장음표시 사용
391쪽
rretis si duplam O H ad H G misorem propontonem habuerit, quMae G Had H E, eodem progressu ostendetur , quod duplum rectanguli ex iusserentia ipsarum E Η, ct G m H O minus est quadratis ex G O, ct ex es O, quod erat vossum.
IIDem positis sit G E minimum segmentorum , dico quod duo P drata ex ElΗ ,s ex G E, scilicet ex maximo, ise mmmo se mentorum aequalia sunt duobus quadratis ex O H , ct ex G O interme s segmentis rima cum duplo rectanguis sub disserentidis minimae GE . duabus intermedijs G O , ct fi O.
ct G E. Et quia duo quadra- Gra ex maximo , ct ex min, e o D Emo spementorum , scilicet ex Η - ---, G
duplo quadrati ex G D s ' -- - . Gmisse totius, tu duplo quadrati ex E D intermedia sectione; esque duplum quadrati ex E D semise ipsius E a quale dupla rectaneuli E Oa ex inaequalibus segmensis una cum duplo quadrati ex intermedia sectione o D , ergo duo quadrata ex G E , se ex E H aequalia sunt his omnibus spardis, se luet dupla qua ait ex G D , ct duplo quadrati ex D O cum duplo recta sub E O a, sed duo quadrata ex inaequalibus segmentis G O , ct ex O H aqua. Ita sunt duplo quadrati ex semisse totius G D cum duplo quadrati ex interm dia semone o D , igitur en us summa quadratorum ex G E , o ex E Η, supra summam quadratorum ex G G , ct O H aqualis es duplo rectanguli ex Eo a , quod erat sendendum.
IN Et si, cuius aris A C, erectus A F, diameter I L, erectus I x , O latus C E , militer altera diameter QP, cuius er flos P n latus C O : dico tuta duplum rectanguli ex disserentia ipsartim E H, G O , in B O a duobus quadratis ex G O , ct ex OB , atque
392쪽
H , atque aggregarum quadratorum larerum I L , o I x figura di metri I L ab a regato quadratorum laterum P P figurae al
terius diametri, ina deliciunt, aut ina aequalia sunt, mel ina exce
a iis O d disserentia ipsarum E H, o G O , o primo quia duplum rectanguli ex d O H aequale est quadratis ex G O , o ex H Ο , ergo du=lum rectan. guli d O E ad duplum rectanguli d O H, seu O E ad N O eandem proportio
nem habeι, quam duplum rectanguli d O E ad duo quadrata ex G O , o ex Ho , ct componenda , erit E H ad H O , seu rectangulum E H A ad rMIangu- Letii. 14. Ium O H A ut duo quadrata ex G E , o ex E H ad duo quadrata ex G O , o huius. ex H O , o permutando rectangulum E M.A ad quadrata ex G E . se ex E AH , so quadratum ex A C ad quadrata ex I L , se ex I K, via ad quadrata ex A C , se ex A F eandem proportionem habebit , quam rectangulum G H A Ibidem. ad quadrata ex G O , o ex H O , vel quadratum A C ad duo quadrata ex PIZo se ex P R , quapropter duo quadrata ex I L , se ex I F, seu ex A C, ct A F aequalia erunt duobus quadratis ex P ct ex P R. Secundu sit duplum rectanguli d O H minus quadratis ex G o, o ex H O. duplum rectanguli d O E ad duplum rectanguli d O H, seu O E ad Η O habebit maiorem proportionem , quam duplum rectanguli d O E ad Ao quadrata ex G O , ct ex H O, ct rumus componendo ex lem. r. lib. s. ct ex lem. is se
permutando , atque ex I7. proposit. huius habebit idem quadratam A C ad Hoquadrata ex I L , is ex I K maiorem proportionem, quam ad duo quadrata ex
P ad , ct ex P R : quapropter duo quadrata ex I L , ct ex I X minora erunt Mons quadratis ex P cst ex P R . Tertio sit rectangulum d O H maius duobus quadratis ex G o , ct ex II O. duplum recta uti ex d O E ad duplum rectanguli d O H, seu O E ad H o ha
393쪽
bebit minorem proportionem , quam duplum 'rectangula d O E ad duo quadraetam GO , o ex OH, ct componendo ex lem. x q. permutariis , ct ex r7. ι-ius , tandem erunt duo quadrata ex I L , ct ex IK maiora duobus quadratis ex P se ex P R.
