장음표시 사용
51쪽
r C euis exemplari 2IT, se quadratum I L aequale es quadrua eiusdem IC eis exemplari α . Ergo excesδει quadrati I A supra quadratum I L aequatis es disserentia exemplarium N T, o aestae . Postea ducatur recta ae Ne quia triam gula a I S, ONI aequalia Ium triangulo , cuius basis aerualis es umma rectarum N S , ct OV astitudo vero VR, vel C ta TX A FM E, seuotque illa duo
le es disserentia tria-gulorum N Η S, O HEt similiter eorum dupla, siriticet rectan utim, euitis sis aequalis essem m.e N S, astitudo veri aequalis ME, erit Horentia exemplarium recta Doram N T, CT ; sed fumma altitudinum V H, H R, sera summa σbscis Iarum C M, C E ad summam basium N S . O ci tandem Hoportuncm hinbet, quam πυ HU ad unam his quam latas iransuersum DC ad Homam in se rebus, ct ad dissereotiam Meltias laterum transitos DC, CTrci C F: Igitur disserentia exemptarium N T, de , seu exce .s quadrati I A Jpra quadratum IL arualis 63 rectantulo contento sal EM di fierentia abscissam', Os-- smma V arvis N S, ct O Q. ad quam summa Amsiarum eanrim prρ portionem baber, latus transeuer , aA fammam In hverbola, CT AEd is ferentiam in Husi laterum transaers, cr recti, quod sexat prope in .
X et aria dispositi me terminorum proportionalitatis scilicet δε'-rum antecedentium , 6ν dum unt et eouentium consiugμαρ, cs modi argumentandi , quorum aliqui in elementiS e positi mn sunt , aliqui et eia signi unus imis et ociliis , θνι re nu indicantur in textu Arasico, igitur, ne sepius repetatur Πρθη ex sitio modorum regumentandi in proportionatibus, hynon propsi tisit libus, qui cumulate inseruntur in demonstrationibus lagony op ς p 't:μm erit eos semel hic exponere.
52쪽
Si quatuor ouantitates eandem proportionem habuerint, antecedentes, mel consequentes au terminorum summas, et disserentias in eadem ratione erunt; QT e contra. Habeat AB ad BC eandem proportionem, quam D E ad EΗ: sequiturpriamo, quod AC ad C B sit, ut D H ad H E; ct Hi modi argumentatio
vocatur in elementis compositio terminorum proportionis: itaque summa amec dentium , ct consequentium ad easdem consequentes sunt etiam 'Fortionales es vero ex earim sepothesi concluda/ur, quod AC ad A B, sit ut D H ad DE, τι nimirum summa terminorum proportionis ad antecedentes sint 'oportion tes: quod quidem manifestum est, nam posita fuit AB ad BC, ut D E ad EHicru Inuertendo C R ad B A, G H E ad E D, ct componendo C A ad A B erit mr H D ad D E : modo hui modi argumentandi forma innominata est potes autem breuitatis gratia appellari , Per comparationem sum temmorum ad
Secundo concludi potes, quod A B ad AC sit τι D E ad D H; quia, ut in prima Λ B Cpar e dictum est, AC ad AZ erat vi DH 'ad D E, ereo inuertendo A B ad A C eris D X um D E ad D H haec argumentand/forma '
vocari potes, Per comparatronem antecedentium ad terminorum summas.
Nio concludi potes: quod BC ad C A, sit it EII adH D; nam componendo AC ad CB , erat is D H adH E, quare risertendo R C ad C A eru vi EH ad H D, ct haec argumentatio fieri dicetur comparando consequentes ad teris minorum siummas. Deinde sint eadem quatuor proportiona-kr in secunda si ura , nimirum totum AB ad segmentum eius B C D ut totum D Ea portionem eius EH; iunc residuum AC ad C B erit, ut residuum D H ad H Ei haec argumentatio fieri dicitur in elementis, d uidendo terminos proportionis , estque comparario disseremiarum tιrminorum ad consequentes.
