장음표시 사용
51쪽
stantia porro verticis a basi , dicitur altitudo trianguli. Itaque si in triangulo Α Β Ο Fig. 9. probasiaeceperis latus B Ο, erit punctum A vertex trianis tuli, ae distantia puncti A a basi , id est perpendicu- Iaris A P, erit trianguli altitudo. Hactenus de triangulo . Nunc de quadrilatero. C A P. IV. De Quadrilatero .
badrilaterum est figura quatuor Iateribus , sive
lineis contenta. Quod si latera opposita parallela snt, quadrilaterum parallelogrammum dicitur, uti A C Fig. Io. , in quo puto latera A B, D C parallela esse, nec non & latera AD, B C . Quod si praeterea recti sint omnes anguli, parallelogrammum rectangulum dicitur, uti QR Fig. II. in quo pono, omnes angulos λ, Η, R , E , rectos esse. Ae si praeterea latera omnia aequalia snt, rectangulum dicitur quadratum , uti M S , Fig. Ia. in quo latera omnia aequalia esse volo. Linea recta ducta ab uno angulo ad angulum. oppositum in parallelogrammo sue rectangulo, sive non rectangulo diagonalis dicitur , uti Α C , -E Η , No. Quadrilaterum , cuius latera opposita non sunt parallela, dicitur trapeatum, uti S Z, Fig. 33. in
52쪽
Ac DE THEOREM. GEOΜ. 43 in quo puto latera opposita S O , T Z minime parallela esse. In quovis parallelogrammo solent mathematici unum latus pro voluntate accipere, quod has m nominent. Perpendicularem vero a quovis oppositi lateris puncto ad basim ductam vocant parallelogrammi altitudinem. Quare si in parallelogran mo ER Fig. I . latus N R pro basi. acceperis, perpendicularis P Q , quae a puncto P lateris oppositi E Musque ad basim N R ducitur, erit parallelogrammi
Ireulus est figura, in qua punctum quoddam est
aeque distans ab omnibus perimetri, idest ambitus , sive peripheriae punctis. Quod sane ex ipsa circuli formatione colligitur. Alia etiam afferri solet circuli definitio , de qua infra. Si linea quaevis recta iuxta circulum ducta eius peripheriam sic attingat, ut intra circulum ipsum nullo modo se immittat, ea dicitur tangens circuli, uti AB Fig. is. quam volo circulum PQ S sic attingere in P, ut intra ipsum circulum neutiquam ingrediatur. Demonstratum est, contactum P fieri in uno
53쪽
tantum puncto a quo puncto discedentes tum recta P B, tum arcus P in statim aperturam quamdamessiciunt, sive angulum mixti lineum . Demonstratum quoque est, per hanc aperturam duci posse a puncto contactus P quotlibet lineas curvas, puta P M, quae sic ferantur inter tangentem PB , de arcum P Q , ut nusquam in circulum incuris Iant , cum nulla tamen linea recta per eamdem aperturam hoc modo duci possit. Quamcumque enim lineam rectam duxeris a puncto P, quae angulum quantumlibet exiguum faciat cum tangente P B, nunquam essicies, ut eadem intra circulum P Q S non sese immittat. Quod non sine admiratione aliqua ab iis praesertim accipi solet, qui interiorem geometriam nondum scrutati sunt. Ea re fit, ut per punctum quodlibet una dumtaxat tangens duci possit.
De Proportionibus. C A P. I. Quid sit Prvortis, quid proportisnalita . ΡRoportio est relatio unius quantitatis ad aliam ,
quatenus vel eam eontinet, vel ab ea continetur.
Si e relatio, quam habet numerus io ad s , quate nus ipsum bis continet, dicitur proportio .