Si is elidi si termini E , O laterum
C E, C O, diametrorum I L, ct Phradant hinc inde a centro D , sitque D O maior quam DE, dico quod qua
aquia O H minor es, quam E Η,sed duo quadrata ex G O maximo , ct O H minimo segmentorum eiusdem recta tinea G H mai ra sum duobus quadratis ex G E , ct ex EΗ intermediis Iegmentis a ergo O H ad E H, minor ad maiorem ses recta uiam O H A ad rectangulum E HA minorem proportionem habet , quam maior seu a quadratorum ex G O , ct ex O H ad minorem summam qu Hauram ex GE, or ex EH, or pedimulando rectangulum O H A ad duo qumae ara ex G O , o ex O H , seu quadratum AC ad duo quadrata ex P or ex P R
394쪽
minorem proportionem habesit , quam rectangulum E H AE ad duo quadrata ex G E , ct ex E H, sim quam quadrarum A C ad duo quadrata ex I L , ct ex I A r igitur duo quadrasa ex P ct exl P R maiora sunt duobus quadratis ex I L , UT G I x , quod erat Ufendendum.
IN HIIpsi, catus axis maior AC, quia rectangulum a N E ad quadratam H G es, ut quadratum A C is quadratum ex L I Κ, via ad quadrarum IVOp ex C A F, atq; quadratum ex G H ad recta ulum A HN eandem proponi 'hμ ' 'nem habet, quam quadratum ex a P R ad quadratum A C, igitur ex aquaia perturbata rectangulum AHE maius ad minas rectangulum AHM eandem proportionem habet, quam quadratum ex α R ad quadratum ex L I K, vel ad quadratum ex C A F r estque recrangulum AHE maius rectangulo A HM , ergo quadratu ex summa α R maius es quadrato ex summa L I K , o propterea linearsi suma P R maior erit, quam iam L IK, vel quam sum-
395쪽
habji, quam quadramm ς Ἀμ r ' t ' bis iam ad eam ordinat intercepta comparata diametr/ r o, cum I Iapplicatam A C , atque ab eodem flumcto C perpendicularis ad axim dum icadat super idem punctum C J . igitur ex aquati perturbata rectangulam A HM maius ad minus rectangulam ex AH C eandem proportionem habet, quam quadratum ex summa T O f ad quadrarum ex summa R , ct propterea humma laterum ros maior erat,
ia dispiam quadrati A C non es maius quadrato ex C A F, ergo Emplum quadrati ex A H aequale, aut minus erit quadrato ex summa G-- H, esque duplum rectanguli ex E Η Α , vel ex E H M minus duplo quadrati A H , igitur minus quoque erit quadrato ex G H , igitur δε- Lm M H ad G H minorem proportionem habet, quam G H ad E H, ergo, duplum rectanguli ex disserentia i arum E H G M in M H minus es daebas Len . iue. quadratis ex G M, se ex H M : quare duo quadrata ex IL, ct ex I K minora iv eram dassus quadratis ex a P , o ex P R , ct sic duo quadrata ex α , ct ex P.R minera sunt duobus quadratis ex T S , ct ex S Z.
