장음표시 사용
61쪽
Iiles acced, ad coclusiones in hoc capi idem ostradas .eesit haec pria Gesusso.
Omne paralellogranati una quaec diameter diuiditi me diuo per aequalia.
Ista p3 stan ex penultima incitctis capri. nec ripi ii instere. si inhios ac reducere cide ad relique uidis reduci i ultima coe,scutia sic reducta e nil cap de triaί is .et si respiria dc circulis reducet.
Secunda conclutio. li Omne paralellogranati angulos eκ aduerso collocato habet aequales. Si sit ortogonisiittiqest sic eo asiliniit it eules dierna patrione . Si asit sit editus torsi: et sint a b.
et cd. latera equedisiana circa linea diagonaliter a d. etasit angi illi superior et aisaior equalcs: M alterni. iteiria inferior et a siti erior equales erunt sinat liter liar coalterni dioparatione in ad lineas equedis antes. ergo a totalis est euitalis totali: et sunt ex aduerso collocari. igitur etc. Cur quovisterius sequintro b et omni equales. na; duo aliguli sudio: lo mayili unt equales duob angulio trianguli inferioris . sequitur u residuus sit equalis residuo P sexta corin scientiam.
Tertia conclusio. Omnis paralello grami spacii eorum. qcirca diametrum sunt: paralellogram orti supplementa aequalia sibi inuicem necesse est esse.
Disponatur paralellograinst a b c d diuisum in. . paralellograma et Coia restimat sciit pritis. dic Q duo paralellograni avi dictat suppleirmata perita se ut eqitalia inter se. sunt citi duo triangulia di et a det equales rima capituli dui'. et illis aufera equalia. s. mangulos livbethd qui sunt equales perpruria traditius capituli. sitniliter auferae bellaein: puta alie et ah g. qui simillici sunt equales per eande. agosa exta coceptione que reman mi sunt equalia. . duo suppicii tenta 6 Iste tres conclusiones concludunt de omnibus superficiebus equedistantist latcisi siue sint rem anguli siue non etc. sed sequentes specialite, erunt de quadrans et de rectis angulis.
coarta conclusio. lj adratum quod a lateretri aguli recti anguli eius recto angulo opposito describitur in seducto equum est duobus reliquis quadratis . qui eiduobus reliquis lateribus conscribuntur. EX quo sequitur et quadratum diametri ad se quadratum coste est duplum.
Istam coclusione ostendo lateribus quadrati et diametri .faciunt i se ein:qr ad hoc tedit pecialiter avositio rip per applicatione correlaru facia. sit igituri indiriocheles ab c. et sint a Geticlatera equalia et a but lanii inarima: et maiori an pilo opposita: dico ergo et quadrata bui manam i lateris ci a b est euuale duobus qiiadrans reliquor latera: in quadrato a cis Q est quadratus lateris ad et quadrato bisset quod est quadratu lat Gisi c. Est mi quadraui ait e diuisu, in quattuor triansititos equales per duas diametros ae et biqliora duo sunt medietates alior si duo: quaaera rum scium tangit lusu ci et trianguli is dicet siciat videssedi tangulus principalis aec et tria: lus et oppositus pina ciet sunt equales aliis duabus inedicta ubus quadrator uin minoram que sunt extra quadratum maius.qries isti in sc triangulosilui si sunt eqtiales vi pd ergo quadratu3 in agni latcris a b eqtiale est dii obiis quadratis resiluora larmim ut dicit prinia pars deorematis. et pons id quadrat 1 R duplis in ad quadratu alterius lateris: ad'o sed ab sinit dianacia ad cosmet ita quadratu diametri est dupla ad quadranam coste, dicit coci clarium.
auinta conclusio. Propositis duobus quadratis siue aequalibus siue inaequalibus alterum illotu reliquo gnomonice circus bere contingit.
Tccipiam duo qiradrata eqii alia et in illis ostciuia intens. sit primsi quadrassi alii secimta sit ergi : et silit equalia: volo circii 'cribere secundu primo Molnonice: Halbatur rego ci ultra disset, ali odiri quantitates χ tm linea praeaciat equalis Llγ.ca gini angulus dexterior mimus incutet interiori. πω db: cinis a quadrata extudit equale duob'quadrato so linea a b d et xx. o sacto doc rescinda de linea odi ad quantitate 3 χ:sum ci ad equalitatem R. itide a piso scriga per diculariter equale lineaci .rim ad n .etreii secundulatus quadratiqet quπlmus .et uinc ducatona latus in . et post coniugi liuina c. ilhabebo quadrassi culis. et boc est quadrata lineel x. et est equale quadrato linceti: et quadrato lineo, per premissain. Tunc argua vi. boc produci quadrani3 est dii pluin ad dito predicta: sed prima rcinan in sua propria formarergo illud quod est addit est equalis quatin latis quadrati secundi.scd rion est addituni nisi gnomonicci ergo quadratum secunda qua irato primo est gnomonice circliscripta. Et si circilli quadranira scita esset. possent octrciali ad seipsos addi: et piter alteri circlisam. modo Ut in fine dui' geomarie dicenuis.
62쪽
Caput quattum de circuli correspodes. 3. Isbro eues Idis. ANGAM in hoc capitulo pauca de circialis . nam pro se alii natura illius quantii ad omneseius conditiones magnu requirit tractatum .sed propter formam saltem nuc numerandae sunt laudabiles proprietates S passiones circuli. Ipsa aut figuraru pma est victrina: Silamisima simplicis sina. regularissima capacissima: N pulcherrima di si vis adde quod proprie ad philosophii per itinet: ipsa est ad motum aptissima: propter quoel videbatur mihi ς, prius de circulo, defiguris rectilineis esset agendum .sed inueni*de eo multa ostedi non possunt nisi reconclusionibus figurarum rectilinearum:ideo necessariusvit pinutate ordine queadmodu fecillia inuenitur eueside .
