장음표시 사용
61쪽
p . dratum o R aequale es duplo trapezy RCGO; 'r' 'μ' sis iis ei si quando oriunata o R cadit m censrum F, tunc quidem docIa E U parallela CG, quae secet G F in K, erit quadratum D Raequale duplo disserentia triangulorum FRo, o F C G, o F E Κ, quae disserentia aequalis est perto R E V o, ideoque duo quadrata ex I R, ct ex RO, iis quadratum ex I o aequale erit
triangulis FCG, ct I RV bis sumptis dempto duplo trianguli FRo. Quod est squale triangulo FCG cum ti nduplo trapeZij VF, &c. Addo, quae videntur in textu deficere, seu cum duplo diserentiae tria-gulorum I V R, o F R o. In h perbola vero quadratum OI aquale es spatioremtinea V IC Go bis sumpta, quare in b, H D, ct elli quadratu OI aequale es displo trapezJ IC GS cum duplo tria iij I o S. Quod est aequale exemplari applicato ad R H, dcc. Hoc enim estnstat ex otii, quae supra diora sunt. Estque D H maior in hyperbola, quam RH, itaque A I maior, quam pDI, & OI in omnibus maior, quam BI, &c. Textum hanc corruptum crestituo r Esque D H maior , quam RH , ct RH maior quam I H; itaque A Imaior est, quam O I, ct OI maior quam RI. Similiter , ut in praecedenti sectione scrum est , reperietur multitudo ramorum inter se aequalium , qui ex origine ad sectionem duci possunt. Existente pRop mcnsura IC maiore, quam comparata, s diserentia abscisiarum rami maioris, 111. Adv. o reu/mmi aequalis fueris asscissae rami breuissimi , erunt tantummodo tres rami inter se aequales; si vero maior fuerit, duo rami solummodo aequales erunt; at uerit minor eadem abscissa, erunt quatuor ram tantum aquaira mur se Et primo ramoram Io, ct breuistimi IN abscissa sini R C, H C , ct eorum disserentia R H, sitque R H aequatis H C, ct producatur OR H pe dicularis ad axim quousque secet secrimem ex altera
parte in puncD O , coniungaturque ramus Io. Dico quod tres rami I O, I o, I C tantumodo inter st aequales sunt; quoniam quadrata in parabola rectarum RH. se H C,
rectangula exemplaria inter si similia antiora ad R Η, Ο Η C aequalia sunt inter se, cum eorum latera homologa R H, H C aequalia se posita sint, e M excessus quadrati rami I O , vel I a , ira I C supra nuadratum rami bre uis mi I N aequalis quadrato R H , ita C H in parabola , se m reliqMi s Donibus, cxcmplaribus Amissas an catis ad easdem rectas aequales R H, H C ;
62쪽
H C : igitur praedicti excessus tam in parabola , quam in rebquis sectionibus aequales fiunt inter se, is ideo quadrata ramorum IO, I o, IC, ctramitas
aequales erunt: cumque quilibet altus ramus supra, vel in a ramum Io maior, mel minor sit illo, non erunt plures, quam tres rami inter se aequales.
