장음표시 사용
41쪽
tium ipsi A s aequale. Quare ad B D addita DE, aequali A B, scimus tempore secundo grave perventurum ad Ε. Quod si vero inquiramus quam velocitatem habeat in E , in fine secundi temporis, eam inveniemus duplam esse debere velocitatis quam habebat in n fine temporis primi. Diximus enim moveri composito motu ex aequa bili cum celeritate acquisita in B, & cx motu a gravitate producto, qui cum tempore secundo idem plane sit ac primo, ideo decursu temporis secundi aequalem celeritatem gravi contulisse debet atque in fine primi. Quare cum acquisitam in fine primi temporis celeritatem conservaverit integram, apparet in fine secundi temporis biscam celeritatem inesse quam acquisiverat in fine temporis primi, sive duplam. Quod si jam , postquam pervenit in El, pergeret deinceps tantum moveri celeritate aequabili, quantam illic acquisivit, apparet tempore tertio, prioribus aequali, percursurum spatium E F , quod duplum futurum sit spatii aD ; quia hoc percurri diximus dimidia hujus celeritatis,
motu aequabili, & temporis parte aequali. Accedente autem rursus gravitatis actione, percurret tempore tertio,
praetcr spatium Ε P, etiam spatium F G , ipsi A B vel D E aequale. Itaque in fine tertii temporis grave invenietur in G.iVelocita tem vero hic habebit triplam jam cjus quam habebat in B , in fine primi temporis : quia praeter celeritatem acquisitam in E , quam diximus duplam esse acquisitae in B , vis gravitatis, temporis tertii decu su, aequalem rursus atque in fine primi celeritatem contulit. Quamobrcin utraque ccleritas, in fine temporis tertii, triplam celeritatem constituet cjus quae fuerat in fine temporis primi. Eodem modo ostendetur tempore quarto peragi debere & spatium c H triplum spatii B D, & spatium H Κ ipsi A B aequalet vetalocitatemque in K , in fine quarti temporis, fore quadruplam ejus quae fuerat in B, in fine temporis primi. Atque ita spatia quotlibet dcinceps considerata, quae aequalibus temporibus peracta fuerint, aequali excessu, qui ipsi B D aequalis sit, crescere manifestum est; simulque etiam velocitates per aequalia tempora aequa -
42쪽
CHRISTIANI HVGENII PROPOSITIO ILS Patium peractum certo tempore a gravi, e quiete casum
inchoante, dimidium est ejiu statis quod pari tempore
transiret motu aequabili, cum velocitate quam acquisivit ultimo casia momento. Ponantur quae in propositione praecedenti, ubi quidem A a
erat spatium certo tempore, a gravi cadente ex A, peractum. B Dvero spatium quod pari rempore transiri intelligebatur celeritate aequabili, quanta acquisita crat in fine primi temporis, seu in fine spatii A B. Dico itaque spatium B D duplum esse ad A B. . Quum enim spatia primis quatuor aequalibus t inpori bus a cadente transmissa sint ΑΒ, ΒΕ, EG, G , quorum inter se certa quaedam est proportio : si eorum temporum dupla tempora sumamus, ut nempe pro primo tem pore jam accipiantur duo illa quibus spatia A B, B E , peracta fuere; pro secundo vero tempore duo reliqua quibus peracta fuere spatia E C , C Κ, oportet jam spatia AE,EX, quae sunt aequalibus temporibus a quiete peracta, inter se esse sicut spatia A B , B E , quae aequalibus item temporibus a quiete percurrebantur. Quum igitur sit ut A B ad B Ε , ita A E ad Ε Κῶ & convertendo , ut E B sive D A ad A B ita κ E ad E A : erit quoque, dividendo, D B ad BAut excessus κ E supra EA ad E A. Quum sit autem, ex ostensis propositione praece denti , R E aequalis tum )uplae A B, tum quintuplae B D : EA vero aequalis tum duilae Α Β , tum simplici B D ; apparet dictum excessum K E stupra E A aequari quadruplae B D. Si H cut igitur D B ad B A ita erit quadrupla D B ad A A : unde EM A quadrupla erit ipsius B A: eadem vero E A aequatur, uti diximus, & duplae Α Β & simplici B D. crgo B D duplae A B aequalis erit; quod erat demonstrandum.
43쪽
SPatia duo, agravi cadente quibuHibet temporibus transe
missa, quorum utrumque ab initio descensus accipiatur, sunt inter se in ratione duplicata eorundem temporum, sive ut temporum quadrata, sive etiam ut qua rata celeritatum in e cujusque temporis acquisitarum.