Circilli quorum diametri sunt aequies: ipsi quom aequales erunt.
Ista note iaci nisi ex comuni scientia nona: ut prima de mangitiiset prima de quadrangulis. aptiplicetur enim circulus circillo: diainciri sunt e uales per potvim: Iuuia cciitrum est supra centru3. circunferentia supra circunierentiam: et totum supra totum et ita nullus circulus cedit reliquvinquare inter inerunt equales per vulniam cominu nem scientiam.
Secunda conclusio. In circulis equalib9 portiones sunt aequales: qnarum cordae aequales sunt.
t hoc na circi scripto circulo uno super alisi modo pdicio applicesvna corda alteri: et sint una corda vel niu simul ambe quare manifestum est ealideri equale portionern utrocu scindiuit nam mitiones iste non se excedunt ex parte corde, quia ad eatidem cord alit terminamurinec ex parte circumentici quia ille sunt simul per potesim . ergo non aluiuo modo se excedunia
In est lis inaequalibus aequalis corda vel eadem: plus acc*st de minoriq
ec maiori circitio. t maior circulus a b c circulo ad c.mes aet corda.dico cxcordias abscindit maior portione Mors
cillo id ea a circulo a b c obatur .applicetur Naim circulus minor ad maiore et seccet es iii duo by puctis a et co=d erra a Labscindit a maiori circulo arca a b c. minori vero tanta et amplius: qisii rficiem a deque est maioris est superficies ab igitaret portio minoris maior est portione maioris: perira , coinun scieritia.Ista π no sumim in naniralibus ad .ibandu rotunditat .elcinciatiaque: na dicunt , fide vas in numao plus capit iii celari in elario: et mm aliter pliis life amisil superius. usio est versi ii in de aqtiaque rotuda lupercininci,au iunt alit ille coclusiones de portionibus circitiorum liuiu accedam ad angulos eorum: et primum ad angulum contingenticet premanendo dius conclusiones de linea conmimitte et ut prima ista.
Si circulum linea tecta contingat in puncto tantum contingere necesse est.
Quia si eum in linea contingat duca ad cinninos linee qua contingit sc a I a centi o circuli' sit olineas ad et odiet ducabo in mediaret erunt duo u ianguli a di et o dicituri argui mr aut mea Coinretit super a clineain ortogonaliter.aut no. st sita ergo in viro p triangulo angiit'apii bimus est: et ver stas in illia mansiilis latera a d et Od sunt naiora b d. Q maiori angulo opponlitur per retia 3 capituli de trianautis.Si non liuidat ortosonaliter unus angulumque facit' d.odiu suo est: et ei obtuso in suo reian lo natus tam opponitur: eande lema de triangillis: ex quo sequimro es iunce votities a coetro: usi ad puncta b c a .no sunt equales: scd lanatat illa puncta iant recta circiar . fercnne. igitur mee voltcntes a cenn o ad tramlar inam non sum equaleta: qiiod vi incolimus:re coma diffinitione arculuersio concluditurini contingit in puncio et non in linea.
Ostinta conclusio. Diameter circuli perpendiculariter cadit super lineam cotingente ctrculum si super punctum eo tactus transierit.
Sit linea ab conting is circulsi ceg. alius coemisit det contingat in punctoc qui est te inuo Matriem c d g dico banc dianam si esse perpendicillaritre supra lurca con uisicii l. b. na si non vi pNdiculariter ad Nessito sepediculariter sustea iustari arcuinilla ui pilato e.erit uter. alipilo 4 lunt
63쪽
apud semus podiffisition cinguli mii: quare per tertia Maria illislinea ct est nul linear fiare ni oppontinia rari angulo in tria locis ergo uti est linea eulis linee det erit natori f. sedit linea
rit equalis diu virlinitione circilli. est maiori f. Quare et datoto maior est:*yestipossibile.
Angulus contingetiae est omni angulo rectilineo minotim est diuisibilis in in sinitii. Eκ quo mani sestu est et tanto angulus cotingentiae est maiores ij to
circulus minor ditanto minor cyto circulus maior.
