장음표시 사용
61쪽
Suppameaeo quotlibet que in data multiplice psiciant suppariteles multiplices: u
Sit admota multipliceinc sumo duos numeros coquo*vnus non nsiere talium:ssim h maloret Primus adaper inimam tertii quero niultiplicem ad ε:qui addat sup mltiplicem b nsterum c.ssimpuiusmodi multiplex ad a numerus d que numerat a rin stet multiplex ad b sit ridico suppartierem cuius denotans partium sit e multipIex b: et nsierus partium ursese unam suppartientum q querumrinam si in spartes illas ductus sises partes a ducit:quapnumerus est drideo numerum Hucunt sed et suptasti partes fini numerum c me non numerant b:ergo a et suppartiens utills denotata* ab equestis costituent sportiocin rimitiplicem suppartientem.et hoc pacto quotquot voles quere.
Eaproposita supparn rc multiplices perscrutari: que cum eadem multipliceo supα F paruentes constituant.
Sitas parties data et bdenotans pies:cto numerus partium: et si id niaiozbuno ducatur. cindet enm multiplex bs et iniud totidem pres. quare multiplex denotata ab P cum suppartiente grata a 'intueriti mplice suppartiti .et ita fiet si 4libet mniplice ad binaiore sumatute et fm has a pones que inuetionem a postsit accuratius exequi euraui que ubi exactiora secutio facta miset etiam lagentibus allatura fuisset fastidium.
Supparticulans et simul multiplex supparnailaris cum eadem muluplice: similes ,1
ssi Sita avortio multiplexIetb ortio supparticularis et ei ruo multiplex supparticularis sirin a porri scompositas ex betaretere et aestentes.nam in supparticialaris denotetur ab uno et partem mmplec sudparticularis denotetur a numero et eadem partemumerus igitur multiplicis in unum et numerum ductus scitast facit numcisi.addito igitur utrobiq; od fit ex eode multiplicis nucto in partem quesupe si si cum vnon uerum facit et in reliquo facit redem: t si cum vno pars vel partes
Quiculam proporti5cm suppamens cum multiplice conmtuit:eiusmodi etia cum cadem emciet simul multiplex suppartiens.
Sit amestiplex:b iuppartiens'quetu*:et e simul suppartiens multiplendito b et a simul item e et a simul similem constituere proportio . buius ut precedentis demonstratio est.
CEi ab unitate numen cotusue disponatur: et singuli ad xltimos dcscedendo coim y parensr:fient oes supparticulares proportionoe: tanto minores*to remotiores.ad unitatem Vcro omnes multipliceaetanto minores quato .ppinquiores
Sint a b c d eis gibhnumeri ab unitate continue sumpti:dicost mohadb esse supparticularem proportionem. et ad xet g ad Laem deinceps rem ad unitatem.et had b minorem esse proporti dem Φhadget cetere inferiores.etb Ugminorem Ocelere inferiores.nam coeunitas sit cuiuslibet nucti pars:et quilibet superiorum addat statem ipsam t fiexcIudendo sud Nnnium inferiorent:ciso perdiffinitionem ho dei badgatii ita deinceps:est avortio suPparticularis requia per conceptidem mea minoreus maiorem babet denotationem et unitas similiter per conceptio sit culusibet numeri r sabipodeno Matergo Mortioues ille ab unitate remotiores:que a minori parte denoti minarur sunt minores.et quato ipsi mirari spinquiores a maiori partevenotantur: quare tum errat maioran tota series numerorum esset ordias Mostis supparticulares specie quidem babile essent non auem numerum acceptetanani ea amorito que est ternarii ad binarium:est senarii ab quasnari siet duodenarii ad octonarium non tamen due vitie in ordine proximorum trumero una essent accepte. Greudo dico omnes colimiliter strinue admiratem sumptas esse multiplices tanto minores oeto ipsi visitati vicinioremnam a primus post eam n sterus bis eam stinet et b ter et e quater.et ira psequcter moes spectes multiplicium sedet tinue a maiore nunetero denotas multiplex. et ,tounitati viciniorani inoremustus enim binario nil rhinoest igitur cognitum quod erat demonstrandunt.
CSi a comuni angulo naturalis series numeroriim in longum et latum extendatur: 3get ipsis inuicem multiplicanori qui a uentutin angulan coiiciana pomis: fit sit imitor: ominum ad primum stat collano ordo conlatius multiplicium a cedet: si ad xximos proteami ad ptimum ordo supparticula .et qui circa diametrum collocati sutit: oeserunt quadran. qui vero ibis binc inde amini:sum altera parte longiores.
62쪽
L l 3o Tripla ad eandem' i S lia iis .ici ii iis G ruadrupla ad eandem
Csorniata ergo hac mesula Drthagore et dispositiora ponit propositionumen pordiust, rasea pino u si linguli ordines ad primum comparetur Amentre per ordinem mitiplices.na cum vnitas sit caput prime lineriet seclidelmee caput pinusin numerus sit binari .est ergo primus numerus stet elinee pino numero duplus et pmus multiplex et quia binarius multiplicat oi nueros prime unera et ex multiplicatione prinue se a linea 'ear et secsidus numerou ordo.ergo p diffinitioem quotus unitas in urnario toties 'tinue finguli pmi ordinis in Rngulis secundi existunt.iglin singuli seindiordinis ad singlas primi dupli sunt atineque multiplices.etqr primus teriss ordinis est iapluspmo primi qui est unitas et ex ptinua multiplicatione singulo*primi ordinis peripm productarii litertii ordinistergo p ide q6 prius singuli ter in ordinis sunt tripli ad singulos primi orbinis. haerone babis singulos quarti ad singulos pini esse quadruplos et quinti quincuplosulem deinceps. Seoido dico in si fiat comparatio tertii ordinis adsciuem et quarti ad tertium set quinti ad quamms et sexti ad quintum:et ita seque ter 'tinue myparticularium ordines surger iam strenuevidemus singulos bore et singulos illo* ex ductu duo Ayximop numerorum desinendo ab unitate sumotorsit in eos enasci.at per precederem illi numeri tinue seriem supparticularium coniti l . et singuli posterioris ordinis ad priorem ordinem strem retinebunt qui rur6el scem. io oleo Meros qui constant circa diimetrum esse quadratos.illi mi sunt quo eaput es mirasret suprenius est otin marinius quasstogissima linea:et numerorsi ordines quali ex equo P medium incites.qitos dicimus esse quadratos.nam illos 'tinue videbis ex lateribus equalibus UFuctos mola inferorsi seriem criscentibus.er ut igis ocs quadrati.et si lineas ad eo* latera equidistater vitraxeris: ptinuequadratam cocludes figuram.Quarto dico numeros hinc et inde quadratis altrisecusinme adiac testese altera parte longiores.nam oes illi in numerorum seriem Fdutatur ex lateribus ino vi statibus Φvnum eo* latus sit quadrati latus. et alterstnivno latere eiusde quadrati minus.sicin tota cognoscie ppositio.Elee boc sim notum ere potest* ss stnguli altera partet ores singulis quadratis quibus altrinsecus cirresistunt comparetur:a a portione dupla oes hiPparticularium species a creanrurret dilo primus altera parte logior unitati priluo quadratoco paratus est duplus.eis altera prelongior ad scdin quadratum relatus per sc6am Partem huius est sesqualter.eti, tertius alta parte logior ad V tertium quadratsi d idem est sesquiritus et doc pacto osequeteri CEt idem de supparticularissspeciebus euenerit:si primum altera parte longiorem secti do quadratos et stam alta parte logiorem tertio et tertium quarto. et hoc pacto delii Q scomparaueris. Et rursum si primum altera parte Iongiorem inter primum ouadraist et stam collocauisis:stmilis . ortionsi habitudo seruatur erit. corinue a1portio dupla. CEtllsci in alta parte longio unicisti m quadratum et tertium couocauareris: sttinue sesqualea babitudo seruab tur ex prima et screa parte butumet ita 'sequenter reliquas supparricillari stois cras hirudines rΠ3erias si reliquos logi laterosnsieros suis quadratis medios ine nexueris:ex quibus digna illa 'templatio ad byt agorica et vlatonicam intestigentiam mometum babens P de quadratis et alea parte longioribus diuus Seuerinus 33 capite stat sue nrithme, rites elegantissime affert:vel perspectissima esse potest.