Quum enim ostensum sit propossitione antecedenti spatia A B, B E , E G, G Κ, quotcunque fuerint, aequalibus temporibus a cadente peracta, crescere aequali excessu, qui cxcessias sit ipsi a Daequalis: Patet nunc, quoniam B D est dupla A B , spatium B Efore triplum A B ; E G quintuetum ejusdem ΑΒ; CK scptuplum; aliaque deinceps auctum iri fecundum progressionem numerorum imparium ab unitate, i, 3, 1, 7, 9, dic. cumque quotlibet horum numerorum, sese consequentium , summa faciat quadratum, cujus latus est ipsa adsumptorum numerorum multitudo ve lut si tres primi addantur, facient novem, si quatuor sexdecim sequitur hinc spatia, a gravi cadente transmissa, quorum utrumque a principio casus inchoetur, esse inter se in ratione duplicata temporum quibus casus duravit, si nempe tempora commensurabilia sumantur. Facile autem & ad tempora incommensurabilia demonstratio extendetur. Sint enim tempora hujusmodi, quorum inter se ratio ς quae linearum A n , C D. spatiaque temporibus his transmissa sint E , & F , utraque nimirum ab initio descensus adsumpta. Dico csse, ut quadratum A B ad quadratum C D, ita spatium E ad F. Si enim negetur; habeat primo, si potest, spatium E ad F majorem rationem quam quadratum A B ad quadratum C D , nempe Cana quam quaaratum A B ad quadratum C G, sumta C G minore quam C D & a C D auferatur pars D H , minor quam D G excessus C D supra C G , atque ita ut reliqua H. C commenserabilis sit ipsi A s . hoc enim fieri posse constat. Erit ergo C H major quam Cc. Atqui ut quadratum temporis A B ad quadratum temporis CH , ita spatium E , quod tempore A B peractum est ad spatium peractum tempore C H , per superius ostensa. Hoc vero spatio majus est illud quod tempore C D percurritur, nempe spatium F. ergo spatii E ad spatium p minor est ratio quam quadrati A B ad quadratum C A. Sicut autem spatium E ad F , ita ponebatur esse quadratum A B ad quadratum C G ; ergo minor quoque Crit ra-
44쪽
Dx orte ivtu tio quadrati A B ad quadratum C G, quam quadrati A B ad qua dratum CH , ac proinde quadratum C G majus
quadlatum C H; quod est absurdum , quum C i major dicta si quam C G. Non habet igitur spa
tium E ad p majorem rationem quam quadratum A B ad quadratum C D.
Habeat jam, si potest , minorem; sitque ratio spatii E ad F eadem quae quadrati A B ad quadratum C L , sumpta C L majore quam C D,&a CL auia seratur L κ minor excessu LD, 'uo C D supcratura
C L ; atque ita ut reliqua Κ C sit commensurabilis A B. Quia ergo ut quadratum temporis A B ad qua dratum temporis C K , ita est spatium E , peragum tempore A B , ad spatium peractiam tempore C R. Hoc vero spatio minus est spatium peractum tempore C D , nempe spatium F. erit proinde spatii gad F major ratio quam quadrati A B ad quadratum C R. Sicut autem spatium E ad F , ita ponebatur esse quadratum A n ad quadratum C L. Ergo major erit ratio quadrati A B ad quadratum C L quam ejus dem quadrati A Bad quadratum C Κ, ideoque quadratum C L minus erit quam qu. C Κ. quod est absurdum, quum C L malor sit quam C N. Ergo neque minorem rationem habet spatium E ad F quam quadratum A B ad quadratum c D. quare necesse est ut eandem habeat. Porro cum celeritates in fine emporum A B , C D acquisitae sint inter se sicut iplamet tem pora; apparet rationem spatiorum E ad F eandem quoque esse quae quadratorum temporum A B , C D , quibus transmissa sunt. Itaque constat propositum.