Secundo H D d erentia abscissarum rami IA, or breuissimi IN supponatur maior, quam H C qua es abici a breuissimi rami I N : ct producta similiter
ordinata D A vltra axim adhictionem in a, ct coniuncta I a; Dico, quod duo rami tantummodo I A, ct Ia inter se aequales sente Muia H D maior es, quum H C, erit quadratum ex H D maius quadrato H C; pariterque exemplar applicatam ad H D maius erit exemplari et smili aulicato ad H C , di ideo tam , quadratum IA, quam I a maius erat quadrato IC, cum quo set illorum ma-xori excessu superet quadratum breuissim rami IN quam quadrato IC, qu re tam ramus I A, quam I a νι aequales sunt2 maiores erunt, quam I C, ct Meo maiores quam intercepti inter IC, o I N, par ιterque maiores, quam into positi inter IN, or I A, or minores omnibus asi , qui in a i os cadunt. α apropter duo tantum rami I A, I a ab origine adsectionem duci possunt imier se aequales. Tertio a duae abscissarum disserentiae H P, o H I aequales inter se, se qualibet earum minor HC abscissa rami breui imi, o producantur perpendiculares ad axim L P, BI, donec conueniant ex altera parte cum semone in I , or b, conivnsanturque rami ad I, b. Dico, quatuor ramos IR, IL, II, I b aequales inter se Iantummodo duci posse; quia, ut dictum es, quilibet eorum seu perat ramum breuissimum IN potentia eodem excessu, erunt r.io usi IR, IL, I I, Ibaequales inter se, reliqui vero supra, ct in a ibos maiores, aut minores erunt, rideo non pessunt duci plures , quam quatuor ramι iam iam aequales. αuod erat ostendendum. Et insuper quadratum ramia breuissimo remotioris si perat quadratum rami Aropinquioris, in parabola quidem rectangulo
disseretiati suarum abscissarum ab abscissa rami breuissimi, in
reliquis vero sectionibus recta-
lo sub eodem excessu disserennali, o sub recta tinea, ad quam
semina digerentialis eandem proportionem habet, quam latus transuersum ad si am in0- , perbola, or ad Asserentiam in et si laterum recti, se transuersi. Quoniam in parabola quadratum I L severat quadratum III eod. m excessu, quo quadratum H P superat quadratum H α cum quadratum H P, atque qua- Ex s. hirudratum IN simul sumpta aequatia sint quadrato I. I, oe quadrata ex H α, naeae IN aquatia sint quadrato I My seed excessus quadrati H P oupra quadratum II me qualis es rectanguis sub Pra Uerentia, or PII, H α, summa laterum
eorundem quadratorum contento; igitur quadratum I L superat quadratum ra-mι I M propinquioris breuissimo I N recta uis sub P α cessu, er P H
63쪽
. a regato disserentiali abscissarum ramorum I L, I
M ab abscissa rami bremffimi. Pari modo in h1perbola, ct ellipsi Dadratum IL δε-
per i quadratum I M eodeEx st i li. cessu , quo exemplar amplicatum ad H P superat exemplar a plicatum ades ad i si d rentia exemplarium applicatoram ad H
disserent Iali, ct recta linea composita ex X m, or ut, ad quam summa Hinerentiatis P H eandem proportunem habet, quam latas tra uersum adsummam in h*erbola , ct ad disserenitam in ellipsi laterum transuersi, Cr recti . ut in nota propositionis s. sensum es; igitur quadratum I L superat quadrarum I II iam dicto
Continens Proposit. VII.&XII. Apolloni j.
parata A E, Ιχ. aut sit pars lineae breuissimae, & axis insit maior, erit breuissimus ramorum egredientium ex origine eius in omnibus
sectionibus, ut sunt FD, GD, BD, CD,& proximior illi minor est remotiore, nempe F D quam G D, S G
64쪽
Conicor. Lib. V a s ii A E est line a breuissima , igi
tur F E maior est illa; itaque angulus F A E maior est, quana AFE; Ergo ille est multo maior quam APD, quare F D maior est; atque sic patet quod GE maior sit quam EF,&adeo angulus GFE maior est, suam EGF; igitur angulus GF D multo maior est, quam F G D, & propterea G D m,ior est , quam D F , & smiliter B D, quam G D, & D C, quam A D, d hoc crat propositum.
