장음표시 사용
121쪽
prehendere possunt. Ide cur no Parallat ex una parte in innuituaeduci pos
Posidonii Parallatarum i D. terminat spatiora
altitudi nes, & Linearsi di stantias:
cident. in infinitum autem produci,& non coincidere, Parallelas ex primit. neque etiam hoc absolute, verum ex utraque parte in in fini tum produci, 8c non coincidere. nam fieri potest ut non Parallela etiam ex una parte quidem in infinitum producantur, ex altera veris minime. annuentes enim in hacce parte, plurimum ab inuicem in altera distant. Causa autem haec est, quoniam duae rectiar Lineae nullum spatium comprehendere postant. quod si ex utraque parte annuant, hoc non accidet. Quin etiam rectas Lineas in eodem esse
Plano, recte insuper acceptum fuit. si enim altera quidem in subie isto esset Plano, altera vero in sublimi, iuxta omnem positionem sibi inuicem non coincident. non tamen proinde Paralleis sent. Vnum igitur Planum sit, producanturque ex utraque parte in infinitum, &neutra in parte sibi inuicem coincidant. his enim existentibus Pararalelae istae Lineae erunt. 8c hoc modo Euclides quidem Parallelas definit rectas Lineas. Posidonius autem hae Parallelae sunt inquit
quae neque annuunt,neque abnuunt in uno Plano : sed aequales habent omnes Perpendiculares, que a Signis alterius ad alteram ducuntur . Quaecunque Vero maiores semper, atque minores fecerint Per pendiculares, coincident aliquando,qula sibi inuicem annuunt. Per
pendicularis siquidem Spatiorum altitudines, Linearumque distan tias terminare potest. Quocirca aequalibus quidem Perpendiculariabus existentibus, aequales etiam sunt rectarum Linearum distantiae :maioribus verb,atque minoribus factis, distantia quoque fit maior,& minor.& sibi inuicem annuunt illis in partibus,in quibus sunt Per pendiculares minores. Sciendum autem est, quod ipsum non coin cidere haud prorsus Parallelas efficit Lineas. Concentricorum nanque Circulorum Circunferentiae non coincidunt: sed opus es: etiam ipsas in infinitum produci. Hoc autem non solis Rectis verum etiam aliis inest Lineis. possibile enim est intelligere Helices circa rectas Lineas ordine deseribi, quae si una eum rectis Lineis in insnitum producantur, nunquam coincidunt. Haec itaque Geminus ex his recte diuisit, a principio dicens, quod Linearum quidem aliae sunt te minais, Figuramque continent, ut Circulus, ipsiusque Eslipsis Linea necnon Cistbides, SI aliae quam plurimae: aliae vero indetermi natae, quae in infinitum etiam producuntur,' Recta RectanguliqueConi, atque obtusanguli sectio, necnon Conchoides ipsa. Rursus autem earum, quae in infinitum producuntur, aliae quidem nullam comprehendunt Figuram, ut Recta,'iam dictae Conteae sectiones: aliae vero coeuntes, Figuramque facientes, in infinitum postea pro
122쪽
ducuntur. Harum autem aliae quidem non coincidunt amplius, qua utcunque productae fuerint non coincidunt : aliae vero coincidentes
sunt, que scilicet quandoque coincident. Non coincidentium Rutem, aliae quidem in uno sunt inuicem Plano : alia' vero, minime. Non coincidentium autem, in unoque Plano existentium, aliae quidem aequali semper interuallo distant ab inuicem: aliae vero interuallum semper imminuunt, queadmodum Hyperbole ad Reictam Lineam, re Conchoides ad Rectiam Lineam. hae siquidem cum imminuatur semper interuallum nunquam coincidunt. 8c annuunt quidem sibi inuicem, nunquam autem omnino annuunt. Quod etiam maximὸ Adith, i admirabile est in Geometria Theorema, ostendens Nutum qua-dam Linearum non annuentem. Earum autem,quae aequali semper . de distant interuallo, quae sunt redis Lines, Spainter eas positum est nunquam imminuin uno Plano , Parallelae sent . Tot etiam ab elegam
midio ad propositorum explana tionem decerpsim .
123쪽
De Petitione, εἴ Pronuntiato Cap. Vnicum.