At si concludatur ex eadem hypothesi quod AB ad A C sit ut D E ad D Η,
hae argumentatio in elementis fieri dicitur per conuersionem rationis sque comparatio antecedeutium ad disserentias tremmarum.
Postea ex eadem 'pathes sequitur Dad AC ad A B sit ut D H ad D Er quia
per conuersionem rationis, seu referendo antecedenses ad disserentias terminorum est AB ad AC, M ME: ad DH; ergo invertendo A C ad A B erit ιι D H ad DE, Ur haec argumentaIio innominata et comparando disseremias terminorum ad antecedentes. Tandem
53쪽
Tandem ex eadem h pothesisequitur, quod CB ad C A sit mi EH ad HD nam diuidendo est ut AC ad C B, ita D H ad H Ea ergo invertendo BC ad C Aeris it E H ad H D: cr hac argumentatio Innominata eri dicetur comparam δε est sequentes ad derent in terminorum.
Si prima A B ad secundam Sc maiorem proportionem habuerit quam
tertia DE ad quartam E H: comparando antecedentes ad terminorum
summas habebit AB ad AC maiorem proportionem quam D E ad D R
FIM A B ad B F, τι D E ad E Η; erit B F maior quam B C, atque A F --ior quam AC; ergo AB ad A F eandem proportionem habebit nuam DE ad DH. sed eadem A B ad minorem A C maiorem proportionem habet q/ram ad A F maiorem , ergo AB ad A C maiorem proportionem habet quam D Ead DH. Secundo a iam positis , dico comparando terminorum summas ad antecederes AC ad AB habere minorem proportionem quam D H ad DE. αuoniam ex praecedenti casu A B ad AC maiorem proportionem habebat qaam DE ad DH; igitur inuertendo C A ad A B minorem proportionem habebit quam D H ad DE. Tertio, dico quod comparanae con sequentes ad terminorum summas BC ad C A minorem proportionem has
pothcM AB ad BC maiorem proportionem habet quam DF ad E H commemia AC ad C R maiorem proportionem habebit quam D H ad H E, CT invertem. M BC ad C A minorem proportionem habebit, quam E H ad H D. Auart. , Udem positis in quarta Hara , dico quod comparando di fierentias terminorum ad consequentes AC ad C B maiorem Vapor sonem habebit quam aD II ad H Et quia ex constractione a B ad B F es, ut D E ad E H, diuidendo A F ad F B erit G DII ad H Ei sed AC maior es quam A F, o C B mianor, quam F B; igitur AC ad C B maiorem proportionem habebit quam A F ad FB: propterea AC MCB maiorem oportionem habebit, quam DEI adH E. I Vinio, dico quod e contra, comparando consequentes ad iusserentias terminorum C B ad C A minorem proportionem habebit quam E H ad H D. I uι , ex praecedenti casu 2 AC ad C B maiorem proporrionem habebat Pam D H adH E ergo invertendo C B ad C A minorem proportionem habebit quam E Had H D. M to, dico quod comparando antecedentes ad disserentias terminorum B A ad
AC minorem proportionem habebit quam ED ad DH. tauia ex construct ρης AB ad A B C F
54쪽
AB ad BF es, o DE M E H ; ergo AB ad AF est, τι ED ad D Hi sed B Aad maiorem C A habet minorem proportionem quam ad FA; igitur B A ad AC mmorem proportionem habet quam ED ad D H. Septimo, dico de contra , quod comparando disserentias terminorum ad ante cedentes C A ad A B maiorem proportionem habebit quam H D ad D E. αο niam, ex praecedentι casu, B A ad AC minorem proportionem habebat quam ED ad D H εἰ igitur inuertendo C A ad AB maiorem proportionem habebit quam H D ad DE.
Si quatuor quantitates eandem rationem habuerint homologorum sumis viae, mel disserentiae in eadem ratione erunt. OV Uum enim fuit in e memtis , quo proportionalium omnes antecedentes ad omnes conseque res eandem proportio em habent, quam una antecedentium adunam consequent um. Similiter ostensum
fuit, quod si totum adlatum eandem
rationem habuerit, quam allatum .
ad ablatum, ct reliquum ad reliqua, ut totum ad totum se habebis i sed
no merbo homologorum summa, vel disserentiae in eadem ratione erunt iuxta Arabici expositoras compendium.
