장음표시 사용
181쪽
tro quidem a , interuallo autem a b. Circulus describatur. Rursusque C tro quidem b, interuallo vero b a, alius Circulus designetur. 8c conne ctatur ad communes Circulorum se ctiones recta Linea e d. haec bifariam secat rerum Lineam a b. conectan
tur enim da, d b,8ce a, eb,qug gqua qies sunt. nam Utraque ipsi a b squalisi est. Communis autem ed, & da, ipsi db per eandem rationem aequalis est. Angulus ergo a e d, Angulo b c d squalis est. Quamo Ia odii rem ab per quartum bifariam dissecta est. Talis est serendum etiam Apollonium praesentis Problematis Demonstratio, ab aequi elatero quidem Triangulo Sc haec sumpta: vice autem huius, Anguintum nepe,qui ad e Signu est bifaria dissecta suscepisse, hiseriam eum ubi εω .st esse disse m per aequalitatem Basium ostendens. Multo igitur m 6ό ἱ Elementorum institutoris Demonstratio est, eum 3c simplicior
iratione sit, & ex principηs scaturiae.
inpol Ionii Datae rectae Lineae a signo ino dato, rectam Lineam ad Ang
ebri. ij. Slae ex Vtraque pane finitam,tae ex utraque insnitam,tae ex alte. ra quidem parte infinitam ex altera vero finitam rectam Lineam a cipiamus,& Signum in ipsa, praesentis Problematis Constructio e mode Geometrae siccedet. quanuis enim in rectae Lineae extremita te datum Simum fuerit rectam ipsam producenses eadem faciemus. Manifestum autem quod Signum quidem in Praesentia Positione datum est, eum in recta Linea Positione tantum iaceat. Recta Linea vero iuxta Formam data est. Magnitudo siquidem ipsius,ves Ratio, vel Positio non Lit distincta. Elementorum itaque institutor primo usus Theoremate,atque Tertio, unaque Petitionum, prima scilicet, 8c octauo praeter haec Theoremate, decimaque Definitione, prome Casus pro situm ostendit. Si autem quida in rectae Lineae extremitate Signum hi ponentes, in Rectam minime producentes, ab hoc rectam Lin mad Angulos rect erigere rogarent, hoe quoque fieri posse ostende
182쪽
inus. Sit enim recta Linea a b, datumque in ea Signum a. & sem tur in recta Linea ab quodcun Fignum, fitque illude, Sc ab hoe quemadmodum Elementu nos
docuit ipsi ab , reeia Linea ad
Angulos rectios erigatur, sitque ii Iace, A ab ipsace, ipsi ae aequa
Iis abscindatur de , & Angulus, qui ad Signum c bifariam secetur Linea e L & a Signo d, ipsi e e ad
Angulos rectos excitata coincidat
cum redia Linea in Signo Ldca Signo L ad Signum a connecta etur fa. Dico quod Angulus, qui
ad Signum a, metus est. cum .n. d e, ipsi ea aequalis sit, comunis a tem c Angulosque aequales commeat. Angulus. n. qui ad Signum
hintiam sectus fuit & dfigitur, ipsi fa aequalis est, omniaque si militer omnibus per quartum aequalia sunt. Quapropter Angulus etiam, qui ad Signum a. Angulo, qui ad Signum d aequalis est. Reetiis autem est qui ad Signum d. Rei sigitur est & qui ad Signa
a. Qugsitum ergo ostensum est. Elementorum autem institutor hoe artificio nihil indiget. nam ad Angulos rectos Lineam excitare ius fit, non autem ad unum rectum. Operarpretium est igitur haud in revitae Lineae extremitate Signum susespere,utqus excitatur recta Linea ad subiectam rectam Lineam Angulos faciat, non autem unum Ang ium. Apollonius vero Linea ad Angulos rectos excitat hoe modo. βρο
Sit .n. inquit data quide recta Li-
mea a b. datum vero in ea Signum c,sematuram in ipsa ac quodcunque
Signu,sitque illud d et ab ipsa c b, qualis ipsi e d auferatur,que sit e e,3c Centro quided, interuallo vero d e, Circulus describatur, missisque C tro quidem e , interuallo autem e d, Circulus designetur.&ducaturetecta Linea a Signo Lad Signum e. Dico quod haec est illa quae ad Angulos rectos excitata est. si . n. frife connexae fuerint .aequales erunt. Aequales aurem sunt & de, ee, 8 comunis se. Quamobrem Anguli etiam, qui ad Signum e per cis octauum sunt aequales. Recti igitur sunt. Videshe rursus quod ma Euclidis
183쪽
gis varia haec Demonstratio est ea, quae est apud Elementorum in ititutore, Circulorumque descriptione indiguit,ut hinc super d e recta Linea Triangulum aequilatarum designaret, propositumque ostem omnia Demonstrationibus eommunia sunt. D eis
fit per 5e- monstrationem autem,quae per Semicirculum fit nec commemora
re dignum est. multa siquide praesupponit eoru,quae posterius osteii denda sunt, ab Elementarisque institutionis ordine omnino decidit.