PROPOSITIO IV. SI rnam celeritate ea quam in fine descensus acquisivit
sursum tendere coeperit, fiet ut paribus temporis parti- - , spatia qua prius seu sum, eadem deorsum transeat, ade que ad eandem unde descenderat altitudinem Uendat. Item ut aqualibus temporis partibus aqualia amittat celeritatis
Sunto enim ut in propositione x, spatia quotlibet, aequalibus
45쪽
temporis partibus cadendo e quiete peracta, quorum primum AB ; secundu in compositum ex BD, quod celeritate aequabili acquisita per A B transeundum erat, & ex D E ipsi A B aequali; tertium compositum , ex Er, duplo ipsius BD, Sex FG, eidem AB aequali , quartum compositum ex G H, triplo ipsus B D, & exH K ipsi itidem A B aequali, atque eadem ratione porro crescentia, si plura fuerint. Dico totidem aequalibus temporibus eadem spatia KC, CE, EB, B A , singula singulis peragenda esse a gravi sursum tendente, atque incipiente cum celeritate in fine descensus cacquisita. Brevitatis autem gratia celeritas quaeque designetur deinceps longitudine spatii quod grave motu aequabili, cum celeritate illa, atque temporis parte una, quales in descensu consideravimus, transmissi trum esset. Itaque ex ostencs dicta propositione, cum in K grave .
pervenerit, habet celeritatem G H auctam celeritate B D, hoc est celeritatem x F , quia κ P aequatur ipsis H G , B D,
sunt enim partes singulae H Κ, F G , aequales ipsi A B, aci proinde utraque simul ipsi B D , quam esse duplam Α Ηollendimus prono sitione L. Itaque celeritatem in fine des census κ acquisitam sursum convertendo, si Crave aequabili motu ferretur, conficeret una temporis parte spatium K F. Atqui, gravitatis actione accedente', diminuetur
ascensus K p spatio F c ipsi A B aequali, ut patet ex dictis ad hypothesin initio sumptam. Ergo parte prima temporis
ascendet grave tantum per K C , quo eodem spatio parte temporis novissima descenderat. Simul vero & celeritati tantum decessisse necesse est, quantum acquiritur temporis parte una deorsiam cadendo, hoc est celeritatem B D. Itaque grave, ubi ad G ascenderit, habet celeritatem reliquam. A G, cum initio asseclasses habuerit celeritatem A G una cum celeritate B D. Est autem ipsi Π C aequalis G D , quum aequetur ipsi p E una cum D B , hoc est una cum dupla A B , hoc est una cum duabus p C & E O ; Ergo si ex G , cum celeritate aequabili, quantam illic habet, sursum pergeret, conficeret una parte temporis spatium G D. λccedente autem gravitatis
actione, diminuetur ascensus iste spatio D E , ipsi A B aequali. Ergo, hac secunda parte temporis, ascendet per i patium C E, quod
simili temporis parte etiam cadendo transierat. Simul autem celeritati tantum decessisse denuo debet quantum temporis parte una ex casu acquiritur, nempe celeritas A D. Itaque uotusque ad
46쪽
Danaieiuiu Eascenderit, habet duntaxat celeritatem F E, quae nimirum re- linquitur quum a celeritate C D aufertur celeritaS B D. Nars B D,
ut jam diximus, aequalis est duabus D E, F G. Est autem ipsi F Ε aequalis E A , quum F E aequetur ipsi a D bis sumptae, hoc est ipsi B D una cum dupla A B , hoc est una cum duabus A B , D E. Ergo si ex E cum celeritate aequabili, quantam illic habet, sursum pergeret, confecturum esset una temporis parte spatium Ε Α. Sed accedente actione gravitatis, diminuetur ascensus iste ipso spatio A B. Proinde hac parte temporis per spatium En tantum ascendet, quod sintili parte temporis descendendo quotaque transierat. Hic vero rursus celeritati tantum decessisse necesse cst quantum una temporis parte cadendo deorsum acquiritur, hoc est celeritatem B D. Itaque grave, ubi usque ad B ascenderit, habet celeritatem ipsam B D reliquam, cum in E habuerit celeritatem p E ipsius B D duplam. Si ergo ex B cum celeritate aequabili, quantam illic habet, sursiim perscret, confecturum esset