SI fuerit mensura A D minor comparata A E , &e. Sensus propositionisciarior sic reddetur; Ss fuerit mensura A D minor comparata A E, quae mellipsi simi debet in axi maiori eius cia. aut fit pars tineae breuissimae ; erit A D minimus ramorum FD, GD, BD, CD, egredientium ex origine eius momnibus himonibus, ct proximior issi, M. Quia A E est linea breuissima, igitur, &c. Vt constructi compstatur Iu Munto: Igitur si coniungantur rectae lineae E F, EG, EC, E B, c recta onea A F, FG, G R, AC erit F E maior, quam AE . . Ergo hic est multo maior, quam A F E, &c. Sensus clarier reddetur hac
ratione: Ergo angulus F AE multo maior erit, quam AF D, qui es portio minoris an uli, quare FD subtendens angulum maiorem es maior, quam A D. I itur ipse multo maior est , dcc. Superaddo. rationem iliationis dicenis Te propterea angulus GF D maiorem excedens erit multo maior , quam FGD, Hur portio minoris es.
Mam sum es in prima figura prorisitionis 7. quando A D es portio axis
minor comparata, quod tunc ex oririne D duo tantummodo ramr inter se aquaiales ad Grasique partes axis duci possunt ad sectionem, ct erum Eu, qui ad te minos eiusdem ordinatim ad axim anticatae iunguntur at origine D, ut consae ex somnus dictis. At in secunda Dura propositionis i a. possum quidem ab origine D adfecti nem duel hine inde a breuissima D A , aliquando duo tantum ramι Inter se aequales, aliquando tres, atque etiam quatuor interse aequales, qua cognitio ste
65쪽
Continens XI. Proposit. Apolloni j.
LInearum egredientium ex D centro ellipsis ABC, breuissima est semiaxis minor rectus . illius, qui sit B D, maxima vero est semiaxis transuersus, qui sit AD, &propinquiores maiori sunt maiores remotioribus, Vt H D, quam GD, S quadratum cuiuslibet rami, ut GD exempli gratia excedit quadratum breuissime B D exemplari applicato ad inversam illius t D. EDucamus itaque E A aequalem AD, & abscindamus ex illa AF cqualem dimidio creeti, & iungamus DF, DE, & perducamus ex G, Hpcrpendiculares ad D A, & sint GIM, HL N. Quia quadratum G I aequale est duplo trapea ij IF prima ex quinto & quadratum II est aequule duplo trianguli IDM. eo quod I D est aequalis IM, erit quadratum D G, aequale duplo trianguli ADF quod est aequale quadrato BD a. ex quinto una cum duplo trianguli QMD , quod est aequale rectangulo in es' .n qu drati G D excellus supra quadratum B D est aeq'alis plano X, & quia DA, nempe E A ad A I est, in D I, nempe M I ad I Q,& per conuersionem rationis A E ad E F , scilicet dimidium transuersae ad illius excessum super A F dimidium erecti, est, ut Ma, nempe M Pn. a. h. M i igi Wy Planum Q P simile est figurae comparatae, & M P aequales ita. lis est D I. Similiter patet, quod quadratum D H excedit quadratum BD exemplari applicato ad D L . & quadratum D A superat quadratum B D exemplari applicato ad D A i Est vero D I minor, quam D L, &DL, quam DA; igitur BD quae, est dimidium recti minor est, quam L, D, S GD, quam D H, & DH quam D A, quod erat ostendendum.
E debet esse linea breuissima perpendicularis ad mensuram, nempe B
66쪽
Educamus itaque E A, &c. Lego: Educamus itaq; E A persen Pusarem, oraequalem A D. Et perducamus ex G, H perpendiculares, &c. Et perducamus ex G, H vendiculares ad DA, es t H LN, o G M, qa.e secent F D in Q. O DE in M, se N, atque a punctis M educantur M P. Ido , paraia a DA, qua secent rectum axem BD in O, P. Addidi haec postema verba, ut constructio completa sit. Eo quod I D est aequalis I M, &c. IO Oniam cuti in triangulo D A Esimili trian o DIM Propter angulum D communem, o rectis angulos ad I, ct AP latus D A aequale erat E A, ita latus D I aequale es IM. Nemne MI ad I in & e contra, &c. Lego: Nempe M I ad I ct per
Cumque BD sit dimidium axis recti erit perpendicularis ad A D mensuram,&c. Haec verba postrema pariter expungi debent, nis foria ereolgariam propositionis exponunt, ct tunc textus sic resilui deberet. Ex dictis constat, crimam breuissimam e centro Musis adsectionem ductam , perpendicularem esse ad axim eius maiorem. Manifesum es ex centro Ab s adsectionem duci non posse plures, quo quatuor ramos inter see quases, neque pauciores duobus; tres autem nequaquam; nam dua medietates curuslibet a s aequales sunt inter se , or quatuor rami ad extremitates duarum auocatarum ad axim aequaliter e centro distantirem ducti aequales sunt inter se.