des ptim fuit huius Problema Duplex ppe ad cula
Hoe Problema Oenopides primus indagavit, utile ipsum ad A
strologiam existimans. Vocat autem Perpendicularem prisco more Gnomonem, quoniam Gnomo etiam orizonti ad Angulos re stos est, eadem est autem Linea ad Angulos rectos cum Perpendiculari, habitudine tantum ab illa disterens, cum Subiecto eadem sit, quem
admodu inquit ipse & Gnomon. Duplex aut rursus Perpendicula ris est, alia qui de plana: alia vero, solida. Sc cum qui de Signa, a quo Perpedicularis recta Linea ducitur, in eode Plano fuerit, plana Pe pendicularis vocatur: cum vero Signu sublime, extraque subiectum Planu fuerit, solida nuncupatur. Et plana quide ad recta Linea duci tur: solida aut, ad Planu. Propterea necessariu et est illa non ad una recta Linea rectos Angulos facere,veru ad omnes,qus in eode Plano sunt rectas Lineas. ad planu. n. Perpendicularis deducta sitit. In pra senti igitur Problemate Elementora institutor plana Perpediculare deducere proponit. ad recta siquide Linea deductio proponitur, 3c quatenus Oia in eodem supponuntur Plano sermo procedit.In Linea ita ad Angulos rectos quonia Signu in ipsa Recta suppositum suit, In senitudine nihil egebamus. in Perpediculari aut data recta Lineam infinita supponit,quoniam Signu a quo Perpedicularis ducetur extra recta alicubi iacet. si. n. infinita no esset,eatenus Signu accipere posse mus, ut extra quide data recta Linea esset,in directu ipsi iacens, ita ut protracta recta Linea in ipso incideret,Problemaque haud bene se cederet. Idei reo infinita posuit recta Linea,vt ad alterutra tantu ipssus parte Signu accipiatur,nuM loco ipsi relicto,in quo dat g rects Linos in directu esse possit, nisi in illa,& no extra illa ponedu sit. Hac ut de
184쪽
de eausa recta Linea ad quam Perpendicularis ducetur, infinita data fuit . atomodo autem infinitum subsistere potest, contemplatione dignum est. manifestum enim quod Recta infinita existente, Planum quoque infinitum erit, haecque actu, si quod ab Euclide propo situm fuit verum est. Quod itaque in sensilibus quidem nulla M gnitudo iuxta vitam distantiam infinita existit tum diuinus Aristote les, tum qui ab ipso Phlosophiam aceeperunt, astatim ostendunt.