3ρ CSi supparticulares abunitate sumitur:binis et binis distuc nisi pisicus prima mul tiplicium:ac consequeter Oim supparticularium specim Muenire coviniet.
Sint a b e die 'si hi otinue abunitate sumpti supparticulares numeri ut iuri turdisiactim bini et bini scyea.ec.g et kg dico cad aene primam multiplicium et eade et gade et Eadg tinue 'stituere species supparricrarium.nam P penultimam etat a b c defgdknumeri tinue ab unitate sumpti: sed et uno in intermissis hoc pacto binis et binis dissunctim sumptis:sumuntur oes ab mitare pares.quare per decima octauam septimi ipso sttinue sunt redem a portioes que numerorst ab viii tate eotinue disposito*.at binarii ad unitatem est prima multiplicium et sequetium ad sust precedentiem in series supparticularium. constat igitur quod erat demonstrandum.
63쪽
Si a positio ab unitate quadratis: nucricis uno minores sumat tir: supparti lares ab illis dicte: proportionum ab unitate crunt differe litie.
CSir unitas rei numeri post linam a b c:et quadrati eo* d e stet minores eis uno g lγ h. dico suppartis culares denomiaras ab gibilique sint dat g.e ad h. et fadh: esse differetias a portionum ab unitate sumpta t d ad g esse proportioncm qua abundat dupla sup sesqualteram et e ad b esse qua abuti dat crux altera sup sciuiliti iam rhsic ιν in in modum psequeter. Nam si primam quiri differ tiaqtra absi σdat a ad Uitate. et b ad a est a)portio q fit ex Muciis a in se et unitatis in b:sed a in se facit o qnquid c d est eius quadratus et Uua sua b perscfamet decima nonam primi tumg.igi utra portlod adgest differetia Aior itoliis a ad vilitatem et badu et acrone ostedetur*portio eaod ella differetiam .pportio is D ad a et e ad b.et ita de quibuslibet consequeter quod cst propositu Π.
Ei ordinetur ptiliue multipliccs et supparticularcs: et ii vi cxircinarii multiplicium 4i quelibcr dite conlucte minus sint * ni edia duplicatavcl duc medie conlucte: suppas α
Sint primo 'tinue multiplices abc:dico cepositam ex aste minorem esse proportioem Og portiob duplicata. nam quia denorum Stes pinnire equaliter se excrest: ergo per scdam primi denotans h est medietas denotantiu a et e simul sumptou.et o deci in anonam eiu sed enotans b in se maiorem idit: cit numerum e a in c.atu octauam duius b in se a ducit equale composite ex a portione h duplicataque pcr VI ccs malafain trusus erit multiplex. et denotans a ιn denotantem c:ν ducit denotantem per idem turtiplicis ex a et c. igitur nulli iplax ex b duplicata: a maior en uero dciiolata ae multiplex postra cxacte maior est inultiplice copo suac xaetc.sis est pr: mum. Sint seclido de ptinue sit inplemys particulares Qua* d sit maxima: et differ cite Gygeth. dico,pportio es det f simul maiorem 'stituere pῖ portionem Q sit opportio duplicata. namqr per precedetem partes g denotanta minori ruullei Ct partast ab materi: nam a numeris retinuoris quadrato p uno minoribus. ergo per parmam Durus .pportio g maior est et portio e b.at d et finiat tan* e g et f. nam d per se tin est Qtum e g. et e bis tan* es eth et monstrata rue maior h. igis per quintam qui ian erui det f maius u e duplicata .etbocia Iodo facile idem vi utra ιν parte ostendas situ e ponatur medie a portioes.stc pcocludmir propos tuni.
Siam parcs postici narium plinit c sumpti: ad muros post binarium naturali serie
CSin tabe numerarest binarii. incetinues rupti: et definivpi otinue impar post tertiarni m. t iret ad a, cicad h. cisa csus pertietes tu; uad cnotatio cerest ic s. nam cu disserctia impatium sit binarius o addit sust ad inari una qui minor ci eo vito.tgui: r de dacst surpartic s. et iter: cum difffercita imparium sit binarius: et iiij cre* ab unitate dispessi cudifferetia silvilitas: addet esu ub uno plus Q dsuda. se ciere te smit centuluc impares raddet smycadhuc uno plus si e suo b. crescunt igitur differentie imparium sup nucros ab viurato sumptou sicut rippinueri: ira*cotinue procod incit differetia imparis Dystque tem .sed numeri untiate distares sunt trase primi igitur differetia qest numerus prece Peris adsequctem ruris σο*ab unitate disposito*: non est pars sequens. est iginaru primam pinicius dies. erit igitar portio e ad b suppartiens et fadc supparties. et mme partes finnumeror unitate disposito p utitatem crescunt: ersit et ea* 'tinue crescetes denotationestimo et quia
denotanta numeris pira se prisinspirnu ei cedent diuerit suppartientiu species. es est propositinu.