Ibrinia pars ostenditur Rrm linea b c contingetis circulsi a d in mincto a qui est te inua diametria . dico γ ille anguliis que facit tua liuea comitims circuluri dicim angulus cotinguae est ininor omni angulo rectilineo: l Alcest onmi angillo a duabus rectis lineis coteiit o. 'probatur dieci nunc Nodu:quia inter lili eas continetes anguluam tu recillincuq rsicum paruli pol capi lutea recta diuis dens tale anguis: media: et intcr linea contingente et ciressereritia ini possibile est capi recia lineam. D: lina prela pontua luna exprimasciitione et vltima: ira sitit due lince angulsi cotinentes a b et a c. inde duco inca a d diuiderite angula a patriina petitione. dico cram diuidciis a. aut est terna linea distincta a lineis a b et a c. aut est alteri earu eade si sit liti extri lia distincta ab illis: et Ist appliescata tram earsi super supπficie no direcie costituetis cis duos angillos per diffini nonralissili planiq; est 'vitu. Si altera illarii ponatur ea de ina c. ergo tuti tale linec recte se da ric superiis clauderentqr est opposita peritionis ultime. econpi3 qmst inter linea contingente et circinrctia ponit capi linea recta: sit a si ad qua ducatur perpendiculariter es facies cssas duos rectas: no enim pote adpediculta teresse suda g.qr sudab cadit ea Ppedicula: et putis angulussae est acut sit pee perpendicularit supcrus eritin angulus. et a rectas per diffinitione anguli recti: quarem conclusione tertia capitiali de rei angulis in triaripilo ae s. erit a clanis mamnsi. ergo e ferit minor a e. et pc pnserit minor e d que est equalis a e. sicut argutu est in premissarias est inpossibile:constat inir* linea a secat circuli et perpeti dicia lariter linea es cadit super parte inefas directe inamst Mapti; lod angillus contingenue est diuisibilis in infinitu licet erit no possit diuidi pre linea reaa potui diuidi per linea cirrita et alia est linea circlim eritie. et hoc pri pron abendo te diamen si in colinusi direm et super diueriacenti a m eo sita de bendo diuersos circillos oes se conrigettim puncio a. Vastigii luin diu, eg diuidit oraeferentia in super coimis esci ipta: et angulu cotingentie Da b dividit circiuertita a super centra oscin infinita descendera imminetro a d et desciet doctriaculos ae coringentes in puncto a. Et a pter boc dicitia inpari'. u. co. i .u quilib3 angui' rectiline in infinii quolib angulo cotin ille est inaior. Cormari si pixqr linea connae a b cli minori circiferentia constituit anguluina si inariinst: et cum maiori a ii minimuin.
Septima conclusio. Angulus semicirculi est omni angulo rectilineo acuto a sol omnia gula recto vel obtuso minon Stamen est augmentabilis in infinitus Εκ quo manifestum est pangulus semicirculi est angulo recto rectilineo minor&acuatorem lineo maior: sed aequalis tauq poterit esse.
ima pars pn per prima parte preinisse. figura enitie disposita sit flant prius eora modo 'ino angulus e a d qiii est an Silus iitrinsecus et dia inerro et ciresserentia cotentus: vocatur angui' scivi circuluet est oim acutorum attinus . viii angulus dite est rectus per quintabulus: et pons aligul' semicircillimo nata rectomist in angulo cot ingentie qui est minor omni anaulo inito rectilineo per priina parte premilla sedinis reali ineus acutiis differt a recto in plus mansulias cotingentie irae angulus scinicirculi est maior inni angulo rem luteo acuto: et est minor recto. ut costat et mons nitanor es obtusor et Mod prima pars. Sci a pars N per scdam parte prcinisse eo te modo disposita fiagura ncut prius. pdu ertendes diem ita sem' est an pilus conngrii ne minor: et ita si fis erit anaulus sciri lcirciali scin per triuior. n. malor est da PQ dat. et bic maiori a g. ilis crescit in infinitin Puent ad equalitate anguli reai. si Correctarisiit . sit circiatus a b super centra ciuius diatrieter abcst luper a d ortogonaliter colingo is circulli: dico Hoc inuis angulus maior angulo semicirculi detur qui est reailineus: puta angulus dab et angulus milior: pura gab. notii est dare equale. si misnt ei qualis sit anguliis ea b. et cli angulus semirculi sit amplissim'olin acutorsi per prima bili' erit anguli is erat amplissim' oim acutorsi: sed angi ius fui est amplior ea besaciat ossi sita parte ergo aliquid est amplius ampliss unoq6 est impossibi ita similiter seu iteretur et an pilus colin genti celsaequalis et maior rectilineo. qtsi angulus ea best equalis angulo semiciraii l. et angillus emicircialicu angulo contingenue est equalia viii rea o angulo. tuc sequeretur et et a d sit euiralis a tigulo corin Genne. et per 'ns an gratiis comi nil est 'ior angillo rectilineriqr anguli is e a dia in aior angulo
a . uris inducit cainpari' tales argum tartanori es novalere . coim sit reuel re malus et ni inua
64쪽
media ergo per equale talca eniidsequentie no valent prini amo vesci Phinoi correlariss .sessida etiano vesci q6 ac pam tmvnemn lineias moueri super pluto a per circunferentia arcus Ne a. ita inpurum g utri otasuncta arcus die a. quous p veniat ad linea id et cooperiat ipsarmetinangulus badest rectu insequii murredo P minores angulos veniat ad maiore in punctor, nullo angulo equali cen to angulo semicirculi. Iu regre sola illi vere in quantita tineiusde rationis i id solii degenere quantitatis: sed cita de genae pialitatis . na in aliis id est cJparatim :le Naa: ut doricos parari linea ad line . tu Pnea es ad supertule: corpiis ad corpus. nil inca alui perlici εἰ vel superluies ad corpus. Illic bri coparari litica rem ad linea recia: et curua ad curua: no recta ad cirrita et lapiscitu plana ad plana. cocaua adcocatia ni plana adcocaua. Ergi similiter debacoparari angui' redicillim' ad rectilinest: curvilineus ad curvilineae minus ad mixt2.no alit rectilin ad curvilinea vel minia qualis est angulus conrignirici angu lemicirculit et angui' portionis circuli: ni mirtio simult' isto:a possit adequari alimi rem lineo imo Pprie loque messi inalor nem initior eo dici debem.