Continens Proposit. XIII. XIV. XV. Apollonij.
politi onum ; ta est, quod linea breuissima B F continet cum sua mensura A F angulum acutum, ut B F A ii omnibus sectionibus, & ellipsi si tamen non egrediatur ex eius centro eiusque potentialis abscindet
mensuram i 3 in parabola aequalem comparatae i & in hyperbola is & ellipsi lineam , ad quam inuersa est, ut pro
portio figurae. SIt centrum D, & dimidium erecti A C. Quia BF est linea breuissima, erit AF maior quam AC, eo quod si esset aequalis c4. 6. ex quinto
67쪽
aut minor illa 7. ex quinto e set linea breuissima A F, aut pars illius, quod est falsum , igitur maior est, quam AC ; & pr pterea AD ad A C maiorem proportionem habet, quam ad AF; ponamus ergo, ut AD ad A C, ita DG ad GF in livpe bola, & ellipsi; at in parabola ponamus GF aequalem AC , &ducatur ex G perpendicularis adsectionem. Dico , quod et o curret ad B. Nam si occurrat sectioni ad aliud punctum, ut si coniuncta H F erit Id F breuissima 8. q. 1 o. ex quinto sed supposuimus B F esse breuissimam, quod est absurdum , ergo perpendicularis occurrit sectioni in B. Et quia angulus B G F est rectus , erit
angulus BFG acutus, quod erat ostendendum.
ET eius potentialis secet mensuram in parabola, &c. Iris, se eius ρ
renitalis absicindet ex mensura usque ad originem, in parabola quidem figmentum aequale compar ea , rn h perbola , o et se meam , - qu aminuersa eandem proporportionem habes. quam latus transuersum ad rectum.
Et ducatur ex G perpendicularis ad secti nem, dcc. Et aeucatur ex G recta linea perpendicularis ad axim , ct producatur inque ad secti
68쪽
Continens XXVI. XX VII. XXVIII. Propos Apollonii.
A ulorum ab axi sectionis A H , & a lineis breuissimis F
B , H G contentorum proximiores vertici sectionis minores sunt remotioribus, nempe angulus AFB minor est AH G.
SIt itaque centrum D, & semi inclinatus axis A D , siue semitransue ius, & dimidium erecti AC: educamus itaque duas perpendiculares' GL, BI, & si sectio fuerit parabole. erit FI aequalis L H, quia quaelibet L earum aequalis est AC a 3. ex quinto & LG maior est, quam BI; angulus igitur F minor quam H; si verbsectio fuerit hyperbole, aut ellipsis, C erit FI ad ID, vi H L ad L D, quia quaelibet earum est, ut A C ad A Dd ci . is. ex quinto & permutando, erit I D ad L D nempe BI ad ML, ut I F ad L H, & anguli I, & L sunt redii ; igitur duo triangula BI F, ML H sunt similia, ideoque angulus A H G maior est, quam angulus AFB, & hoc erat propositum.
Hinc patet, lineas breuissimas sibi occurrere ad partes axis sectionis.
Via angulus AFB minor est , quam angulus AH G i quare sibi oc- αε- currunt ad partes F, H, & hoc erat Ostendendum.
