Opere di Francesco Maria Cavazzoni Zanotti. Tomo primo nono

71쪽

DE TER M. QUIBUSD. C A P. I I I.

Dὸ Ellipsi . SIt filum FPO Fig. as. cuius extrema infixa

snt in planctis FO: ac cum laxum sit, stylo quodam tendatur, adducaturque ad punctum P. Tum stylus sequente filo circumseratur , describet is sane curvam quamdam lineam A M P R I Datium continentem . Hi,c spatium, sue figura haec ellipsis diei

tur; curva autem linea, qua ellipsis continetur, dicitur es ipseos peripheria i interdum etiam ellipsis. Puncta F, O dicuntur ellip eos foci . Quod si per socos F , O ducatur recta linea Α R, quae utrinque ellipseos peripheria terminetur , dicetur haec axis maior ellipseos , qui axis si dividatur bifariam in puncto C, erit punctum C ellipseos centrum . Ducta autem per C recta M I utrinque i peripheria ellipseos terminata, ac perpendiculari ad axem maiorem A R , erit haec M I axis minor ellipseoR . Patet pro varia tum fili longitudine, tum socorum distantia , fieri posse ellipses alias longiores , acutioresque , uti EL Fig. 2 q. breviores alias obtusioresque , quaeque magis ad circuli formam acis

cedunt , uti E B fg. 23. ) . Si recta quaepiam linea T peripheriam ellipseos

72쪽

seos sic contingat in P , ut intra ellipsim ipsam nul Io modo se immittat, dicetur T Q tangens ellipseos. Constat non posse eam contingere ellipsim nisi in uno puncto. Constat etiam si a Meis F, & Ο ad punctum contactus P ducantur duae rectae F P , o P, esse angulos F P T, O Pjaequales.

Ellipsis sit quaevis A P X Fig. 2s. II. euius

axis A X; demonstratum est, cuiusvis ordinatae 1' Μquadratum eamdem habere proportionem ad rectangulum, quod fit e segmentis axis M A, M X. Hinc peti solet ellipseos definitio . Est enim figura curvilinea, in qua ordinatae cuiusvis quadratum ad rectangulum segmentorum axis constantem habet, & perpetuam proportionem. CAP. IV. De Parabola .

FInte tibi lineam rectam ab V Fig. 26. versus

R productam in infinitum . Sumta portione quavis V M, quam voco abscissam, fac ductam esse perpen. dicularem illi M P, quam voco ordinatam, Iongitudinis cui silibet. Tum sumta alia quavis abscissa U R, sae ordinatam illi respondentem R eius esse Iongitudinis, ut quadratum ordinatae M P ad quadratum ordinatae alterius cujustibet RQ eam habeat proportionem , quam habet abscissa V M ad abscissam v R.

73쪽

Ductis ad hunc modum ordinatis innumerabiliribus, linea VPQ ducta ab V per extrema harum ordinatarum omnium dicitur parabola, quam constat curvam esse. Punctum V dicitur parabolae vertex; tecta linea V R axis . Constat etiam parabolam esse ubique concavam ex ea parte, quae axem respicit quamquam producta longius, magis magisque removetur ab axe ilia infinitum a nam ut quaeque ordinata plus distat a pumcto V, eo est longior. Manifestum est etiam, parabolam tanto Iati rem esse, quanto ordinata illa prima M P, quam arbitratu nostro assumsimus, suit longior; quae si brevissima fuisset, aliae quoque ordinatae brevissimae essent, ac tota parabola contractissima.

C A P. I.

Quaedam praenotanda.

ANtequam solida explico, operae pretium est pauca quaedam diligenter animadvertere, quibus visis solida ipsa exponentur paucis; sequentia enim is sa-cile intelliget, qui superiora intellexerit. I. Dure

74쪽

I. Duae rectae lineae angulum essicientes in uno sunt plano . a. Tres rectae lineae essicientes triangulum sunt omnes in uno plano; ac totum triangulum in e dem plano est. 3. Duae lineae rectae parallelae in uno sunt plano , ac si a duobus punctis unius ad duo puncta alterius ducantur duae rectae lineae , essiciaturque quadrilaterum , erunt in illo ipso plano tum ductae lineae , tum quadrilaterum totum .

