장음표시 사용
151쪽
Centro, quanta est ipsa b e. &etum est id, quod iussum erat, Si quis igitur haec dicat quod in principio est petit. cum . n. dicat Cenotro a, interuallo autem h ς, deseri hi circulum e d, aequalem iam accepit quodammodo ipsi be, ad Extremum a positam. 5 seruans Pe xitio Extrema interualli, alterum quidem eorum Centrum faciebat,
altero vero Circulum designabat: hie autem,alibi quidem Centrum est, alibi vero interuallum. Omnino igitur hunc demonstrandi m dum non approbabimus
Com Ertium Problema id est datas quidem habens magnitudine duurectas Lineas inaequales, iubens vero a maiori, minori aequalem au . Habet autem hoc quoque multos Casius . datae enim inaequatis Casius. les rectar Lineae aut distant ab inuicem, quemadmodum apud Ele mentorum institutorem: aut iuxta unum Extremum coniunguntur: aut se inuicem secant: aut altera iuxta unum sui Extremum alteram secat, hocque dupliciter. aut maior minorem: aut minor maiorem. Verum si iuxta unum coniungantur Extremum, manifesta est De mos ratio. communi .n. Extremo Cςntro usias, interuallo vero Libnearum minore, Circulum designabis,& maiorem secabis, S mino ri aequalem abscindes, quantum enim Circulus intra se abscindit, tantum minori erit aequale. Si autem altera iuxta eius Extremum alteram secat, vel maior secat minorem: vel e conuerso. & si seidui cem secarent, aut in partes aequales ab inuicem secantur: aut in ina quales: aut altera quidem in aequales , altera vero in inaequaleS . hocque duplieiter . haee enim omnia admirabilem nobis inerunt cxercitationis varietatem. Apponantur autem nobis etiam ex pi
152쪽
ribus quaedam. Sint datae recta Lineae inaequales ab, 5 cd, maior aute c d secetque ipsam a b sui ipsius Extremo c,& Centro quidem a, InteruaIIo vero a b,Circulus deseri batur bLA constituatur Triangu Ium aequi laterum super ac, quod sita e c, & producantur e a,e c. & rur sus Centro quidem Interuallo au-xem e f. designetur Circulus g fru susque Centro quidem c interuallo
Vero e g Circulus g I. Quoniam igitur e fgqualis est ipsi e g Centrum enim est e ) quaru e a, ipsi e c aequalis est, reliqua a L reliquar c g aequalis erit. Verum a fetiam,ipsi a b est aequalis . a enim Centrum est. &eg igitur, ipsi ab aequalis erit. εchaec squalis est ipsi e l. centrum enim est Signum c. re ab igitur ipst ei aequalis est. Aequalis igitur ipst ab ablata est ipsa ei. Verum sit edminor ipsa ab, secetque ipsam a iuxta e suum Extremum. Aut ita in medio ipsam dispescit, aut non in medio. Secet primum in medio, ed igitur aut dimidiu est ipsius ah,& est aequalis a e , ipsi c d : aut m dietate minor, 8c Centro quidem GInteruallo vero ed, Circulum demgnans ab ipsa ab ipsi ed aequalem abscindes: aut maior medietate,&ada Signum, asipsi edaequalem ponens, de fibensque Cireulam Centro a, interuallo autem a L ab laesa a b. ipsi a f. hoc est ipsi e d aequalem abscindes. Si autem ed ipsam ab non per mediu dispesEt, erit ed aut ipsius
medietas, aut medietate maior, aut mitior. Si itaque e d medietas est, vel minor medietate ipsius ab , Centro utens Signo e , Interuallo autem e d.
abscindes ab ipsa a b, ipsi e d aequa- ὸlem, iussumque factum est. Si vero
153쪽
ipsa maior, rursus ad Signum a , linsam af, ipsi c d aequalem PonenS, ea dem facies. Centro enim a, Interuauio autem a s Circulum designabis ab scindentem ab ipsa ab, ipsi a Llioeest ipsi e d squalem. Si autem se inuicem intersecaret quemadmodum c d, a b, Centro Interuallo vero b a, Cir cuius describatur a L & protracta b siproducatur usin ad Signum f. Quo niam itaque duae rediae Linea: inaequales sunt b L c d. S c d iuxta sui ipsius Extremum ipsam bs secat, D
sibile est ab ipsae vi ipsi b f aequAem
facere. Utrunque enim ostensium est.
