionem minorem, quam excessus
A C super QR ad excessum I L si
per N O , &c. Hoc quidem verum es in et Asi , c metati iuctum es ad propos 2 8. huius quando maior axis est A C , sed quando A C es minor , atque A C ad Δ minorem proportio nem habeι , qaam I L ad N O , opere' praetium erit, demensisare , quod tunc etiam disserentia axium A C , o QR maior sit diferentia diametrorum I L, ct N O. aeuoniam existente C A mi- nore , quam ex 28. huius PACad QR minorem proportionem habet, quam I L ad N O; σ inuertendo ad AC maiorem proportionem habebit, qu am N O ad I L , ct per conuersimera ionis QR ad disserentiam ipsarum tis . o A C minorem proportionem habebit, quam N O ad disserentiam ipsarum N O , ct I L ; se permutando R major ad minorem N O ha bis proportionem minorem , quam Hsserentia
ipsarum cibi , se A C ad disserentiam i aram N O , o I L r se propterea disserentia i artim ast , o A C maior erit, quam disserentia i arum M ino I L.
Postia quando C A es maior axis , tune I L ad N O maiorem proportionem hvix μ-,-s T ad V X io similiter per conuersionem rationis , ct mrm 'tando maior I L ad minorem S D habebit minorem proportionem , quam dissorentia coniugatarum Lametrorum I L , or N O ad disserentiam coniugatarum S T , or V X, quapropter axi propinquioram diametrorum I L, ct N O dissorentia maior erit, quam remotiorum coniugatarum S T , o V X disserentia. E contra quando C A es axis minor idem concludetur, et ii paulo ante factum es.
354쪽
Gitur erectum ipsius A Cnus est in prima , & maius in secunda , quam I L , & sic ostendetur, quod ercctum ipsius I L maius iit, siue minus quam erectum S T , dic. uoniam in prima elli
rectangulum C A F minus est rectangulo L I R ; ergo AC ad I L minorem proportionem habet reciproce, qua I K ad A F ; quare I K ad aliquam
aliam quantitatem maiorem , quam
A F eandem proportionem habebis , quam A C ad I L ; es oe A C maior quam I L ιn prima et se; ereo multo magis I maior erit quam A F. Pari ratione in eadem nima ellipsigulum L I t minus est rectangulo T S Z , er I L axi maiori propinquior maior est . quam S T : ergo S Z maior erit, quam I K. E contra in secunda elripsi rectangulum LI x minus erit rectangulo C A R inueni. rectan tum T S Z minas erit rectangulo L I V ; es que T S maior quam I L , or I L maior , quam A C ; imur reciproce A F maior erit, quam I Κ, o I A maior , quam S Z.
355쪽
Continens Proposit. XXXIII. XXXIV.
AXis inclinatus si non fuerit minor dimidio sui erecti, utique eius erectus minor est erecto caeterarum diametrorum inclinatarum eiusdem sectionis, & axi proximioris Inclinata erectus minor est , quam erectus remotioris. XXXV. Et si fuerit axis inclinatus minor dimidio erecti, utique ad utrasque eius partes cadent duae inclinatae, quarum qumlibet aequalis est semissi erecti ipsius , atque eius erectus minor est erecto cuiuslibet inclinati ad utrasque partes eius positae, Nerectus proximioris minor est erecto remotioriS. In hyperbole A B N sint A QI L, P Q, S T diametri inclinatae, S A F sit erectus ipsius A C , IK ipsius I L , P R ipsius P in&S L ipsius S T : sitquε axis A Cnon minor medietate ipsius A F. Dico, quod A F minor est, quam I K , & Ι Κ minor quam P R , &Ρ R minor quam S Z. Educantur
C B parallela I L , & C N ipsi PQ . & C X ipsi S T : de ducantur B E, N M, XV perpendiculares ad axim C A E . Quoniam si A Caequalis est ipsi A F, etiam I Laequalis est ipsi I K a i. ex 7. ) &
356쪽
ergo A F minor est , quam I Κ, & Ι Κ minor quam P R. Si vero A C δὲ maior est , quam A F esset I L maior , quam I Κ : & I L ad IK min rem proportionem habebit, quam A C ad A F ak ex 7. 2 de I L m ior est quam A C ; igitur A F minor est, quam I K : atque similiter patebit I K minorem elle quam P R , & P R , quam S Z.
DEinde sit A C minor, quam A F . dummodo minor non sit dimidio eius : & secentur duae praesectae A H , C G , quae erunt aequales: pariterque A G, C H interceptae aequales; ponaturque linea' aequalis suminae G E, G A. Et quia A G non est maior duplo A H,& 1 maior
e - '. est duplo A G, erit 1 in Α Η maius, quam quadratu A G ; igitur 1 in AE ad ν in AH, nempe E A ad A H minorem proportione habebit, quar in A E ad quadratum A G; ideoque E H ad H A, nepe E H in H A ad quadratum A H minore proportione habebit, quam 1 , seu eidem aequies E G, G A in A E , cum quadrato A G quae sunt aequalia quadrato G E ad quadratum A G i ergo E H in H A ad quadratum E G , seu ut ostensum est in i s. ex 7. quadratum A C ad quadratum I K minorem proportionem habebit, quam quadratum A H ad quadratu A G, seu qua quadratum A C ad quadratum A F. Igitur AC ad I K minorem prinportionem habet, quam ad A F; & propterea A F minor est quam I K. R r a Simili
357쪽
Simili modo ostendetur quod I Κ minor sit, quam P R : etenim si ponatur lineas aequalis summae M G , G E : cum G E non sit maior duplo EH , &s maior sit duplo G E ; igitur in E H maius est quadrato G E . Postea ostendetur quemadmodum antea dictum est quod M H ad HE, nempe M H in H A ad E H in H A minorem proportionem habet quam quadratum M G ad quadratum G E ; & permutando M H in II A ad quadratum M G, seu quadratum A C ad quadratum P R x s. ex 7. minorem proportionem habebit, quam E H in H A ad quadratum G E. nempe quam quadratum A C ad quadratum I Κ i & propterea A C ad P R minorem proportionem habebit, quam ad I Κ ; ideoque I K minor est, quam P R : & pariter P R minor, quam S Z.