parte una temporis spatium aequale ipsi D n , hoc est duplum Α 8. Sed accedente gravitatis actione, diminuitur ascensus iste spatio quod ipsit A B aequale sit. Igitur hac parte temporis ascendet tantummodo per spatium B A , quod etiam primo descensus tempore transierat. Atque in fine qui acin extremi temporis hujus necessario grave in A puncto reperietur. Sed dicetur forsan altius ascen diste quam ad A, atque iride eo relapsum dine. At hoc absurdum esset, cum non possit, motu a gravitate profecto, altius quam unde decidit ascendere. Porro quum celeritati quam in B habebat rursus decesserit celeritas B D , patet jam gravi in A constituto nullam celeritatem superesse, ac proinde non altius excursiarii . Itaque ostensum est ad eandem unde decidit altitudinem pervenisse, de singula spatia, quae aequalibus descensus temporibus transimi serat, eadem totidem ascensus temporibus remensum esse: sed &aequalibus temporibus aequalia ipsi decessisse celeritatis momenta apparuit. Ergo constat propositum. Quia vero in demonstratione propositionis secundae, ex qua pendet praecedens , adsumptum fuit, certam quandam csse proportionem spatiorum quae continuis aequalibus temporibus agravi cadente transeuntur, quaeque eadem sit, quaecunquC aequalia tempora accipiantur; quod quidem &cx rei natura ita se habere necesse est, & si negetur , fatendum frustra proportionem istorum spatiorum investigari. Tamen , quia propositum etiam, absque hoc demonstrari potest , Galilei methodum sequendo,
47쪽
operae pretium erit demonstrationem, ab illo minus perfecte tra ditam, hic accuratius conscribere. itaque rursum nic. demonstrabimus,
SPatium peractum certo tempore, arravi e quiete casum inchoante, dimidium esse ejus spatii quod pari tempore transiret motu aequabili , cum celeritate quam acquisivit
vltimo casus moments. Sit tempus descensus totius A H , quo tempore mobile peregerit spatium quoddam cujus quantitas designetur plano P. ducta
zris ue H L perpendiculari ad A H, longitudinis cujuslibet, referatia celeritatem in fine casus acquisitam. Deinde completo rectangulo A H L M , intelligatur eo notari quantitas spatii quod percurreretur tempore A H, cum celeritate H L. Ostendendum est tur planum p dimidium esse rectanguli M H , hoc est , ductagonali A L, aequale triangulo A H L. Si planum p non est aequale triangulo A N L , ergo aut minus eo erit, aut majus. Sit primo, si fieri potest, planum p minus triangulo A H L. dividatur autem A H in tot partes aequales AC, CE, E G &c. ut, circumscripta triangulo A A L figura e rectangulis quorum altitudo singulis divisionum ipsius A A partibus aequetur, ut sunt rectangula BC, DE, FG, alteraque eidem triangulo inscripta, ex rectangulis eiusdem altitudinis, ut sunt Κ Ε, OG&c. ut, inquam, excessus illius figurae supra hanc , minor sit excessu
48쪽
o, bis is, . trianguli A H L supra planum P. hoc enim fieri posse perspieuum' est, cum totus excessus figurae circumscriptae super inscriptam aequetur rectangulo infimo, basin habenti H L. Erit itaque omni no excessus ipsius trianguli Α h L supra figuram inscriptam minor quam supra planum P, ac proinde figura triangulo inscripta major
lano P. Porro autem, quum recta A H lcmpus totius descensiis re erat, ejus partes aequales AC, CE, EG, aequales temporis illius partes referent. Cumque celeritates mobilis cadentis crescant ea .' Piop. i. hui. dem proportione qua tempora descensus '; sitque celeritas in fine totius temporis acquisita H L;erit ea, quae in fine primae partis te maporis A C acquiretur, C Κ ; quia ut A H ad A C , ita H L ad C κ. Si
militer quae in fine partis temporis secundae C E acquiritur, erit Ε o, atque ita deinceps. Patet autem, tempore primo A C, spatium aliquod a mobili transmissum esse, quod majus sit nihilo; tempore vero secundo C E transinissum esse spatium quod majussit quam x E, quia spatium K E transmissum fuisset tempore C Ε,
motu aequabili, cum celeritate C Κ. habent enim spatia, motu aequabili transacta, rationem compositam ex ratione temporum,& ratione velocitatum , ideoque cum tempore A H , celeritate
aequabili H L percurri postierimus spatium M H , sequitur tempore
C E , cum celeritate C K , percurri spatium Κ E , quum ratio rectanguli M H ad rectangulum K E componatur ex rationibus A Had C E, & H L ad E o.