Fieri igitur potest . Ut ipsi quoque a bab ipsa ed, aequalis abscindatur nam a b, AI b f sibi inuicem aequales
sunt. Nos itaque cum ex diuisione Casiis accepissemus, ipsorum variς-tatem ostendere conati imus. Asmirabilis autem est Esemetorum in
si tutorisDemonstratio, omnibus il la iam dict1s Constructionibus con gruens. & possibile est in omni pos1-tione ad Extremum maioris aequa
1em minori ponere, & eodem Extremo Centro utentem, A posita InterualIo Circulum describere, quioniae ri, minori aequalm abstindet, siue se inuicem intersecent,siue tera alteram, siue quodam alio positionis modo se se habeant. cθα. ,. Hoc primum Theorema in Elementorum institutione assumpramus,quia autem hoc praecesserunx, cunn Problemata erant. Primia
154쪽
quidem Triangulorum ortum tractas: Secundum ver8, ac Tertium aequalem aliam alii rectam Lineam comparare proponentia. h rumque illud quidem a non Aequali aequalem producebat, hoc Vero ab in squali per ablationem Aequale reperiebat. actum ita aequa- Aequali. 1itas quidem quae primum in Quantitate est Symptoma, in Triagulo rectaque Lineae nobis comparata fit hoc primum,quod proposui- te est Syramus Theorema ipsam in illis tradit. quomodo nan qui prius Tri gula non constituit, ortumque ipsorum non comparauit de 's, quae
per se ipsis accidunt 8c de Angulorum ae Laterum, quae in ipsis sunt
aequalitate erat docturus Quomodo autem Latera Lateribus, re Etasque Lineas atqs rectis Lineis aequales accepit, quippe qui hoc mi nime problematicὰ pertractauit,nec machinatus est,aequalium inqua Recitarum inuentionem c dicatur enim si contingeret antequam illa
fiant quod si duo Triangula hoc aliquid habuerint Symptoma, hoc
etiam prorsus habebunt. nonne igitur facile penitus est: et ipsi occur- Ipsi oe-xere, quod neque omnino scimus si Triangulum constitui potest c hε , .
Subinde autem inferatur, quod si etiam duo Triangula duo Latera
duobus Lateribus aequalia habuerint. non ne aliquis aduersiis hoc quasi ebstiquoque dubitet utrum nec possibile sit ressitas Lineas sibi inuice squa-Ies esse & potissimum in Geometricis Formis, in quibus non Prorsus inaequalitate existente, aequalitas etia est. addiscemus enim quod . Cornieularis Acuto semper in squalis est,& nunquam squalis,& 8 sibyhi, Emicircularissimiliter, transitusque a Maiori ad Minus non omnino tertii Ele- per Aequale fit. Haec igitur Elementorum institutor prius auferens,& Triangulorum constitutionem tribus enim formis comune est b& squalium Rectarum ortus tradidit, hosque duplices. nam alteram quidem, omnino no existentem producit: alteram vero, ab Insquali
Per ablationem acquirit. hisque non immerito Theorema subdit, per quod ostenditur quomodo Triangula, quae duo Latera duobus Lateribus alterum alteri aequalia, & Angulum Angulo aequalem ab aequalibus Lateribus comprehensum habent: Basim quo Basi, ScAream Areae, reliquosque Angulos reliquis Angulis aequales habe re apparent. tria enim sunt, quae in his Triangulis ostenduntur: duo vero, quae dantur. Data est ita duorum Laterum aequalitas, Vel ἴ- 'asum humalia duo Latera &manifestumquὁd Ratione data est & Anguli, qui ab aequalibus Lateribus continetur ad Angulum aequalitas: Ggsitumqugnantur autem tria, Basis ad Basim squalitas, Trianguli ad Triam ἡλ 'gulum, reliquorumque Angulorum aὸ reliquos Angulos. Quoniam
autem fieri poterat ut duo quidem Latera duobus Lateribus habe
155쪽
Area Teii guti quid. Ambitus Triar uliqess.