V V M Geometriae principia infaHὸ diuisa
sint, in Suppositiones,Petitiones, & Pronuntia ta, quae nam inter haec sit disserentia in superio ribus tradidimus. De Petitione autem peculiariter, & Pronuntiato accuratius disterere in praesentia propositum nobis fit, quandoquidem &de iis praecipuὰ nunc sermonem habeamus. Suppositiones siquidem, quae & Definitiones appellantur in iam dissitis
e3 u. eXposuimus. Commune igitur est tam Pronuntiatis, quam Petitio ta. Peti- nibus nulla egere demonstratione, neque Geometrica fide: sed tan-
f.,ρὰ quam manifestas accipi,caeterorumque principia fieri. Disterunt a tem ab inuicem eo modo, quo & Theoremata a Problematibus di autori, et stincta siere. quemadmodum enim in Theorematibus quidem id, h. quod subiecta consequitur perspicere, ac cognoscere proponimus: serentia. in Problematibus vero aliquid comparare,ac facere iubemur,eodem sane modo Zc in Pronuntiatis quidem haec accipiuntur, quaecunque per se se cognitu manifesta sunt, nostrisque indoctis notionibus sunt in promptu: in Petitionibus vero haec accipere quaerimus, quaecun iactu, mparatuque facilia sunt cum in illis accipiendis Cogitatio nodefatigetur, quaeque nulla egent varietate, S nulla Constructione. Euidens ergo, ct indemonstrabilis cognitio, inconstructaque sum ptio, Petitiones, a Pronuntiatis distinguunt. quemadmodum etiam demonstrans cognitio, Quaesitorumque xia cu Constructione sum ptio Theoremata, a Problematibus seiunxit. Ubique . n. principia,
simplicitate,& indemonstrabilitate, atque eis quod per sese fidem isecium, ij quae postprincipia sunt praestare oportet. uniuersis iter sie p*Rρμ' quidem inquit Speusippus eorum, quae Cogitatio venatur, Rii
' quidem nullo vario peracto decursu profert, & ad fiatura inrisixio
124쪽
nem preparat euidentioremque horum habet apprehensione quam obieeiorum visus: alia vero cum statim assequi non possit, per transi tum ab illis progrediens, iuxta consequentiam ipsa venari conatur.
Exempli gratia, hoc quidem, a Signo ad Signum rectam Lineam ducere tanqua euidens factuque facile sus pit. Cum enim indecliui Signi fluxu componatur, simulque progrediatur, eo quod nusquam magis vel minus declinat,in altero incidit Signo. Rursus si Uno qui
dem Extremorum rei hae Lineae manente, alterum circa ipsum moueatur, Circulum nullo negotio descripsit. Siquis autem unius reu lutionis Helicem describere voluerit,magis varia eget machinatione. variis nanque motibus ipsa generatur. Siquis etiam Triangulum aequilaterum voluerit consi ituere,is quo P methodo quadam egebit, ad Trianguli constitutione. dicet . n. Geometrica Mens quod cum ego intellexerim rectam Lineam,quae iuxta quidem alterum Extre
morum maneat, iuxta autem alterum moueatur circa illud S Signa, quod a manente Extremo in ipsa moueatur, Unius reuolutionis HGlice descripsi. cum . n. simul & rectar Lineae extremitas, quae destri bit Circulum,S Signum, quod in ipsa mouetur recta Linea, in eodeSigri peruenerint, atque coinciderint, talem mihi faciunt Helicem, S rursus cum Circulos aequales deseripserim, S a comuni se mone ad Cetra Circulorum Lineas rectas protraxerim, ab alter0que Cen trorum ad alterum rec tam Lineam dulgerim . aequilaterum habebo Triangulum Multu itaque abest ut haec simplici, apprehensione, primaque notione perficiantur. nam contenti essemus ortus ipsorum consequi. Facilius eruo vel difficilius haec comparari,& vel pluribus vel paucioribus Med is ostendi, propter aggredientium habitus eue nit: prorsis vero Demostratione egere,atin Constructione, propter Quaesitorum proprietatem, quae a Petitionum, & Pronuntiatorum
