장음표시 사용
381쪽
minus esse mise quadrati G Hr fiat iam quadratum ex M H aequale semi quadrato ex G H , ct titeris C M stant duo diametri , or q v , eorumve erecta sint P R, o p re duo ductas diametros aequales esse , ct quadratum ex P α quale esse quadrato ex disserentia ipsarum P α, o P R. Guia ιι M H ad G M , ira es diameter 2DP ad eius erectum P R , ergo
comparando antecedentes ad terminorum disserentias , erit M H ad H G , ute a id disserenitam Vsarum P ct P R , o pariter eorundem quadrata proportionalia erunt , esque quadratum ex H M aequale femi adrato ex G H , ergo quadrat- ex P α quale erit semiquadrato ex disserentia Per P R , ct sic quadratum ex p q aequale erit se quadrato ex disserentia irharum p q ct v r ; or sunt diametri P o p q aequales , cum aeque rec dant as axi , is haleam titus commune C M. Secundo dico quod summa quadratorum ex a P , or ex P R minor est qualibet alia summa quadratorum lateram figura alterius diametri. uia duplum rectanguli M H E minus est duplo quadrati M Η , seu προ- lari quadrato ex G H . ergo duplum M H ad H G minorem proportionem habet , quam G H ad H E , ergo duplum rectanguli ex G E , o M H in E Η minus erit summa quadratorum ex G E , se ex E H or propterea summa quadratorum ex QP , or ex P R minor erit summa quadratorum ex IL , or exi K. Tertio , quia duplum rectanguli ex E H A minus est duplo quadrati M Η, seu gulari quadrato ex G II., ergo duplum g H ad H G minorem proporti nem habet, quam G H ad Η A, ergo duplum rectanguli ex G A, E H in A Hminus erit summa quadratorum ex G A , or ex A H e quare summa quadratorum ex IL , ct ex I K minor erit , quam quadratorum summa ex A C , orex A F. 2uarto quia duplum rectangati V Η M maius es duplo quadrati ex M II, seu singulari quadrato ex G H , eroo duplum V H ad H G maiorem proporti nem habet, quam H G ad H M , or propterea duplum rectanguli ex G M , or V H in M H maius erit summa quadratorum ex G M , or ex M H , ct ideo summa quadratorum ex T S , ct S Z maior erit quadratorum summa ex P , ct ex P R , or se de reliquis r quare summa quadratorum ex a P , ct ex P R minima es omnium , ut sit propesitum.
382쪽
is hyperbola repetae diametrum , cuius figurae duo quadrata laterum pstopaequalia sint quadratis laterum figurae axis et oportet autem it quadra- s. Addit. tum axis C A minas sit semifuadrato ex disserentia laterum figurae eius
tama ex hi thesi quadratum axis A C minus es semiquadrato ex disseremita Dierum Aura a C , A F , ut in aura proposit. 6. dictam es, quadratum ex A H mimus es semiquadrato ex G H at duplam e H ad Η G , ut G HAd H A , o lateris C e ducatur diameter b a, emus erectus c a, ergo duplum huius. mectanguis ex summa G A, e H m A H aequale est summa quadratorum ex G A, Imn. arura ex A H , ct summa quadratorum eae a b , ct ex a c aquatis eris quadrai h mum summae ex AC, is ex A F, quod erat ostendendum.
In eadem opertiti diametrum reperire , cuius figurae duo quadrata PROP.S laterum aequalia sint quadratis laterum figurae datis diametri I L e o 'tet autem etet I L cadat inter axim , si T diametrum P et, cuius quadratum subduplum sit quadrati ex disserentia P ct ex P R.
Sit C E latus diametri I L, ct fiat duplum V H ad H G, ut G H ad H E, O ponatur S T diameter lauris C V , cuius erectus sit S Z : erit igitur dupla Lein ib. rectanguli ex GE, or VH in ΕΗ aquale quadraris ex G E , ct ex E H, orpropterea summa quadratorum ex T S , se ex S Z aquatis eris quadratorum a. summae ex L I , σ ex I x, quod erra pro sitam. Riu Deducitur pariter ex s. propositione additarum in eadem sperbola tres di metros reperiri risse, quarum laurum summa quadratorum aequales sint imire se. Et ex ε. propositione additarum deduci ur , quod quatuor diametrorum eiusdem seperbola laterum summa quariatorum aequales e possunt inter se. a Et educamus inter A P inclinatam I L r quia quadruplum quadrati ΜΗ aequale est quadrato H G,&c. Sunieri debent ea , qua deficiunt, alioqui construmo imper D esset e duci igitur debet C B parasseti diametro I L , qua occurrat sectioni ad punctum B , a quo ad axim perpendicularis ducatur B E secans axim in E .