396쪽
Conicor. Lib. VII. ' 373Notae in Proposit. XXXXVIII.
ia ex hyathesi si um quadrati A C maius est quadrato ex C A F .
ergo dulum quadrati ex A H maius erit quadrato ex H G. Fiat igitur. quadratum ex M H aquale semiquadrato G H, or lateris C M H dua diame ri a P , ct q p , quarum erecta sim P R , o p r Dico dupla, qua rati a P aequale se quadrato ex summa laterum a P R : laia P ad P R es o H M ad M G, ct antecedentes ad terminorum summas , se eorum quadrara proportionalia erunt scilicet quadratum a P ad quadratum eae a PR eandem proportionem habebis, quam quadratum ex M H ad quadratum exH G : erat autem quadratum M H subduplum quadrati ex H G , igitur quo drasum ex P 'Muptam est quadrara ex V P R. Eadem ratione quadratum ex cl psubduplum erit quadrati Gqpr, o diametri α , is q p agum les erunt, eum aeque recedant ab axi , ct habeam commune latus C M. Postea quia puncto E cadit inter M , ct A , erit duplam rectanguli M HE maias duo quadrati ex M H , seu maius quadrato G H , or propterea δε- am M H ad H G maiorem proportionem habebit, quam G H ad H E , ergo
397쪽
L i3 duplum rectanguli ex disserentia usarum ΕΗ, o G M in M H maius erit Iem i. ae obus quadratis ex G M , ct ex M H , ct propterea duo quadrata ex I L, ct inius. ex IK simul sumpta maiora erunt duobus quadratis ex a P , ct ex P R. similiter duplam recta uti E H A maius erit quadrato ex G Η , ct pr pterea duplum E H ad HG maiorem proportionem habebit , quam G H ad HLem. ε 3. A , ct ideo duplum rectangul2 ex disserentia ipsarum ΑΗ, ct G Ε - Α Η huius, malvi erit riuus quadratis ex G Ebo ex E H: igitur duo quadrata ex CAEL '' Ii ct A F maiora erunt duobus quadratis ex I L , es ex I A . ' μ' aismos quia V H minor es, quam M H eris duplam recta usi V H M m nus duplo quadrati M H , heu minus quadrato G H, igitur duplum V H adi H G minorem proportionem habet, quam G H ad H M , ct propterea duptiis rectanguli ex is rentia i arum MN, o GV in V H minus eris duobus Lem. ix quadratis ex G V , ct ex V H , se propterea duo quadrata ex P , ex P
398쪽
dratis ex T S., ct S Z r igitur summa duorum quadratorum ex , or ex P R minor es humina quadratorum duorum laterum Aurae cui ibet alterias diametri eiusdem es s.
In ellipti reperire diametrum, cuius duo quadrata laterum figurae eius et i aequalia sint quadratis laterum figurae axis maioris 2 oportet autem mi quadratum axis maioris A C maius sitsemifuadrato ex summa laterum
uia ex Hpothesi quadratum axis maioris A C maius essem quadrato msumma C A F , ergo , τι in nota prop. 48. dictum es , duplum quadrati ex AH maias es quadrato ex H G ; fiat duplum rectanguli e H A aequale quadrato ex G H , or iateris C e fiat diameIer a b cuius erectus a c. Dico hanc ese diametrum quaesitam. aduoniam duplam rectanguli e H A aequale es quadrato ex G H , ergo 'iam e H ad H G es τt G H ad H A, erili aevium recta πώ ex disserentia Lem 1ν, arum A H , o G c in e H aequale quadratis ex G e , o ex e H, essem Lem i,. ma quadratorum ex b a , o ex a c aquatis erit quadratorum summa ex A C, or ex A F , quod erat omni dum . pROPIn eadem ethni diametrum reperire , cuius duo quadrata laterum s Α lditi figurae eius aequalia sint quadratis laterum figurae datae diametri IL : oportet autem it I L tant inter axim , diametrum P sto cuius
quadratum subduplum sit quadrati ex summa laterum et P
Sis C E latus Hametri I L , o Lat duplum V H ad H G , τι G H ad ΗΕ , ct ponatur S T diameter lateris C V , cuius erectus sit S Z : erit igitur 13 aevum rectanguli ex disserentia ipsarum E H , o G V in V H aequale quadratis ex G U , se ex V H , ideoque summa quadratorum ex L I , or huius. ex I K aequalis erit quadratorum summa ex T S , ct S Z , quod propositum fuerat . Colligitur similiter ex 7. proposit. additarum , quod in una est si tres diametri reperira possunt, quarum summae quadratorum titerum aequales sint inter se e or ex 8. proposit. additarum deducitur , quod quatuor Zamrarorum eiusdem ellusis laterum summa quadratorum aquales possunt esse inter se , sed oportet ut quadratum axis maioris datae elimo maius At, quam dimidiam qua-ὰrati ex umma laterum Dura axis C A F. a Duo latera figurae axis transuersi minora sunt duobus lateribus figurae caricrarum diametrorum , & duo latera figurae diametri axi proximioris minora sunt duobus lateribus figurae remotioris, &c. Addidi ea ,.qua de
b Iisdem figuris manentibus cum suis signis ostendatur quod duplum . quadrati A C , si non excesserit F, quod diameter est illius figurae minor, quam diameter figurae I L, & diameter figurae I L, quam diameter figurae
P Q , &c. Legendum puto τι in textu Vparet.