euidentia deficit. Vtrunque igitur simplex, Se deprehensu ficile de hei esse, Petitio inqua in & Pronuntiatum. Verum Petitio quidem
imperat nobis machinari, ac comparare quanda materiam, ad Symplomatis assignationem, quae habeat simplicem, facilemque deprehensionem: Pronuntiatum vero, quoddam per se accidens dicit, ex
se se audientibus cognitum. utpote calidum esse Ignem, vel quoddasiud eoru quae manifesti sigma sum, S in quibus dubitantes, aut sen se .aut punitione egere dicimus. Quamobrem eiusdem quide generis est Petitio. 8e Pronuntiatum: differunt aute iam dictio modo. utruque m principium est indrmonstrabile, vetam hoc quidem sie: illa vero aliter,ut diximus. Iam autem alii quidem omnia ista Petitiones
125쪽
, άι' censent, sicut etiam Problemata, Quaesita omnia. Archi tu ,hinio medeS nanque Librum Aequiponderantium ii cipiens, petimus inualia Grauia ab aequalibus Longitudinibus eque ponderare. esiimedixi quanuis hoc, Pronuntiatum potius quispiam appellarit: alij veroo- ό Pronuntiata Vocant, queadmodum etiam Theoremata, cunis tuim. csta, quae demonstratione indigent . iuxta enim eandem ut videtuo h db proportionem a propr0s nominibus, ad communia transiere. differt qua vido tamen ut Problema a Theoremate, ita Petitio a Pronuntiato. tam
, b, II. etsi ambo indemonstrabilia sint, quemadmodum illa, demonstra , , ἡό ό uone indigent . Sc alterum quidem tanquam factiti facile sumi
ma a Theo tur, alterum Uero tanquam cognitu sicile communi omnium comoes; ἱ,'' ά conceditur . Hoc itaque pactio Geminus quidem Petitio Pronuntia nes a Pronuntiatis distinguit. Alia autem fortas Iedicant quod P . ias hs i titiones quidem, sunt Geometricae materiae propriae: Pronuntiata ςipi' ς-P- , uniuersae, quae circa Quantum,& Qirotum versatur contem Aliorum plationi communia. nam illam quide, quae petit re stos Angulos esidi ἡ . . ,: aequales, Se omnem rectam Lineam finitam in direc tum producere, Petitionu, nouit Geometres: quod Uero ait quae eidem stant aequalia, inuicemti, sum. quo esse aequalia,communis est notio, qua tum Arithmeticus, tum etiam qui sep scientia praeditus utitur quod comune est suae accomo Aristote- dans materiae. Aristoteles vero Ut prius etiam diximus Petiti
. . C. nem inquit cum demonstrabilis sit, ab audienteque non concedatur. ό, , , principium tamen suscipi: Pronuntiatum vero, per sese in Pion in demonstrabile esse, omnesquead iuxta habitum confiteri, licet etiam . aliqui disputationis gratia contra ipsum dubitarint. Tres ita Φ cum perion li- sint hae disterentiae, iuxta quidem primam, quae ipso Comparare, ac Cognostere tantu Petitionem a Pronutiato distinguit, manifestam est,quod illa, quae dicit omnes rectos Angulos aequales inuicem esie,
Iuxta pri non est Petitio . nec quinta, quae ait, si in duas rectas Lineas recta in isti hεὰ cidenS Linea internos, ad easdemque partes Angulos duobus Rectis q. xta, minores secerit, rectas illas Lineas si in infinitum producantur coin v imis 'in cidere ad eas partes, in quibus sent Anguli duobus Rectis minores.. s. 'A siquidem ness in Constructione sumuntur, nec quicquam facere numerasi iubent: sed Symploma quoddam ostendunt, quod rectis Angulis 4ςbςnt &-Lineis, quae ab Angulis duobus Rectis minoribus ex Iuxta se- eunt. Iuxta vero secundam non erit Pronuntiatu illud,quod ait duas hi , in rectas Lineas Spatium non comprehendere. quod etiam quidam n noe, Pr tuiquam Pronuntiatum adstribunt. hoc enim Geometricae materis illud, qd' proprium est,quemadmodum etiam illa, quae ait omnes ctos An-