Continens Proposit. XXXXI. XXXXVII.
a T N ellipsi duo Iatera figurae maioris axis transiuersi minora sunt I duobus lateribus figulae cuiuslibet alterius diametri , & duo latera figurae diametri axi maiori proximioris minora sunt duobus lateribus figurae diametri remotioris. XXXXVII.
383쪽
iuslibet eanim quadratum bis sumptum aequale erit quadrato ex summa duorum laterum suae figurae; & quadratum diametri suae figurae minus est quadrato diametri spurae alterius cuiuscunque, diametri existentis in eodem quadrante eiusdem sectionis ; &diameter figurae proximioris minor est diametro figurae rem
XXXXuII. Si vero duplum quadrati A C maius non fuerit quadrato ex summa duorum laterum suae figurae: utique quati tum diametri suae figurae minus erit quadrato diametri figurae cinius ibet alterius diametri eiusdem sectionis , & quadratum di meetri figurae proximioris axi minus erit quadrato diametri figu
XXXXuIII. Si autem duplum quadrati axis transuersi maius fuerit quadrato ex summa duorum laterum suae figurae, aequidem reperientur ad utrasque eius partes duae diametri aquales,& c PROP.
384쪽
Q , & S T duae aliae diametri , sitque A F erectus ipsus A
C , & P R erectus ipsius P Q , & O ipsius y Ο. Dico quod C F minor est , quam QR , de m , quam T Z , S T Z, quam f.
Ducantur A N, A X ordinatim applicatae ad diametros P m S T ,& duae ad axim perpendiculares N M , X V , & interceptae A G, C H. b Quia quadratum A iC ad quadratum 1 O , nempe A C ad A F eandem
proportionem habet, quam C G ad G A , seu ad C H habebit quadra- Defin. i. tum C A ad quadratum C F summae ipsius C A , 'eiusque erecti eandem i - proportionem , quam quadratum C G , nempe C G in A H ad quadratum G H : & quadratum A C ad quadratum 'o eandem proportionem habet, quam G C in C H ad quadratum C li: estque quadratuin I O ad quadratum summae Is, ut quadratum C H ad quadratum H G ; e go quadratum A C ad quadratum 1 fest , ut C G in C H minorem ad quadratum H G ; sed quadratum A C ad quadratum C F eamdem proportionem habet, quam G C in maiorem A H ad quadratum G H ; igitur A C ad C F ma
iorem proportionem habet, quam
ad ys: & propterea C F summa A C , & erecti illius minor est, quam ' f, quae est summa ν Ο , &erecti illius. Et quoniam C G in M H, quod minus est, quam C Gin A H ad quadratum H G eandem
dratum A C ad quadratum UR summae diametri, & erecti ipsius P in 16. ex q. quare quadratum A C ad quadratnm C F maiorem proportionem babebit , quam ad quadratum QR , & propterea C Fminor erit, quam in . Et quoniam
C G in V H ad quadratum H G est ut quadratum A C ad quadratum
Τ Z ad quam ordinatim applicatur A X cri .ex 7. erit C F minor quam T Zi cumque C G in H M ad quadratum H G maiorem proportionem habeat, quam G C in V H ad quadratum idipsum H G habebit quadra
385쪽
tum A C ad quadratum maiorem proportionem quam ad quadratu Τ Z. Et pariter ostendetur, quod quadratum A C ad quadratum T Zmaiorem proportionem habet , quam ad quadratum ν si quapropter C Fminor est quam QR , & Q R minor, quam T Z , & T Z minor, quam 1 f. od erat ostendendum.
IN eadem figura si duplum quadrati A C maius non fuerit quadrato summae C F. Dico , quod diameter figurae eius minor est diametro figura R , & diameter figurae Rminor est diametro figurae T S Z.
