장음표시 사용
371쪽
permutando ut frius, idem quadratum A C ad quadratum ex . LP R, maiorem propo raronem Babuit, quam ad quadratum ex C A F , sera ex L I K , se propterea summa R minor erit, quam C A F , via L I K , quae erat o mdenda.
Notae in Proposit . XXXVIII. XXXIX.
ia axis C A minor non es triente eius erecti A F, sq: H A ad A G ut C A I ad A F, ergo H A qualis, aut maior es ne tertia usius A G; O A HAEquabs , aut maior erit, quam hemisis Vsius H G disserentia illarum , estque G Hsecta bifariam in D , ergo H A aequalis , aut maior erit, MN 6 quam D H, es que Η Ε maior quam H A , ergo pariter H E maior es, quam D H , quare rectangulum sab E D A in A H maius erit quadrato D A, atque Lem. s. summa laterum figura L I K maior, quam summa laterum figura axis C A F. Similiter quia H M maior est , quam H E, erit quoque H Is maior , quam D H , o propterea ex lemma 6. O 9. summa Ie P R maior erit, quam summa L I K.
ma C A minor es triente ipsius A F . esque H A ad A G ut C A ad AF , ergo H A minor es tertia parte usius AG , o minor semisse disso
372쪽
rentia H G , est ideo H A minor erit, quam H D r secari ergo poterit H Maequalis D H , qua maior erit, quam A H, ducaturq; per M ad -- ordinatim aulicata N M n occurrens sectioni in punctis N n, a quibus iungatur C N ,oCn , isdemque aequid antes ducamur duae diametri P ct p ct , quarum Dura ressa P R . o p r . Ostendendum es P αμι erecti P R , atque p qsui erem p r subiripiam esse, s duo βρου latera P , P R aquatia esse alienus figura lateribus p q . p r. ct insever P P R malae se taurum figura
figura ta P R aequalia lateribus Q p r alienus Mura , cum diametri , coq p a e recedam M am, o habeant latus commune C M. ΔΤ.od vero summa laurum figura a P R -mma sit reliquarum summarulaterum figura cuiustiber diametra sic ostendetur. rauia AH , ct E H minora seunt, quam H M , siue D H, ergo recta alum L 7
Pa uer quia M H aequalia est H D , se H E minor eadem , ereo ambo non erunt maiores eadem D H , ergo rectangu- μν M D E in E es minus eris Τ' quadrato D E , atque summa a P R m nor eris, quam L I x. RursMi quia V re mater , est quam M H , seu quam D H , erunt ilia nono Lem λminore1 eadem D H , ergo rectangulum sub V D M in re M maius reis quis L 'drato D M , atque summa T S Z maior erit, quam summa a P R. In seperbola reperire Hametrum , catus figura latera aquatia sint lateribus PROP.7. figura axis : oporteι autem ut axis A C minor ι ιriente erecti eius. Reperia- .Addititur diameter P subtripla erem eius P R , eosque latus sit C M , o fiat e Ρ' A ad A D , ut M A ad A H , o lateris C e ducatur diameter a b, cuius er sa c. Dico hanc se diametrum quaesitam r quia e A M A D eandem proportionem habet, quam M A ad A H, eris recta uiam sub e D A in A H
373쪽
LEi , aequale quadrato D A , ct summa uterum b)a c aegralis erit titerum Astra
axis lummae C A F. PROP. . In eadem inusia data diametro I L reperire aliam diametrum, ita τε Addix, estis figura latera qualia sint lateribus figura data diametri ILr oportet amum τι I L eadat inter axim , se diametrum P di ultriplam eius erecti . Sisii 22 C E latus diametri I L , o C M , H latus diametra P ae , se quia punctum
E cadit inter M , ct A , erit H E minor , quam H M , vel D Hr flat V EL ' ad F D , τι M E ad E H, erga rectanguiam sub V D E in E H aequale eria quadrato E D, se ex Iemma f. summa laterum T S Z aequalis erit summa I rerum L I Κ: quod erat propositum. Facile est igitur ex 3. additarum, quod in perbola cuius axis subtriptisserem eius as enari possunt tres summa laterum Durarum trium Diametrorum qua quales sint inter se. vero additarum in eadem Hrperbola assignari, possunt quatuor summae laterum figurarum quatuor Hametrorum , qua quales sim anter se. Deinde sit A C minor . quam A F , sed non sit minor eius triplo , e go A H non erit minor triplo H C , &c. Textus mendosus omnino corrigi a debuit, nam ex eontextu sequenti deducitur A C non tripla minor , sed minor
parte tertia supponi debere i us A F.
