장음표시 사용
41쪽
IX. In quolibet rectangulo applicato ad segmentum axis, si illud segmentum ad latitudinem illius rectanguli eandem proportionem habuerit, quam axis ad latitudinem figure comparatae vocabo
Si expuncto seper axim educatur perpendicularis ad utrasqu partes sectionis, S ex puncto aliquo illius perpendicularis educantur lineae terminatae adsectionem ex Vtraque parte, Vocabo pumctum illud in perpendiculari sumptum, CONCURSUM.
XΙ. Et lineas etiam, RAMOS. XII. Et qui secant mensuram, & terminantur ad sectionem ex altera parte concursus, RAMOS SECANTES. XIII. At qui non secat illam, transit per concursum, & terminatur
ad axim, & sectionem smul, RAMUM TERMINATI M. XIV. Sed cuiuscumque rami secantis, cuius portio inter sectionem, &axim intercepta in linea breuis lima, vocabo illum, BREVISECANTEM.
XV. Et vocabo segmentum axis inter perpendicularem, & verticem sectionis proximiorem interceptum, MENSURAM, quoque. XIV. Et portionem sectionis conicae disiectam ab ordinatione axis transeuntis per originem, siue per concursum prope Verticem pro-Aimiorem sectionis, vocabo, SEGMENTUM illius puncti.
42쪽
AE definitiones non sunt Apolloni, , sed Interpretii Arabici, qui in proe--. mio huius operis aperte ait, addidise plurimi demium in librii An Iou, quibus theoremata breuissim proponi posse profitetur , ut in prioribus quaIuor
Libras videre es. Eas autem exemplis ills Hare conabor. I. Sit quaelibet coni semo ABC, cuius axis B D, o in eo humatur quodlibet pun- cum D intra sectionem , a quo educantur recta linea DA, DE, DF, DC et que ad femonem. Timc vocaturpuncIum D, Origo. II. Ei linea D A, D E, O catera vot cantur, Rami. III. Portio vero axis B D inter origi--m D , O terticem B interposita vocatur
ruensura. Sed in Hipsi A B C G , si axis
portiones DB , o D G inaequales fuerint, Xamummodo minor portio B D vocatur M ora, non autem maior DG.
IV. Sis postea recta BI semissis lateris Fem B H iam si mensura D B aequalis fuseris semierecto B I, vocatur D B, Mensura
V. At si a terminis ramorum A , E , FC educantur ad axim perpendiculares A K, E L, FM,C N, ipsum secantes in V, L, II, 3e vocantur istae recta linea Potentes illo
I. Recta vero Y B mocatur Abscisso rami D A, o LB Abscissa rami DE , ct
sic rellua omnes. VII. Sit posita ocentrum scylonis, iam 'axis portio ex centro O et que ad potentialem A Y educia , scilicet Ο Κ vocatur In Mersi rami P A, pariterque Oas es Inue s rami D F. VIII. Si ponatur recta linea B P adaxim perpendicularis , quae in seperbolosio aequatis aggregata , in empsi vero fataqualis differentia laterum recIi B H, ct ransuersiG B, tunc rectangulum contentum sub G B, ct BP vocatur, Figura comparata.
43쪽
mentum Taxis D P ad D R , ct compleatur parat elogramum rectagulum B R , tunc spatium BR vocatur Exemplar. Pari rationesi, mi GA ad D P ira Lat segmentum axis D K ad Irritudinem x S, compleaturque parallelogrammam recrangulam DS, vocabitur pariter DS Exemplar.
X. Et si C D perpendicularis fuerit ad
axim B D, ct producatur et stra axim in T, atque a puncto E extendantur usque adfectionem rectae lineae E B, E F, EG, v cabitur L punctum Concursus. XI. Et tinea rectae E B, E F, EG πο- eantur etiam Rami. VII. Atque linea rem E F stans aximis H vocatur Ramus secans. XIII. Et recta linea EB conueniens eum ais in vertice sectionis vocatur mus terminatus. XIV. Si vero rami secantis E F poditio eius H F inter sectionem, O axim imtercepta fuerit breuissima omnium linearum , quae ex puncto H ad sectionem duci pusunt, tunc ramus E F et Mabitur Areu hecam. In textu Arabico secans ramus v cantur . mendosὴ, τι arbitror , non enim haec definitio distingueretur a duodecima d sinitione. X V. Similiter sigm ntam axis D X LIam a perpendiculari ad axim ex origine E duota, vocatur quoque Mensura.
