장음표시 사용
61쪽
sumatur quodvIs punctum D, a quo DE ordinatim applicetur: & per Educatur E M ipsi A F aequid istans . Et quoniam G E quadratum aequale est rectangu- Io A E M; fiat rectangulum A E N quadrato D E aequales & iuncta A N secet F Μ in puncto X : deinde per X ipsi P A aequid istans ducatur X H; S per H ducatur H Κ L aequid istans A C. Itaque cum quadratum D E aequale sit rectangulo A E N: erit ut N E ad E D, ita D E ad E Λ & icei reo ut linea N E ad E A, ita quadratum D E ad quadratum EA . sed ut N E ad Ε Α , ita X H ad H A i & ut
quadratum D E ad quadratum E Α, ita quadratum L H ad Η A quadratum. ut igitur X Η ad H Α, sic quadratum L Η ad quadratum H Α . ergo L H media proportionalis est inter X Η , Η Α: & propterea quadratum L H aeq uale rectangulo AH X. est autem & quadratum ΚΗ rectangulo ΑΗ X aequale propter sectionem. ergo quadratum L Η aequale est quadrato H Κ: quod neri non potest. in loeum igitur, qui est inter rectam lineam Α C & sectionem, altera recta linea
IN septimodeeimo theoremates liciter ossendit rectam lineam , qua per verticem ducitur, ordinatim applicata aquidictans, sectionem tuam contingere r hoc autem Deo, id quod in elementis circulo tantum inesse demonssratur , uniuerse in omni conisectione ostendit . oportet autem scire , quod s illic demonstratum ess , nullum fortasse seqki ab fusdam ; si linea earva interfectionem oe lineam rectam eadat: at vero xt eadat recta Innea , seri non potest. secabit enim ipsa, non continget sectionem: quoniam dua recta linea in eodem puncto eontingenter esse non possunt. Cum autem hoc theorema mali ariam demonstretar in diuersis editionibus , nos pliciorem, Er manifestiorem deisonstrationem securi sumu3.
THEOREM A XXXIII. PROPOSITIO XXXIII.
SI in parabola sumatur aliquod punctum, a quo recta linea
ad diametrum ordinatim applicetur , & ei, quae ab ipse ex diam tro abscinditur ad verticem, aequalis ponatur in directum ab eius extremitate: recta linea, quae a facto puncto ducitur ad illud, quod sumptum fuerat, sectionem continget.
62쪽
SIT parabole, cuius diameter A B; sumptoque in ea aliquo puncto C, line: CD ordinatim applicetur: &ipsi DE aequalis ponatur E A; & iungatur A C. Dico lineam AC productam extra sectionem cadere. Si enim fieri potest, cadat intra, ut C F: &G B ordinatim applicetur. Itaque quadratum G B ad quadratum , CD maiorem proportionem habet, quam qua- Uratum F B ad quadratum C D. Sut quadratum F B ad quadratum C D, ita quadratum B Α ad quadratum AD: ut autem qua dratum G B ad C D quadratum, ita linea B Ead E D. ergo B E acl E D maiorem proportionem habet, quam B A quadratum ad qua- Uratum A D. sed ut B E ad E D, ita rectangulum BE A quater sumptum ad rectangulum AED quater. rectangulum igitur BEAquater ad rectangulum AED quater maiorem habet proportionem, quam quadratum B A ad quadratum AD: & permutando rectangulum B Ε Α quater ad quadratum A B m lorem proportionem habet, quam rectangulum AED quater ad quadratum Α D : quod fieri minime potest . nam cum linea A E ipii E D sit aequalis a re. istangulum ΑΕ D quater sumptum aequale est quadrato A D : rectangulum vero B EA quater sumptum quadrato B A est minus: neque enim punctum E lineam Α Β bifariam secat. Iinea igitur A C non cadet intra . quare sectionem ipsam contingat necesse est.
F E D. COMMANDI N V s. ST ut quadratum FB ad quadratum CD, ita quadratum B A ad quadratum
ΑD. I Obsimilitudinem trianguloram Fe , A A D. Pippe cum ponamus AB F ιμneam rectam esse .
Sed ut BE ad ED, ita rectangulum B E A quater sumptum ad rectangulun AED quater. Nam ut B E ad E D, ita rectangulum S E A ad ret angulum A E D.
ut autem rectangulum E E A ad rectaetulum εAED , ita re tangaelum A E quater sumptum ad re tangulum AES itidem qMater sumptum , ex decima quinta quinti elementorum . quare ex Andecima eiusdem constat propositum .