374쪽
Conicor. Lib. VII. 333SECTIO OCTAVA
Continens Proposit. XXXXIIII. XXXXV.
IN hyperbole si quadratum axis inclinati minus non fuerit dimidio quadrati ex differentia ipsius , & sui erecti, utiqu
quadratum diametri figura eius minus est, quam quadratu diametri figurae cuiuscumque alterius inclinati eiusdem sectionis. XXXXVI. Si vero minus fuerit cadent ad utrasque partes eius duae inter se aequales diametri, quarum uniuscuiuslibet. quadratum aequale est quadrato excessus sui erecti, & quadratum diametri figurae ipsius minus est quam quadratum diametri figurae cuiussibet alterius inclinati ad utrasque eius partes cadentis r& diameter figurae inclinati proximioris illi minor est quam diameter figurae inclinati remotioris.
Iisilem figuris manentibus supponatur prius A C non minor quam A DemonstF ; ergo P Maon erit minor quam PR a 8. ex ν. & duo quadrata A p op - , R F nempe diameter figurae A C minor est quam diameter figurae P
375쪽
m & pariter diameter figurae P Q inor est, quam diameter figurae ST . Sit iam A C minor quam A F , & cius quadratum non minus dimi- Demonst- dio quadrati excessus ipsius A F super A C. Et quia A C ad A F ean-pyQp Α ' dem proportionem habet , quam A H ad A G , ergo duplum quadrati A H non est minus quadrato H G s ergo M H in H A bis lumptum maius est quadrato H G, & addatur communiter duplum G A in A H fiet duplum summae G A, M H, vel C M in A H maius quam duplum G Ain A H cum quadrato H G, seu quam quadratum G A cum quadrato AH r quare duplum C M in V A ad duplum C M in A H , seu M A ad
A H minorem proportionem habet, quam duplum C M in M A ad quadratum G A una cum quadrato A H i & componendo habebit M H adH A, seu M H in H A ad quadratum A H minorem proportionem quam duplum C M in M A cum duobus quadratis ipsarum G A, & A H quae omnia sinul aequalia sunt quadrato M G cum quadrato M H ad quadratum A G cum quadrato A H : & permutando M H in H A ad quadratum G M cum quadrato M H nempe quadratum A C ad duo quadrata laterum figurae PQ siue ad quadratum diametri figurae P Q1 37.
ex 7. minorem proportionem habebit, quam quadratum H A ad quadratum A G cum quadrato A H , seu quam quadratum A C ad quadratum diametri figurae eius ; igitur quadratum A C ad diametrum fifiurae P Q minorem proportionem habet, quam ad diametrum figurae A C: &ideo diameter figurae P innator erit diametro figura: A C. Praeterea, quia duplum quadrati M H maius est quadrato H G; ergo V H in M Hbis maius erit . quam quadratum H G r & ostendetur quemadmodum diximus st quod diameter figurae ST maior sit quam diameter figurae P Qu. 3 PROP.