54쪽
Quantitas , qnae ad aliam resertur , dicitur antecedens proportionis; ea , ad quam refertur, dicitur consequens; ambae autem dicuntur proportionis termini. Potest proportio esse sive maior , sive minor potest enim una quantitas aliam continere plus, minusve . Sic proportio 8 ad a maior est , quam I. s. Nam Io continet 1 bis tantum, eum 8 contine at a quater. Proportionalitas est proportionum aequalitas, quae tum habetur, cum una quantitas alteram continet sive ab altera continetur toties, quoties tertia quaedam continet quartam , sive continetur a quarta ς nam tum proportio, quam habet prima ad alteram, aequalis dicitur proportioni , quam habet tertia ad
Itaque proportionalitas in quatuor consistit te minis , quibus duae proportiones continentur. Termini autem, qui in duabus hisce proportionibus antecedentes sunt, dicuntur sibi mutuo homologi ; item qui consequentes. Hi numeri q. a, Io, 3 proportionales sunt; eadem est enim proportio A ad 2 , quae ro ad s . Quoniam ergo 4 & io in his proportionibus antecedentia sunt, erunt etiam homologa, item et, & 3, ut quae ambo consequentia sunt, homologa inter se erunt. Duos quidem terminos, in quibus una propo tio eonsilit . oportet esse eiusdem generis , ver. gr. vel duos esse numeros, vel duas lineas, vel duo
55쪽
tempora; nam numeri ad lineam nulla est proportio , neque lineae ad tempus, neque temporis adnumerum.
Tamen quatuor terminos , in quibus consistit proportionalitas non omnes oportet eiusdem esse generis . Possunt quippe duo esse unius generis, alii duo esse generis alterius ; quid enim impedit, quominus numerus numerum contineat toties, quoties linea continet lineam , ideoque numeri ad numerum eadem sit proportio, quae lineae ad lineam CAP. II. De Proportianalitate discreta , O continua.
N quatuor terminis, quibus proportionalitas quinque continetur , plerumque accidit, ut secundus 6e tertius inaequales sint, & diversi , ut in his Io, 3, 3, 4. Accidit etiam aliquando, ut aequales, suo iidem sint, ut in his η , Α , Α, a . Si inaequales sint, proportionalitas dieitur disereta, si iidem sint, continua. Ae proportionalitas quidem continua consistere dicitur in tribus tantum terminis, quorum unus pro duobus est . Tres autem hi termini dicuntur continue proportionales . Sic proportionalitas, quae est in quatuor terminis 3, 4, , a, consistere dicitur in tribus terminis 8, 4, a, atque hi dicuntur continue proportionales esse.
56쪽
AC DE THEOREM. GEOM. AISi duae quantitates simul multiplicentur, quod multiplicatione essicitur, dicitur illarum productum, interdum etiam rectangulum. Sic quoniam multiplicando a per 3 fit 6, erit o productum, sive rectangulum numerorum a , & 3 . Quod si quantitas quaepiam per se ipsam multiplicetur , productum, quod fit , dicitur eius quadratum , ipsa autem quadrati latus , seu radix dicitur .
Quoniam ergo multiplicando 3 per 3 fit 9 , erit squadratum numeri 3 , ac numerus 3 eiit radix, sive latus numeri 9 . Si termini quatuor proportionales sint, demonstratum est, productum extremorum aequale esse producto intermediorum. Ex. gr. proportionales sint hi quatuor termini 8, 4, Io, 3; productum , quod fiet multiplicando ου per 3 , qui sunt termini extremi , aequale erit producto , quod fiet, multiplicando ΑPer to , qui sunt termini intermedii . Quod si termini tres continue proportionales fuerint, uti 8 , q, a, productum extremorum 8, a,
aequale erit quadrato intermedii 4. CAR
57쪽
SI proportiones fuerint quotlibet, ver. gr. 3 ad si 8 ad 4, 1 ad 3 , atque omnia antecedentia 3 , 8 ,
a simul multiplicentur, itemque multiplicentur simul consequentia omnia I , 4, 3, proportio , quam ha bebit productum illorum ad productum horum, dicetur composita ex proportionibus illis omnibus. Itaque proportio , quam habet q8 ad 66 , est composita ex tribus 3 ad 3 , 8 ad 4 , a ad 3 ; fit enim. 48 ex multiplicatione 3 per 8 per et, & ω ex multiplicatione 3 per A per 3
Si proportiones, unde composita emeitur, snt duae tantum, eaeque inter se aequales , sive , quod eodem recidit, si una tantum proportio st, & ea quidem bis repetita , proportio composta , quae ex hac fiet, dicetur eius duplicata. ver. gr. st proportio eadem 3 ad 4, 3 ad η bis repetita, ac fiat Pr portio composita , multiplicando 3 per 3 & 4 per', ponendoque producta 9 & ro; erit proportio sad io duplicata proportionis 3 ad g. Quoniam vero multiplicando 3 per 3 . produe- tum , quod fit, est quadratum numeri 3 , & multiplicando A per η. productum, quod fit, est quadratum numeri 4, idcirco proportio duplicata dicitur etiam proportio quadratOIum . . Sic
58쪽
Sie si posueris proportionem et ad 3 , ae velis eius duplicatam ; fac quadratum numeri 2 , quod est 4, & numeri s , quod est a D r. habebisque proin portionem 4 ad 23 , quae erit duplicata proportio nis et ad 3, eadem , quae quadratorum. Quod si proportiones, unde composita efficitur, tres sint, eaeque inter se aequales, sive , quod eodem recidit, si una tantum proportio sit, & ea quidem ter repetita , proportio composita , quae ex hac fiet, dicetur eius triplicata. Veri gr. sit proportio eadem a ad 3 , a ad 3, 2 ad 3, ter posita, ac fiat proportio composita multiplicando a per a per a , ac 3 per 3 per 3 , ponendoque producta 8 , a ; erit proportio 8 ad aT triplicata proportionis 2 ad 3.