Quoniam duplum quadrati A C non excedit quadratum summae C AF ; ergo duplum quadrati C G , nempe G C in A H bis sumptum non .excedit quadratum H G , & propterea C G in H M bis sumptum minus est quadrato H G : tollatur communiter duplum M G in H M remanebit duplum
386쪽
duplum H M in C M minus duobus quadratis ex M H , de ex G M i di propterea A M in M C bis sumptum ad H M in M C bis sumptum , ne γ A M ad M H habebit maiorem proportionem, quam duplum A Min M C ad duo quadrata ex H M , & ex G M: & componendo A H adH M , seu quadratum A H ad A H in H M maiorem proportionem habebit quam duplum A M in M C cum duobus quadratis ex H M , & ex MG quae omnia simul aequalia sunt duobus quadratis C G , de H C ). ad duo quadrata M H , & M G ; igitur quadratum A H ad A H in H Mmaiorem proportionem habet, quam duo quadrata C G, & C H ad duo quadrata H M , & G M , & permutando quadratum A H ad duo quadrata C G , & H C , scilicet quadratum A C ad quadratum diametri figurae eius maiorem proportionem habet, quam A H in H M ad duo quadrata M G, & M H , seu quam quadratum A C ad quadratum diametri figurae P πι 19. ex . 2 quapropter diameter figurae P Q aior est diametro figurae A C. Ducatur postea diameter S T , di ad eam o dinatim applicata A X,& ad aximperpendicularem X V . Et siquidem G M minor est , quam V Hcum A G , & C H sint aequales , erunt duo quadrata H M , & M Gmaiora duobus quadratis H V , VG : haec autem maiora sunt quam
duplum V H in V d: ergo dupluM V in V d ad duplum H V in Vae, nempe V M ad U H maiorem proportionem habet, quam duplubi V in V d ad duo quadrata ex V H , & ex V G: & componendo
ad V H in H A maiorem propo tionem habebit, quam duplum MV in V d cum duobus quadratis ex V H , & ex V G, quae omnia λmul sunt ut duo quadrata M H.&M G ad duo quadrata V H , & VG : & permutando M H in H A ad duo quadrata H M, & G M .
seu ut quadratum A C ad quadratum diametri figura: P QI i'. ex . maiorem proportionem habebit, quam V H in H A ad duo quadrata V H , dc V G, seu quam quadratum A C ad quadratum diametri finirae S T sii p. ex 7. 2 quare diameter figurae S T maior est diametro fiῆune PD Postea quia ν Oest media proportionalis inter A C, & A F erit quadratum A C ad quadratum ro, ut A C ad A F, nempe ut C G ad C H, seu ut C G in C H ad quadratum C H,& quadratum ψ Ο adsummam quadratorum 1 O, de os, nempe ad quadratum diametri suae figurae est ut quadratum H C ad quadratum C G cum quadrato H C: quare ex X x aequat,
387쪽
sius C G. atque ipsius C H : igitur A H in is V maiorem ad duo quadrata ex V G minori, & ex V H, seu ut quadratum A C ad quadratum
diametri figurae S T is. ex 7. 9 maiorem proportionem habebit, quam A H in H C minorem ad duo quadrata ex G C, & C H maiora , scit,eet ut quadratum A C ad quadratum diametri figurae 3 Ο 19. ex 7. I ;igitur quadratum diametri figurae 3 o maior est quam quadratum diametri figurae S T. Si vero G M non fuerit minor quam V H; utique duo quadrata ex G M , & M H non erunt maiora duobus quadratis ex V G , &ex V H r at A H in M H ad duo quadrata ex G M , de ex M H , nempe quadratum A C ad quadratum diametri figurae Ρ habebit maiorem . proportionem , quam A H ad H V ad duo quadrata ex V Η . & ex VG, scilicet ut quadratum A C ad quadratum diametri figurae S Τ i igitur diameter figurae S T maior est diametro figurae P Eadem prorsus ostendentur. quando punctum V cadit ultra punctum D ad partes A im ter puncta D , & M. Et hoc erat propositum.