126쪽
gulos aequales esse. Iuxta autem tertiam,quae Aristotelica est omnes quidem,qus per demonstratione quandam de sese fidem faciunt, De titiones erunt: quaecunque vero in demonstrabilia sunt, Pronuntia ta. Frustra igitur Pronuntiatorum demonstrationes tradere conatus est Apollonius. recte enim Geminus animaduertendo adnota
uit, quod alti quidem indemonstrabilium quoque demonstratio
nes excogitarunt, ab ignotioribusque Medhs ea, quae sunt omnibus nota probare conati sunt, quem in errorem incidit Apollonius, qui ostendere voluit verum esse Pronuntiatum, quod ait quae eidem sunt aequalia , 8c sibi inuicem aequalia esse: alii vero quae etiam demonstratione indigent, in indemonstrabilibus assumpsere. ut E clides ipse quartam, & quintam Petitionem. hanc enim quidam veluti ambiguam demonstratione egere dicunt. quomodo nanque ri diculum non est quorum conuersia , Theoremata demonstrabi lia sunt, haec tanquam indemonstrabilia assignare et nam quod rectarum coincidentium Linearum interni duobus Reestis mino res sunt, ipsemet Euclides in illo ostendit Theoremate, quod sic ait L Omnis Trianguli duo Anguli, duobus Reebs minores sunt, omnifariam sumpti J Quinetiam quod non proris quicunque R ctoaequalis, Rectus es ,perspicuὰ ostenditur. Non ergo indemon strabilia esse horum conuersia concedendum est, inquit Gem1 nus . Videtur itaque iuxta huius viri ordinationem tres qui dem ess e Petitiones : reliquas vero duas, & ipsarum conuersis de monstrante egere scientia: in Pronuntiatis autem, illud, quod di est duas Rectas spatium non comprehendere addi superuaca nee . Siquidem per demonstrationem de se fidem faeit. De Petitionum igitur, 3c Pronuntiatorum disserentia haec sufficiant. Ru sus autem Pronuntiatorum , alia quidem sunt Arithmetices Pro Pria, alia vero Geometriar, alia autem ambabus ipta communia. nam illud quidem, quod dicit omnem Numerum ab unitate meti ri, Arithmeticum Pronuntiatum est . illud vero, quod ait, A quales rectar Lineae sibi inuicem congruunt, nec non illud , quod omnem magnitudinem in infinitum esse diuisibilem aflirmat, Geo metrica Pronuntiata sunt . illud autem , quae eidem sunt in tua lia , & inter se sunt aequalia, omniaque huiuscemodi , ambabus communia sunt. Vtitur autem utraque & his, in quibuscunque suum subiectum postulat. Ut Geometria quidem , in Magnitudinibuς : Arithmetica vero , in Numeris . Consimiliter au
tem Petitionum quoque aliae quidem singulis propriae sunto scio
Gemini , et iuxta Ppria sentelia, qui pypς g quarra,& quinti Petitio
Hoc inferius ostenditur inc Irixta Gemini sente
titionu diuisio, pernio P dZia Petitionis
127쪽
P genere accipitur. petitio I. Secuda. Tertia
scientiis aliae vero comuires omnibus . nam illam quide,qus petit diu uidere Numeru in partes minimas, peculiare Arithmetices Petitione esse dixeris: quae vero omnem recta Lineam finita in directu producere,Geometris : quae aute Quantitatem in infinitum augere, amba bus comunem. Numerus nam , 8c Magnitudo possunt hoc pati.