Nam cum linea A E ipsi E D sit aequalis; rectangulum AED quater sumptum
aequale est quadrato ED. J Quadratum enim A D ex quarta fecunas elementorum equale est quadraris AE , ED , cp dώobus rectangulis e E D . sed quadrata Og E , E D duobus rectangalis AED aqualia sunt , quod linea A C , E Dsint aquales . ergo rectangatum AED quater sumptum quadrato A is aquale erit . Rectangulum vero B E Α quater sumptum quadrato B Α est minus. Uus enim eadem ratione quadratum B e s aquale est quadratis E E , E A, O doobus νri angulis S EA . sed eum linea B E , E A inaquales sint , duo ret angula BEA minora sunt quadraris B E , E eis, ut mox demons1 rabitur . rectavatam igitBr B E qua ter sumptum minus est quadrato B A.' illAd vero nos hoe lemmate demoustrabi
n recta linea in partes lx aequales secetur: earum partium quadrata qualia sunt rectangulo, quod bis digis partibus continetur π quadrato eius linea, qua maior paras erat minorem.
63쪽
Secetur recta ianea e S in partes inaequales in C, ita at ε Γ maior sit, quam C Er ct ip=C B aruatis ponatur A D. Dico quadrata A C , CB aqualia esse retiangulo, quod bii 4 C B eontinetur , ct quadrato linea D C, qua scilicet o ipsam C Bδει-perat. Consultuantur enim ex lineis AC , C A quadrata se C EF, C B 9 H: σper B ducta linea D x, qua ipsi C E a 3Midi- flet, producatur H ad D K in L. Baque quoniam AD , CB aquatissant , ct Atrique communis D C: eris D R ipsi A C a 3ualis ; ideoque rectangώla e ἱ Κ, 'DG erunt aqualia ei, quod bιsA CB eontinetur . quadratam autem L HEΚ aquale est quadrato linea D C. drata e C, CB aqualia sunt rectangulo , qaod bis continetur AC B , O linea
TREo REM A XXXIV. PROPOSITIO XXXIV. SI in hyperbola, vel ellips, vel circuli circunferentia sumatur aliquod punctum , ab eoque recta linea ad diametrum ordinatim applicetur , N. quam proportionem habent lineae interiectae inter applicatam, & terminos transversi lateris figurae, eandem habe ant inter se partes lateris transversi, ita ut quae sunt ad verticem partes sibi ipsis respondeant: recta linea coniungens punctum,
quod in transverso latere sumitur, & punctum , quod est in sectione , sectionem ipsam continget.
A SIT hyperbole, vel ellipsis, vel circuli circunserentia, cuius diameter A B; sumaturque aliquod punctum in sectione, quod sit C : & ab eo linea C D ordinatim applicetur: fiat autem ut B Dad D A, sic B E ad E A ; & iungatur E C. Di eo lineam C E sectionem contingere. Si enim fieri potest, secet, ut E C P; S su impio in Bea aliquo puncto F,ordinatim applicetur GFu: per puncta vero A, B ducatur AL, ΒΚ, quae ipsi EC aequid istent: & iunctae UC, BC, G C ad puncta M,X,Κ pro . . . ducantur. Itaque quoniam ut B Dad D A , ita est BE ad E A. & ut B Dad D A, L i . sic B K ad A N : ut autem B E ad E A , ita B C ad C X, hoc est B Κ ad X N . erit
64쪽
CONICOR UM LIBER I. ut B K ad A N, ita B L ad N X. aequalis est igitur Α N ipfi N X & propterea re- Η '
ctangulum ANX maius est rectangulo AO X. quare linea N X ad X O maiorem habet proportionem, quam O A ad Α N . sed ut N X ad X O, ita Κ B ad B M. ergo Κ B ad B M maiorem proportionem habet, quam OA ad AN: ideoque rectangulum, quod fit ex Κ Β, Α N, maius est eo, quod ex B M , Α Ο. sequitur igitur rectangulum ex K B, Α N ad quadratum C E maiorem proportionem habere, quam rectangulum ex ME, A O ad quadratum C E. at vero ut rectangulum ex CK B, A N ad quadratum C E , se rectangulum B D A ad quadratum DE, propter similitudinem triangulorum ΒΚ D, A N D, E C D: & ut rectangulum ex Al B, A O ad quadratum C E, sic rectangulum B G A ad .quadratum G E. ergo BD Arectangulum ad quadratum D E maiorem proportionem habet, quam reeiangulum BG A ad quadratum G E : & permutando rectangulum B D A ad re- a .quintctangulum A G B maiorem habet proportionem, quam quadratum D E ad E G apud Laquadratum . sed ut rectangulum B D A ad ipsum A G B, ita quadratum C D ad quadratum G Η: & ut quadratum D E ad quadratum E G, sic quadratum C D '' ad quadratum FG. quadratum igitur CD ad quadratum G H maiorem proportionem habet, quam quadratum C D ad quadratum F G: & iccirco linea H G minor est ipsa G F ; quoci fieri non potest. linea igitur E C non secat. quare sectionem ipsam contingat necesse est.