Si coni positus ex primo pari et impat i et qui ex reliquis imparibus cidcm p mctis 43
aggregatur: ad numeros a duobus dispositos comparetur: amcnici diu cris multipliccs supparticulares fiat nueros miltiplicium et denotationes partium sisses baberes
Sint a b c d nsieria binario ptinue succedetes: lint in ei fi gi d nucri a ternario Oseque ter imparessitin compositus ex aete primo pariet impari. elicem pontus ex feth. et inco postitio ex get I. et nexbet inmito hii m neopatos ad a b c d facere multiplices supparriculares finxi iterum multipliciuet si partium denotationes .nam h pponis ex aet e binario et ternario. a te addit in P a partem unam ab ipso denotatam so unam ni ediam cita scdam etsi idemvalcat:ergo κω mdatus ad a bis ipm 'tinet et eius mediam et adipni est primus multiplex lay particularis. sed et 2 decima nonam septimi scoponitur ex aetb.et g exbet taeth excer d.et per septima sexti quadratu cuiuslibet additius quadra iii animiq6exipus coponi Eut quadratum bis P quadratum a strumq6 coponis exa et D.et quadratuc sup quadratum b d tum c5polite ex b et c.et ita deinceps. et quia h addit tu P quadratu a vilitatem: Isimiliter addet suu quadratum bret ni sup qnadratum ciet n ni per quadrarum omitatem. quare sine mili eousingulos illo* cotinent f se et partem p conceptio cin ab ipis dictam .eriit igitur ps licter ipsos: nullit plices supparticulares,quod est propositurii.
CSi duo pini impares plugatis: coposito in reliqui i parta applicetur: erit ut xpor, q uones copositor; ad nucros post binarium suis pios suar diua se multiplicco suppar uentes et ab co dciis numero et paritas num cratas et multiplices denotatas habetes.
si Sint duo primi spares a et B:ri eo posit' ra et sinim relid spares o es qui addas posito c:sintcs aggregatis h h et Iim illo ita umeri 'tinue post binamst iupti dico cadi et g admiret, ad nseth ad odiuersas e/ multiplices suppartietes et singulas ab eodem numero minisices denotatas et partes
64쪽
u uratas. t a b addit super a biliarisici raoc bis continet a tui se peraddes binaria. sed binarius est uno minor a:emoeli eius tonde partes. it igitur cada prima mulI plex superpames: quare et ad i. ciraeti sunt ident numerus.Item minisunt este addit biliariu supcreo es sum: mnario in a.et x narius in m per nona primi facit ciersoc bis eotine in .s ct per cuna nonam septimo eos areae lerni: et a costat ex erid.ergos connet terni. et insuperi tres scI clus partes.erumgad insecada multiplex suP partiensat huncinniodsi probabis litan costituere g. p decinianona septum mn constituere e et d cotinere ii secundu m.et insitu in quattuor scI parrcs n et Lia cosequet ter inuenies imi tiplicium denotationes et ab eo de numero suppartientiu partes numeratas:q6 est propositu.
s CSi due diucis supcrparticulares coniugantur composita aut erit dupla aut superparticulans aut supcrpamcns.
CSint ab co es quotlibet per ordine supparticulares:dico * si due queliber simul iungant emipos linii esse aut dupla aut superparticurare aut mypartietem. nanistaetbsesqualmia et iesquitertia colungis coposita erit dupla.na coiisti ruta duplaruiuenis per prima quinti sesquitertia arportionem qua abundat dupla super sesqua uera .constituerigi ardue prime Pupia. sed si eum a aut eamd autea ut scolunxerio:qr per tricesimai rinia huius quelibet est minor b c sita imatio erit illa dupla minor et ideo no multiplex. est efii dupla per eande tricesima in tuna duius multiplicij unimari siscoposita iportio aut erit supparruularis aut superparitas: quod est propositu.
- CSupcrparucularem inuenire:cum qua quotlibct superparticulanum quclibet:sua
Sint a b c quotlibet numeri ab unitate xportionalestet sit d punius ad a qui lde etia per vicesima septima quarti erit primus adhete et colungatur dantibet eorum et proueniat compositi essi. v I er nona tertii quilibet eoru ad quelibet eorst et quotlibet alios illius orditiis a ortionalist primus. uino itersi cotinue a=portionale post primos qui sit det pervicesimaquinta terti minimi que nume' rant v ef g qui sit te qui pervicesimasistimatertu erit pilinus ad b.iit ite perultima tertii l uiuuipi det in ii ultiplex tr.addatini super motum esto deinde addo sigillati adinumeros ab e et ploueariat copositiis pq:manifestu est Iesse superparticulare adni. naei superaddit sua partem sc3 P: sed cinet superaddit det a quo est e.etpei superaddit dictb quod est Let et ei superaddit det equo est g et pervicesinadtertiam primi e fg quilibet est pars m:Mest pars u.igitur ii p q pariter et I sunt supparticuliares ad n .eonstare ergo potest propositum,
ιτ CDam supcrpanicillant: quotlibet alias inquirere quarum qiiclibet cum eadem: smpermetientem ciliciat.
Sita denominas partem date supparticulari vimino ab unitate eotinue a portionales quorsi ipse sit virus qui sint abe.dico Mportione superparti re puta abacum suppartim cuius pars de nomitiae ab b vel ab e constirum superpament&qualisi presens proponit inuention anicopoma ex pportione supparticulari renotata ab a et bene a ab b habet in denotatione sutum et partes dditatur ab a et ab h per octauabuitis. qqui de partes per quaria huius denominatur ab eo os fit ex ain b qui ut d sed ille per decimatertia nutus no constituunt parte ergo in plodortio evostia re demostratione penultime nosti multiplexne suppartiaularis q: partes composite non costituunt parrEvnrurelinquis ergo composita else superpartiente: et ita de qualibre alia.
.s CGmnio Hypaniculans in qualibet suppamete: costituit xportione tripla minore
griam diipla cusesqualtera que per tricesinias tima butus estinam luperparticulariti 'ponimi per correlariti vicesimetertie duius tripla: sed ois proportio suppartiens in minor ipseone dupla igitur quecum a portio superpartista cu macima supparticulari aut minori supparticulari u quinta quinti costituet proportione tripla minore: od es propositu.
CData proportione que tripla muror sit:in supparticulare et suppartiente partiri.
