장음표시 사용
221쪽
Si quatuor magnitudines proportionales per eandem quantitatem multiplicentur, Producta erunt proportionalia. .
Is6 Esto A. ais b, omnesque termini per eandem quantitatem d multiplicentur, productaque fiant Ad , ad , Bd, M. Dico, esse Ad. ad T M. bd.
Cum enim si Ad ad 'A. a cc , & per hypothesim A. a ta B. b, erit etiam Ad. ad II. B. b d). Est autem Bd . bd T B. b se . Ergo erit quoque Ad. ' M. bd f . Igitur si quatuor magnitudines M. quod erat ostendendum. O RO L L A R I U M.
Si plures magnitudines eontinuo proportionales per eandem . quantitatem multiplicentur , producta erunt itidem eo tinuo inter se proportionalia.
222쪽
Si prima ,σ secunda quatuor magnitudinum proportionalium per unam quantitatem multiplicentur, per aliam vero tertia, re quarta, producta erunt proportionalia. Is 8 Esto A. a 'B. b. Duae autem magnitudines A, a multiplicentur per x, & duae B, b per I. Dico, esse Αx.ax' R. M.
Enimvero, cum sit M. - Α .a a ,& per hypothesim A. a 2I B. b, erit quoque M. M 'B . b cbὶ . Est autem R. M B. b c . Ergo erit etiam Ax. R. Θ d . Itaque si prima &e. quod erat ostendendum. c OROLLARIUM.
Si prima, re tertia quatuor magnitudinum proportionalium . per unam quantitatem multiplicentur, per aliam vero fecunda, ct quarta , producta erunt proportionalia.
iss Si nimirum fuerit A. a et B. b, erit etiam Ax. M' G. M. Quandoquidem si ponatur A. a 'B . b , erit quoque A. B ' a. b eθ, ac proinde Ax. Bx is f). Igitur erit etiam Ax. v Bat. Θ g .
Si quatuor magnitudines proportionales per eandem quantιιatem dividantur, quotientes erunt geometrice proportionales.
223쪽
Cum enim sit m. nT: A. a saὶ, & per hypothesim A. a b , erit etiam m. n' B . b ibi. Est autem p . q B. b c . Igitur erit quoque m. n Vp. q cd . Si quatuor igitur magnitudines &c. quod erit ostendendum. COROLLARIUM.
Si plures magnitudines eontinuo inter se proportionales per eandem quantitatem divine fuerint, quotientes crunt continuo inter se proporιionales.
ρ fὶ; adeoque Em. n. p. q. THEO REM A XXVI.
Si prima , O seeunda quatuor magnitudinum proportionalium per unam quantitatem dividantur, per aliam vero tertia, σ quarta, quotientes erunt inter se proportionales.
224쪽
Est enim m: nT: A. a a . Cumque sit per hypothesim Α. a ' B. b, erit etiam m. uta B. b b . Constat autem, esse p. q ta B. b c J. Ergo erit quoque m. n 'ta. p. g dὶ . Itaque si prima Sc. quod erat ostendendum. c OROLLARIUM
Si prima , ct tertia quatuor magnitudinum proportionalium per unam quantitatem dividantur; per aliam vero secunda ,σ quarta , quotientes erunt proportionales.
163 Si nempe fuerit A. am B. b. Ponatur autem πα
Fractiones eundem denominatorem habentes, fune directe inter se, ut numeratores, ct qua habent eundem numeratorem , sanx inter se, at denominatores reciproce.
225쪽
ids Sint modo duae fractiones - , - eundem numerato I x rem habentes. Dico, eas esse, ut denominatores reciproce , a avidelicet esse - . - TX. I. I x
Reductis fractionibus ipsis ad idem nomen ceὶ , erit
smiliter-- . - x. I tk . Itaque fractiones&c. quod erat I xostendendum.
226쪽
s sque ad idem nomen revocatis, lacile erit dignoscere , quam nam proportionem inter se habeant.