Octaua conclusio. Onis Is portionis angulus semicirculo maioris recto est maior: minoris e
ro minor recto. per quarta capituli de mangulis. diuidciido mi circula a b c per corda ba in duas portioeso ili. quaru in inor sit a ei superius: maior sit a b c interium. cu igitur eade coadaabstiniat angulos unonia maioria et minoris. duo manglituo a me superior est minor recto: angulus aici riseriorinator recto. duca eni di amen a a det et linea clud L ito per quarta de triangulis angulus a b c reucrum quare per prima de lineis an ius ais est cauauedan Glus Pornotiis in morio sic angulus ei a est paro huius recti: ergo est minor recto. Iu angulus a b c rectus ei paro angilli portioitiones micirculo maioria que est a b c. st angul portionis Q a b c estica malor doc presistantia clariorcotra argumetationes pus facias' non valet rasis, ii de minori ad triaul sic de angulo portionis minoris, est minor recto ad angula pouidis semicirculo maioris te maior reci no transcurredo triper equat hoc pikn in circulo a b c.miussit diameter ac et moueaturat abscidens portione scinicircula maior per ola puncta arcus dic in o puncto citra facita in arcu ui feriori angulsi maiore recto: in arcu supcrio:e minor iecio. et in omni Nao vltric facietis arcu insatori angula minore rector et ca superiore in alore recto vis scribanc. sed nipliciti parte superiori et iii feriori facita agulos ininores recto: n ansitur enia minori ad maius patia media: scd io per equale et sic in recti liticis est reperiminator rara tu agulo semicirculi et minore: noli equat ut eximit Huc ergo post passiones angulo:5 descenda super consideratione coen oesi tangendo breuiter de fiscis circulariu comimcis:et sub prima conclusio de ista sed noli de niateria circulo: nNona conclusio. rcntorum se inuicem sectantium centra diuersa erunt necessario.
Gint mi duo circuli a dic et a b d .seccantes se super duo Gaia et b. dico et eorum centi a sit diu cisa: nenii dabuerant id centra necessari sterit diuidi in pomon comune utrius circulo. v illud de et catur linteae et det: eruntin per diffitiitionem circuli due linera e et cm equales: et per eande dissium itionem linefa e et cinerunt equales quare et equalis erit e c. et sic pars suo lon:cun WVisarii ni equalis line ea per tertiam comunem scicimain: quod est impossibile.
Decima conclusio. Circulos se contingentes ecce nitima esse necesse est.
in circulis esui genti quouimus est nariatilin dest dubia canihil comune habeant nisi raciacmaiis. circulis cotingentib': quora nusmintra at in Frini risint duo circilli ab ad contin tuo se in puncto a qui si babu Gint QE centi st: no poterat incitissanti a ninore eoiddiffinitiones circuli. sitim inccntra minoris c et ducam lince arieti et ch. erit a u diffinitione circulim am linea; cras Nocci eqtialis media c. et Pons ci et Od ersit edies: et pars toti qt est ipossibile. Nostremo addaturnes coclusionis anesulco Psectione circuli: et prima quide cade atro inueniendo.
Centrii circulii duas sectiones differetes Henitur: sed est apud eucisdeima
Exempli gratia sit circulus xpositus a b c.cui volumus cerandi luenire. in im circulo duco linea ac qualuercum diuulat circula:*dluldo de ilia in God: et a pisobexn al adpendicii larit linea in ac qua applico ciressaene ex alia Picissim lineam die qua diuido jequalia in pucros o lineas brbunc igini puctui puta fidica cerinu carcilli . ab eo mi Mael incerticae ad circunferentia sunt equales. Ecdiciκlustodit de innidiam mori circim serta, est missura distane ad circunserentia.
Duodecima conclusio. Sra senisdiametri abscindentes totam circunferentiam: magonum regulas rem intra circulum constituunt.
65쪽
Imin odivitima cap*drti libri pini: na Lilia sne trigoni reput lora circi cistretia costat et tales
sex lineolacisit exagona regulare cui anguli euliter recerat ab illo psiclo: lgit si rescribal circulo suo illatrasseris a gulos exagonuersit tim sex abscissones incirc siserenna per sex cordaseules semidia inen o: et erit exagonus inscripse circulo ex prern q; so trigoni regii lares contingsit circulsi itudimnsece Tertia coclullo es de nurnero circitior uni conni igentiuin circulum Mara. DecInra tertia conclusio.
Seκ circuli equales contingunt circulum emersus.
Isti m qiis a cenn osci in unitate dati circuli ext edant sex linee diri tate totiuina metri: ii sunt latera triangulo: rcpleainu locsa circa de centrii facientili extra circula agona continente phinil o circulae: tunc circino pollio suu extreinita e curii nibri illarsi sex linearli rescriptio circulis equa libypri inoeirculo: costat q6 otheo ait Vipsum nisi direcise obtinet iracdietate illara lineam ascendetitissi et sinter unus Q taptiuos proximos circspositos: nullus cita alisi Icccat nec ab alio sectae. etia'; sex circuli an iurast circula precisione vitiina. Ex istis trire' clusionibus senarius attestaedfectione circuli: anima habe in 'scitaria tacto: si qlsit exircinitates linea*: in fascii arili lilitaurinaretia senaria circitior u. Iste ait vini ne coclusiones posite stitit iuxta qua risi libra euclidis quid de circ scriptio figurarsi regulari lime videa inurapin rigit orasse vere sp illa. 7Reciso prei metroisteuclides pretreiiii sit condo alio post triangulos et quadragulo sicac locu l abci:na soperimetroa passiones in ipsis sunt et alius figurata spccicb'inter se mutuo coparans: vii et dec conderatio coparanua dicitur figi irarum ni a se: na nulla una si pira soperimetra dicitur non nastente alia cui ob aperimetra dici possines ritim ad aliud et lion ad se.