376쪽
SIt postea quadratum A C minus dimidio quadrati ex differentia ipsarum C A , & A F ; erit duplum quadrati A H minus quadrato H G& ponamus duplum quadrati M H aequale quadrato H G : & educamus ad axim perpendicularem N M , & iungamus N C ; & ducamus diametrum P Q parallela ipsi N C, erit H M ad M G, vi P Q ad P R, &pr a. pterea quadratum P Q dimidium erit quadrati excessus ipsius P R : ergo ' 'P . est una aequalium : ponatur insuper inter A , & P diameter I L , &constructio perficiatur, ut prius . Et quia duplum quadrati M H aequale est quadrato H G , erit duplum M H in H E minus quadrato H G , &ponatur communiter duplum G E in E H ; igitur duplum aggregati M Gin E H minus est quadrato G E cum quadrato E Ha & ostendctur quemadmodum diximus antea, quod quadratum diametri figura: Ρ Q minus sit quadrato diametri figurae I L i & quadratum diametri figurae I Lminus ut quadrato diametri figure A C. Deinde dueatur diameter inclinata ST extra segmentum A P,& C X et parallela,& ad axim perpendicularis X V: & quia duplum quadrati M Haequale est quadrato H G erit duplum V H in H M maius quadrato HG i ponatur communiter duplum G M in M H , fiet duplum a reoati
V G , M H , in M H maius quadrato M G cum quadrato M H ζ quare duplum aggregati V G , & M H in M V ad duplum aggregati U G . &M H in M H, nempe M V ad M H minorem proportionem habebit, quam duplum aggregati VG,&M H in MVad quadratum G M cum quadrato M H : & componendo ostendetur quemadmodum antea dictum est quod quadratum A C ad diametrum figurae PQ aiorem proportionem habeat, quam ad diametrum figurae S T. Eadem prorsus co- tingent in reliquis omnibus diametris. Quapropter diameter figurae P Qminor est diametro figurae cuiuslibet diametri ad utrasque eius partes in eadem sectione existente. Quod crat ostendendum. In
377쪽
336 Apolloni j Pergari In Sectionem VIII. Proposit. XXXXIIII. XXXXV. & XXXXVI. L E M M A. X.
SI reeia linea G H bifariam sectae in D addantur segmenta H A ,
Ω Η Ε atque proportio dupli E H ad H G eadem Derit proportionι G H ad H A e dico duplum rectanguli ex G A, B E in HA aequale esse quadratis ex G A , or ex A H : si metu proportio illa maior fuerit, erit quoque rectangulum maius quadratis: se mero proportio fuerit minor , rectangulum minus erit quadratis. Frima quia si duplum E H ad H G , es ut G H ad Η Α , erga duplam rectanguli E H A aequale erit quadrato G H , ct addatur communiter duplum rectanguli G A H . erit duplum
in Λ H aequale duplo rectanguli G se , ηA H cum quadrato G H ; ιιs vero i nat,s aquantur quadrata ex G A, aicr ex AH, ergo duplum rectan-outi ex humma G A , E H in A H aquale erit duobus quadratis ex G A , ct ex A H. Secundo , quia duplum E H ad H G , maiorem proportionem habet, ram G H ad A H , ergo duplum rectangula E H A maius ese quadrato G H, σ --HIo communiter duplo recta uti G A H , erit duplam rectanguli ex G A , EH in A H maius duobus quadratιs ex G A , Cr ex A H. Tertio, quia duplum E H ad II G minorem proportionem habet, quam G Had A H , ereo duplum rectanguli E H A minas es auadrato G H , ct a juduplo rectaneuo G A H, erat duplum recta uti ex G A , E H in A H minus quadratis ex G A , o ex A H.
SI reeia tinea G H secetur exterius in A , E , δ' sit eadem G B
disserentia nedum segmentorum G E , E H , sed etiam duorum segmentorum G A , s A H ridico quod quadrata ex maximo , di ex uno intermediorum segmentorum , scilicet ex G E , di ex E Haequaba sunt quadratis ex reliquo intermediorum, grex mimmo segmento , sciahcet ex G A, in ex AH evna cum duplo reci. E L
378쪽
guli ex summa extremorum , mel intermedictrum in disserentiam minis
morum segmentorum , scilicet ex G Acum H E in E A.