XVI. Tandem si 'r punctum originis
D , vel concursus E ducatur ordinata AC, runc gura contenta ab ordinata A C , ct sectione conica ABC, et catur Segmentum illius puncti
44쪽
Conicor. Lib. V. 3, SECTIO PRIMA
Continens propositiones I. II. dc III. Apolloni j.
Si ex centro D sectionis A B habentis centrum egrediatur linea recta D F H bifariam diuidens A E erectum illius axis, quod sit perpendiculare super axim C A G, secans axis ordinationem B G I; utique dimidium illius ordinationis, videlicet BG, poterit duplum plani, quod producit illa linea cum axi inter erectum,& illam ordinationem, nempe duplum AGH F. a Via B G potest eomparatum applicatum ad abscissam A G , & pis
O num GF dimidium est illius comparati; ergo B G poterit duplum plani GF; di hoc crat ostendcndum.
PAriter quoque ostendetur, si potens transerit per centrum ellipsis, quod B G poterit duplum trianguli A F G.
45쪽
6 Apollonii Pergari PROPOS. III.
SI vero in ellipsi cadat B G infra centrum , poterit duplum differentie duo rum triangulorum D A F, & D G H, nempe duplum plani G L. Et hoc erat pro- apositum.
Notae in Propositionem primam,
. π Tocat in primo libro interpres sectiones habentes emirum h perbolem, OV ellipsim, o vorat erectum latus remm siectionis , vocat etiam ordina tionem axis eam, quam nos ordinatim ad axim appluatam appellamus .
Quia BG potest comparatum applicatum ast abscissam A G, &c. Vocas a. insuper parassigrammo comparatum applicatum ad axis abscissam A G r ,- DK ct ri rum V m AGI, quod quidem adiacet lateri recto A E latitudinem h rituri bens asscissam A G exced ns in sperbola , ct deficiens in tabes rectangulo F mile ei, quod latere recto, o transiuerso continuami scilicet rectangulo C AE. Et planum G F dimidium est illius comparati, &e. Non erit inutile paula fusius se ere id quod ob nimiam facilitatem sol onus tantummodo in-wuit. Ducasur recta sinea FK parasseti axi DA secans ordinatam LG productam in Ur quia figurae latera C A, ct A E sunt ipsarum D A, A F duplicia ergo CE, O DF H paratulae sunt, sque Κ Η parallela AE , cum ambo positae sint perpendiculares ad axim , o C A , F V sunt quoque quid antes , ergo triangulo F K H simile es triangulo C A E, ct propterea parasielogramma i. u.es ' V A F T II, ct C A E iba erunt. Et quoniam nuadratum οὐ natae B G aequale est recta alo centento sub latere recto E A ,σ abscissa A G em
46쪽
dente in seperbola, ct deficiente in elbasi rectanguis FVH simile et , quod Δ-uribus recto, cr transuerso continetur, scilicet CAE, ct est AF semissis lateris recti, igitur quadratum BG aequale es summae in 'bose, Gr disseremitae in elli recranguis G A F bis sumpti , ct recI arguo F Κ H, quod es aequa Ie duplo trianguli FU Hr sed quadrilaterum AG H F aequale es aggregato in sperbola, ct disserentiae in esius re tanguli G A F, ct trianguli F Κ H, ergo quadratum B G aequale es duplo quadrilateri AGH F, seu di renua trιον-orum D A F, Gr DG H.
ST cunaea propositio facile ex prima deducitur inam, quando oraenata RG H I transet per cen-irum D est, Us; tunc tria puncta G, D, H conueniunt, or triangulum D G H evanesit, O ιδεο ae erentia iria vis D A F, ct trianguli D G Hnustam spatium habentis, erit triangulum Vsum D AF.
tertiam. Iv tertia propositione similiter, quando ordinata
B H GI cadit infra centrum D eusto, tuncaeueZa C L paral la ipsi A E, erunt aeuo trianeuia
D AF, ct D C L aequalia inter se, cum inti in Ba , cir latera homologa D A, D C sint aequalia, quia Uni semiaxes; propterea disserentia triangulorum DG H, 9 D A F,seu DCL erat trapezitim C G H L, quod subduplam es quadrati orinata
Continens propositiones IV. V. VI. Apollonij.