rent Theoremaque verum non esse, eo quod alterum alteri
aequale non est, sed utraque simul, propterea in Datis addidit Latera squalia esse, non simplicitςr, sed isterum alteri. Si enim continis geret alterum quidem Triangulorum unum quidem Latus trium nitatum habere, aliud vero quatuor: reliquum autem, Unum qui dem quinque, aliud vero duarum, Angulo ab his comprehenso Recto existente, essent quidem duo Latera simul, duobus aequalia S ptem enim hse,'illa non tamen Triangulum Triangulo squale ostenderetur. alterius enim Area est Sex alterius vero, Quinque. 8c huius rei causa est, quoniam non etiam alterum alteri existit squale. Multi itaque in quibusdam agrorum diuisionibus hoc non obse uantes cum maiorem agrum sumpsissent, iusti existimati fidere, perinde ac si aequalem suscepissent . quoniam utra simul unum agrucomprehendentia Latera utrisque simul alterum continentibus La teribus aequalia erant. Operspretium est igitur alterum quoque alteri squale suscipere. 8c ubicunque Elementorum institutor hoc adi cerit, adnotari quonia ab re hoc additi si quide de datoru quoin squa lium Angulorum aequalitate verba faciens, addidit particulam L absqualibus Lateribus comprehensum 3 ne indeterminate Loquedo, aliquem sumamus eorum, qui ad Basim sunt Angulorum. Qui etiam Basim quoq; in I 'riangulis nullo quidem Latere antea nomis nato Laius,quod ξ regione ante oculos iacet: duobus autem iam prς acceptis necessario reliquum Basim esse supponendu est. Quapropter hic quoque Elementorum institutor eum duo Latera duobus Lateribus aequalia praesumpsisset, reliqua, Triangulorum Bases a pellauit. Triangulum autem Triangulo tunc aequale dicitur, cum ipsorum Area aequalis fuerit. nam fieri potest Ambitibus aequalibus existentibus, propter Angulorum inaequalitatem Areas etiam in in quales esse. Aream autem voco, Spatium ipsum, quod a Trianguli
Lateribus intercipitur : quemadmodum sane Ambitum etiam, Lu
156쪽
neam ex tribus Triangularibus Lateribus compositam. Diuersum igitur est utrunque, & oportet equidem propter Ambituum iuui unumquodque Latus aequalitatem Angulos etiam aequales esse si ScArea Areae debet esse aequalis . Accidis autem in quibusdam Triangulis Areis quoque aequalibus existentibus, Ambitus esse inaequales: Ambitibusque aequalibus existentibus Areas inaequales esse. Duinhus enim Aequiemribus Triangulis existentibus, quorum Utrunque
κqualia Latera quinque Unitatum habeat, Basium autem alteram cosidera quidem Octo,alteram vero Sex. horum sane qui Geometriar quide ignarus est maius dixerit illud, quod Basim ossito Unitatum habet. incom. ptotus enim Ambitus Octodecim erit. Geometricus autem vir dixe
rit quidem quod utriusque Area Duodecim est, haecque demonstra bit Perpendicularem in Utro Triangulo a Vertice ducens, hanc cpcum altera parte Segmentorum Basis multiplicans. Euenit autem
Qt dixi Ambitibus etiam aequalibus existentibus Spatia inaequalia esse. & quidam olim suos participes in agrorum diuisionibus Daude