Quum ergo, ut dixi, spatium x E sit illud quod transinitteretur
tempore C E , cum celeritate aequabili C R , mobile autem feratur tempore C E motu accelerato, qui jam principio hujus temporis habet celeritatem C c; mani sessum est isto accelerato motu, tempore C E, majus spatium quam K E confecturum. Eadem ratione, tempore tertio E G , majus spatium conficiet quam O G , quia nempe hoc confecturum csset tempore codem E G, cum celeritate
aequabili g o. Atque ita deinceps, singulis temporis A H partibus , a mobili majora spatia quam sunt rectangula figurae in scri piae, ipsis partibus adjacentia, peragentur. Quare totum spatium motu accelerato peraetiam majus erit ipsa figura inscripta. Spatium vero i Ilud aequale positum fuit plano p. Itaque figura inscribpta minor erit spatio p. quod est absurdum ; eodem enim spatio major ostensa fuit. Non est igitur planum P minus triangulo A HL. At neque majus esse ostendetur. Sit enim, si potest ; & dividatur λ H in partes aequales , atque ad carum altitudinem, inscripta circunscriptaque ruesus,
49쪽
ut ante , sit triangulo A H L figura ex rectangulis, ita ut altera at teram excedat minori excessuqu-m quo planum p superat trianagulum A A L , erit igitur necessario figura circumscripta minor plano KConstat jam, prima remporis parte A c, minus spatium a mobili transmitti quam sit 5 c, quia hoc percurreretur eodem tempore A C cum celeritate aequa hili e x, quam donaum in fine temporis A c mobile adeptum est. Similiter secunda partu tem poris C E , minus spatium motu aece ex to transuit tetur quam sit
D E , quia hoc percurreretur codem tempore C E , cum celeritate
aequabili E O , quam demum in fine temporis C E mobile assequitur. Atque ita deinceps, singulis partibus temporis A H, minora spatia a mobili trajicientur quam sunt rcchangula figurae circumscriptae, ipsis partibus adiacentia. Quare totum spatium motu accelerato peractum, minus crit ipsa figura circumscripta. Spatium vero illud aequale positum fuit plano p ; ergo planum p minus quoque erit figura circumscripta. quod est absurdum, cum figura haec plano P minor ostensa fuerit. Ergo planum P non majus est triangulo A H L , sed nec minus esse jam ostensum filii. Erago aequale lit necessc est; quod erat demonstrandum. Et haec quidem omnia quae hactenus demonstrata sunt, gravibus per plana inclinata descendentibus atque alcen dentibus aeque ac perpendiculariter motis convenire sciendUm est: eum, quae de effectu gravitatis posita suerunt, eadem ratione utrobique sine
Hinc vero non dissicile jam erit demonstrare propositionem sequentem quam concedi sibi, ut quodammodo per se manifestam, Galileus postulavit. nam demonstratio illa quam postea adferre conatus est, quaeque in posteriori operum ejus editione extat, parum firma meo quidem judicio videtur. Est autem propo
sitio hujusmodi.pROPOSITIO VI.
Eleritates gravium inver diversis planorum ireclinationibus descendendo acquisita , aqualessunt, si piso
rum elevationes fuerint aquales. Elevationem plani vocamus altitudinem ejus secundum pem pendiculum. Sunto itaque plana inclinata, quorum sectiones factae plano ad
horizontem erecto, An . C B i, quorumque clevationes LE, CD
50쪽
Di is, elisiis sint aequales; & cadat grave ex A per planum A B , & rursus ex cper planum C B. dico utroque casu cundem gradum velocitatis in puncto B acquisiturum. Si enim per C B cadens minorem velocitatem acquirere dicatur quam cadens per A B , habeat ergo, per C B cadens, eam duntaxat quam per F B acquireret, posita nimirum F B minore quam A B. Acquiret autem per C B cadens eam velocitatem qua rursus ' Prop. 4. huj. per totam B C possit ascendere.' Ergo & per F B acquiret eam
velocitatem qua possit ascendere per totam B C. Ideoque cadens ex p in B , si continuet porro motum ter B C ; quod repercussu ad superficiem obliquam fieri potest; ascendet usque in C, hoc est, altius quam unde decidit, quod est absiurdum. Eodem molo ostendetur neque per planum A B decidonti minorem velocitatem acquiri quam per C B. Ergo per utraque plana eadem velocitas acquiritur, quod crat demonstrandum. Quod si vcro, pro plano alterutro, sumatur perpendiculum ipsum planorum elevationi aequale, per quod decidere mobile ponatur , sic quoque eandem quam per plana inclinata velocitatem ei acquiri constat; eadem namque est demonstratio. Porro hinc jam recte quoque procedet demonstratio alterius theorematis Galileant, cui reliqua omnia, quae de descensu super planis inclinatis tradidit, superstruuntur. Nempe
PROPOSITIO VII. T mpora descensuum er planis dites mode ines
natis ,sed quorum eadem est euvatio, esse inter se ut planorum longitudines.
Sint plana inclinata A C , A D quorum eadem elevatio A B. dico