Si prima AB ad secundam D E maiorem proportionem habuerit, quam tertia BC ad qnartam E H: dico, quia comparando homologorum summas AB ad DE maiorem proportionem talebit, quam prima cum tertia, idest A C ad secundam cum quarta, idest D H. Frat B F ad E Η, ut A B ad D E: ergo ZR ad D E est, ut A F ad DH; sed
A F maior es quam A C, igitur A F ad eandem D H maiorem proportio- Mnem habet, quam AC: ct ideo A B ad D E maiorem proportionem habes, quam AC ad DH. Secundo i dem positis, dico, quod tertia BC ad quartam EH minorem proportionem habes Pam AC ad DH. Fiat τι BC ad Ees, ita Ill ad DE, ergo C B ad FH es, τι C I ad HAM AB maiores quam II, ct ideo CA maior quam C I; igitur IC ad eandem' μῆ
55쪽
t proportionem habet quam AC, O propterea BC ad E H minorem habe, i quam AC ad D H.
D H minorem proportionem BadiebIt quam
Tertia i dem possis in sexta i
gura , dico quod comparando homoD-gorum digerentias prima A B ad se cundam D E minorem proportionem haser quam disserentia AC ad diss rentiam D H. Fiat B F ad Er H , ut A R ad DE , ergo A F ad D H est it A B ad DE, sed A F minor es iquam AC, ergo A F ad eandis D H minorem proportionem habet quam A C r is propteres A B ad D E minorem proportionem habet qua AC ad D H. αVarto, dico, quod tertia C B ad quartam H E minorem proportionem hales quam disserentia AC ad disserenitam D H. α niam ex construcrione AB ad D E est τι F B ad H E, erii F B ad H Ε, it A F ad D H ; sed C B minores quam F B, atque AC maior quam A F, o A F ad eandem D H minorem proportionem habet quam AC; ieitur C B ad II E eo magis habebis minorem proportionem quam AC ad D H quae erant ostendenda.
Continens VIII. IX. X. Propos Apollonii.
SI mensura fuerit maior comparata, dummodo in ellipsi minor sit medietate axis transuersi, tunc minimus ramorum in sectionibus est, cuius potentialis abscindit a mensura versus originem in parabola 8 lineam aequalem comparatae, in hyperbo- la vero s & in ellipsi io.) lineam, cuius inuersae proportio ad illam est, ut proportio figurae; & reliqui rami, quo accedunt ad minimum sunt minores remotioribus; & quadratum minimae minus est quadrato cuiuslibet rami assignati in parabola quidem 8 quadrato excessus suarum abscissarum, & in hyperbola 9 S ellipsi io. cxemplari applicato ad excessum suarum inuem
sarti . SIt itaque sectio ABC,&mensura IC, inclinatus, siue transuersa EC, dimidium crecti CG, centrum F, origo I, dc IH in parabola sit ςqualis CG, & in hyperbola, & ellipsi FH ad HI sit, vi FC dimidium inclinati, seu transuersae ad CG, dimidium erecti, & educta ex H perpendiculari H N, dc coniuncta recta N I; Dico N I minimum esse ramorun esredien-
56쪽
egredientium ex I, & insuper, propinquiores illi minores esse remotiori bus ramis ex utraque parte, & quod quadratum IN minus est quadrato MI exempli gratia in parabola quadrato QH, in hyperbola, & ellipsi exemplari applicato ad Q H. Quoniam quadratum H N in parabola squale est HI, nempe C G in H C bis ii. ex primo erit quadratum IN squale IH in HC bis cum quadrato H I; at quadratum M inaequale est HI in QC bis ii. ex primo igitur quadratum MI ςqu te est IH in QC bis cum quadrato I hoc autem est squale duobus quadratis I H, H Q, & I H in H bis ; igitur quadratum ΙΜ aequale est I H in H Cbis cum quadrato I H, quς sunt aequalia quadrato N 1Vna cum quadrato id Q. Quadratum igitur M I excedit quadratum N I quadrato H Et constat quoque , quadratum I L excedere quadratum I N quadrato P H ; atque P H maior est , quam Q H, eroo IL maior est, quam IM, & IM, quam NI. Ponamus iam BI 'perpcndicularem super CI, ergo quadratum B I cquale est IC in IH bis ii. ex primo : quadratum igitur IN minus est quam quadratum B I quadrato I H. Et quia quadratum O R ςquale est C R in IH bis excedet quadratum IN quod cst ςquale quadrato I H,& I H in HC bis) duobus quadratis HI, IR, &IH in IR bis, nempe quadrato R Hatque sic
constat , quadratum A I excedere
quadratum IN quadrato D H. estque D H maior , quam R H , igitur I A maior est , quam I O,& I O quam IN. Et hoc propositumo fuerat.