CSit primo supparticularis queculi. data que hoc modo diuidi petatvr Aapio a eth mimos teriosa quide minore et b maiore inter quos constat.qui per tricesinas tuna huius erunt numeri in continua serie nutriero*sumpti:solam unitate distates.ssime copositus extis cui ad Mura et amentat de quoquide maior unitates ite et ducatura et bino et proueniat fel Derita per octaua scindia pomoa ad fea que bada.Ite duco a me et oueniat braddetin diutar spei non1 primici tuine aceta in pstana a positus est numerare fiscundst drigitur ir ad scit portio supparticularis.Item qr b est tria tora unitate perdecima primigaddit super f Otum est d.ergo gaddit super di minus duuanifesta: sed substracto a ab d manete igitur gaddit super biniant sine et per nonan et decima terreces primus ad g.erit italus adl) a portio superparties:quare proportio supparticularis assignata que ing ad fin duas diuisa eiusa b ad f supparticulare et g ad b superpartiente quod est propositu quo ad hoc. Secundo sit superparties inter areb minimos terminos:sitaeti maior terminus et ducatim binis et inaei prouenistic et d. erit m per seprema secundi Nportio ea dea suppartus qtiebada.Item addo a ad d et proueniat per declina primi a numerabit e secundu numerii uno maioreb. Quare ea odest superparticularis. quia per decimam terid e est primus ad brergo permdecima ciuidern est etia in primus ad c.et cuni differentiae ad enon nimias sed unitate maior:ergo non erit supparticularis. Melinquitur igitur cave proportione esse superpartietem: quares parties assiisnaraca doluisa est in duas: so ead o superparticulare et cad e superpartietem mea Ndst erat propositu.Temo str
65쪽
interare b Hortio dupla que qrri demola a tum est in quadragesinaaquila bulus constat ex sesqualtera et isqvilmia iubstratas per prima quinti ortio sudparticularis e ad di querem minor sequi imia axportione additum rem uae ad fetua si data adb super cado. tqr maior en Pportione sesqualita que est maxia superparticulari si nem est multipIM:: or xportio a ad b est ni inima multis cisi mund resolvitur in multiplices.minuitur ergo a portione e ad sese suppartiti. . et qr e ab
dete ad scostituunt amomone a b consuta portione duplam in supparrieularcet superpartietem esse diuisantimario sit inter a et betu libet a pomo a dupla ad tripla costitutarsit viniere et di proportio cisostra ex mim et sesquitertia si proportio a ad b est minor Mortione cad d.ri go substracta xportione sesquitertia a xportione a ob remanebit Proportio minor dupla: sed ni alor sesqualtera. quare illa residua supra artim:et stereonio a adhesum coposita exsudparticulari viseriterna et suppartietate atm in eas diuisibilis.et lia ad b saequalis c ad di aut maior:m orno addita duplain: ouimie a ab b: erit minor sesqualtera cis dupla et sesqualtera per correlam si vicesimeterii e buiseonstituti tripia.et sesqualtera addita sesqualtere minus cmruat o dupIa in sesquitertia Φ sesqualtera et due sesquit e plus sint in sesqualtera sesquitertia etsesqui octava at per prinasi quinti de coisino intur equivi di late sesqualtere et illi duple et semiliterne.ergo substracta sesqualtera de pro pesti5ea ad di remanebit a portio minoz dupla:sed et maior sesqualtera quare sudparties esset ita nproportio a adb in Nortione supparticulare sesqualtera et superpartirecm quomodo proponisi secabilis: quod est prisositum.
ε , Cananima superpartiente inuenire:que cx duabias supparticularibus pducitur.
CSit a ad b avorso sesqualtera et cad d Sportio sesquiquarta; Πtin e od favortio et his eo oonta o 1 bico proportune e ad fesse maxima stippamelem que ex duabus supparticularibus mucitur. na et dupla ex quadragesimaauita huius producit ex sesqualtera et sesquistia que sunt maxie supparticu lares:ergo. mnoe adtest minor g Portione dupla.sedet ea de maior insesqualtera:*ex ea cum ab ter eo tantingo eadfest ortio suppartiens sedet quelibet minor supparticialaris cupro porctiesu ad blasma ermulco P sesquiquarta P quinta quilin minore a portione costituet ead Lest igitur e ad f maxima supparties ex duabus supparticularib' Iducta:quod esta possit uni.
Superpartiente inueniret quc in duas superparticulares diuidi non possit. undet i, patet quali est supcryartiente aliam cssematorcin.
Sit b ad a maxima. ortio suppartiens per Dedente cognitatque ex duahus supporticularibus
Mucia sit et differetia bada attamanifestilesta esse maiore ciuis quide parrbus.capiolte numerud uno minoreb:et tun pomo a ad creti a maiore parte denotatur maior esto proportio b ad O.addo ergo ocubet fiat remanifestiueste ad besse uΩpartientd cum cotineat bet destio Ples. et persecunda
parte decimequite secundi erit maior xportio e ad b O b ad a. et qriportio bada diuidi in maxias supparticulares constituetes supparitet ut ex precedenti cognoscit et suppartiens e ad b sit maiors opartitieb ad a. no diuidet ergo suypartiens ead b in duas minores O b ad a: ne in in eastem in quas diuidi bad relinquit ergo in nullas duas iupparticulares superpartiete eadbposse diuidi quod ei proposite.Eteorrelari si ex modo demostrationis cognoscis.
Sola mutnplicequalibet non potest sumi minor : ct sola superpamculari qualiba
ghi eo primo qualibet multiplice possessinit maiorema pertricesimaseptima butus es ntimeri admitate paraticostituunt multipli et lato maioresqu1to ab unitate remotiores et series niteroz in mensum euadirasa qualibet multiplice potest sumi maior. Scdo dico * no qualibet multiplicepEt sumi minor.na per eadem quato numerias ipinquior unitate fueri trianto ille ad unitatina inor 3 stituit multiplice at des endo no abitur in infiniist. non igis qualibet multiplice est dare minore H in aliis minime mea modu monstrabit accidet xertio dico qualibet supparticulari cssenimor Ema pars per primΙbui queaminori numero denotatur maioris et quato a maiori minor.etqr series numerari in i minit si succrescit modabitur pars adeo paruaqua minor dari non possit. qualibet igi-s particulari potest dari minora arto dico no qualibet ineparticia lari et emat ore. na 3 psque a numero .ppinquiore mirati denominae maior est et qr no contigit numerst in institit si beerescedabie ergo mi de suppanicularia maxima.at utrius. oppositam iam ostreum est in multiplicibus accidebata uo dico qualibet suppartiente esse maiore.boc ex correlaris pcedentis nota est Secto dico omni suppartiente esse minore.nam quatam data bi causa supbipartiere tertias sumo aIta a totide partibvsinenominatis a maiore numero que no numeret: vi mobipartiente quitas qquideor a totide minoribus diibus denomina: nem pluribus erit minor suppartiente data qua supbipartimiequitas supbipartiens septimas minores et hac supbipartiens nonas et sic. cosequens fimer mentum numero* infinite:quod est ostrum. 'potest et id ultimst ostendi ex tertia parte premitis: adiuuante quadragesima nona huius.
