장음표시 사용
361쪽
G E , ct componendo O H ad E.Η , seu rectangulum O H A ad rectangulis E H A , erit vi recI angulum sub G Ε , ct G O in O E et na cum quadrato EG , seu mi quadratum ex O G ad Padratum ex G E, es permutando rectangulum AH O ad quadratum o G , erit ut rectangulum E H A ad quadratum GE , sed ut rectangulam O H A ad quadratum O G, ita es quadratum A C adta Des. & quadratum P L . se τι rectangulum E H A ad quadrato ex G E , seu τι is . huius. quadratum A C ad quadratum A F , vel ex I A ; quapropter idem quadratum A C ad quadratum ex P Κ, atque ad quadratum ex A F vel I K eandem proportionem habet, se ideo quadrata usa aequatia sunt, or eorum latera P K; oA F , via I A pariter aequalia erunt. Eodem modo quando rectangulum sub O G E in E H maius es quadrato GE , tunc quidem idem rectangulum , cuius altitudo o G E , basis vero O E. ad rectangulum , cuius altitudo o G E , basis vero E H , seu O E ad E H . min rem proportionem habebit , quam ad quadratum E G , o componendo , atque permutando , ut prias factum est, habebit rectangulum O H A ad quadratumo G , siue quadratum A C ad quadratum P Κ minorem proportionem , quam sulii, rectangulum E H A ad quadratum G E , seu quam quadratum A C ad qua-Τ dratum A F, vel I K , ct propterea P Κ maior erit, quam A F , vel I K. . 2Quando vero rectangulum Fus E G D in E H minus es quadrato A G, tunc quidem ostendetur eodem progressu quadratum P L minus esse quadrato A F , et I x , quod erat propositum.
Notae in Propos XXXIII. dc XXXIV.
Veniam ex ripotesi C A minor non es medietare ipsius A F , es que A Had A G , it C A , ad A F , ergo A H maior , aut aequalis es medietati ipsius A G , ct ideo A H maior, aut aequalis es residuo H G, quare E H ,
362쪽
E H , atque eius portio γε H mn minores Iunt eadem G H ; ergo rectangulum sub E G A in A H maius eras quadrato A G , atque I x maior erit quam A F. Simia, modo , quia tam M Η , quam E H excedunt ipsam G H , erit recIangulum sub M G E is EH maius quadrato A G , arque PR maior , quam I K.
Lem. 3 huius. Lem. I. Lem. huius. Lem. F. huius.
363쪽
ducatur N n occurrens sectioni in N, ese n , a quibus iungantur N C , n C , ct eis aequid antes diametri P ct p qextendantur, quam erecta P R,9 p r. Os endendom es P ae subduplam esse iasius P R, atq; P R , o p r aequales esse inter se , es minima esse erectorum quarumlibra Dramurorum i iusdem sim Piop.6. . is uentrara τι H M ad M G ita est P α d PR, ct pcladpr, erat a iiiii . rem H M sabdupla ipsius M G, ergo Diameter P α ubdupla est erecti eius P R ,
pariterque p q subdupla es V s p riatque Diametra P o p q aequales
fons inter se , cum aeque recedaηt ab axi A C , atque earum commune ratus MC M. Pastea quia tam E H , quam M H maiores non sunt eadem H M , et HLem. , G H , ergo rectangulum sub M G E in E H minus es quadrato E G , cst exhilam lem. 3. P R minor es I K., . Similiter quia tam Ε Η , quam A H minor es eadem Η M, erga rectan-ε. Vbii l. gulum sub E G A in A H minus es quadrato A G , ct IK minor eris, quam
A F. tandem, quia tam V H , quam M H non es minor eadem G H , ergo re- - , ctangulum V G M in M H maius eris quadrato G M , o rio S Z maior erit, tam s. quam P R, o sic ulterius: quare P R minimum est laterum rectorum quarumlibet Diametrorum eiusdem 6perboles.
4. ' hyperbole latus rectum alicuius Diametri reperire , quod aequale sit lateri recto axis; sed oportet, it axis transuersus A C minor sit medietate eius erecti A F.
o 33. hu. Reperiatur Diameter P Id, quae subdupla sit eius erecti P R, sitque C M l ius , ct fiat e G ad G a , τι M H ad HA, cst ducatur ordinatim applicata ad axim e d , coniungaturque recta d C , , extendatur diameter a b parasi la μή d C , cuius latus rectum M a c. Dico a c aequale esse A F r quia e GLς ad G A facta fuit τι M H, e G H ad H A, ergo rectangulum sus e G A inti. A N es quadrato G A , ideoque erectum a c quale eris erecto A F ,hus ita via erat propositum.