69쪽
EDucamus itaque duas perpendiculares , &c. Educamus itaque ex punis actis B, G diras GL, L I perpendiculares ad axim ei occurrentes in L, I. Et L G maior est, quam BI, &c. Susiungor Eo quod potentiatis G L ma- bgis recessit a vertice , quam B I; si iam ducatur B M parallela axi in parabola, ct ex centro educta in reliquis sectionibus, secans GL in M, coniungaturque HM, erit in parabola M L minor quam G L, est aequalis B I, ct ideo angulus MH L minor erat angulo GH L, o aequalis angulo F , ct propterea angulus F mianor es, quam GH L. 31. lib.1. Si vero sectio fuerit hyperbole, aut ellipsis, &e. Adri r Manissum es rectam B D ex centro ductam sectionem secare in B, ct propterea occurrere ρο- tentiali G L a vertice remotiori, quam B I inter puncta G, o L, ct erit FI, ct caeter a. Erit ID ad LD, nempe BI ad M L, Eee. AN propter paratacias B I, dM L, ct similitudinim triangulorum DBI, O DM L. Quia angulus A F B minor est , quam angulus A H G, &c. Addor Et esumpto communi an D FHN erunt AFB, seu H FN, ct FHN simul sumpti minores duobus angulis GH A, FHN, qui duobus rectis quales sunt ; quare BF, GH, concurrunt ad partes F, o H, ut m N. Pro intestigentia sequentium pro stionum haec praemitti debent.
Haleat A ad 27 maiorem proportionem , quam C ad D. Dico , rectangulum sub extremis A , D contentum maius esse eo , quod sub me- s B, C continetur, is e conuerso.
Frat o C ad D, ita E ad B; patet ex elemoris, A excerire ipsam E; queis . re rectangulam AD maius erit rectangulo E D: es vero rectangulum B,
70쪽
C sub intermedys contentum aequale ei, quod sub extremis E, D quatuor proportionalium , continetur I ergo rectangulum A D maius est rectangulo B C. Postea sis rectangu- A sim AD maius rectangulo BC; Dico A ad , Ri maiorem proportionem haere , quam Cad D; Si enim hoc verum non est, habebit A ad B eandem, aut minorem proportionem D quam C ad D, quare rectangulum AD M ale, aut minus erit remnquis BC, quae sunt contra lupothesis; igitur A adb maiorem proportionem hora, quam C ad D.
Si recta linea A B seretur bifuriam in C , bst non bifariam in D: Dico, quod semissis C B ad alterum segmentorum inaequalium D B h
bet maiorem proportionem, quam reliquum inaequalium AD ad alteram medietatem A C.
rectangulum B C a maius est recIangulo A D A sib inaequalibus se
mentis contento, ergo ex praecedenti lemmate C II ad D B mriorem propor Ionem habet, quam A D ad A C. Ap -rr 'osta, a in
subsequenti propositione sa. problema inuentionis duarum mediarum proporti natium inter quaslibet duas rectas meas, Ut notum , es multo antea a Mene chmo Euduo discipulo vulgatum, ut refert Eutocius, idemque posea A Eonius alio forsan modo reperit, ut ex eiusdem Eutoris commentatas in Archimedem colligitur ; sed huiusmodi problema , quod poni debuerat in hoc quinto Grorunquam in proprio loco censendum es illud ex misse in aliquo alio eius lura . iniuria temporum deperdito ; Cumque Apollonianum problema non extet, rei ctis ridis quam plurimis neotericorum asserans hic propter antiquitatis reueremtiam Menechmi problema simplicissimum.
SVnto duae recta lineae inaequales A B, ct B C ad angulos rectos conuenientes in puncto B, producanturque indirecitam , A B quidem inde nite in G, atque C B indesinite in D: postea ad datam rectam tineam D B terminatam in 13. Primi. B describatur in plano A D B parabole, ita, ut eius axis sit isne a D B, vertex Maum B, atq; eius latus rectum sit recta AB, sitque sectio F B E. Similiter