57쪽
rallelas ipsi CI. Et quia CF ad CG, nempe F H ad AH S posita est, ut F H ad Η I erit HI aequalis H S; uadratum igitur I H est aequaleouplo trianguli I HS , & quadratum N H squale est duplo trape, L et ij H G ; quare quadratum N Iaequale est duplo trapeZij I G:
suntliterquadratum I quale est duplo trianguli I a X, cie quadratum M Q est aequale duplo trape- et ij QG; itaque quadratum ex IMaequale est duplo trapetij I G cum duplo trianguli m S X, quod est aequale plano mm: Et CF ad CV, nempe proportio figurae est, utS Z, nempe LX ad Zm &hoc quidem. propter similitudinem trianguloru quare comparado priores ad lum- mas terminorum in hyperbola, de ad eorundem dii serentias in ellipsi fiet XZ quae est .aequalis ipsi X n)ad X m, ut proportio inclinati, siue transuersae ad latitudinem figurae comparatae; igitur planum m n est exemplar, estque applicatum ad Xn,
58쪽
nempe ad Q H. Eodem modo constat, quod quadratum II excedit quadratum I N quantitate exemplaris applicati ad H P, & quod quadratum BI excedit quadratum IN exemplari applicato ad IIJ, & quod quadram tum I O excedit quadratum I N exemplari applicato ad R H eo quod quadratum RI aequale est duplo trianguli R VI, & quadratum OR ςqua- Ρων. Ie est duplo trapezij RG, at in ellipsi quando OR cadit infra centrum Faequale est duplo trapezij RK; quadratum igitur o I in ellipsi aequale est P p ., duplo trianguli Κ EF, quod est aequale F C G cum duplo trapeaij V F, ictitur quadratum OI in hyperbola,& ellipsi excedit duplum trapezij IG quod est aequale quadrato N I) duplo trianguli VSo, quod est aequat Q exemplari applicato ad R H: &similiter patet, quod quadratum A I cxcedit quadratum N I exemplari applicato ad D H, estque D H maiorri quam RH, & RH maior quam I H; quare AI maior est, quam Ο Ι, &P OI maior, quam BI, & BI, quam NI, & quodlibet horum duorum exiscedit NI potestate plano iam dicto, & hoc erat ostendendum.
SI mensura fuerit maior comparata, dummodo in ellipsi sit portio tram
suersae , non maior medietate ipsius , tunc minimus, &c. Sic puto logendum: Si mensura fueris maior comparatc, dummodo in HI se minor sit m dietate axis transuersi, tunc minimus, cte. Nams mensura humi posset aequalis hemitransuerso, tunc quiadem origo met in centro eli Ui , quare undecima propos ita huius est seu sua, in qua se ponitur origo in js
mei centro et M. Animaduertenrim es quod in hae propositione mensura necessaris sumi debet in axe maiorielli sti quandoquidem mensura I C ponitur maior, quam
CG, o C F maior qu-CI, ergo C F maior es quam C G, or illius duplam scilicet axis Ac maior eris duplo huius, sed ut EC ad duplum C G, ita es quadratum Ecad quadratum Recti axis eiusdem et sis e ergo E C est maior duorum axium ei sis ABC. Et educta ex H perpendiculari H N , &c. Ides ex H educta H N per- - culari ad axim CI, qua secet sectionem in N, o iuncta recta NI, paria
terque ductis reliquis ramis I M, I L, I B, I A, atque ab eorum terminis adaxim extensis perpendicularibus , ut in propositionibus quarta, quinta, sexta factam est . .