Quclibet due suppamentes conlucte: proporti one quadrupla mnore constituet. sue
CSst inter a et b proportio superparties: itidem inter b et e. dico proportionea ad b et b ab e simul: I minore quadrupla constimere proportionem. nam a in minus duplo br reb militerminus bupIo e rema ad cperquintam quinti est minor proportioneqna ruplarqueper octauam huius ex duabus duplis conflane, ergo clarum propositum.
66쪽
. EUali proportioneque quadruplam morsit in duas superpamcnim diuidae.
CSint date i portionis minimi termini aetab:qui coniuncti faciant dontine maior draio qui consiuncti faciant f :cul addatur equale di.ntae totus fg:ducaturin a in f g et Meniath:et ex a b in redem stati)ul .patet igitur u exhin fg fit tri et ex burg fit tr. quare ex bin hil. sit item cuiplus ad aetexe iligitatinii:sitae nequalis tr.per octauam secundierit proportio bl uat hianin ab ad a. et quin a b per lappoti clim est minus d quadruplu a:cst ergo b minus J triplum quarc minus Φ c.et quia g est equale d et ii equalis g:constat m esse equalem vel multiplicent ad d per duodecima primi Itemur det esurit contra se primitergo per nonam terius erit ad virun primus et per eande fregstinui adi primus.etqra est minor det ad ipsum primus secreandenonam: quod fit exa in f gla3vnonnumerabitur per decima eiusdem ab d.ctqro numeratu et otio numerat b:ergo ir pervicematernam prinit non timerabit h.eiqilla fg maius est d) triplum orergo maius erit V*n:matus ergo*u.mtergo D partes V.tteadem ratione strabest minor et primiis adfnon merabit fouod fit ab in grse3 bul.etqrs numerati: ergo Ino numerabit b Iri:quare ninthir. et qr per notast primi linqu1 tumlr bis et b.etneste qualis iret mequalis vel maior det maior betd maior mii:erit bu maior .eriti gri partes eius.constat iram h uiad n esse superpartiente eth u l ad ij u etiam esse suppartient rim quas
diuisa est pro pomoque est inter acta D:factumidesse propositum.
ss COmnis multiplex supparticulans addit super sinalle' multiplice:superparticularcanum cro qui fit ex diictu numen multiplicis in numerist paetis denominata.
Sit b ad a proportio multiplex superparticularis: sirin e ad a similis multiplex. dico proportionεbad a addere super proportionem cada supparticularent deno natam a numero qui fit ex ductu numeri multiplicis in numerii denominaiire partis superparticularis. Sit enidnuo abundat blauc et denominas multiplicis sit e et Penominans superparticularis sit Dinanilami est ergo ora cru incincinadsi e: etd iii a secutidum L fiat ergo gex e in D missi per uicesiniatertiam primi d in ciscunda g. Quare b eontinebit c et partem denominata ab g. continet igitur proportio b ad a proportione superspar icularem de ii ominata ab g numero qui fit ex diictu edenominatis multiplicis in f numere denomitiantem partis superparticularis: quod est propositum.
CGnam 5 multiplex supcrpames cuius multiplicio numerus partes numerat:addit super candem multiplice: supcrparticularc ab una partium Dcilominari. It I
s Sit xportio b adaa rito multiplex suppartiens: sitiv d numerus denominas multipl- m b-s c a quesit sumptus numerus pamsi bad a.dico a1portione bada addere supernmst multipum Ierparticularc denominata ab una illarum partiu.Sumoeni cada similemultiplice. et v b maior eitcrsiis quo abundath supere.qrenifes parres a sumptes indet denominate ab areta inparac perio minata abd.etcsi ex din a fiat celsina fiet c.est ergo sparse denomiata ab a. continet i,turbava proportionem superparticulare super a portione e ad adenominatu ab inia partium mperi artici m
si adultiplice superparricia te inuenire:que super tota multiplice addat superparticularem: cu lint numerus partiti et numerus denotans multiplice dati coincnsurabiles.
si a roponit hec .d si dari nitincri quaest unus denotat multiplice et alter est numerus pamsi simul multiplicis suppartietis: sint adimi icecomensurabiles iiivenire multiplice suppartietem que super similem multiplice addat supparticulare Sint pino a numerus denomin1s multiplice et b numerus parti si dati comensurabiles.stim unumerus sumptus sci maer perpcedente Dauni erit,ppositum. Qintscdoaetb comensurabiles:s obsit pars aer adiuuate cedentepvicesimaternam primi eo clus des spositui. Sit tertio a pars b dicta ab cetismo quelibet numera maiore at que tamen nonumeret auisito:et duco cindeta ueniate.etqrcina facit brerite maior b.et vid septima seredibade cuta adid et ano numerat d.igitur ne*b numerabile. duco aine et a ueniat 'cui adiunctob fiat g. dico ergo gade esse suppartiente que queris namgco sinete secundiustet inlaph partes e. et qrbo pars foemultiplex sit ave:etainc faciat b.addet igitur g susis multiplice ad edenominatu ab amumerub eliis parte:quod est a positiun.Quarto sint a et D comensurabiles:sed neuter altera numeret. et sit emaximus eos numerisanumeretis e numera b sti m d. capto eque euam numersi maiore cci que tamee noluimeret:que duco indet amentat fqiii erit maior bule. ab eo numerabitiar. dico ergori inprescedenti parte inaediate mostraist est, a portionem suppartiente denominata ab a et a partibus dictis ab f sumptis secundsi numerum braddere super multiplicem dictam ab atsuperparticulare. oe ninprecedenti parte monstratur: sicin totum construitur propostrum.
Caduinplice superpartiente cuius multiplicis numerus et numere partes numeras fiscunt aditi uice prinii: super simile mutuplice:suppartiente addere necesse est.
WSita numer multiplicisci, numerus partiti superpartiEtis:sinti aethnumeri adinulae primino multiplice superpartiente denominari ab ara parti sibi supresimile multiplice addere propor ditione superpartiente.sitente denominas partes b manifestu est cesse maiore benem bim numerare dueo emo a in e et fiat d per vicesima primam terru b no numerabit d atmo igitur b supero et fiat e:qrente continete secunda a. et insuper partes e sumptas secundu bin proportio ea de multiplex superpartiens delissata ab a et partium b.sed et proportio d ad e est multipri dicta ab a:α e addit super o
67쪽
r 3 numera b qui monsh atus est partes d.constat itam a portione multiplice superpamente dicta ab aret partis babdere super simiae multiplice utiponebas a portione suppartient Qq 6 est proposite.