SCIENDUM est lineam C D , qua ad diametrum ordinat im applicatur, in hyperbo-ιa qaidem determinare lineas B D , D - , CZ relinquere ipsam B A, qua inproportionem lineaγώm d D , DA Ibea i debet ; in ellipsi vero ct circuli circunferentia contra evenit: nam eum feeet lineam E e , necesse esZ ut inquisamas E E , Ee in determinata proportione , in qua videlicet sunt B D , D e . neque enim dissetis est data pr pretione , aqualem ipsi exhibere. Sed σ illud scire oportet, in unaquaque sectione duas descriptiones esse , nempe puncto F νel intra C, vel extra sumpto , ita ut omnes ea s sex
sint . utitur autem duobus Iemmatibus , qua nos deinceps eo cribemus .
Et propterea rectangulum ANX maius est rectangulo AO X. quare linea N X ad Xo maiorem proportionem habet, quam GA ad ΛN. Quoniam Menim rectangatam ANX rectangulo Ao X maius est: fiat rectangulo e NY aruale reetangulum, q odi a- v κAEO, ct alia quapiam linea, videlicet x P contineatur,qμε quidem maior erit, quam X O. est igitur ut Oe I .Rxti. ad A N, sis NX ad X P. sed NX ad X o maiorem proportionem habet, qkam ad X P. 3 quinxi ergo O A ad e N minorem habet proportionem, quam NX ad X O: ct ideo NX ad XO maiorem habet , qMam O LAE ad e N.
Sed contra illud etiam eonfiat , si NX ad XO maiorem proportionem habeat, p/amo A ad AN , , rectangulum ANX maius esse rectangulo A
At verb ut rectangulum Κ Β , A N ad quadratum C Ε, se rectangulum B D A C
65쪽
tam E C ad quadratum a N, ita quadratem E D ad quadratum P A. ergo ex equati ut quadratum EC ad rectangatum ex K A , A N, ita quadratum E D ad rectangulum D B: ct convertendo ut rectangulum ex X T, A Nad quadratum E C, ita rectangeluis B D A ad qoadratum D E . A FIAT autem ut BD ad DA, sic BE ad E A. J In hverbola quomodo Mudflat perspicaam est et at vero in ellipsi, vel cireulo, Iamatur in DB linea, qua sit aqualis PA, sitque D G, ut in propositis Maris a er stat ui Z 9 ad G D, ita B A ad A Er eγit enim componendo at B D ad D 9, hoe est ad P a sei equalem, ita E E ad Ε . . quod facien
B Et propterea rectangulum A N X maius est rectangulo AO X. quare linea NX ad X O maiorem proportionem habet, quam O A ad AN. IIIad Panus ad principi- iam septimi libri hoc lemmare demonstrauit.
Habeat a ad Z maiorem proportionem, quam C ad D .Dico rectangulum contentum lineis A, D maius esse eo, quod S, C continetur.
Fiat enim At A ad A , ita C ad E. ergo C ad E maiorem proportionem habet, quam ad D d cy iccirco E minor est, quam D . Itaque posita e g communi altitudine , erit re- Bctangulum ex A, E minus rectangulo ex A, D. sed stectan- gulam ex A, E aquale ess ei, quod ex B, . rectavatum , - - statar ex E,C minus est rectangklo ex A. De ct propterea rectangulum ex A. D maius eo , quod ex B,C . Σ
Similiter etiam si minor fit proportio, rectam
Sed rursus fit rectangulum ex AED maius rectangulo ex S, C. Dico Aad Z maiorem basere proportionem, quam C ad D.
Ponatur nanqae rectangulo ex e D aquale rectangulum quod ex E,E 2 erit rectantulum ex B,E maius eo , qxod ex E, C. quare E maior , quam C . ut autem e d ad B, . ita E ad D . sed E ad D maiorem habet proportionem , quam C ad D. ergo O A ad E 4 -' habebit maiorem, quam C ad D.