Petaturabomni Signo ad omne Signit rectam Lineam ducere. λ i Et rectam Lineam terminatam secundum continuum in directum E
y Et omni Centro, S Interuallo Circulum describe:
ebes. i. TResi sis tum propter facilitatem,tum quia aliquid comparare nobis imperant, in Petitionibus ex Gemini sententia necessario collo candae sunt. nam illa quidem ab omni Signo ad omne Signum recta Lineam ducere, eam consequitur definitionem, quae Lineam Signi fluxum esse ait, & Rectam indecliuem at inflexibilem fluxum. Si
igitur Signum indecliui breuissimoque motu moveri intellexerimus, in alterum Signum incidemus, Sc prima Petitio facta est, nilque u rium intelleximus. Si autem cum Recta ipsa Signo terminetur,simi h ter ipsius Extremum breuissi mo,indeclivique motu moveri intelle Nerimus. seeunda Petitio i facili, simplicique apprehensione compa
rata erit. Si vero terminatam rursus rectam Lineam manere quidem secundum alterum eius Extremum,moueri autem circa id quod ma net,secundum reliqua,tertia porro factinerit. nam Centrum quide, est Signum id quod manet: Interuallum vero, recta Linea. quantam ibita io .n. haec est, tanta est Centri ad omnes Circunferentiae partes dista
tia. Siquis autem dubitet,quomodo motus ipsos Geometricis rebus adhibemus,1 mobilibus existentibus,quo aute impartibilia movemus solutio hsc n. minime fieri posse eum rogabimus non passim molestu esse, si memoria tenet ea, qus in principio demonstrata fuere. quod Uti Rationes eoru qus in Phantasia iacent, omnes ibi destribui Cogita tionis imagines,quaru Cogitatio ipsa ratione habet. Tabella. n. non scripta huiuscemodi Mens est, ultima, atin passibilis. At nulla apud Mεnj viii nOS Oratio lisc. Mes .n.illa,quae recipit species aliunde per motu ipsas recipit.& motum quide non corporeum, sed imaginarium intelligainiecipi spe mus. impartibiliaque corporeis moueri motibus minimὸ coeedamus, , ό ό, ' imaginarios pati decursus. Etenim Mens impaestibilis extilia. cap. r. stens mouetur, non tamen secundum locum. Sc Phantasta iuxta eius Impare
128쪽
Impartibile, proprium habet motum. nos autem ad corporeos motus respicientes,motus, qui in Interuallo carentibus fiunt deserimus A corporeo itaque loco,externisque motibus impartibilia pura sunt:
motus vero alia species, aliusque locus motibus illis cognatus in ipsis consideratur . siquidem positionem quoque in Phantasia Signum habere dicimus, &non quaerimus quomodo impartibile adhuc manere potest,quod alicubi t mouetur, S a loco comprehenditur. I cus enim eorum quidem, quae cum dimensione sunt, dimensionem habet&ipse: impartibilium vero nullam habet dimensionem. Aliae igitur propriae Geometricarum rerum sunt species, &aliae quae ab illis constituuntur: alius etiam motus corporum, & alius eorum, quae in Phantasta excogitantur: necno alius partibilium est locus, & alius impartibilium. Oportetque haec distinguendo, rerum essentias non confundere,ne v perturbare. Videtur autem harum trium Petitio num prima quide in Imaginibus nobis declarare, quomodo ea, quae sunt in suis causis cotinentur impartibilibus existentibus, ab ipsisque terminantur: Sc Φ etiam prius qua constituantur,undequa ν ab ipsis comprehensa sunt. na ignis existentibus rectia Linea ab altero adesterum ducitur,ab ipsisque terminatur,& inter ipsa recipitur. Secunda Veia,quo ea,qus sunt proprias habendo c usias, ad omnia progre diuntur continuatiotie in illis seruantia , qu tandem ab ipsis no abriapiuntur : sed propter infinitς potentis causam,vbio permeare cona tur.Tertia aut,quo ea,qus prppressa sunt.ad propriarursiis principia remediuntur. Si ni. n. quod circa manens Signum mouetur conuo Iulio Circulum producens, Circularem imitatur regressum. Scire aut oportet min infinitum produci non omnibus inest Lineis . neque .n. Circulari neq; Cissoldi, ne omnino illis, quae Figuram deseribunt, quinetiam ness illis,qus nullam faciunt Figuram. ne .n.Vmus reu tutionis Helix in infinitu producitur . nam inter duo Signa epnstitui tur . ness vlla alia earum Linearum,quae hoc modo fiunt . At neque uti omni Signo ad omne Signum omnem protendere Lineam possi hile est. non enim omnis Linea inter omnia Signa subsistere potest. Haec etiam de his. Ad reliqua autem pergam .i iacet Tigressio Pin Zs DLgressionis
129쪽
mero, tuitixta G iuxta Ari. sententia.