Sola superpam culariu sesqualtera multiplice supcrparticulare procreat. 69
CEstoa adbsesqualtera et badc similiter. manifestues 1 portionea ad c composita esse ex duabus sesqualteriaria continet bet eius molata teque sit drabeo tinete et eius medietate quesite. et quia per quinta secundi d ad esuuib ad c: ergo ἔν continete et eius medietate. d ergo et e simul tantst sinit Oumcet una paradicta ab tacdtinet ergo a numerae bis: et una eius parte .cvaco tinea te et de tota differentia a ad quare due quavere coaetuunt multiplice sup particulare. Secundo ostendie nulla aliam supparticulare duplicata constituere multiplice superparticulare. et suto ab exponio nates alie supparticulares:vt portio a ad c sit xportio a ad b duplicata. a corin et b et partem eiusque sit diuiuequi de bis sumpta minuit a toto aut semel sti est et tertia: aut bis si quartata ut pluries'* minor pars fuerit. et smilis h continet c et simile partem eius que sit e. et qrd ad b sicut ead caergo dade sicut badc. cotinet ergod semelere eius una simile partem: ergo Petelini ut minus sunt*ciqua rea ad eno est multiplex sedet cudete sint contra septin ivt supponim': dete sint ut per nona tertii est primus ad e.sed et per undecima eiusde c etiam erit petimus ad d et e simul. ergo d et e simul no tui merabiit e. est ergo a ad e .pportio suppartiens:quod est .ppositum.
Multiple portio in ali sit equalesa portiones distribui non pol pter instiplices.
si Sit a portio a ad b mul lex que diuidatur in quotlibri .pportiones equales et illat aad et cad dod ad b.qt enim bad det Pade et cada sunt continue avortionales et bprinaus per bypothesim numerata ultimum:ergo per decimatertiam quam b numerabit o secundu . quare et o numerabit c et e itidem a.diuisa est igitura ad b in Mortiones multiplices: quod intreectatur.
Nulla suppamiculans xportio m aliquot equales sportiones in diuisibilis.
Sit a ad O quelibet amortio superparticulariatque diuidae si possibile est in a portiones equales ambri ad eret eoo .capio e fgba1portiones in minimis terminis amomonisa ad b: et per equam proportionalitateque proportio a ad d ea or e ad h. sed a connet v et eius parte: igitur et eco tinctith et eius parte que sitir: que sI fuerit numerus csi v numerabit d et cisa e.ergo b etcno erunt minimi quod per quinta quarti repugnat trypostes alioqui si ir est unitas est pars denotata ab b. addo ad bvnitater tum copositus l: eritin que proportio a ad P ea i ad h. ergo per duodecima quarti quot med exportiona Iesintercidfit inter aero: totide et interlet sola unitate distates:q6estipolribile.Ex bae cognoscis tonus in musica qui res doctauarportione nascitur: in duo equa partino posse.
si Eupcrpaniente proportioneque duplicata suppa mente constituat: inuenire.
Sunio qualibet proportioneque minor sit dupla quJper quinquagesim j quarta huius paruor in 'duas superpartientes quam minor si dupletur efficietur proportio minor dupla: quare qualibet multiplice. que qr per precedente no erit superparticularis alioquin superparticularis in duo equa seca, returiconstat eam esse superpartiente: factum id esse propositum.
Multiplice suppam culare q ex duab' suppartietibus equalib' pyonat: reperire. .
CSumo secundsi exigentia decime octaul quadratos a et b pter primos quorsi a addat super duo sib unitate manifestsi hin xportione a ad b essemuuipIice superparticulare. at ex illa decima facile eo, gnosces proportione lateris a ad latus b esse superpartiente. sumo ergo secund si erigentia correla in quarte seni medist proportionale inter aetb:ertim per tertia eiusde sexti proportio a ad et alii oro, portio lateria a ad latus b. quare constat proportione multiplice superparticularea ad beomo ontia esse ex proportionibus a ade et co duabus f equalibus suu partientibus:qi, est pro postist.
si Superpamente inuenire que duplicata inultiplice superpartiente constituat.
Sit aquilibet imparet b proximus parmaior cuius medietas sit c. capio superpartiente sumpta a partibus denominausaba et numeratio ab cimam duplicata dico esse petitam. nam si illa in sedueatur proueniet nummis et partes numerate aba et a quadrato equi sileret denominat ea quadrato a qui sid. sed cum a te sint contra se primi alioquina et b comunicaret. ergo peram decima tertii aestprimus adiciet pern-1 eius ema et e simul iunt primus ada quare aete simul per undecima eiusdenmt prurius ad d. ergo partes numerate ab a et e no numerab ut quare a portio superpartita due assignata erat pileata commit multiplice superpartiente.Q si hec demostratio tibi sit boscura ui, detur probae et sequelibus declaratione accipe.qt mi in presenti superparties inuenta erat superhi parti stertias que denominas ab mo et duabus tertiis .duc ergo denominatione superbipamentis tertias per octaua huius in denominatione superbipartietis tertias sc3 ducedo primo duas tertias in duas tertias et per quarta butus prouenisit quattuor none. seclido duas tertias in unu et rium iurdue t ite. tertio si in duas tertias et iterum proueni sit due tertie. et quartoviast in virum: limit unum: babebism quattuor nonas duas et duas tertias et mursed due et due tertierid e quattuatertie faciun um integre rimam tertiam equo duuide unum alterimit additu constituit binarium erima tertia est tres none: quod per secunda huius facile cognoscas que si quidem tres none aliis quattuo nonis primo inuetis addantur fiunt septem non e 'patetitam proportione superes partiente tertias duplicatam: constituere duplam et supersemipartiente nonas que est multiplex superpartiens: ut
68쪽
Cahultiplicem superparvallarciti inuelligare: que multiplicein supcrparticularcin
CCapio a numerst quemno quem duco in se et proueniat b cui addo Maitate sum tonis e manifesta est prpportione cada essemul lice superparticulare:queum seducatur est tarum Φtuma in se et in parte bis et pars in sesed a in se et in parteni bis numeru producit: et pars iti se producit parte. vii quod pro iaci rures nummis et pars. erilitam propo rio composita ilὲulti l superparticularis. 'posses item probarevi quinquagesinia non ambirius.