Capitulum quintum de figuris ysoperimetris.
, SOPERIMETRAE sunt figurae una alteri quam perimes
Ista statim phaerios exponedo: perimeter enim saure est tertiis ultimus vel teri sub quo vel sub dbus figura connet qu&dmoda peraleri t. cire strentiali circulo una et tres lince in tragono. Et li id es qbirioltcrio vel treis cotidisti el: dicit area Ianneuci cin bota vel ibi podam occo: et perlinetre est dictio possiancia diamet ποῦ et raperi est arctet mmos merisura ita si in tauras iacirca circa cisonuin tuu perima curso ibo greco u lonat id citi in equale: et in periliter a. a. .adicemi us intreprcias equalis incia surationis: na pso equale peritneto cita tauranofr. Et ex pt a pontio sine discuitu cri ysopem nacti essit figure quar perinien i sunt equales: nmangulus cili soperuncia quadrangulo qn equalibus ambiunt perinieratris et cimitus trigono et tetragono et sic de aliis.
Secunda conclusio. Omnivioligonsorii soperimetroru quod plursu est angulorum asu est.
pqu gonisiilinet anello figura iura ortaeonia figura rectora urrecti an Ii. Duc coclusio
et edditatem 'c. lincri duca linea. e.c.equedistat . a. d. rei valloea die logio α' a b c 'pi dispositas dico pin Q tetragoniis. a. d. c. e. baba arca euicin aree trigoni. .c Iezo duo s et gonus in Pi Incita minore trigono: imio exdocco ludad, si addat alidis perimen Iaderaequalis Paulaetro trigoni:inaior rei area tetragoni in sit trigoni sibi ria unciri Q ra.
equalesqsem prima pl3qr. a. c. lincadluidit tetragolisi inditos tragonia cules per agulis et . a d. lillea diuidit. a. b. c. trigonfii duos trigonos equales os Idae 7 stra ita uiati intres tria lidiales cauales inta sequor si primus illinus sint elide coe addideris puta mgonismedissimi equale': vn obiq; resultati illita cc e m equalia oti inice. b. c. h litata. b. a: in maior linea. a. d. qnim trigono niatori opponit anilo et raratione linea. a. c. maioM. e. c. quare mala toea trigcni fiunt in ora uti uoti ai rei' rari: utcrragonus perimarii minusu tragori' Ex istis duo by sequi innu quoi si addat 'omeno inrasoni instat equale periinen o trigoni: maior Git arca ten asculi. area tingotii rigit oracipium veruiri a numis continci equale iriatus continiainplius: aditamur era pomonis'
pilaralitas angulorusat dilatatione in figura quem parat,' anguloisiluas
66쪽
Omnsum poligontomysoperimetrorum aequalis multitudin sangulos
rem masus est aequi angit in m.
Cum ita atq6 mulgor illim qs est plurisi angulorrim malias sit: nia specula Osscst de Drumilat iidem torti sed illectuali firmiustoli sunt duo teu agotii quoriam virus est equi angulis alius ira: dico stoeoibiis alidi poligonus risperimetris in maius est q6 est equiangula:' ostenda inaci rasoriis memorans: describas Piltri. a. c. . paralellogramst inequaliuinairgulora: inde a pacto. erigat. . f. linea papordicularit,ad. Lb.et., M.c.erigatura.αPpta diculariter: et ducat lineae.a. In continua et directu ra. a. b. dico tunc quod duo maliguli. . f. b. et . e. a. sunt equales visi ex mura propositione capsi de triangulis: est antemaragulus. f. rectus et percoseques maximus instrotiangulo ergo. b. d.est maxima latus in illo triarigulo militer in alio.e.atigulus est rectas tu conseraquens lanis. c. a. es mannismillo:m pri pericinam cap de trianguli arin albain igitur.d. f. Gad. b. ad equalitate.d. b. item ex alia parte Urabam. c. e. vs Q ad. g. ad equalitatLc.a. et ducam linea g. b. et babebo c.d.g. b. anguluysoperi incirsi I mo:es mil. . l .eqle. . b. et .c. g.equale. .a. ite.g. b. est equale. a. b. IIm ut equale. e.f.qlie est equalis. a. h. sicut pi quia equaleslunt partes. e. a. et . f. b. uitur uniae addat de coiinue puta .a. f. ad bucerunt equales P quilita coceptionEsulit igit sibivs Pometra tetragoritas. l .c.d. et in agonsi.a. l .c. .scd plana est rectagulum. g. b. e.d. maius encse: cunda eream bili superflacs.a. b.c. d. amcdnim ipsam totast . a. h. c. o. prcieri langula. f. d. b. loco onus habet triangilla. e.c.a. eques suinpti exteritis: ergo colitiitet equale et in adpin continet qua
drangula rectangulum. g. l .e.Lergo poli uim quiangulum maius est non equi bito sibi risperimetro quod erat ostendendum.
cinaria concluso. Omnium poligonioru soperimetrorii aeque multitudinis lateria Sequas, lium angulorum maius est aequi laterum.