deceperunt, quippe qui propter aequalitatem iuxta Ambitum,malo rem agru sumpsere. Basis vero Basi aequalis esse dicitur, omninoque em I inea recta Linea es a rectar Lineae squalis est, cum ipsarum Extrema com 1 h, diundia totam toti congruere fecerint . nam omnis recta Linea, omni rectae Vineae congruit: aequales autem, iuxta etiam Extrema sibi in uicem congruunt. Angulus autem Re stilineus Angulo Rectilineo usio ,ε aequalis esse dicitur cum vno alterum comprehendentium Laterum supra unum alterius posito, reliquum etiam reliquo congruit: cum Oillueo aurem reliquum extra reliquum indit, maior Angulus est, cuius La-xus exua cecidit: cum vero mira, minor. nam ibi quidem alterum M. continet, hic vero continctur ab ipso. Angulorum autem aequalitatem sumemus iuxta conuenientiam Laterum in Recthlineis, in carte
xisque omnibus, qui eiusdem sunt species, ut in Lunularibus . in Sy struidibus,
157쪽
stroidibus, atque in utrinque conuexis. quoniam fieri potest ut aequales sint; & Latera sibi inuicem non congruant. Rectus . n. cui dam Lunulari aequalis est, & tamen fieri non potest, ut rectis Lineis j ό- Circuraserentiae congruant. Praeterea illud quoque praeaccipiendum is uto, est,quod Angulos subtendere Latera dicuntur, que e regione iacent. sub VJ Vς o nnis enim Triangularis Angulus a duobus quidem Trianguli La teribus continetur, a reliquo vero subtenditur. Propterea Geometra quoque cum dixisset Angulos aequales esse,adiecit sub quibus squa lia Latera subtendunt 3 ne diuersum non esse intelligamus qualem eunque Angulum suscepisse, huncque cuicunque reliquorum Trian guli duorum Angulorum aequale dixisse, sed aequales dicamus quos squalia Latera subtendunt. squalium etenim Laterum alterum qui dem,alterum squalium Angulorum subtendit: reliquum Uero, reli nodume, quum. Ad Praesentis ita Theorematis declarationem totide reo tisi i , fiderentur. Aduersus autem aduersam obieestionem illud praeassumtus. Ad memus quod duae rectar Lineae Spatium non comprehendunt. hoc siquidem tanquam euidens Geometra suscepit. Si enim, inquit, B illud sium Extrema sibi inuicem congruent, Bases quoque congruunt: si vero non, duae recitae Lineae Spatium comprehendet. Unde euenit
igitur quod hoc fieri no possit c Sine
tisi' blita & Centro quidem b, inte Prehedui. uallo autem a b, Circulus aes demgnetur. Quonia itaque Linea a e b c Uimetiens est, medietas Circunferentiae est ipsa a e s Rursus quoniam Linea adhe, Dimetiens est, medietas Circunferentis Circuli est ipsa a e. Aequales igitur sunt ipsar a e , aes Circunferentiar, quod minime fieri potest. Dua igitur redis Lines nullum Spatium comprehendunt. Quod Elementorum quo i stitutor sciens, in prima Petitionum dicebat s ab omni Signo ad omne Signum,reistam Lineam ducere 3 eo quod una recta Linea iam per duo Signa coniungere potest, non autem duae . nam plures qui dem Circunferentiς duo Signa coniungere possunt S in eisdem pamtibus, & in contrariis. hoc modo enim Extrema quoque Di metie tis duabus quidem Circunferent's, una vero recta Linea coniunguntur . Fieri autem potest ut 8c extra, Sc intra Semicireaeos infiniis Cir euferentis
158쪽
cunferentiae data Signa coniungentes describantur. causa vero es , quoniam re sta Linea eadem habentium Extrema est minima unum autem Ubique minimum est,&semper mensura aliorum ita finitudinis Ri. Q aemadmodum igitur Rectas ipse cum unus sit,mensura δ' IJe in lib.