C At vero ut rectangulum ex Κ Β, Α N ad quadratum C Ε, sic rectangulum BDA ad quadratum D E. Ex tertio lemmate Pappi.
THEOREM A XXXV. PROPOSITIO XXXV. Si parabolen recta linea cotingat, conveniens cum diametro eX-tra sectionem: quae a tactu ad diametrum ordinatim applicatur, abscindet ex diametro ad verticem sectionis lineam aequalem ei, quae inter ipsam & contingentem interi jcitur; & in locum , qui est inter contingentem &1ectionem, alia recta linea non cadet.
SIT parabole, euius diameter A B: ordinatimque applicetur B C; & sit A C linea sectionem contingens. Dico linem A G ipsi G B aequalem esse. Si enim fieri potest, si inaequalis; & ipsi A G aequalis ponatur G E: linea autem E F ordinatim . applicetur & iungatur A P. ergo A v producta conveniet cum linea A C : quod
66쪽
fieri non potest : duarum enim rectarum linearum ijdem termini essent. non ergo inaequalis est A G ipsi G B. quare necessario erit aequalis. Rursus dico in locum, qui est inter A C & sectionem, aliam rectam lineam non cadere. Si enim fieri posest, cadat C D: ipsique G D aequalis ponatur G E;& E F ordinatim applicetur . ergo a puncto D ad F ducta linea contingit sectionem . quare Producta extra ipsam cadet: & propterea conveniet cum D C; eruntque duarum linearum rectarum ijdem termini; quod est absurdum. non igitur in locum, qui est inter sectionem & lineam A C, alia tecta linea cadet.
F E D. COMMANDINVS ERGO A F producta conveniet cum linea A C a quod fieri non potest: duarum Aenim rectarum linearum ijdem termini essent. J Num linea e F ex trigesima tertia propositione huius sectionem consistit . quare si prodacatur , cadet extra sectionem I σiccirco conveniet eum linea in C , ita At sint duarum linearum re arum iidem terminis quod eis absurdum : quoniam dua recta linea supersiciem intra sese concluderent. Hic est enim linea , qua a puncto A ad F ; alia qua ab eodem pancto ad C ducitur o quinam linearum ijdem termini erunt, unas videlicet ad em alter ad punctum , in quo linea in F cum A C conuenit.
THEOREM A XXXVI. PROPOSITIO XXXVI. SI hyperbolen, vel ellipsim, vel circuli circunserentiam contingat quaedam recta linea conveniens cum transverso figurae latere , & a tactu recta linea ad diametrum ordinatim applicetur :erit ut linea, quae interi jcitur inter contingentem, & terminum transversi lateris ad interiectam inter eandem & alterum lateris temminum, ita linea, quae est inter ordinatim applicatam, & terminum lateris ad eam, quae est inter eandem & alterum terminum; adeo ut continuatae inter se sint, quae sibi ipsis respondent: & in locum , qui inter contingentem , & seo altera recta linea non cadet.
SIT hyperbole, vel ellipsis, vel circuli circun- serentia, cuius diameter A B : linea vero contingens fit C D; &C E ordinatim applicetur. Dico ut B E ad E A, sic esse B D ad D A . Si enim non est ita , sit ut B D ad D A, se B G ad G A: & ordinatim applicetur GP. ergo quae a puncto D ad Pdueitur recta linea sectionem continget, & producta conveniet cum ipsa C D. quare cl uarum recta. rum linearum ijdem termini erunt: quod est absurdum. Dico etiam in locum, qui intur sectionem
67쪽
& lineam C D interlicitur , nullam rectam lineam cadere. Si enim fieri potest, cadat C II: & ut B Η ad Η Α, ita fiat BG ad GA; & GF ordinatim applicetur.Iuncta ergo FI F si producatur, conveniet cum ipsa H C; atque erunt duarum linearum rectarum ijdem termini : quod fieri non potest. non ergo inter sectionem & lineam C D altera recta linea cadet.
THEOREM A XXXVII. SI hyperbolen, vel ellipsim, vel circuli circunserentiam recta linea contingens cum diametro conveniat , & a tactu ad diam trum linea ordinatim applicetur: quae interi jcitur inter applica tam & centrum sectionis, una cum interiecta inter contingentem& sectionis centrum, continebit rectangulum aequale quadratolianeae, quae est ex centro sectionis: sed una cum ea, quae inter ainplicatam & contingentem interijcitur, continebit spatium, quod ad quadratum lineae applicatae eandem proportionem habet, quam transversum figurae latus ad rectum.