Comparata est minima ramorum egredientium ex sua origine
q) in parabola & hyperbola ) pariterque in ellipsi si
comparata suerit portio maioris duorum axium , & tunc ma Ximus cst residuum transuersi itis.) Reliquorum vero propinquior
47쪽
minimo remotiore minor est. QEadratum autem mensurae minus est quadrato cuiuslibet rami allignati in parabola qui
dem quadrato suae abscissae & in hyperbola 6 & ellipsi
exemplari applicato ad abscissam illius rami.
Sla sectio A B C, & axis eius C E, & inclinatus, siue transuersa D Ccentrum G, atque erectum CF, & ex CE secetur C I aequalis CH quae sit semissis erecti & ex puncto originis I educantur rami I B perpendicularis, & IK, I L, I A, & per H, I in hyperbola, ct ellipsi duca ur H I P, di per H, G recta HGT , ad quam ex
A, B, Κ, L extendantur APET, BIS, KN R. LMO serpendicularcs supcrC E. Dico, quod CI, comparata minor est, quam IL, &IL, quam IK, & IΚ, quam IB, & maximus ramorum in ellipsi est ID, di quod quadratum mensurae I C minus est quadrato IL, in parabola quidem quadrato G M, &ii
hyperbola, & ellipsi exemplari applicato ad C M. Quoniam in parabola L M potest duplum M C in CH, nempe CI ia. ex primo &quadratum IL quale est aggregato duorum quadratorum LM, & MI, quadratum itaque LI aequale est quadrato MI,&M C in C I bis, quae sunt aequalia duobus quadratis CI, MC. Quadratum litur C I minus est quadrato L I qu drato ipsius M C, quae est eius abscissa, & pariter ostendetur, quod quadratum C l minus cst quadrato I K quadrato N C, & minus quadrato IB quadrato CI, & minus quadrato AI quadrato EC.
48쪽
. tum IL duplum est trianguli ICH una cum dupIo trianguli Q Ho nempe cum plano rectanguli Q Z; sed quadratum I C est duplum trianguli IH C eo quod CH aequalis est C I) ergo quadratum C I minus est quadrato LI plano rectanguli Q Z. Deinde ponamus in ellipsi Y F aequalem differentiae, & in hyperbola aequalem aggregato DC, CF; ergo propter similitudinem duoruin tria gulorum G M Q, H V in & H V O , M I O, erit H V aequalis V O, & HV, vel ei aequalis OV ad V inest, ut bt G ad M Q, nempe ut G C adHC, seu ut DC ad CF, igitur V O ad V inest ut D Cad CF, & comparando sum
cedentes in ellipsi fiet O in ad V O quae aequalis est OZ , nempe M C vt Y F ad YC, & est Y C, aequalis DC , & Y F aequalis summaei in hyperbola , & differentiae' in ellipsi ipsarum D C, & CF; quadratum igitur I C mu Des 8 αnus est quadrato I L rectangulo Q Z, quod est exemplar simileis plano rectanguli C D in Y F , quae est figura eomparata. Atque sic demonstrabitur, qRod quadratum IC minus sit quadrato I Κ exemplari ae-plicato ad N C , & minus est quadrato B I exemplari applicato ad I C, α minus quadrato AI exemplari applicato ad EC: Estque MC minor, quam NC, & NC, quam CI, & CI, quam C E; igitur L I maior est, quam IC, & IIc maior, quam LI, & IB maior, quam IK, &IA, quam IB. Et hoc erat ostendendum.
Notae in propositionem quartam.
. Voniam in parabola L M potest
duplum M C , &c. madratum enim L M aequati est rectangu
49쪽
Notae in propositionem quintam.