terorum Angulorum infinitudinis fit per hunc enim illos quoque Com. i. . inuenimus) ita etiam Recta ad non Rectarum mensurationem maximam nobis afleri utilitatem. Tot de his quoque sussiciant. inod Finis D autem tota praesentis Theorematis Demonstratio a comunibus dependet notionibus,ac veluti sponte naturae prouenies est, ab ipsaque Suppositionum euidentia egressa cuilibet manifestum est . nam cum quidem duo Latera duobus Lateribus alterum alteri aequalia sint, si Τheoreia hi inuicem congruunt. Cum vero Anguli, qui ab aequalibus Laterihus continentur aequales sint, ipfi quoque sibi inuicem congruunt. Angulo autem ad Angulum, Lateribusque ad Latera coaptatis, in
feria getiam Laterum Extremitates congruent. Si autem hae, Basis quoque congruet Bast. Si vero Tria Tribus, totum etiam Triangu lum toti Triangulo, omniaque omnibus aequalia erunt . Aequalitas igitur in iis,quae eiusdem sunt speeiei considerata,totius Demonstra tionis causa ei se apparuit. duo enim hic sunt Pronuntiata totam pro positi Theorematis methodum continendi vim habentia . uti quidem dicens quod ea , quae congruunt sibi inuicem , aequalia sunt. P Onuta & hoe semplieiter verum est, nullaque indiget Iimitatione, quo Ele mentorum tristitutor 8c in Bass. N in Spatio reliquisque Angulis uti tur. haec enim inquet aequalia sunt quoniam sibi inuicem congruunt. Alterum vero,quod ea, quς squalia data serit, sibi inuice congruunt. Hoc autem non in omnibus Uerum est, sed in iis, quae specie similia sui nocta
sunt. Specie autem similia haec dico ut recta Linea rectae Lineae, &Circunferentia Circunferentiae Circuli eiusdem. 8t Anguli, quia λ, Nota milibus similiter iacentibus Lineis comprehensi sunt. Horum autem dico quod quae aequalia data Lerint sibi inuicem congruunt. Ita ut Naintelli
tota Demonstratio ut breui complectens dicam huiuscemodi sit .
Haec hisce aequalia data sunt, duo nempe Latera duobus Lateribus. 8c Anguli ab ipsis comprehensi; hae sie sibimetipsis conueniunt. Si autem haec sibi inuicem conueniunt, & Basis Basi, omnibusque
omnia conueniunt. Si vero haec conueniunt, aequalia quoque sunt.
Si igitur haec hisce aequalia data sunt, simul etiam ostenditur quid omnia omnibus sunt aequalia. 5 is primus apparet modus cognitio nis aequalium undequain Triangulorum. Veru enim vero de r tori r in Demonstratione haec satis sint. Carpus autem Mechanicus, qui in
159쪽
n; a ha b Astrologica tractatione de Problematibus, atque Theorematibua s, Ρό suscitauit siquidem oportune accidit inquit in praesen-ohema si ita silentio non praetereatur, ac deni in horum distinestionem aggreDG o. Problematicum genus ordine Theorematibus praecedere ait. Su-Prima dii biecta .n. prius quam Symplomata Problematibus inueniri quaero fheud, dis tur. Nec non Problematis quidem Propositionem simplicem esse. si multaque artificiose intelligentia indigentem. hoc aliquid enim face re manifeste iubet,ut squilaterum Triangulum constituere, vel dua
hus datis rectis Lineis inaequalibus, i maiori minori equalem abscin dere. quid enim horum difficile S obscurum est et Theorematis Ue ris,dissicilem,8 maxima quadam accurata vi,gignentique scientiam iudicio indigentem. ut ne veritatem excedere,nein i veritate de cere videatur.quale sane hoc quocp est, Theorematum primum exibreri dis stens . PMterea in Problematibus quidem una quaedam est via
communis per Resolutionem inuenta, Iuxta quam Procedentes rem