Dec propositio G pcnim colaqii ter ad precedetcin: et babet errimam statim: muInpiscatione et doperaiicite algotisticu .meis supcies altera parte longior conicta sub. q. lineis quam due simili αpedes et aiie e. q. . Pedu constat quod eius. Φ.latera sunt. II. pedum:igiturninsiduorsi latera iub qui, netur initam in aliud babes stlitatem octo peduin quatratora: sed si facias de perimetro. I 2. pecu qiiadrata ualdi collatia, ipsum in quolit citatae trabebit. . pedes et mnc area erit. 0.mdam quadratoa Cum ergo illud equilatresistylaperimen uin illi altera parte longiori:s iiivir quod equitatellio equi latero sibi soperimetro sit inatus: inc in qualibri specie figurars regularis ura erit capacissima equalitate pertinetrorum supposita. Et struam deuentu est ad figuras regulares procedendo ab irregularibus ena k6m eande speciem in poligonis o .nsic'pponamus uria coclusione circilli dest ini figurara regularissima: uniformissima otin figuraru ris rimetrarum.
Quinta conclusio. Omnium figurarum ysoperimetram circulus emarimus. X quo sequitur equalium superficierum aminima mea vel perimetro contineri circulum.
conclusio in ex nubus precedentib' si lim qu plurium angulorsi maius estim dicit prima istar circuitis alitio totu est angulus: vi stamdo celi et mundi dicitur: est mim perinicie circuli curauarus iniit 'plictis: et bimo randitur rem applicatione partium no directa nec alid meo recta vi in per quarti pa de circillis:lelltur c, si ad hoc circulus sit capacissinius: nomii qet plin ta ea
singillorum ea maius niveo in perimeter eius in putribus locis recedi a inedio:nti alit perimeter circuli bl vrccedit a medio u uim possibile est itioibuo parab' suis stile locis. Ite aqs est equialiugulum maluo estut dicit sesa:ciicillula et est eqitalissimus in maturis suis qr milarmiter inmma uir crus perimereri scitetur quod uetum ad boc circillus est marimus. cierea si quod est equitates rum et mavis ridicit terna:cu cu acies equalissiinus in suis lateribus quod patet fidescribatur poligonium equilatauinn a circiiiiiiii: tunc elii quodlibet latus poli sonii abscindit eu uaportionEdepcrimetro circuli: que quidem pomoneo sunt quasi latera circulusci tur et si tum ad c circulus est capacissimus'.quum igitur adtes coditiones capacitatis circulus maior est in planis figuris: et coiisimiliter spera ili bliuis. Correlari iamin de se. Et suest finis huuiosccnlidi libri.
J liber temiis nostri copendit geometrie
dea portionib' magnitudInuo numero' corres podes se libris. Euclidis' suta pncipio qnt usi ad fine. io.lib. habet capita septe.'Caput primum depportionibus in comuni:genus ipsum primodisfinietus do: deinde in species diuidendo:atim ebra declarando
67쪽
UST CONSIDERAtione linearuo lapsteserit: tertiu lacusibilure vendicatseri geometria nia speculatio corpoω illa sit tertia spes magnitudis: nili apportionu materia ad p misso A 5 sequetiu tecta intelligetia sitisses necessario ita termisceda: ide causa et priceps n Euclides ques murrhae doctrina octota arithmetii supticie o corpori by inoterposuitaenia ergo sideratio nia erit de oportioib magnitudinuivblimp misi aduertedii r interest geometrae totaliter tractare dei portionib': naarithmetic no inuenitet numeris Oimi portionii minios qua infinite sui Proportiones quas numerorii natura notatis sicut alias in primo libro niae
arithmeticae testati sumus. si aliivocabuluiportionis est diffusu Saatuo applicae ossius fere adinvice coparabilibus secudii magis S minus: ideo secudum unc coceptu coem sic pol diffiniri. Proponio est aliquom ad inuice coislara tulit unius ad alteru certa habitudo: velfigia pinnumeri adnumerum: agnitudinis ad magnitudine: soni adsonii te potis ad te pus motus admotu: humotis ad humore sapori ad sapore coloris ad colore Sc. Geometer aut cotrahit intentione Oportionis ad magnitudineo habet ea sic distinire. Proportio est duarii magnitudinu eiusdeditis unius ad altera cena habitus do: dico aut usdemis: qa sola talia coparabilia sui adinvice visu capro . . praecedetis libri diκimus. Diuidit auipponio in duas spes.s.rationale dis rorationale: qaccipiunfines paratione adlutate proportionaliter diuersas. Ni cytitati qda sunt c5icantes siue comesurabiles: qcii dicun incoicates siue incomesurabiles .auatitates coicates dicunt ille qbus est una quitas colinumeras eas: dicie aut una stitas alia numerare die esidii alique numerii accesptaiducit ipsam: ut linea pedalis me surat bipedale vel tripedale linea sunt ergo c6Icantes linea bipedalis vel tripedalis quas pedalis linea secuddu binas
riti vel ternarium umerat: cststates vero qbus no est unacdis' titas eas numeras dicunt incoicates siue inconae surabiles cuiusmodi sui diameteret latera
quadrari ut intra demoitiabie sunt igit secudii haec duo oportionis species scilicet rationalis Surationalis .Proponio rationalis debes ibulatib eoicastibus ipsa quo sola est qdebet numeris: irrationalis vero nequaqj copetit numeris sediutitatib9 in comesurabilib' Vnde manifestu est et ad geometra ptinet totalis yporuonis consideratio: qiois x portio est magni nidinis: sed nooispportio enumeralis. Disseriit aut iste duae spes pricipaliter in hocq apponio rationalis denota immedietate abalics numero citerii sit Gretatucoscatit op ut scdm alique nueriminor uraliqis minoris maiore niteretri,pter qd diciti ides i. 6. lib. cloim dua' blitam costatine .pportio rei' ad altera antiponio nuer ad numerii: S hoc magis patebit inseris. Diuiis