Fit I M aequalis MO, &c. Pr pter parallelas II O, C H, ct His-ι-nem triangulorum IMO, O ICH. Ergo quadratum II duplum est triR- .... D lsuli IC H, &c. Eo quod quadratum I.Laequale es duobus quadratis IM, M L ιη rectangulo triangulo LM L. ; Vuadratis a re IM, o LM aquatia Funt triangulum 1 Mo bis sumptum cum trapezi C MII bis sumpto; cr quia
trapezium C Maequale es. trapezio CM OH , cum trI-
ptis aqualia sunt triangulum I C H, eum resanguis HOae. Ergo quadrarum L I cPale eris duo tria uti ICH cum dupotinianguli HOV. Deinde ponamus in ellipsi YP aequalem D C, & in hyperbola, &c. Textus videtur corruptus, quem corruendum puto. Ponamus T F in ellis aqualem disserentiae, se in B pem Dola aequatim aggregato DC, ct CF. Propter similitudinem triangulorum. &e. Sum enim duare M linea CG, ct VH aequid antea quae secant rectas tineas conuenientes in o O. Erit H V aequalis UO, &e. Eo 14M MI Umsa es aequalis M O, sq- Η V ad V O in. eadem proportione aequalitatis promer iam H Iam Mniluuaemem
Igitur V O ad V Qest, ut D C ad C F, & conuersa proportione deinde componendo in hyperbola , & in uertendo in ellipsi fiet in hyperbola
O ad O V, &c. Textum corruptum , atque confusum clarius exponi possc censio per Lemma inferius appossum hac ratione. Et comparando summa ν hyperbola, ct disserentias terminorum is eiathse ad antecedentes.
Vt ΥF ad YC, di in ellius, vi F C ad C F, & Υ F in ellipsi aequalis
50쪽
DC, quaaratum igitur, &c. Textum corruptum e corrigendum puto; se es TC aequalis DC, atque TF aequalis summa in perbola, o disserentia in eia asi tu rerum DC, ct CF . - .
Exemplar simile plano rectanguli CD in YF in hyperbola, de Υ in
ellipsi, dcc. Haec postrema verba expungenda duxi, tanquamsuperuacanea. Potes etiam ad imitationem Euclidis reperiri mutirtudo ramorum Inter se anualium, qui ex origine duci post I rn earim conisectione. Itaque quotus mensura fuerit comparata , scilicet aequatis semissi titeris recti , tunc duo tantinis ramι inter se aequales a puncto originis ad utrasque partes axis dura possunt in qualibet confectione, eruntque 1lti, qui ad terminos L l cuiuslibet o dinatim anticata L l ducuntur ab origine I, nam e ciuntur duo triangula IM L, o IM I, qua circa angulos aequales ad M, n te recros, habent latera aequalia, scilicet LIM medietates ordinatim applicata, stomentum axis I M inter ordinatam, se oririnem est latus commune I, ergo bases,seu rami IL, O M sunt aequales. Rebquiveris . rami supra, vel infra terminum eiusdem orinatIm applicata minores, aut m iores sunt ramo ad eius terminum ducto I quare duo tantum rami ad utra uepartes axis inter se aequales duci possunt. Rursus quadratum rami I A remotioris a comparata superat quadratum ra- PROP.
mi I L propinquioris c in parabola quirim 2 rectangulo sub di rentia, se stib II. Add.
arere ato ab sic arum eorundem ramorum ; m reliquis vero sectionibus rectam
dis Ib dissuentia absissarum , ct sub recta linea , ad quam summa abscisarum eandem proportionem habet . quam latus transuersum ad summam in brperbola, is ad disserentiam in elli F laterum transuers, ct rectι.ει primo in pariasola, quia quadratum I A aequale es quadrato IC cum qua--huiri.
Erato abscis CE; pariterque qua ratum IL AEquale est quadrato eiusdem I Ccum quadrato abscis C M , ergo excessus quadrati I A supra quadratum Ia alis est disserentiae quadratorum E C , ct C M ; sed excessus quadrati E COD. quadratum M C aequalis es rectangulo , cuius basis aequalis es summa tri erum E C, o C M ; altitudo vero quam es E M disserentia laterum eor-dem quadratorum c τt d Eucitur ex elemensisy igitur excessus quadrati I A supra quadratum I L aequalis es rectangulo , cuius basis es summa abscissarum EC, CM, altitudo vero E M differentia earundem abscissa
Secundo in hperbola, ct ellipsi fiat exemplar NT arplicatum ab ab sic am C E. Et quia quadratum I A quale es quadrato eiusdem