ide stipe- hui' libri. Demostratio quartε Petitionis
PRaesens Petitio si quidem tanquam trianifesta, nuItaque egens de monstratione a nobis coceditur, Petitio quide non est ex Gemini sententia: sed Pronuntiatum . quoddam enim rectis Angulis per se accidens dicit, nihil simplici notione facere iubens. verum neq; etiam iuxta Aristotelis diuisione Petitio est. Petitio enim ex sententia illius aliqua indiget demonstratione. Si vero demonstrabilem ipsam est. dicimus,lpliusque demonstrationem quaereremus, ne adhue iuxta Gemini sententiam in I 'etitionibus collocanda erit. Apparet ita
secundum etiam nostras communes notiones rectorum Angulorum
aequalitas. Cum . n. unitatis, vel Termini rationem habeat ad An gulorum,qui utrobi φ sunt aceretionem in infinitum, atq; decretionem,respectu cuiuscun ecti aequalis est. etenim primum rectum Angulum hoc modo constituimus, stantis rectar Linear,superquam stetit utrobique Angulos, aequales faciendo. Si autem demonstra tionem quoque Linearem de hoc afferre ψportet, sint duo recti An guli unus a b e, alter d e f. Dico quod aequales sunt. si.n. non sunt aequales, alter ipsora sit maior, Utputa qui ad Signa
b. Si igitur Linea d e, ad LineΑ ab ad tetur, Linea es intra cadet. Cadat ut Linea b g, &producatur Linea be ad Signum h. Quonia igitur An gulus a b e rectus est, Angulus quoque a b h rectus erit S sibi
inuiceni erunt aequales. habe mus. n.m Definitionibus quod
rectus Angulus et,qui deinceps est Angulo aequalis est. Angulus er goabh mstior est Angulo ab g. Producatur rursus Linea gb usque ad h. Quoniam igitur Angulus ab grectus est, A qui deinceps est Angulus,rectus erit,ac propterea ipsi a b g aequalis. Angulus igitur ab . Angulo ab gaequalis est, quapropter Angulus abii, Angulo
ab g minor erit,sed erat etiam maior,qusd fieri non potest. Non est igitur Rectus maior Recto. Hoc autem ab alqs etiam expositoribus
ostensum fuit, A non multa egebat consideratione. Pappus vero recte nos animaduertit quod huius Petitionis conuersia, vera non est, nempe omnem Recto aequalem,omnino Rectum esse. verum si re
ctilineus fuerit,absque dubio Rectum esse. Posse autem curvilineum quo
130쪽
quo Angulum Redio aequalem ostendi, Et sis manifestum quod huiuscemodi Angulum, poste Rectum esse non dicemus. in rectilibneorum enim Angulorum diuisione Redium accipiebamus, a recta 1 ου ἡ. Linea super subiecta rectam Lineam inflexibiliter stante ipsem com finitione. stituentes. Quapropter recto Argulo aequalis non omnino Rectus est, siquidem necu rectilineus. Intela ligantur igitur duae rectae Lineae ae quales a b, & b c, Angulum,qui ad bSignum est,rectum facientes , in laesisque Semicirculi Centro,& Inter uallo descripti a e b,S h D. Quoniaitaque Semicirculi aequales sunt, sibi inuicem conuent, & Angulus e b a aequalis est Angulo fb e. Comunis
apponatur reliquus , nempe ebc.
Totus igitur Rectus, Corniculari aequalis est, si stilieet e b s Corniacularis tamen Rectus non est. Eodem autem modo si etiam Obru sus, vel Acutus sit Angulus ah c, aequalis ipsi Cornicularis Angulus ostendetur hoc enim est genus illud curvilineorum Angulorum, quod cum rectilineis conuenit praeter hoc tantum, quod animad- Dertendum est, quod in Recto quidem, atque in Obtuse medium Angulum, qui a Lineacb, & h e Circunserentia continetur addere oportet: in Amto veris,auferre. recta eniiii Linea cb, Circunferen tiam besecatb Ponantur igitur uti iusque suppositionis exemplares descriptiones. Haec ita descripta a sint . quae quidem ostendunt 8c iniquod omnes Recti sibi inuicem aequales sunt, & quod non omniano Recto aequalis, Rectus.&ipse est. nam si ne rectilineus est,quonam pacto rectum quis ipsem di cet et Manifestum aute δ ex haequoque Petitione, quod Anguli
Rectitudo aequalitati cognata est, quemadmodum Acumen, atque obtusitas, in qualitati. etenim Rectitudo quidem , atque aequalitas eiusdem sunt coordinationis in . libro traque enim sub Fine existit ut etiam similitudo: Acumen vero, atque obtusitas eiusdem cum inaequalitate sunt seriei,veluti & dismmilitudo . ex Fine enim , atque Infinitate omnes p uctae sunt.