SIt postea A C minor dimidio A F ; erit A G maior duplo A H . &ideo H G maior est , quam H A : ponatur iam H M aequalis H G , ducaturque ad axim perpendicularis N M i iungaturque N C , & educatur diameter P QIarallela N C. Et quia M H medietas est ipsius M G, erit P limidium ipsius P R 6. ex 7. 2 Inter duas diametros P in A Cducatur diameter II., & C B ei parallela . & ad axim perpendicularis B E. Quoniam M H in H E minus est quadrato H G i addito communi producto
358쪽
& eodem modo procedendo, tandem ostendetur quod quadratum A C ad quadratum S L minorem proportionem habet, quam ad quadratum P R , & ideo P R minor erit quam S L. Non secus ostendetur quod S Znranor est erecto cuiuslibet inclinati cadentis ad partem S T extra illam. Itaque demonstratum est , quod P R minor sit erecto cuiuslibet diametrisCatonis cadentis ad utrasque partes ipsius P Q versus A , & X , & er cii proximiores diametro P Q inores sunt remotioribus. Et hoc erat propositum.
IN E Gtione sequentium Propositionum di Ficurus , qua a nimia prolixitate
oratur, memtabilis est, nisi Methodus in textu seruata aliquantisper relinquatur : propterea non nulla lemmata praemittam , ex quibus semel demons, Π Uus omnes sequentium proposuionum facillime , ct breuissime deducuntur.
producto ex G E , & GH in E H, erit M H in II E cum E G , atque G H in H E , nempe summa M G , G E , quae est aequalis ipsi in E Hminus erit , quam quadratum H G cum aggregato E G , G H in E H . quae sunt aequalia quadrato G E ; igitur in E H minus est quadrato EG. Postea uti prius dictum est ostendetur, quod quadratum A C ad quadratum P R maiorem proportionem habet, quim ad quadratum I K. α propterea P R minor est , quam I Κ. Non aliter ostendetur quod I Κminor sit, quam A F. Ponatur postea diameter S T extra locum inter P ., A C compraehensum , ducaturque C X ei parallela , & ad axinia perpendicularis X V. Igitur V H M maius erit quam quadratum H G,
359쪽
que E D , non maior fit H G : Dico rectangulum ex A G Esumma m.equabum segmentorum in E H intermediam sectionem , mianus esse quadrato ex segmento intermedio minoire E G.
Fiat H M aqualis H G, or quia AE aequalis, aut minor est, quam ME; o E G maior, quam E H , ergo A E A E H Gad M E minorem proportunem babet, uquam E G ad E H , or permutando A E ad E G minorem proportione habebιι , quam M E ad E H , ct coponendo A G ad G E minorem proportionem habebit, quam M Η, seu et aqua lis G H aa H E, ct iteram componendo A G E ad G E minorem proportione habebit, quam G E ad E H r quare Rectangulum ex summa A G E in Hminus eris quadrato ex intermedia G E , ut proposseum fucrat.
oco reeiangulum ex A GE in E H maius esse quadrato ex E G.
I uia A G maior es quam E G , o G H non maior sese H E. ergo A G ad G E maiorem proportionem habet , quam G H ad H E , ct componendo AGE ad E G marorem proportunem habebu . quam G E ad E H , ct irio rectam iam ex A G E in E H maius eris quadrato ex G E.
360쪽
rectangulum sub A G E in E H aequale quadrato ex G E , si pro
portio illa maior fuerit , erit quoque rectangulum maius quadrato ; iidis proportio minor fuerit, Rectangudum quadrato misus erit.
Et primo , quia A G ad G E ponitur τι G H ad H E ; componendo AGE ad G E , eris ut G E ad E H, or rectangulum sub extremis contentam , ni mirum sub A G E in E H , aquais erit quadrato ex intermedia G E. Secundo , st A G ad G E maiorem proportionem habuerit, quam G H ad HE , componendo A G E ad G E maiorem proponionem habebit, quam G E ad E Η, ct ideo Rectangulum sus A G E in E H maius eru quadrato ex G E . pari ratione F A G ad G E minorem proportionem habuerit , quam G H adH E, ostendetur Rectangulam ex A G E in E H minus quadrato G E.
I N bperbola, cuius axis C A, δ' erectus A F, pnsecta H A , im tercepta G A , diameter L I, cuius erectus I L , latus C Ediameter et P , cuius erectis P R, latus c O : Dico quia ereeius P ab ipse erecto I x , vel ab A F atque rectangulum stib O G E iη G H ab ipse quadrato G E , mel rectangulum ex O G A in A H Aipse quadrato G A , mna deficiunt, mel rima aequalia sunt, aut emia