Si antecedentes plurium rationum termini , sicuti etiam ipsarum come entes inter se muttio respective multiplicentur , producta , qua inde fiunt, erunt inter se in ratione eom. posita ex illis omnibus rationibus datis.
Rait num- , - , - antecedentes termini Α, Β , D,
quemadmodum etiam earundem consequentes a, b, d, multiplicentur respectiis inter te mutuo, & fiant producta MD, abd. Dico, productum ABD esse ad productum abd in ra-
tione composita ex rationibus H, s ' .abd
227쪽
ABD ab drationis-- ta . Ergo ratio producti ABD ad productum abd
abd est composita ex rationibus - , - , - b . Itaque si
antecedentes Sc. quod erat ostendendum. COROLLARIUM I. Si fueriηt quatuor magnitudines , productim ex ductu primae in tertiam est ad productum ex ductu secunda in qua
tam in ratione composita ex ratione prima ad secundam, ct ex ratione tertia ad quariam.
63 Positis nempe quatuor magnitudinis Α, a, B, b , productum ΑΒ erit ad productum ab in ratione compo.
ia ex rationibus - , - . Est enim ΑΒ productum ex ant a beedentibus, & ab est productum ex consequentibus ipsarum rationum terminis. COROLLARIUM II. Si fuerint quatuor magnitudiues , productum ex ductu primae in
secundam erit ad productum ex ductu tertia in quartam in raιιone c&mposita ex ratione prima ad tertiam, oe ex ratione secunda ad quartam.
169 Videlicet positis magnitudinibus Α, a, B, b erit Aa
228쪽
i Ut igitur determinetur exponens rationis ex pluribus rationibus datis compositae, multiplicandi sunt inter se mutuo ipsarum antecedentes termini ex una, & earumdem consequentes ex altera parte. Fractio enim ex hisce productis facta rationem quRsitam determinabit. Ut si de-Σ si
finire Oporteat rationem compositam ex rationibus - , -,
Si quatuor magnitudines proportionales per totidem proportiona les seorsim multiplicentur,producta erunt proportionalia. III Esto A. BπD. P, scuti etiam a. b T d. f. Di,co, esse Aa . M 'Dd. U.
dines M. quod erat Ostendendum.
229쪽
Si plures magnitudines eontinuo proportismatis per totidem continuo itidem proportionales seorsim multiplicentur, producta erunt continuo inter se proportionalia.
172 Si nimirum fuerit - A. B. D. F, & H a. b. d.Lerit similiter es M. Bb. Dd. Η. Eit enim Α . Bta B. DTr D. F, sicuti etiam a. b T b. d T d. f ca . Igitur erit a. Bbta Bb. Dd Dd. Ff bin, seu Hi Aa. Bb. Dd . Ff Q. g c H O L I O N. 173 Hinc ostenditur artificium multiplicandi stactiones inter se mutuo, quod alibi tradidimus id), videlicet in eo illud consistere, ut iplarum numeratores, atque denomina tores inter se mutuo respective multiplicentur, & ex productis, quae inde fiunt, fractio constituatur. Sit enim fractio
- multiplicanda per fractionem - . Quoniam ergo denomi-b d nator cujusvis fractionis unitatem ad uat se ; omnisque tractio te habet ad unitatem, ut iplius numerator ad suum
bd fg , seu - π - hJ. Fractio autem - exprimit valorem 1 bd 1 producti ex valoribus m, n inter se multiplicatis; cum sie
- α mn si . Ergo stactio quoque - valorem designabit pro-
230쪽
ducti,quod fit ex multiplicatione fractionis 'per fractionem b
Si quatuor magnitudines proportionales per totidem proportionales seorsim dividantur , otientes erunt quoque inter se proportionales .
i , atque adeo m. n' Ago . Itaque si quatuor magnitudines &c. quod erat ostendendum. c OROLLARIUM.
Si plures magnitudines eontinuo proportionales per totidem continuo seorsim proportionales dividantur , quo-rientes erant smiliter continuo proportionales.