die aut haec spes oportionis sed oem modii sed in que diuisa estpponio ita
arithmetica: napponiontinueraliualiae eqIitatis:alsa in eqlitatis. Et adiporistio in eqlitatis subdiusdiξ: alia ei e maioris in litatis:alia minoris: S utram accipit iter eosde teriosvariato ordinae: pria erile habitudo maioris teri admi
68쪽
analoris in aequalitatis sunt. s. vlipportio multipi hyponso supparismlaariCSpportio suppartien Mite oportio multipleκ suppartieularis: Syporatio multiplo suppartiens:& totide habet species oportio minoris nequalistatisqeisde designaturno ibus addita ista praepositione suis. Et haeeoia surdictitarithmetica: de multiplicib: d litisioni istarii speciem dictu e ibi qreno oportet hic ampli' insistere. Proportio aut irratsonalis no denotas sic 1 mediate ab aliquo numero vel ab aliqua oportione numerali: qa no e pollibile ut seculii alique numeru aliqua pars minoris numeret maiore: cotingit in mediate denotari oportione irrationaleat portio numerali opportio diametri ad costa e medietasi portionis duplae Sita capiunt aliae species huius p portionis denotatione a numeris. Di indit aut haec Pportio in duas speis ciesqsunt oportio irrationalis in longitudine Sin potetia: She actipiune penescoparatione ad Pitates inconae iurabiles Sad modos diuersitatssineilae: ut eκempligi deIceda adllineas lineas tein q, a sui incomesurabiles in logitudine ini: qdasiit incomesurabile si logitudine simul Sin potetis. In comesurabiles in logitudine luit quam logitudines no coscat actu si auteinplicies qdrate inqs possunt coicet: tuc siit incomesurabiles logitudine tui sed edicates in potetia: Shaec est pria species: me pluit diameterolat' qua isdrati eiusde qa nocolcat actu:qdrata aut eoru coicat scam oportione dupla. Si vero septiciesqdrataeiqspoisiat duae lineae et sunt incoitates S in comesu. rabiles in logitudine: siit elia incoicantes: tue ille lineae dicune in comesura
hilo in optrudine Sin potetia: d haec species est lada ineptu accisas linea
medio loco oportionalis inter diametrii costa scam arte infra poneda: iriem lauet mi qdratim illa linea media inueta sui incomesurabiles in logitudine: costatu cii extrema fuerit in comesurabilia inter se eruto in comesurabiliari medio ter scdmiportionem cotinua geometrica media tanter ipsa: tosteda in sequetib': eede lineae incomesurabiles erut in potetia quiqdrataearuio coicat. Na/κ decima septima sexti libri euelidis: oimari u lineam cotinue oportio bilisto e pria ad tertia tm erit qdram priae ad dratii secudae: sed pria est costa e in comensurabilis tertiae stest diametem os drata priae disecudae est medio loco opinionalis erut inco mensurabilia: qqdrata dio cune potetiae earii Socoseques non soluto coicatss ad lineas sed etia nen clad potetias. Potaut utram spes diuidi teriti tot spes di modis accidit lineas sie vel si edinco me sura biles. Nino solu lineae post ut re in comesurabiles in logitudine tui duishnt sicut diameter Scosta sed etia aliis modis lane infiis nitis: sipter dico delineis in comesurabib: in Iogitudine potetia: qa nostitistu ille lineae laccipians mediae inter diametrii S costi: ted etiam medie inister illam mediam ct istas: Sitem mediae inter illas medias: S sic in infinitu. Capitului secundu dei portionalitate S de modis arguendit eam. ROPORTIONAlitas aute geometrica: sicut dictu Piti a rithmetici e silitudoiportionu: unde ad minus reqrit duas similes pa portiones.Dicuntur aut Pportiones similes quaru est ea de deno
69쪽
tera Sse de aliis S medietas duplaeo medietas duplae de genere pro pol
tionu irrationaliu. Tales autem yportlanes aut comunicat in uno termino aut no. Et primo quide modo hipportionalitas continua quae ad minus in tribus terminis est costituta: ubi coseque primaepportionis est antecedes se
dae ut sicut .a .ad. b. sta. b. ad .c.S haec est comunicatio intermino. b. Secudo
modostiportionalitas discontinua vel distucta ad mlnus in . .termini, Gnitiata ubi media sunt diuersa ut sicut.a .ad.b.ita .ciad.d Coungit in in eisdeterminis una a portionalitate inferri e alia multis modis cum laetita, ristionalitas discotinua: Neuclides ponit. 6. modos in quinto libro suae geomea triae: d sunt quasi quida modi arguendio secundu hoc sunt. 6. species Pporationalitatis discotinuae. s.cduersa permutata: coniuncta disiuncta eueris: dc aequa. Et istae modus arguta requirit ad minus duasiportionalitates: sicut Syportionalitas ad minus requirit duasiportiones: Sest una antecedens alia vero seques quae infertur: vocatur tame quandoq ipsi termini anctecedetis di cosequentia dc prior e lipportione qualibetvocas antecedes: Posterior vero coseques o sic accipies haec nota in descriptionib' sequeti . Conuersa igitur portionalitas est cum Mantecedetibus sunt colaquetia die consequentibus antecedentia ordine contrario si arguendo: sicut.a.