C Et sic ostendetur quod si punctum V inciderit super D A , di ostendetur D , & M , &c. Legendum puto , ut is textu videre es. SECTIO
399쪽
Continens Propossit. XXXXIX. XXXXX.
XXXXXI. T N hyperbola , & ellipsi, si axis transuersus minor ax fuerit suo erecto, differentia quadratorum duorum laterum figurae axis eius maior est , quam differentia quadratorum laterum figurae cuiuslibet alterius diametri ei homologae. Et differentia quadratorum laterum figure homologae proximioris axi semper maior est in hyperbola, quam differentia quadratorum laterum figurae remotioris: at in ellypsi quousque diameter tra suersa aequalis non fiat suo erecto. XXXXX. Et in hyperbola differentia quadrati axis inclinati ab eius figura minor erit semidifferentia quadratorum duoru laterum figurae sui homologi. XXXXIX. Si vero in hyperbole axis inclinatus maior fuerit suo erecto , utique differentia quadratorum duorum laterum s-Eurae axis minor erit disserentia quadratorum laterum figurae al
400쪽
terius homologae diametri, atque disserentia quadrati axis ab eius sgura maior erit semidisserentia quadratorum duorum lat tum figurae suae homologae, & minor erit integra differentia emrundem quadratorum. In sectione A B N sit axis A C maior in figura prima , & in secunda, minor , sintque I L , P Q duae aliae diametri, quae in ellipsi cadant inter D axim , & una aequalium a ducanturque duae ordinationes A B , A N ad diametros I L , P Q duas ad axim perpendiculares B E , N M ; sitque A F erectus ipsius A C, & A G, C H duae interceptae: ponaturque C in ellipsi X D aequalis E D , habebit E H ad H A minorem proportionem in prima hyperbola , & maiorem in reliquis , quam E D ad D A . seu quam E X , quae est summa in hyperbola, & differentia in ellipsi
ipsarum E G, & E H ad A C differentiam ipsarum H A , A G i & quadratum A C in omnibus figuris ad differentiam quadratorum A C , &A F eandem proportionem habet, quam quadratum A H ad disserentiam duorum quadratorum AH,&GAr atque E H ad H A minorem proportionem habet in duabus primis figuris , & maiorem proportionem in duabus secundis , quam E G ad G A, comparando homologorum summas , erit E H ad H A . ut E H cum E G ad H A cum G A, nempe aggregatum E H, E G in earundem differentiam ad aggregatum H A , AG in earundem differentiam , quod est aequale differentiae duorum quadratorum E H , E G ; nempe quadratum A C ad differentiam quadratorum duorum laterum figurae I L minorem proportionem habet in prima
ellipsi 2 , & maiorem in secunda γ quam quadratum A H ad aggregatum H A , A G in earundem differentiam, quod est aequale differentiae quadratorum H A, A G , nempe quadratum A C ad differentiam qua