bia duplum re tanguli G A H cum duplo rem uti G A E aequa ur duplo rectanguis sub G A m H E, adito comuniter duplo recta uti H E A eris δε- plum rectanguli G E H aequale aevo recta uti G A H cum duplo rectanguli exsomma G A , H E in E A ; ct addito communi quadrato G H, erit duplum recta uti G E H eum quadrato G H, scit et duo quadrata ex G E, Gr ex EH, erunt aequalia istis omnibus spatis, si rei duplo M
rectanguis ex summa G A, , H E in E A cum displo r 'L H Gctavali G A Hsi I eam quadrato ex G Hr sed disporem uti G A H cum quadrato G H aequalia sunt duo quadrata ex G A .ct ex A H, ergo duo quadrata ex G E, O ex E H qualia errau quadratis ex G A , or ex A es cum duplo rectanguli ex G Acci H E in E A , Dod erarosendendum. IIN h perbola , cuius aris A C , erectus A F, praesectae CG, HA, centrum D , atque diameter I L , ei que erectus I X , in lutus c E , pariterque altera diameter QP , cuius erectus P R, in latus C O e dico quod duplum rectanguli ex G E cu O H in H E si duobus quadratis ex G E, g rex E finec non quadrata QP, or P F lat ex L I, ct ex IL, mel ex C A,
379쪽
Zuia duplum rectangati ex G E, O H in H E aequale es quadratis eae G Ese ex E H , ergo idem rectangulo , cuius altitudo G E , OO H , basis veri O E bis sumptum ad duplam rectanguli , cuius altitudo GE , O H , basis vero H E , seu O E ad Η E eandem proportionem habet, quam duplum recta usi ex G E , ct o H in O E ad quadrata ex G E , O ex E Hr auare componem L. . ii O H ad E H , seu O H A ad E H A eandem proportionem habebis , quam huius. duo quadrata ex G O , or ex O H ad duo quadrata ex G E , ct ex E H , or permutando O H A ad quadrata ex G O , o ex O H , seu quadratum ex A C 7 hvi' ' quadrata ex ue , or ex P R eandem proportionem habuit, quam rect-Ibidem. guia E H A ad quadrata ex G E, o ex E H, seu erit τι νuadratum A C ad quadrata ex I L , ct ex IV, vel ad quadrata ex C A ct ex A F : quare
duo quadrata ex V P , se ex R P aequalia sunt duobus quadratis ex IL, ct ex I K , vel ex C A , ct A F. Meuias quia duplum rectangus ex G Ε, Ο Η- Η E minus ponitur quadratis ex G E, ct ex E H, igitur idem spatium scilicet duplum rectanguti ex G E, OO H in D E ad dupliam rectanguli ex G E , o O H in H E , sitie o E ad HEmaiorem proportionem habet, quam duplum rectanguli ex GE, H in OE ad quadrata ex G E, ct O Η, ct ut prius componendo, ex lemmate II. ct permurando, ex 27. huius ς idem quadratum A C ad quadrata ex ELP . ct ex e Rmasorem proportionem habebit quam ad quadrata ex I L, ct ex I R , mel ad quadrata, ex C A, o ex A F r quapropter quadrata ex a P , ct ex P R minora erunt quadratis ex I L , se ex I Κ, vel quadratis ex C A , ct ex A F. Tertio quia duplum rectanguli ex G E, O H in H E maius es summa quadratorum ex G E, ct ex E H , igitur, eodem progressu, habebit quadratum A Cad summam quadratorum ex α ' , ct ex P R minorem proportioncm , quantas ad Ammam quadratarum ex I L , se ex I x, vel ex C A , ct ex A F rcrpropterea summa priorum quadruorum maior πιι summa posteriorum, τι se
380쪽
339 Notae in Propositi XXXXIV. & XXXXV
o C A maior est , quam A F , HI si minor es quadratum ex C A,
minor non es dimidio quadrati ex disserentia C A , ct A F , 68que Η A ad A G τι AC aE A F , o H A ad G H , ut AC ad disseremtiam Usarum A C , A F , ergo quadratum H A ad dimidium quadrati G Herit ut quadratum A C ad dimidiam quadrati ex disserentia ipsarum A C, ct A F, quare quadratum ex H A minis non erit semo quadraιι H G , idolum quadrati A Π minor mn erit quadrato Π G, estque ae plum rectanguli E H A , vel M H E maius duplo quadrati A H . seu maius quadrato H G inopterea duplam E H ad Η G maiorem 'vortionem habuit , quam G H Lem. io. ad Η A. ideoque duplum rectanguli ex G A, H A in Α Η maius erit quadra- Lem. D. iis ex G A , est ex A H , ct insuper summa quadratorum ex I L , ct ex I K maior erit, quam summa quadratorum ex C A , ct ex A F.
Via quadratam axis C A misus es semisse quadrati ex disseremia ias rum AC , ct A F , sque H A ad A G , ut C A ad A F , atque G Hes disserentia i arum A H , ct A G , igitur quadratum ex A HV u a minus