364쪽
Dato latere recto I Lidiametri hyperboles IL reperire latus rectum pnop . alterius Diametri , quod aequale sit lateri recto I x oportet aditem - , Addix. t Diameter I L cadat inter axim , udi aliam Diametrum , quae su
Repertatur Diameter a P , quae subdupla Ist sus errari P R , ei seque latus ει 31. lui. sit M C ; ergo ex spothesi I L cadet inter axim A C , 'o Dia rarum P a ,σ Aropterea terminus E lateris C E cadet inter A , M , igitur reperira po- reris V G , quae ad G E eandem proportionem habeas, quam maior M H ad m/norem H E , CT ut prius , lateris C V ducatur diameter S T , cuius latus rectum S Z : dico S Z aequale me I K: quia V G ad G E es , ut M H, seu ic H ad H E , ergo rectangulum sta V G E in E H aequale est quadrato G E , litiait id que S Z aequale I K : quod erat Hopositum. ' Lei . De citur ex prima propositione additurum quod in aliqua h perbola reperia i μ μ 'ri possunt tria diametrorum latera recta aequalia inter se :s nimirum in hyperibola , cuius axis C A minor sit medietate eius lateris recti, reperiantur utrimque duae diametri b a , quarum latera recta a c aequalia sint iasi A F ; tune quidem tria uia titera recta aequalia erunt inter se : reliqua et ero latera recta Zametrorum cadentium inter A , o a maiora erunt titere recto A F ; se latera recta diametroram cadentium Hira punctam a ad partes B maiora suntiatere recto a c , propterea quod magis recedunt ab omnium minimo latere re- 'cto P R. Simili modo in eadem hyperbola reperiri posent quatuor diamrarorum latera recta aquatia inter se , si nimirum ex secunda propositione addirarum dato latere recto I V diametri IL reperiatur aequale iatus recIam S Z alterius diametri ST, or ex altera parte axis ducantur duae alia diametri aeque ab axi r mota ac Uia , erum quatuor recta Dura earum aequalia inur se , or maior quotibet Lure recto Hametri cadentis inter I , O S ad utrasque partes axis rminora vera erum quolibet Diere recto diametri cadentis vora punctum I ad partes verticis A, vel infra puncta S ad partes a , ut deducitur ex 3 . huius.
Continens Proposit. XXXVIII. XXXIX.
IN hrperbole axis inclinatus si non fuerit minor triente erecti
ipsius, erunt duo latera figurae axis minora, quam duo latera ligurae cuiuslibet inclinatae coniugatarum , quae in cadem sectione consiliunt, & duo latera figurae inclinati proximioris axiimnora fiant, quam duo latera figurae remotioris inclinati. Ss a Si
365쪽
Si vero fuerit axis minor parte tertia sui erecti assignari poterunt ad utrasque cius partes duo aequales diametri , quarunia quaelibet pars tertia sit sui erecti, atque duo latera figurae eius. dem minora sunt duobus lateribus figurae cuiuslibet alterius diametri ad utrasque eius partes in eadem sectione cadentis: dc duo latera figurae diametri ei propinquiores minora sunt duobus lateribus figurae remotioris.