. Linea recta P S Fig. a . insistens plano

XZ, ipsumque secans in S. dicitur recta ad planum, sive perpendicularis plano, si si e quidem insistat, ut ad nullam partem pendeat ; neque ad ul- Iam partem pendebit, si ducta in plano XL linea quavis recta SH, angulus PSH sit rectus.

s. Linea recta I S Fig. a 8. dicitur inclinata ad planum o N. si plano insistens ad ipsum planum

perpendicularis non sit. Quod si a puncto quovis Irectae I S ducatur I P perpendicularis ad planum N O, tum in plano ipso N O, ducatur recta S P, erit angulus I S p inclinationis mensura , seu potius inc Iinatio ipse . 6. Si quod punctum extra planum quodpiam versetur, eius a plano distantia nihil est aliud, nisi perpendicularis linea ab ipso ad planum ducta.

. Duo plana parallela esse dicuntur , cum omnia unius puncta ab altero aeque distant. Ac si duae figurae descriptae suerint, una in uno, altera in alte

75쪽

ro, eae quoqiae figurae parallelae esse dieentur; quae Mgurae si fuerint similes, earumque latera homologa parallela , dicentur etiam smiliter postae. Quare

si in duobus diversis planis, eisque parallelis , fuerint duae figurae similes ABCD, EFGΗ Fig. 2ς ac latera B C, F G , quς pono homologa , sint inter se parallela , itemque parallela sint alia homo toga C D, G H , itemque alia D A , H E , & alia Α Β, Ε F, erunt figurae ABCD, EFGH similiter posts 8. Intersecantia se mutuo plana in linea quis dam se intersecant, quae recta est, & communis planorum sectio dicitur. V. Planum plano insistens dicitur esse ad ipsum rectum , seu perpendiculare, si ad neutram partem pendeat: ad neutram vero partem pendebit, si linea recta in uno planorum ducta, & ad communem sectionem perpendicularis, perpendicularis etiam suerit ad planum alterum . Fac planum P L Fig. χo. insistere plano X Z , communemque ipsorum sectionem elle rectiam SL. In plano P L duc rectam lineam R I perpendicularem rectae S L . si haec R Isuerit perpendicularis etiam plano X Z , planum P Lad neutram partem pendere putabitur, eritque ad planum XZ perpendiculare.

Io. Si planum Rin Fig. 3I. insistens plano OX, ipsumque secans in recta S , ad ipsum tarimen perpendiculare non si, dicitur ineli natum.

Quod si in plano Rina quovis puncto P ducatur

recta Disiligod by

76쪽

recta I P perpendicularis sectioni S , tum ab e dem puncto P in plano O X ducatur recta P L , quae item perpendicularis sit communi sectioni Sin angulus I P L erit mensura inclinationis plani, sive inclinatio ipsa. C A P. II. De Prismate. SInt in duobus parallelis planis rectilinea duo quς

& similiter posita; tum puncta , in quibus fiunt aequales anguli, iungantur per lineas rectas . Quare quo niam pono angulum D A B sequalem angulo H E Rdueatur recta A E, ductisque eodem modo rectis

B F , C G , D Η , constituantur figurae planae A E F B, BFG C, CGH D, D Η ΕΑ, quas figuras , quotcumque fuerint, demonstratum est, parallelograminma esse totidem , quae sane figuram quamdam solidam continebunt. Figura ergo solida parallelogrammis hisce eonintenta dicitur prima . Latus quodvis horum parallelogrammorum dicitur aliquando etiam latus prismatis. Plana ABCD, EFGH dicuntur plana opposita . Horum unum pro basi accipitur, v. g. E e G H, ac si a quovis puncto alterius ducta fuerit perpendicularis ad planum . in quo est basis, perpendicularis haee dieitur prismatis altitudo. Tom. III. I si

77쪽

Si basis triangulum suerit, prisma dicitur tria tulare , si quadrilaterum, quadrangulare , eoque modo ex numero angulorum , quos basis continet, alia primatum genera nomen habent.

Quodvis prima eam habet ad aliud quodvis prisma proportionem , quae componitur ex basi , &altitudine , idest ex proportione basis ad basim , &proportione altitudinis ad altitudinem . Quare si sint duo prismata Fig. 33. quorum bases ABVR, MON, altitudines vero Lin, I P, ac bases exprimantur numeris 3, 2, altitudines numeris Α, , multiplicatis 3 per Α, unde fit Ia, & a per T, undo I Α, erit prisma , quod insistit basi A B V R, ad pris. ma alterum, quod insistit basi MON, uti ia ad rq , eamdem scilicet ad illud proportionem habebit,

quam numerus Ia ad numerum I 4 habet.