tecedetis N postea colaquetia: N eo uerso de.d. N.b. istud de patet in numeris acciniedo. 6. .3.2.6cide in magnitudini siue comesurabiles merit siue noeomesurabiles comesurabisses emhnt se modo numerorii patet etia deinc5mesurabilibus si enim intelligas per. d. latus quadrati parui P. c. eius dias metrii per . b. latus magni'tradrati p. a. diametru eiusdem verum est quod si
sa proportionalitas pbatur sic in ptima coclusione secudi libri ordani: quia
denominatio a portionis minoris numeri ad maiore est pars vel partes quotae illius fuerint:. ergo praemittendo minores numero si. a. ad .h.eiusde dea notationisiportione habet sicut. a d. d. seqtur , tota pars e .a minor ad. b. maiore: quota pars. minor ad . d. maiorem: ergo.d.etitaeque multiplMad. cisicut.b.ad. a. vel statur letotae Noe.a.ad.b. sicut.c. ad .d.ergo.d. erit aeque superparticillare vel superpartiens ad . sicut. b. ad.a. Permutata Pportiodalstas dicitur cum e antecedente secudaepportionis fit cosequens primae N eκcosequente primae sit antecedes secuta ut sic arguendo sicut.a.ad. b. ita .ciadd igitur permutatim sicut .a .antecedens ad. antecedens ita.b. sequens and .consequens: Stenet cosequetia si siuei has lias intelligas numeros siue
magnitudines siue comesurabiles siue incomesurabiles: in olb' em istis cytiistitatibus tenet ista colaquetia Alsumit iste modus arguedi in aliis scientiis N ad diuersas materias trahis sed qii in aliis tenet 8 4ntio: difficultate habet di alibivideri debet In hoc scdo modo arguediiportionalitas coposita eκ oportionibl irrationali potin ferrieψpportionalitate coposita eκ rationas bilibus εἰ ecduerso: quia sequi sicut costa maior ad suam diametrii ita costa minor ad sua diametrum: igitur sicut costa ad coram ita diameter ad diam:
70쪽
tria sed possibile est quod costi sit dupla ad costa di tunc sequitur cidiametersit dii pia dia metro: hoc aute no accidit in primo niodo S causi est quia ibri
mos antecedes este κyportione maioris su equalitatis coseqties erit eκ proportione minoris in equalitatis Sieotrassem aute in eisde terminis cuproportio maioris in equalitatis est rationalis erit di rationalis minoris nequa alitariapportio Sicoverso nota enim nodisserui nisti hac praepone sub: percoseques rationalis no infert irrationale nec econuerso Permutata proportionalitas demo stratur in tertia laetidi iordani missis in xportione nisu noribus terminis: quia si .a .ad. b. sicut.c.ad. d. ergo quota pars vel partes est .a ipsius. b. tota pars vel partes erit. c.ipsius.d. quare sequitur .a. tota pars vel partes sit ipsius. c.quota pars vr partes b.est ipsius.d.ergo habeti portiones eius aedenotationi simu ad tertiui sicut secudia adqrtu: eNempla patet clara. Coiuncta oportionalitas est quotiens a disiunctis terminis arguitur ad coisiunctos ut dioedo sic sicut. a.ad.b. ita.c.ad. d.igitur colunge do terminos tenet sic sicut.a. bind. bata .c.d.ad.d. de ordine seruato Disiuncta oportionalitas
dicitur ciuemuerso a colunctis terminis ad eosde diuisos arguitur: ut sicut.a. adiit c d ad ligitur sectit. a. aib. ita c. ad .d. δἰ in istis seruas ide ordo in terminis inribus fit illatio Conlucta proportionalitas demostratur in seκta coclusione secundi ordani etia*missis minorib' terminis: quta si via ad ,sic ead.d.ergo quota pars vi partes. a. est ipsius. b. tota pars vr partes. c.est ipsius d. unde sequi sicut.b semel totve .a. b d adhuc superat. a. pars, partes psius Nitid semel totu est in edd adhuc superat e tota pars vel partes ipsius d
c.d. ad.d. quia P portionu denotationes sui similes e parti aliquotiq. κqua Obatione sequitur demostrati proportionalitatis disiuncte satis clare. Et eκ illis probaretur facillime Oportionalitas euersa sine coiticta siue disiucta per easdem partium denominationes Eliersa oportionalitas est a diuissso simplicib' terminis ad colunctos vel copositos no eode ordine sed e coaneris oportionalis illatio: ut sicut. a.ad.b.lta .e ad.d.sgie sicut. d. c.ad .c.ita. b. a ad a. Et differt acdiuncta quia in illa arguebatur ad cosequetia hic aute ad anstecedetiad ideo vocatur euersa. Et potest eme duple vel euersa coluncta vel euersa disiuncta pmiscendo eam cudua specie iraedictis. Etia possunt alii modi arguendi fieri e permiκtione horti motam Equa proportioonalitas est duabus multitudinibus*titatum propositis sibi in similitudia nepportioni correspodentibus substractis mediis primarum &vltimaruin habitudine proportionalis illatio sic arguendo sicut adib&e inter se: itastes inter te igit sicut a ad. c.ita.d. ad. f. Et isti sunt modi arguedi utiles in omni blitate tam cotinuari discreta. Et in omnibus quattuor Φtitatibus pro 'portionalibus potest facere quom nes has essequetia praeter ultima quae ad minus se terminos requirit. Unde si fuerint quattuor termini vel qualitates
proportionales conuersim erunt proportionales ecpermutatim Sconiuna
mersim S rursus diuisim: quod dico quia diussam oportet colunactam praecedere sicut iidescriptione 3portio litatis disiunctae dictum esti