In eadem figura supponatur prius hyperboles avis A C non minor suo erecto , erit P Q aior quam AC, & S Τ maior quam P Q: ideoque erectus ipsius A C minor erit erecto ipsius P 33. ex τ. 2, & erectus ipsius P Q minor est erecto ipsius S T; igitur duo latera figurae A V minora sunt, quim duo latera n gurae Ρ -3c duo latera ngurae P QSuno-ra , quam duo latera figurae S T
DEinde sit A C minor quam A F. sed non sit minor tertia parte . a eius; igitur A H non erit minor tertia parte ipsius H C : & propterea non est minor quadrante ipsius A C i ideoque C A in A H notia est minus quarta parte quadrati A C ; quare C A in A M quater lumptum ad C A in A H quater, nempe M A ad A H non habet maiorem proportionem , quam quadruplum ipsius A C in A M ad quadratum AC. Et ponamus M m aequalem M A , componendo M H , ad H A , nenipe M H in H A ad quadratum H A non habebit maiorem propor
366쪽
tionem , quam C M in M A quater sumptum una cum quadrato C A , nempe quam quadratum C m ad quadratum A C ; ideoque M H in HA ad quadrarum H A minorem proportionem habet quam quadratum C m ad quadratum A C . Et permutando M H in H A ad quadratum C m , seu ad quadratum ex summa ipsarum G M : & M H , ad quod habet eandem proportionem quam quadratum C A ad quadratum summae Ps& Ρ R 1 . ex 7. habebit minorem proportionem , quam
quadratum A H ad quadratum A C, seu quam quadratum A C ad quadratum summat ipsarum A C , & A F ι igitur summa ipsarum A C , &A F minor est quam summa ipsarum P in & P R. Et quia M H maior est quarta parte summae ipsarum M G , & M H ι ergo quadruplum C min M H maius est quadrato Cm,& ponatur V . aequalis A V ; igitur quadruplu V M in C m ad quadruplum M H in C m , scilicet V M ad M H minorem proportionem habibit, quam quadruplum V M in C mad quadratum C m : & componendo V H ad H M , nempe V H in HA ad M H in H A minorem proportionem habebit, quam V M in C mquater sumptum , vel u m in m C bis sumptum cum quadrato C m eo quod a m dupla est ipsius V M quae omnia simul ad idem quadratum Cm minorem proportionem habet, quam quadratum C u. Ergo V H in H A ad quadratum C s. scilicet quadratum A C ad quadratum summae ipsarum ST, & S Z s i . ex 7. minorem proportionem habet quam M H in H A ad quadratum C m , seu qnam quadratum A C ad quadratum summae ipsarum P P R t . ex 7. quapropter P & P R Gmul sumptae minores sunt, quam S T , & S Z simul sumptae.
Sst A C minor triente ipsius A F , erit A H minor dimidio ipsius HG,& ponatur M H aequalis dimidio H G,&du-
367쪽
tamus perpendicularem , & diametrum. Dico , quod P ea qualis cst trienti ipsius P R.
Educamus inter P QA A C diametrum I L , & 'educamus C B ei ο quid istantem , & perpendicularem B E . & secemus E I aequalem E Acrit summa ipsarum G E , & E H aequalis C li cstque H E minor quam M H , quae quarta pars est ipsius C m ; ergo summa ipsarum M G, H Ein M H quater sumptum minus est quadrato C m : auferatur communiter M G , H E in M E quater sumptum remanebit quadruplum summae M G , H E in FI E minus quam quadratum C I quia M G , H E simul sumptae, nempe M C una cum A E in M E quater sumptum aequale est quadrato ι m ; quod est duplum M E , & aggregatum C E . A E, nempe C I in t m bis sumptum 2 igitur aggregatum M G,&HEin ME quater sumptum ad aggregatum M G , H E in H E quater sumptum, ne-pe G E ad H E maiorem proportionem habebit, quam ad quadratum IC . & componendo M H ad FI E, seu M H in H A ad E H in H Ahabebit maiorem proportionem , quam M G , H E in M E quater sumptum cum quadrato I C quae aequalia sunt quadrato C m ad quadrutum I C : & permutando erit M H in H A ad quadratum C m , nempe ad quadratum summae ipsarum M G , & M H , seu quadratum A C ad quadratum summae ipsarum P Q , P R i 7. cx 7. maiorem proportionem habebit, quam E H in H A ad quadratum I C quod est aequale quadrato summae ipsarum GE,EH9 quod erit ut quadratum A C ad quadratum aggregati ipsarum I L , I K : quapropter A C ad duo latera figurae P innatorem proportionem habet, quam ad duo latera figurae I L . Et propterea duo latera figurae P in minora sunt, quam duo latera
368쪽
figurae I L. Simili modo estendetur, quod duo latera figurae I L minora sunt, quam duo latera figurae A C. Educamus postea C x extra segmentum A N; & educamus diametru -& ad a im pei pendicularem x V , erit aggregatum Y V, M H in Μ H quater sumptum maius quam quadratum C ma&addamus communiter aggregatum M H , G V in 11 H quater sumptum ;ol tendetur ut antea , quod duo latera sigum S T maiora sint , quam duo latera figurae Postendetur quoque in reliquis diametris cadentibus ad utrasque pamtes ipsius I Q in eadem sectione , quod duo latera figura diametri ipsi 1 QIroximioris minora sunt, quam duo latera figurae remotioris.
In Sectionem VII. Proposit: XXXVIII.
S I recta bura H G bifariam secta in D producatur micumque ad A, y E , ita eis D H non maior sit quam H E , vel H A , 'E D maior sit, quam D Ad dico rectangulum sub E DA m H Amaius esse quadrato D A.
