장음표시 사용
61쪽
numerum Α, qui exprimit Q R, & fiat productum 8; haec duo producta Is , & 8 expriment rectangula A B, PR. Id autem perinde fit, ut si sumerentur proportiones duae , una 3 ad 2 qui numeri respondent lateribus A C , P altera 3 ad 4 qui numeri resipondent lateribus C B, Q R atque ex his duabus
proportionibus fieret composita, quae sane esset illa ipsa, quam supra notavimus, Is ad 8. Atque hanc ob causam bina quaeque rectangula A B, P R proportionem inter se habere dicuntur compositam laterum , idest eam proportionem , quae componitur ex proportione unius lateris A C ad vinum P Q , & alterius C B ad alterum Q R . Quod si fuerint duae lineae C Η , I F, earumque quadrata P Η, Q F Fig. a T. , ac lineae C H, I Fduobus numeris exprimantur, puta C H numero 3 ,& I F numero a ; quadrata ipsa numerorum s , αε expriment quadrata linearum PH, Q F. Atque id quidem perinde fit, ut si proportio eadem 3 ad 2 semel atque iterum poneretur 3 ad 2, 3 ada; tum fieret proportio composita, quae sane illa ipsa esset, quam supra notavimus 9 ad A, essetque duplicata proportionis 3 ad a. Eamque ob causam diis ei solet, quadrata habere inter se proportionem duinplicatam laterum. Quo apparet , proportionem duplicatam Iine
rum eamdem esse ac proportionem quadratorum,
quae figat ea lineis, sicuti proportio duplicata n
62쪽
merorum eadem est, ae proportio quadratorum, quae fiunt ex numeris.
Erunt alia quaedam horum similia de de prima- tu, & de cubis dicenda. Sed de his ubi de sbsidis. C A P. V. De Ineommensurabilibus. SUnt lineae quaedam, & superficies, & solida,
quae mensuram communem nullam habent, ideoque ineommensurabilia dicuntur. Id est notissimum in cuiusvis quadrati latere, & diagonali; quamcumquaenim mensuram acceperis, quae quoties libuerit repetita adaequet latus, ea nunquam diagonalem adaequabit. Atque haee quidem , quae mensura earent comis muni , non videntur numeris exprimi posse, ad eum modum, quem supra docuimus, idque verissimum est, si numeros cum dicimus, illos tantum intellitiis mus naturales, atque obvios I, 2, 3, 4, I, 6. Verum reconditiores alios numeros sibi fingunt mathe. maiiei , sue possibiles ii snt, sive impossibiles, etiaque eum ad alia utuntur, tum vero maxime ad e primenda incommensurabilia; qui numeri quales sint, ne omnino ignoretur, paucis exponam . Sunt ergo numeri quidam fortasse impossibiles,
quos tamen cognostiaeus, si possibiles essent, habituros
63쪽
turos esse certas proprietates. Ver. gr. radix numeri io fortasse est impossibilis ; & sane in naturalibus numeris, qu s quidem novimus I, 2, 3, q, 3, 6, nullus est , qui per se ipsum multiplicatus effetatio , ideoque radix numeri io, dici possit; tamen a constat radicem numeri Io , si qua est , debere esse maiorem numero 3 , & minrrem numero A . Constat etiam de aliis eiusdem radicis proprietatibus. Eoque processit ratiocinantium industria , ut iam radices huiusmodi, sive esse possint , sive non possint, tamen propter cognitissimas earum proprietates, & in summam colligi, & aliae aliis detrahi,& multiplicari per alios numeros, aliasque radices,& dividi possint, perinde ut communes numeri. Facver. gr. radicem numeri 2 , & radicem numeri 3 esse . si ita vis , impossibiles; hoc tamen assirmaro possum si essent possibiles, atque altera per alteram multiplicaretur, productum, quod fieret, esset procul dubio radix numeri 6. Idque est Arithmetieis' perspectissimum . Eo tactum est ut mathematici has etiam radices in numeris habeant , ac numeros propterea Omnes in duo genera dividant, in rationales, ii quo sunt communes illi , atque obvii I , a, 3 , Α, &c.& irrationales, quos etiam surdos vocant, iique sunt radices, quas diximus , quaeque inveniri non possunt, uti radix numeri et, radix numeri 3, radix numeri 3 , radix numeri 6, radix numeri I, & infitiitae aliae.
64쪽
Ut ergo quae sunt in commensurabilia rationaliis bus numeris exprimi nequeant; irrationalibus certe, sive surdis exprimi semper possunt . Et sane conis stat , in quadrato quovis latus & diagonalem exprimi per I , & radicem numeri 2 . Nempe latus ad diagonalem proportionem illam ipsam habet, quam haberet numerus I ad radicem numeri a , si qua e Gset hujus numeri radix .