'hisltipliccnt supci particular inquirataque bis sumpta multiplicem superparnentem componat.
quilibet impar a et B provinius par et eius mcdietas sit tamino multiplice superparticularem cuius intiltiplicis iiunierussite et pars dicta aba.que proportios id ad ea leo proportionem multiplicem superparticularc d ad e blo sumpta constituere niuitiplice superparti icinam si hecinis ductatur Nueniet quadratus e et partes similcs sumpte M b et parsa quadrato a dicta. ille aute partes unum constitu si et una supfluit cuilla. αqriIle due partis pcrduodecima huius und non ed uni productum erit numerus et partes.quare proportio con posita ori multiplex superpartiis.et inpreis posito esset quincupla superquadripartiens nonas.
ετ gahustiplicem superpanientem perscrutari:que duplicata multiplicem superparti
Suino per sexagesima tertiam huius superpartiente que duplicata multiplice superparticii Iari coponat et numer denoniinas partes sit a et numeras sit b et mo maior * et in ciatm cducatur in a: et producto addatur b. sitin totus u manifestu preportione d ad a esse multiplice superpartiente euisnuinertis denominas multiplicis este et denominas partisi est a et numerus earu est b: qua dii plicata a iudico esse muriplice superparticulare.nan denominatio ipsius in se ducta producet numeruet parte υ-ς quod ut in precedentibus videre promptum est.
8a gas, ultiplicem superpamentem: ex qua gemmata multiplex superpartiens prouo: niat: domum rcstat inspicere.
Coueratur per sexagesimasecandam huius suppartiens que geminata multiplice superpartiente constituat:qua inuenta ut in precedente procede si est.
si Datam proportionem ui proportiones : quarum quotlibet sint superpateticulares uales rcdigere.
CSint minimi termini date ortionis a et b: sim e numerus fim quem sum, sunt superpartim lares equales deinde maiore duraturina et inbet nant deterita tamen ut inter det elint plures nu f-nieri*vnitates inerethnius postv qui erit maximus eorunt f. mani si est 1 ozmonefaddesse o i, e proportionem superparticularὲ et minima omnium que continuerunt inter numeros ab d rem ad et e sur dene minata est a minore parte continuo proportione s ad duno plures sit in numerus talinti. g b e , b ilr i mrerit m pro pomo b ad m composita ex a,portionibus f ad d sumptis secundu numerum c.et quiad per decinianonam ter te est aliquoties in bine toties inn manifestu est hadnes vid ade. quare ut aadb.constat ergo proportionea adhesse divisamina pomon quaru alxqvot sumpte erunt equa is A i. 1 lessustparticulares secundsi numerum assignata:quod est propositu. ου m
ό C ropositis quotllbct equalibus ternunis ex illis tonde in ordine duplos: at et ex illis triplos procreare: atch ex prius iiivetis totide in proxima militiplicitate cotinueFportionalcs producere. item in ex illis simileo cliccre superparticulares.s gfigura equalitatis quotcunies terminorum equalium.
69쪽
astri hagoricis magi 'prisci sacri dotes aici clius cipue derectus agunt diuinis admiratur eoua litate pariter et trinitate in suls arcbanis in Imagine numero p veneratur taciti: tand) rerum omnisi praeipia: a quibus cis rosi proflui pomota portiensi nexus: oisin admirabilis barmonia et in duet de reuocat si euntesa. propter ergo mysteria prisco* q6 autor generalius intedit: primu in trina demestra dum e equalitate. ad q6quite rite peragendsi tria satis sunt ubi in vete* pcepta a Dino nobinotata Seuerino. Drim si est primst. Sm est:abrim si istona.Teimsi est: brinasi,scfm hi si tertiutant ergo a opires termini equales quicumvlmon si dradu tria st aut cuiuscum alteriusnsieri voles. Elor primo bcepto capiem prinia unitate qua colloco sub ima sit η b.dein Muredo scdo ocepto rapio pruna et sinam semuli quas colloco sub scda sint .m eme do tertio inprorcapio prima et stea bisul tertia semetiquas colloco sub tertia sentie n.dico b m n pnime ex equalitate natos duplos. Naesia prima iras et btat ide: et prima et sedavnitas sinoeuplsi ad primamitate aet,ma et secunda initas sui tm: ergo nureus in duplus e ad biet cfi libare iras bis supta mucr m et strepetitia a et tertia simul inuentur m et n sit sco a mitras bis et pina et terr a semel ergo n duplus est ad ma uni lare b m n 'tinue pu ab equalitate scy queadmoru dictu est a xime geniti. Dotes ide mos Daren cesima et seria sectandi.*ra qra ad O:ut o ad p. ergo P Vicesima secundi o et p ad a et o ut o ad a.ri qr o et u ad aeto:sscuto ad a. ergost sexta mulac se cui PLOPetao: ad aeto sicut octa ad a. ato petaosiniuisutatuet a et o sunt m et a est idib. sis b in Π corm uexportionatur: d m ad b cogim'cst dupliis igis et ii anm duplusint inomus sequctibus uic argumctandi modus c effica et qcunmtrina capies termiotinualitas: ea te lesse argum eta. CSci o dico ex b m n duplis cotinia excreari triplos .capio eo ualeb ct eolloco sub b in tertia linea sit in c. det de capro b m uret colloco sub in sintq3 m tertie linee Hirsum eat, io b in bis erin et colloco sub msit. suo modo n. dico e m n tertie linee ee triplos. Ua per vice si infimi adiuuate sexta eiu decinii sunt cotinue*portionales:sed et qre equatur hetmiunius duo us
ad biigis b cim sustius sunt triplus ad h.sed b et in superi sunt in i ferius:rgis inferius ni ad c trini quaren ad metiam plus. sunt 1g fcmncbtinuempli. et eisdeprecδtis et demostrationi ine emplis nascetur quadriapi ex quadruplis quicunli.et ex eo sequeribus hoc pacto multiplices ore uuliae ex xximo minore. Tertio dico ex multipliciae' cotinue nasci supparticulares. ut ex duplici bosci qualteri ex triplis seinteries quadruplis se*quarn.etita sequetes lapparticulares pero di ex naturalis 'fitibus multiplici couerio duplos drepertisundisintineonuersienin: erit inpavi duplus et in ad n duplus quarem dimidisi e. capio equale e q6 sit et colloco sub cidem de capi mmul et e loco inferius sum:mmm i ferius .rureus capio e m bis et n simultet colloco inferi ob ntat inde inferius ti .p vicesima secsidi adiuuare sexta eiusde fm n eotinue .pportionatur. sed re 'fimetur et ni sit dimidium erem m simul corin et totum et dimidiff.quare em ad eperdiffinitione sub remo. ire int foedo tertia quarta et quinta equalitate cotinue sumi fm num terio extri intelligo ructum m ne eqiralitatis tinnis: in septim si mausi es non st et a sinstitio ἶ- πλωiunctim trina equalitate intelligo citius quilibet terminus intelligit sectanda mi Megsi singulo quot loco subter umetis. et si id placet in infiniis extendi libet. et bis cotinue eo utam diduplos id resurriptis demostrationibus quoties mant resumpte equalitat si multatis setis: I riora facillime dei non strabis. Si cupis triplos eodem ferine Godonaseri urbe zis seruandu cst ut in tertiis quibus. locis coiuncti in capiant termitii triploisi ibu qu' nas
70쪽
cuntur ex trina equalitate terminor si sumptorum secundii numersi tota cuius. extremi triplorum. et quadriipli cosmi luter a triplis acceptis cotinue tribus triplis secunis exietentia equalitatis te is extremi Imploru et dac analogia in consequetibus multiplicibus. Et sesqualteriatiquumeses quiequarti et consequeres ascentur eouersia duplis tripus quadruplis consequoribus sumptissimiuobseruantia duplis conuersis triplis quadruplis et reliquis quoties oriri a tritis equalitater sed quo*multipliciu conuersors primum a reti maximu extremopequerur singulo qumptemo supparticula tu et bitum in precedetibus est idem denion strandi modus.