Puta E D maior ad minorem D A habet maiorem proportionem, quam D H non maior ipsa H A, ad H A , ergo componendo EDA S ad D A maiorem proportionem habet, quam D A ad A H, ct propterea rectangulum sub extremis comentum
369쪽
Fiat H M aequalis maiori H D , erit E A disserentia minima H A , ct imremedia H E minor , quam M A , qua es d erentia maximae M H ,σ --nimae H A , ct A D maior es quam A H , ergo E A ad M A minarem pro-mnιonem habet, quam D A ad A H, se permutando E A ad A D balebit minorem proportionem , quam M A ad A H , o componendo E D ad D A mm proportionem habebat , quam M H , siue D H ad A H , ct iterum componendis E D A ad D A minorem propersionem habebit, quam eadem D A ad a Η , O propterea rectangulum sub E D A in A H minus erat quadrato D A .
ΙIsdem positis si D H maior fuerit, quam A H sed minor quam E
B , fueritque proportio E A ad A D eadem proportioni ad A ad AH , .ico reeiangulum sub E D A in A H aequale esse quadrato D A :s mero proportio illa maior fuerit , mel minor rectangulum similiter qua
erat ut M H ,sia D Had L HII A ct iterum componen-M E D A ad D 3 , erit et tD A ad A H , o propterea rectangulum sub E D A in Α Η AEquale erit qua drato D A. 'uando vero E A ad A D maiorem proportionem habet, quam M A ad ΛΗ , tunc bis componendo E D A ad D A maiorem proportionem habebit, quam D A ad A H ,σ propterea rectangulum sub extremis Iscilicet sita E D A in A H maius erit quadrato intermedia D A : non secus quando EA ad A Dminorem fleoportionem habet, quam M a ad A H, sendetur rectangulam susE D a m A H minus quadrato ex D A.
IN hyperbola , cuius axis AC, erectus A F , praesecta H A , im tercepta G A , centrum D , diameter I L , eiusque erectus I x , or C E sit latus eiusdem , sitque diameter QP , cuius erectus Per latus L O: dico quod rectangulum sub O D E in E H ab ipso qum drato D E, atque s P I summa laterum figurae Diametri P ubis LI x summa laterum figurae I L , 'DA ab ipsa C A F summa laterum
figura axis, deficiunt, mel mna aequalia sum, aut excedunt.
370쪽
Et primo rectangulum sub OD E in E H aequale sit quadrato D E , ergo ad haec duo spatia aequalia eandem proportionem Babuit idem rectaneulum sub EDO in O E , sta vi rectangulum sub E D O in O E ad rectangulum seb ED O in E Η , ita es O E ad E H , propterea quod aequales ahitudines habent 2 , igitur ut o E ad E H , ita es rectangulum suo E D O in O E ad
quadratum D E , ct componendo O H ad E H , siae rectangulum o H A ad rectangulum E H A eandem proportione habebit , quam rectangulum sita E DO in O E una cum quadrato D E , seu quam quanatum D O ad quadratum D E , vel potius τι quadratum ex dupla D O aae quadratum ex dupla D E , nempe ut quadratum ex G O H ad quadratum ex G E H, quare permutando rectangulum o H A ad quadratum ex G OH eandem proportionem habuit , quam rectangulum ex E H A ad quadratum ex G E H, seu ut quadratum ex Prop. 16.A C ad quadratum ex C A F , vel ex L I xi sed ut rectangulum A H Ο ad quadratum ex G O H, ita es quadratum ex A C ad quadratum ex Q P R :quare idem quadratum A C eandem proportionem habet ad quadratum ex PR , quam ad quadratum ex C A F, vel ex I A L, o propterea quadrata ipsa aequalia sunt, o summa laterum P R aequalis es summa laterum C A F , vel I L V. Secundo sit rectantus sab E D O in E Η maius quadrato D E, tunc quidem idem rectangulom sub E D O in D E ad recta ultim sub o D E in E II minorem proportiois habebit, quam ad quadratum ex D E , siti O E ad E H mianorem proportionem habebis, quam ad quadratum ex D E : o componendo fumpta eadem altitudine H A , quadrupluando postrema quadrata , ct permutando , or ex i6. huius , idem quadratum A C ad quadratum ex a P R mia,norem proportionem habebit, quam ad quadratum ex C A F , vel ex L I K ,
O propterea Iumma ta P R maior erit, quam C A F . seu quam L I V. Tertio sit rectangulum sus E D D in E H minus quadrato D E , patet quod idem rectangulum sab E D O in o E ad recta ulum sub E D O in E H, seu O E ad E H maiorem proportionem haset, quam ad quadratam D E, ct componendo ductis pruribus terminis in A H, quadruplicando postrema quadrata, T t prem