388쪽
SIt iam duplum quadrati A si maius quadrato C A F, erit duplum
quadrati A H maius quadrato G H r ponatur duplum quadrati H Maequale quadrato G H : & ducatur ad axini perpendicularis M N ; iumpaturque A N , eiusque diameter P nemendatur, erit II M ad 11 G:vi P id P R . ex '. 3 3 ergo , & quagratum H M ad quadratum HG erit, uti quadratum P Q ad quadratum P R , & quadratum H M id uo quadra a ex H M , & ex M G eandem proportione habebit, quanta quadratum P QId quadratum diametri sum figurae: edneatur postea di meter I Lin er A , & R , & erectum illius sit I Κ ad quim ordinatinia duci ait A B. de ad axim perpendicularis sit BE erit quadratum M H . nec nou G H in H D aequale dimidio quadrati H G ; igitur G H ad MXx a Herit
389쪽
H erit ut M H ad FI D r & comparando homologorum differentias erit M Gad MD. ut GH adHM: & propterea duplum G H in M D, seu quadruplum H D in D M est aequale duplo G M in M H : & propterea duplum G M in M H maius erit quam duplum G E m M H; ponatur communiter duplum E M in H M cum quadruplo quadrati Μ D , & fiat
D d aequalis D M , fiet duplum E d in M H maius quadrato H Μ eum quadrato M G i igitur ae E in E M bis sumptum ad duplum E d in M H .
nempe E M ad M H minorem proportionem habebit, quam duplum dE in E M ad duo quadrata ex M G , de ex M H : de componendo E HM M H, seu E H in H A ad M H in H A minorem proportionem habebit . quam duplum d E in E M una cum quadratis ex M H , de ex M G . quae aequalia sunt duobus quadratis H E. de G E ad duo quadrata ex M G , de ex H M. Et sie pariter ostendetur, quod quadratum H A ad H E in H A minorem proportionem habebit, quam duo quadrata ex H A, de ex A G ad duo quadrata ex H E , de ex E G. Atque demonstrabitur quemadmodum antea dictum est , quod quadratum diame
390쪽
tri figurae P Q minus est quadrato diametri figurae I L , de quadratum. diametri figurae I L minus est quadrato diametri figurae A C. Ponatur postea diametri S T,&νο ultra diametrum P Q. sitque A X ordinatim applicata ad diametrum S T, & V X ad axim perpendicularis sit, ostem detur quemadmodum in praecedentibus dictum est ) quod diameter ὐgurae P Q minor sit diametro figurae ST, & diameter figurae S Τ minor sit diametro figurae 3 O, ubicunque secet ad axim perpendicularis X Vipsam A C. Et hoc erat ostendendum.
In Sectionem IX. Propositi XXXXI.
XXXXVII. & XXXXVIII. LEMMA. XIII.
SI recta linea G H secetur bifariam in D, ἡ non bifariam in O , E , atque far G a qualis H E; s quidem proportio dupli O H
ad H G ead em fuerit proportioni G H ad B E , erit duplum rectam guli ex disserentia ipsarum E H, G O in H O aequale quadratis ex GO, er ex O H: si mero proportio ilia maior fuerit erit rectangulum maia ius quadratis; in si eadem proportio fuerit minor , id sum rectangulum
quadratis minus erit. Et primo quia duplum OH ad H G est ut G Η - Η Ε, ergo duplum recta uti Ο Η
Ε aquale eris quadrato ex GH; auferatur comuniter δε-
plum rectanguli H O G, quia H O est communis rectangui rum altitudo , remanet dupla recta uti ex disserentia i mrum E H , G O, seu ex dissorentia ipsarum G a , or G oin H O , heu remanet duplum rectanguli a. O Η 'aiae quadrato HG mixtis duplo rectanguli 'G O H r huic verὸ disserentia qualia sunt duo quadrata ex Go, se ex HO , ergo duplum rectanguli a O H aequale esse a quadratorum ex G O , or ex o H. Secunda , quia duplum O H ad Η G maiorem propretionem habet, qu vis G H ad N E , erga duplum rectanguli OH E maius eris quadrato G Η , se ablato communiter duplo rectanguli G Ο H erit duplum rectanguli ex Hsseremtia i arum EH, o GO in Ho maius , quam summa quadratorum ex G λ