feliciter gerere possumus. hoc pacto enim faciliora Problematum inuestigantur. in Theorematibus vero adeo difficilis tractatio est Ut ad tempus usin nostrum inquit ipse nemo communem horuininuentionis methodum tradere possit. Quocirca propter iacilitatem etiam, .Problematicum genus simplicius uti esset. His autem distinctis, propterea igitur inquit) in Elementari quoi institutione
Problemata Theorematibus praecedunt, ab hisqtie Elementora in stitutio sumit exordium, Sc primum quidem Theorema, quartu est in ordine . non quia quartum ex ipsis ostenditur, sed quoniam si et nullo eorum, quae ipsum praecedunt in demonstratione egeret, illa praecedere necessarium fuit, eo quod Problemata ea sunt, hoc autem Theorema. Omnino enim comunibus in hoe utitur notionibus, &εc quodammodo idem Triangulum diuersis in locis positum accipit. congruentia enim, quaeque ex hac ostenditur aequalitas sensibilem prorsus, & euidentem habent deprehensionem. veruntamentali etiam existente primi Theorematis Demonstratione, iurὸ Problemata praecessese, quoniam uniuersaliter primariu illa sortita sunt i , isti, & serian ordine quidem Problemata Theorematibus praece opinio. dunt, & potissimum apud eos qui ab Artibus, quae circa sensilia Vese santur ad eontemplationem astendunt: dignitate vero Theoremata Problematibiis praecellul. 8c videtur tota Geometria q tenus qui' dem pluribus Artibus se eoiungit, problematicὸ agere: quatenus V ro primae scietiae colisret, Theorematice a Problematibus ad The
remata, i Secundis ad Prima, 8c ab ijs, quae ad Artes magis si e fiant
160쪽
ad ea,quae gignende scientiae magis vim habent procedere. Vanum Deseridie est igitur Gemino obtrectare tanquam Theorema Problemate prius esse dicenti. etenim Carpus ipse Problematibus ipsum Praecedere iuxta ordinem ass1gnauit: Geminus aut e Theorematibus, iuxta per fectiorem dignitatem. Atqui de quarto etiam Theoremate diximus quod quodamodo praecedentibus ipsum Problematibus indiget, in quibus & Trianguloru ortus, 3c aequalitatis inuentione didicimus. Nuc autem addatur etiam quod cum quide in Theorematibus Simplicissimum iit,at principalissimum ab ipsis enim solis,otita dica, primis notionibus suapte natura ostenditur quoddam vero demo stret Symptoma, quod circa ea apparet Triangula, quae duo Latera duobus Lateribus alterum alteri habent aequalia, duosque Angulos ab illis aequis Lateribus contentos aequales, non immerito post Pro- ablemata primum collocatum est, quibus ea, quae huic Symplomati Subiecta sunt,omninoque Data ipsa construuntur.
T Heorematum alia quidem Simplicia sunt, alia vero Composita. 'dico autem Simplicia quidem, quaecun Sc iuxta Suppositiones, Sc malum α iuxta Conclusiones indiuili bilia sunt, unum habetia Datum,& unuQusl1tum. exempli gratia, si hoc modo Elementorum institutor di xisset, Omne Triangulum aequierus Angulos,qui ad Basim sunt, in , quales habet. Composita Pero,que ex pluribus constant,aut Suppo sitiones compo Rias habentia,aut Coclusiones Suppositione Simplici existente aut etiam Utrasque. Et hora alia quidem sunt Complexa, alia vero, Incomplexa. Sunt autem Incomplexa quidem, qu uia pComposita existentia, in Simplicia Theoremata diuidi minime possunt,quemadmodum quartum. in illo enim Sc Datum componitur,&consequens, verum fieri non potest ut Datu in Simplicia diuid tur Theoremataque fiant. non enim si Triangula Latera sola equa ita habuerint, vel solum Angulum,qui ad Verticem,reliqua accidur.
Complexa vero, quaecun in Simplicia diuiduntur, quemadmoduillud Theorema Triangula,atin Parallelogramma,qus sub eadem sunt Altitudine, eandem habent rationem, quam Bases. a possibile S i enim