Quadratum H N in parabola aequale est H I nempe C G in H C his priuia ex quinto &c. Hoc deduci non potes ex prima propositione huius libri,
59쪽
sed potius ex undecima itari nimiis enim quadrasum H N aquale re ct angulo contento sis abscisa H C, ct sub Diere recto, estque rectangulum seu H C, ct sis semierecto CG
semisis Huus; igitur quadratum ΗN aequales duplo recra uti H CG. Hoc autem est aequale duobus quadratis I H, H Q, & IH in HQbis . &e. Post hac Hrba subis go claritatis gratia, atque C H in HI bis aquale est duplo C at in H Iuna eum duplo Icili in HI. Ergo quadratum B I aequale est
IC in IH his,&c. His pariter, ut clarior reddatur demostratio,subium go,hi licet duplo rectaguli CHI vn cum duplo quadrara H I; erat autem quadratum NI aequale duplo rectanguli C H I, ct unico quadrato HI, ergo, circ.
Et quia quadratum OR aequule est C R in Ι H bis, &c.
Subi tingo hanc declarationem. Statices duplo rectanguli C HI, ct duplo quadrati HI cum duplo rectanguli RIH. M. re quadratum I O aequale es quadrato R I, duplo quadrati H I , duplo rectanguli RIN. or aevo rectanguli CHI sed quadratu H R aruale es qua- rato R I, quadrato I H eum duplo rectanguli RIH. Ergo quadratum Io aequale est quadrato H R, quadrato H I cum duplo rea anguli C H rerat autem 'ira quadratum I N aequale quadrato I H cum duplo rectangula CHI. uitar exesus
quadrati Io s. a quadratum IN es quadratum H R.
60쪽
Conicor. Lib. V. Notae in Propositionem IX. ct X.
nconcinna expon tar uniuersa con
strucrio huius pr passionis, ideo curaui eam reddereo Ariariorem, dicendo; Educamus rectas lineas G F quidem secantem ALI in a, M. n Quadratum igitur I H est aequale triangulo I HS, &c. rarita nimirum . Guadratum IH es aequale duplo is cetii, O rectanguli trianguis IH S.
i Et similiter quadratum I inequale est duplo trianguli I Q X, &c. MAlicet duplo trapezii ISm Uum duplo trianguli Sm X. k. Et hoc quidem propter limilitudinem triangulorum, at componendo proportionem in hyp rbola, tum inuertendo , & reflectendo in ellipsint,&c. Hui mori verba inepta ad conclusionem inferendam commutatis dricendo ; a Nare comparando priores ad summas terminorum in hVerbola, est ad eorum disserentias in est sis, sec. auae quidem everite sm m pr/mo prae . cedentium Lemmatum o sensum est) progressum declarant. l Vt proportio inclinati, siue transuersae ad latitudinem figurae comparatae; igitur planum mn est exemplar,&c. S iungor nam, ut dictum es an quinta, ct sexta huius , potes hic demonstrari , quod figura m n sinuos est ei, qua continetur latere transuerso EC, ct summa in sperbola, o disseremiam ellipsi laterum transues, ct recti iuxta definitiones octauam, est mnam.
m Quadratum RI aequale est duplo trianguli R VI, & quadratum OR in hyperbola aequale est duplo trapezij R G , & in ellipsi aequale est duplo
trapea ij R Κ, &c. Legendum ora quadratum R I aequale es duplo trianguli R U I, is quadratum O R aequale est duplo trapezΗ R G , at is ellusi quando G R radit infra centrum F qnale es duplo trapez R X., oc. Dcinia quum triangulum R U I simile sit triangulo I HS propter Hra elas V R . SH; ideo strangulam RUI erit quoque is celeum, ct rectangulum. Posteaqua