SECTIO III. De iis, quae in plano accidunt e pro
portionum doctrina. CAP. I. De is rectilineis similibus. FItiirae rectilineae similes illae sunt , quae angulos
habent numero pares, singulos aequales singulis, ac latera circa aequales angulos deinceps proportionalia ; uti figurae ABCD, EFGH, Fig. I 8. quas
puto ita esse conformatas , ut cum illa quatuor angulos habeat A , B , C , D , haec pariter quatuor habeat E, F, G, Η ; sitque angulus A aequalis angulo E , angulus B angulo F, angulus C angulo G, angulus D angulo H ; ac praeterea sic se habeat D A ad A B , ut H E ad E F, idest quam proportionem habet
65쪽
DE TER M. PUIBUSD. habet D A ad A B, eamdem habeat Η Ε ad Ε F;& deinceps sic se habeat A B ad B C, ut E F ad FG; & BC ad CD, ut FG ad GH, & CD ad D A , ut G H ad Η Ε . His omnibus positis erunt figurae ABCD, EFGH similes.
Demonstratum est, figuras rectilineas similes h here proportionem inter se duplicatam Iaterum h mologorum , sive proportionem eam, quam habent Iaterum homologorum quadrata. Quare cum in propositis figuris ABCD, EFGH ob proportionalitatem laterum AB, BC, EF, FG, latera B C, F G snt homologa, si inveneris proportionem, quam hahent quadrata linearum BC, FG, inventam hab his proportionem, quam inter se habent figurae simi-Ies ABCD, EFGH. V. g. linea B C eam habeat proportionem ad lineam F G, quam habet 3 ad a, ideoque his nu-
metis lineae ipsae exprimantur; quoniam ipsarum qu drata exprimentur numeris 9 dc Α , compertum eri
figuras smiles ABCD, EFGH ipsas quoque iis dem numeris v & 4 exprimi posse; ideoque eam esse propoitionem figura: Λ B C D ad figuraru E F G Η,
66쪽
SIt circulus quivis A B Fig. I9. , & angulus quivis A C B constitutus in centro ipso C , cuius anguli crura C A, C B secent peripheriam in punctis Α, & B. Si lineam duxeris rectam A B , haec recta praeterquam quod dicitur chorda circuli sic enim appellatur linea quaevis recta utrinque in peripheria eliculi terminata dicitur etiam chorda, sive subtensa anguli A C B . Qiiod si a puricto A duxeris rectam A S, quae De et rectam C B in S, & cum ipsa angulum rectum faciat, linea ipsa A S dicetur sinus rectus, sive simis primus anguli A C B, linea vero SC, ejusdem anguli sinus secundus . Qitam vis ex his lineis duarum quarumlibet proportio sumi possit ad metiendum, seu potius ad deinterminandum angulum ; nihilominus usus tinet ut proportio , quam habet sinus piimus ad sinum secundum, ad id adhibeatur. Et sane constituto certo angulo A C B, constituti quoque erunt sinus duo AS, SC, eorumque proportio, iiqile , & ipsorum proportio mutabuntur,s angulus ACB vel tantillum mutetur. Quaproptet Tom. III. H si co.
67쪽
si cognoscatur proportio , quam habet sinus primus euiusvis anguli ad sinum secundum , angulus ipse quoque pro cognito habebitur. Neque ad determinandum angulum , & sinus
eius constituendos , quidquam refert, utrum circulus sit maior, an minor; namque eidem angulo in quovis circulo eadem sena per sinuum proportio respondebit . Demonstratum est, duos quosque circulos A B, C D Fig. ao.) proportionem inter se habere duplicatam diametrorum AB, C D, sive , quod eodem recidit, eam habere inter se proportionem, quam habent diametrorum A B, C D quadrata. Quare s proportionem cognoveris , quam habent qnadrata haec illam etiam habebis cognitam , quam habent circuli. Exprimantur v. g. diametri AB, C D duobus numeris 3 & a , diametrorum sane quadrata exprimentur numeris a I , & q ἰ igitur proportio circesi Λ B ad circulum C D eadem erit, quae a 3 ad 6.
sit circulus quivis A PD Fig. ai. cuius diam
meter A D. Si a puncto quovis peripheriae P duc tur recta P M , quae secet diametium AD in M , sitque ipsi perpendicularis , recta P M d cetur circuli ordinata ; lineae M A , M D d: centur segmenta diametri , sive axis, nam diameter etiam axis dicis
Demonstratum est . ordinatam P M esse mediam proportionalem inter segmenta diametri M A M D,
70쪽
id est eam habere proportionem M A ad M P, quam habet M P ad M D.
Unde constat, quadratum ordinatae M P aequale esse rectangulo , quod fit ex lineis M A , M D ;
fiet autem , si linea M A constituatur perpendicularis ad M D Fig. 22. , ac totum perficiatur rectangulum AD; hoc enim dicitur esse rectangulum linearum Μ Α, M D. Erit ergo quadratum ordinatae P M aequale rectangulo A D.
Solent geometrae subtiliores curvam quamque lineam determinare ad hunc modum. Lineam quamdam rectam constituunt, quam axem vocant; tum ex ea relatione, quam habet ordinata quaevis id est perpendicularis linea a puncto quovis curvae ad axem ducta . ad ipsum axem , curvam lineam , quam sibi
propositam habent, definiunt. Id ita tim apparebit in exemplo ellipseos, S parabolae, de quibus infra.
Hane definiendi rationem secuti in aliis curvi g, nihil erat, cur non sequerentur etiam in circulo ς ideoque circulum sic definire consueverunt , ut si figura curvilinea , in qua ordinatae cuiusvis quadratum aequale est rectangulo, quod fit e segmentis axi . Quae definitio commod mima est analystis , qui omnia ad numeros, & calculos revocant.