SIT hyperbole, vel ellipsis, vel circuli circunferentia, cuius diameter ΑΒ: du-Caturque linea contingens C D: & C E ordinatim applicetur; centrum autem sit F. Dico rectangulum D F E quadrato F B aequale esse: & ut rectangulum D E F ad quadratum EC, ita transversum latus ad rectum. Quoniam enim C D contingit 36. hvim ictionem: & ordinatim applicata est C E: erit ut A D ad D B, ita A E ad E B. ergo componendo, ut utraque AD , D B ad D B, ita utraque A E, E B ad E B:& antecedentium dimidia. In hyperbola quidem in hunc modum argumentabi
68쪽
mur . sed utriusque Α Ε, E B dimidia est F E ipsius autem A B dimidia F B. ut igitur F E ad E B, ita F B ad B D: & per conversionem rationis ut E F ad F B, ita F B ad F D. quare rectangulum EP D quadrato F B est aequale. & quoniam ut FE ad EB, ita F B ad B D, hoc est A F ad B D: erit permutando ut A F ad F E, ita D B ad B Ea & componendo, ut A E ad E F , ita D E ad E B . ergo rectangulum A E B aequale est rectangulo F E D . sed ut rectangulum A E B ad
suadratum CE, ita transversum latus ad rectum . ut igitur rectangulurriax E D ad quadratum E C , ita transversum latus ad rectum . In ellipsi vero, & circuli circunferentia hoc modo . sed utriusque Α D , D B dimidia est
D F; & ipsius A B dimidia P B . ergo ut F D ad D B, ita F B ad B E; & per
eonversionem rationis , ut D F ad F B, ita B F ad F E . rectangulum igitur DFEaequale est quadrato B F. at vero rectangulum DFE rectangulo D E F una eum quadrato F E est aequaler & quadratum B F aequale rectangulo Α E B una cum quadrato F E. commune auferatur, videlicet quadratum P E. reliquum igitur rectangulum D EF ad quadratum C E est ut rectangulum AEB ad idem C E quadratum . sed ut rectangulum A E B ad quadratum C E, ita transversum latus ad rectum. ergo ut rectangulum D E F ad quadratum E C, ita transversum latus ad
Ex his theorematibur patet; quomodo per dinum punctum in diametro, vel verticefectionis, contingentem sineam ducere possimus.
Ex iis, quae demnarata constat, lineam C D eontingere se em e rectangulum DFE aequale fit quadrato F A , AN DEF rectangulum
ad quadratum E C eam proportionem Misox, quamtransversu gura i
SIT enim hetperbole, vel ellipsis, vel ei, si ebeunferentia, eatus diameter A B; fumatur aliquod putatum C in sectione ; a quo recta linea C E ad diametrum ordinatim applicetar r sit autem festionis centrum Ffflatque ae E F ad F 'B , ita D F ad F D;σ iungatur C D; erit rectavatam PFE quadrato F A aquale. Itaque dico lineam C DIectionem eontingere . Maoniam enim in hyperbola est ut E F ad F E , ita E F ad F D: per conversionem rationis erit ut F E ad E B, ita F S ad BD; ct antecedentium dupla. sed linea A E , EB dapta sent ipsius F E; ct linea A D , D B dupla F E . quare AtA E , EB ad EB , ita a D , D F ad N B a s dividendo ut eis E ad E B , ita in Dad D B. ergo ex trigesima 3uarta huius linea C D sectionem eonιingit. In ellipsi vero, σ circuli circanorentia, ut D F ad F A , ita est A F ad F E. qaare per conνersionem rationis , ut F P ad D E , ita F B ad B E ; ct anteeedentium dupla . sunt autem linea a D , D A ipsius F D dula, ET A E , E B dula F E .ut igitur in D, D B ad D B, ita A E, ES ad EB a ct disidendo at AP ad D B , ita A E ad EB . ex quibus sequitur , ut linea C D sectionem contivat. Rursus eadem maneant; σ in linea F A fumatur punctum D , ita ut DEF rectangulum ad quadratum C E eam proportionem habear, quam transversum figura latus ad arus rectam. Piso lineam C D eontingere sectionem. Quoniam enim rectangulum DEFad quadratum C E est ut eransversam latus ad rectam . ct at transversum latus ad rectum , ita in F E rectangulum ais quadratam C E. erit rectangulam DE F ad quadratum C E , ut re Favxliam A E B ad idem quadratam i ct propterea rectangulum AE Brectangulo PE F est araiae . ergo in hyperbola, ut eAE ad E F, ita D E ad EB,er diF videnis
69쪽
videndo, permatandoque at o GF, Me ect FH ad R D , ita F E ad Ε B;σ per eonversionem rationis, at A F - F ae , ita E F ad F d. rectangulum igitur D F E quadrato F B es quale. σ ideo ex iis, qua proximὸ demonoravimus , linea C 2 sectionem eo tinget. Sed in euipsi , ct circuli circunferentia, quoniam rectangulum AE B aquale est rectangulo DE F addito utrique quadrato F E, erit recta notam AE R iana eam
quadraio F Ε Μώale rectangulo i E F una eam quadrato F E . rectangulo autem , a EB tina cum quadrago F E aquale est quadratum d F; ct rectangulo DE Fundeum quadrato F E ar te recta gulum D F E . ergo rectangulum D F E aquati est quadraso PH r σ propterea linea U D sectionem tuam confingat necesse eis. qua omnia dein monstrare oportebat. μου hoc autem theorema quartum temma Pani spectare videtur.