Quoniam vero multiplicando numerum quemvis
per se ipsum bis, uti a per a per a , productum , quod fit, dicitur eius cubus , qua de causa 8 est cubus numeri a , similiterque a I est cubus numeri 3 , idcirco proportio triplicata dicitur etiam proportici
Sic si posueris proportionem A ad 3 , ae velis eius triplicatam , fac cubum numeri Α, multiplicando per 4 per η , qui cubus erit 64 ; fac pariter cubum numeri s multiplicando I per 3 per 3 , qui cubus erit Ias, habebisque proportionem 64 ad ras, triplicatam proportionis A ad I, proportionem su-
59쪽
De quantitatibus per numeros exprimendis .
ID Uae quantitates duas alias dicuntur exprimere ,
cum eamdem habent proportionem , quam illae . Mos autem est mathematicis, Physicisque , ut si quando sermo in ei dat sive de duabus viribus , sive de duobus temporibus, sive de duabus velocitatibus, sive de duabus qui ouscumque aliis rc bus, in quas ca-d int plus minusve . quaeque quantitatem habeant,& proportionem a l. quam, mos, inquam, est mathematicis , physicisque, ut eas statim sive numeris, sive lineis exprimant . Atque id sane commodiissimum est ; quaecumque enim de exprimentibus sive numeris, sive lineis propter proportionem dicuntur, ea pariter de quantitatibus expressis dici possunt sed multo facilius sive in numeris, sue in lineis cognoscuntur. Q iam quam numeri in hoc maxime dominantur, sic quidem ut ad lineas ipsas , figurasque exprimendas plerumque accipi soleant . Et linearum quidem exprimendarum ratio facilis est, nam si s ni ver. gr. duae lineae , altera trium pedum , altera duorum , nemo non videt duas hasce lineas duobus numeris exprimi 3. & a. Qiiod si aliae duae fuerint, una quinque cubitorum, altera septem, facile exprimentur numeris 3 , & 7 . Et
60쪽
Ac DE THEOREM. GEOM. 3IEt superficies duae quidem simili modo exprimuntur , si mensura quaedam communis certo vicium numero repetita adaequet unam , & certo pariter vicium numero repetita adaequet alteram; ut
si unam adaequent pedes quadrati ipsi quinque , alteram pedes quadrati ipsi septem; has enim utique expriment numeri 3, & I. Pes quadratus mensura est artificibus geometriae cognitissima. Quod si duo solida mensuram habuerint quamdam communem , facile apparet, ipsa quoque duobus numeris exprimi posse , quemadmodum de superficiebus, & lineis dictum est. Omnium enim ratio eadem .
Sunt tamen lineae quaedam , & superficies , &solida , quibus mensura Communis nulla est , quod geometrae ad veritatem ostenderunt . quae quomodo per numeros exprimi possint , dicemus infra . Nunc de rectangulis, & linearum quadratis haec scite conis
Sint duo rectangula A B, P R, Vig. t 6 Jquorum unum latera habeat AC, CB angulum facientia in C, alterum habeat latera PQ , Q R iacientia angulum in Q . Si latera A C, Pjexprimantur duobus numeris puta AC numero 3, & P-numero a; itemque latera C B, Q R exprimantur duobus numeris , puta C B numero 3 , R numero Α, ac multiplicetur numerus 3 , qui exprimit AC, per numerum ue, qui exprimit C B, fiatque productum rue; & simili. er multiplicetur numerus a, qui exprimit PQ , per G a ' nume-