De prismate quodam, quod parallelepipedum dicitur. Risma parallelogrammis quatuor contentum , si parallelogrammam quodque adverso sit parallelum , dicitur parallelepipedum. Inter parallelepipeda maxime excellit cubus.

Est autem cubus prisma, sive parallelepipedum quoddam, in quo Se basis, de reliqua plana omnia, quibus continetur, quadrata sunt, ut persectissimi tali

78쪽

tali formam habeat. Itaque omnia eius datera aequa. lia sunt; dicitur autem cubus ejus lineae . quae ipsi est latus.

Sit cubus quivis X Fig. 34. cuius latus A& alius quivis Z, cuius latus P R : habebit ille ad hunc proportionem triplicatam lineae A B ad lineam P R . Quare si lineae Α Β , P R exprimantur numeris 3 , & a , ac multiplicetur 3 per 3 per 3 , fiatque cubus numeri 3 , qui est a I , & eodem modo

multiplicetur a per a per a , si atque cubus numeria , qui cubus est 8 ; cubus X ad cubum Z eam habebit proportionem , quam habet a I ad 8 .Quapropter si duae lineae duobus numeris exprimantur . eadem erit proportio cuborum, qui ex lianeis fiunt , ac cuborum, qui sunt ex numeris.

C A P. I v. De Prismatis smilibus. DUO primata similia esse dicuntur, si bases h

bent similes, ac paralles ogramma . quae unum continent, similia sunt parallelogrammis, quae continent alterum, singula quidem singulis. Latera autem , quq sunt sive in basibus , sive in parallelogrammis h mologa , dicuntur latera homologa prismatum. Demonstratum est . bina quaeque similia prim

ta eamdem habere inter se proportionem, quam buI a bent

79쪽

bent cubi laterum homologorum , idest laterum hi, mologorum triplicatam . Itaque si in duobus similibus prismatis duo quaevis homologa altera acceperis, ae proportionem inveneris, quam habent eorum cuisbi , illam quoque inventam habebis , quam habent prismata. C A P. V. De Dramide. SIt in plano quovis rectilineum quodvis ABCD, Fig. 33. ac punctum v in sublimi, a quo puncto ducantur lineae rectae VA, VB, v C, V D ad puncta singula , in quibus anguli figurae A B C D sunt constituti. Hinc sane existent triangula V A B, v B C, V C D , V D A totidem , quot sunt latera rectilinei, eaque triangula figuram quamdam solidam contineis

Figura solida triangulis hisce contenta dicitarpyramis. Rectilineum A B C D balis. Punctum V ve tex . Qiiod si a puncto v ducta sit linea perpendicularis ad planum, in quo est basis, ea perpendiculatis dicitur altitudo pyramidis . Si basis triangulum fuerit, pyramis dicitur triangularis, si quadrilaterum , quadrangularis, & alias militer pyramidum genera nominantur ex iIlorum angulorum numero, quos basis continet. Quae orate

80쪽

ouaeque pyramis ad pyramidem quamlibet proportionem habet compositam basis. & altitudinis, idest compositam ex proportione basis ad basim , de altitudinis ad altitudinem , quemadmodum supra de prismatis diximus. Duae pyramides similes esse dicuntur, si bases

habent similes, de triangula, quae unam continent, similia sunt triangulis, quae continent alteram , si gula quidem singulis. Latera homologa sive basium, sive continentium triangulorum dicuntur etiam lar ra homologa pyramidum. Demonstratum est, pyramides similes eamdem habere inter se proportionem, quam habent cubilaterum homologorum, sive, quod eodem recidit, homologorum laterum triplicatam , quod idem & de

ptismatis similibus dictum est. C A P. VI.

De Cylindro .

Si in duobus parallelis planis duo sint aequales cir euli L H. T P Fig. 36. quorum centra C & o ;ae ducti sint radii C L, O T sbi mutuo paralleli ,

nec non & recta linea L T, iique radii circa centra C, o sic revolvantur, ut semper paralleli inter se maneant, rectamque lineam L T secum adducant, donec eo redeant, unde discesserunt, existet hinc superia