THEOREM A XXXVIII PROPOSITIO XXXVIII.
SI hyperbolen, vel ellipsim, vel circuli circunserentiam recta
linea contingens cum secunda diametro conveniat , &a tactu ad diametrum applicetur linea alteri diametro aequidistans: quae imieri jcitur inter applicatam & sectionis centrum , una cum interi Ela inter contingentem & centrum sectionis, continebit rectan Sulum aequale quadrato, quod fit ex dimidia secundae diametri; sed una cum ea , quae inter applicatam & contingentem inter- ij citur, spatium continebit, quod ad quadratum applicatae eam proportionem habeat, quam figurae rectum latus ad transversum. SIT hyperbole, vel ellipsis, vel circuli circunferentia, cuius diameter A G B ,seeunda diameter C G D: linea vero sectionem contingens sit E L F, quae conveniat cum C D in F; & Η E ipsi A B aequidistet. Dico rectangulum F G Η quadrato C G aequale esse: & ut rectangulum G H F ad quadratum Η Ε, ita rectum figurae latus ad latus transversum . Ordinatim nanque applicata ME, erit ut rectangulum G M L ad quacratum M E , ita transversum latus ad rectum. sed ut transversum latus B A ad C D, ita C D ad latus rectum. ergo ut transversum latus ad rectum, ita quadratum Α B ad quadratum CD: & ita horum quadratorum quartae partes, videlicet quadratum G Α ad quadratum G C. ut igitur rectangulum
70쪽
l um G M L ad quadratum M E , ita quadratum A G ad G C quadratum. sed rectangulum G M L ad quadratum ME compositam proportionem habet ex propor- itione G M ad M E , hoc est ad G Η, & ex proportione LM ad ME. quare convertendo proportio quadrati ΜΕ ad rectangulum G ML componitur ex propor tione E Μ ad M G , hoc est H G ad G M, & ex proportione E M ad M L, hoc eitF G ad G L. ergo quadratum C G ad quadratum G A compositam habet propor tionem ex proportione H G ad G M,& mex proportione FG ad G L. haec autem eadem est , quae rectanguli FG Hadrectangulum M G L. ut igitur rectangulum F GH ad rectangulum Μ G L, ita quadratum C Gad quadratum , G Α: & permutando ut rectangulum F G H ad quadratum C G, ita rectangulum M GL ad quadratum G A. re elangulum autem M G L aequale est quadrato GA.ergo rectangulum FGH quadrato C G aequale erit. Rursus ut rectum latus ad transversum, ita quadratum E M ad rectangulum G ML.
Iisdem positis ostendendum est, ut linea, quae inter tangentem,& terminum secundae diametri ad partes applicatae interi jcitur, ad
eam, quae inter tangentem, & alterum terminum secundae di metri , ita esse lineam , quae est inter alterum terminum & applicatam, ad eam, quae inter alterum terminum & applicatam.
Quoniam enim aequale est rectangulum FGH quadrato G C, hoc est rectanguinto C G D i nam linea C G aequalis est ipsi G D : erit F G H rectangulum rectangulo C GD aequale. ergo ut FG ad GD, ita CG ad GH: &per conversionein rationis, ut G F ad F D, ita G C ad C H, & antecedentium dupla . est aute m