τε CDatis superparticularibus vel multiplicibus supparticularibus multipliceo superparticularcs et superpartientcs:danovero superpartientibus aut multiplicibus sup partientibus superpartietes et multiplices superpartietes procreare.
CSuit ad c suppartieulares terminici sumatur os eis Ite primus numerus et asemel et biselet sit flacudus numerus et ita secunda trine profectionis precepta H in precedere factu est et eniat des qui Nili precedeti crunt continue a portionales. at per decima octauam ius proportio ea duest multiplex supparticula risugie et fade.erunt igitur cinnue de multiplices suisarticularesat eodξ modo ex multiplicib' supparticularib 'nascetur multiplices supparticuIares.S uero couersisterminis ab e incipias per eande decima octauli huius prouenter corinue superpartietes.sicae eonstat primst. Secudum vero eode modo patebit per decimanonam huius dato ordine superpartimuit aut invitiplicia sustpartientiu .tiamsi aggregatio a mutori incepta fuerit per dicta decuit nonamptinaminent multiplices suppartientes.sia maiori termino:proueniet surpartieteorsicae eonstat amolitum duab' ultimis coclusioib eouisse potes.Ex inlitatemtime nasci duplos.Ex duplis Niplos.Esmplis ruplos:etboc pacto derelliis multiplicib'osequeter.Et ex multiplicibVonuersis nasci sua particulares:ut ex dupus sesquaueros.Ex triplis sesquitertissetet ita de cosequeribus suppatricularibus exseque tibiis multiplxcl ' Et evmyparticularim: multiplices supparticulares:ur ex sesqua lateris duplos sesqualteros.Ex sesciterius duplos sesciteritos:et huc in modsi de reliquis.Ex multiplicibus suppari icularib'itide mul lices supparticulares: sed ex duplis supparticularibus tripli sustparticulares.Et ex triplis supparticulari quadri resupparticulares. Ex supparticularib' et muttiplicibus sita particularib' eouersis suppartietes:vt ex sesqualterio supbipartientes. Exsestitertiis sirptriparties.Ex duplis sesqualteris et ex duplis se itertiis costis suabipartietes et suptripartietes Ex suppartietibus multiplices suppatetiet estutos bipartietibus duplas supbipartietes. Ex suus tripartietibus duplas suptripartietes.Ex multiplicissis supparueribus:itide multiplices suppa me tes: sed ex duplis triplis aut quadruplis suppartirimus:n pu quadrum aut quicumι supparti in Excouersis uppartietibus aut multiplicibmypartiet ibi inausiturinoparti etesint ex tribuspreceptis dec ubim latissime patet.et expressa cuum voles longa seriei supparitoriarisitatunie mlimi aliuncoliaue mapcepta tribus et tribus termis seriei apta iectisma Rerur mltipluo suu
particulares sed solii per tres et se tres eotinue portiolirimo eodepacto eonverso ordinenas ursuppartietes sed solii in tribus et tribus terminis estinue a1portionales.at de his bactenus. 6 ς Supparricular α iciis multiplicestuol b: ci particulares
τι CDatas superparticesares in nauta plicca allea minmiores multiplices donec
ad equalitatum peruetuant:reducere.
aiaduertere licet xportiones in illas isti resoluiex 4bus procrea .Quo fim in ossius ineresoluendi modus appeat:indbus ide erat modusa,creadl.Sint ab edati terini tinue supparticulares et sit dequalisa et pinus numis: et abbrollaro et remaneat et de elo Prur drae bis et remaneat nosco defesse e5tinuexportionales et multiplices.*untcbtinue ortionales declarari capio enissi, li tres terminos in cotinua νportione d ad di dex illis superiori aggregadimodo mentet erunt expcedetibus corinire a portionales et sint lin n.eiqi Iadgsscuta addet madi, sicut babe. et ita inter igitur des sunt cotinue*portionales.eror badaphypotreni est suppamculariso decimaseeram huius erit est similis destoiationis militiplex. quare supparticulares date:sunt in suasmniplices reducte si itam superparticulares date erant sesqui totieresolute sunt in triplosi sesqualtere indus plas et ni reducte sint in triplas eodε modo quo prius adiuuante septuagmina huius probabis illas multiplices reduci in duplas et duplas in equalitate:quod es propositum.
Calaultiplices stiperparticulares in superparticulares: et multiplices superpartietes ' in superpartientes resolucre.
Si ut a b c tres smini multiplices supparticulares.etd equalis ad subitraha ab b et resinquature et eo mo quo in precedeti substrabatur. si bada erit multiplex supparticularis viri ab denseroe denotatus P quadragesimprim2 huius factsi erit Mosita. et ita desudpartitimus. Et si multiplexnima ibris denotationis no fiet boepnia resolutionea sed resoluem' primo in multiplices uno minor denotationis denotarrone partis semper eademanent cidonee ad boeueniamusne adesit desolatio multiplicis et partis sicin quod onitur facile apparebit.
gQuaslibet superpartientes in superparaculares reduci est possimae.
74 si Ram qr per septuagesimaprimam butus suppartientes exstirparticularibus nasciitur. meo sintabe huiusmodi superpartietes et dequetur αsubstrahatu dabis et relinquare et delebis ab G et relinquatur fet venient per tuam septuagesimaniprimam superparticulares a quibus nascebint . at non oportet id semper in prima reduetione contingere quod tamen nuncestingebat. sed aliquad resoluetur prima resolutione in multiplices superparticularesqmper edente in supparticulares tande reducentiquo facto facili erit propos α.SIlinii insupparue es aiit multiplices suppartientes