neque enim quod Circulariter mouetur, neque ullum aliorum sim plicium eo orum infinitum esse potest . uniuscuiusque siquidem 1 cus terminatus est. Veruntamen neque etiam in separatis, imparti
hilibusque Rationibus esse huiuscemodi Infinitum possibile est. Si
enim neque etiam Di mensio, neque Magnitudo in illis est, multo minus infinita Magnitudo esset. Reliquum igitur est Infinitum in Phantasia tantum subsistere, Phantasia infinitum non intelligente. simul enim intelligit, Formamque,& Finem infert ei, quod intelligi tur, & intellectione transitum phantasmatis sistit, pereurritque ipsum, atque amplect itur. Non igitur intelligente Phantasia Infini eum est,sed potius in infinitum circa id,quod intelligitur progredieri
te, non autem intelligente: & quicquid innumerabile, intellige tiaque incomprehensibile relinquit, hoc infinitum dicerite . quem admodum enim vises non videndo, tenebras cognoscit: ita Phan
casta non intelligendo, infinitum percipit. Producit itaque ipsum eo mod .im impar tibilem habet, quae assiduὰ progredi potest: intelli git vero tanquam subsistens , quoniam Infinitum non intelligit. quod enim tanquam quod percurri non potest reliquit, hoe Infinitum dicit. Quamobrem clini datam infinitam Lineam in Phantasia misissemus, quemadmodum sane reliquas etiam omnes Geometri vis species. nempe Triangula, Circes , Angulos, Lineas, omni Mque huiuscemodi, non admirabimur quomodo actu infinita est Lianea. seipsamque in infinitum progredieris finitis applieat intellecti nibus. At Cogitatio, apud quam rationes, Demonstrationesque sunt, non ad scientiam Infinito utitur, Infinitum siquidem omnino scientia pereeptibile non est sed ex suppositione ipsum accipiens, Finito solo ad Demonstratione utitur,& non Infiniti gratia,sed Fini ei infinitu assumit. quoni a si concesses is ipsi datu simu ne in direetu initu dais Lines iacere, neque sic ab ipsa distare, ut nulla elux
pars Signo subhesatur , nihil amplius Infinito indigebit. Ut id
eur finita recta Linea Cogitatio utens sine reprehensione, contro
uersiaque ipsa utatur , esse Infinitum stipponit, quippe quae Phan X . tala
deifinito. Infinitum in Phintatasia si sistit Pulcherri
Phantasia habet vim impartibilem. idem in i libi
185쪽
pinis Digressionis Instantiae huius Problematis. Restono
tastae Infinitudine generationis Infiniti tanqum land mento vetituri De Infiniti itaque suppositione tot in praesenti sufficient .Post haec adtveniamus ad instantias, quae aduersus huiusce Problematis Constri, Otionem seruntur. Sucscipiatur .n. dicunt recta Linea infinita exis stente a b, Signoque dato a FQPerpendicularem ducere Oporis tete, in Myer p rte Signum diqueadmodum inquit Ceome u . verum circulus, qui secat re
eum Lineam ab in Signi bisecet etiam ipsam in Signo L si.
rumque subscriptum habe t Aduersus itaque hunc sermone dicem quod impossibile dicit.
secetur. ii recta Linea ab hiis riam in Signo hi conectaturquςc h, Sc producatur usque ad Cirin cunferentiam ad Signum d , eonnectanturque ea, eb, ς P. Quoniamita' ex Centro hae sunt,& a h,ipsi K b squalis est,comunis vero e h, omnia omnibus aequalia sunt. Ipse igitur e h ad Signum ii rectos es cit Angulos. Rursus quoniam e a, e b aequales sunt, Angulos ad Signa ab aequales faciunt. verum c a quoque, ipsi es qualis est, quam obrem Angulus etiam cas, Angulo csa aequalis est. Similiter An
sutus eb fi Angulo es b. Quonia igitur Anguli qui ad a, & b Signa, aequales sunt, Angulus quo c fa, Angulo efb aequalis est, suntque dei neeps, Recti igitur sunt Est autem uterque etiam Angulorum, qui sunt ad Signuli, rectius Ipse itur ch, si e faequalis est. At e etiam inpatis ςs ipsi ed ex centro siquidem sunt. dc c li igitur . ipsi ed squalis est, quod fieri nu potest. No secat igitur Circulut in alio Signo rectam Lineam b Siquis aut dicat quod qui describitur Circulus ipsam ab in Signo flasariam secat, rursu ide impossibile os edemus.
recta Linea in biseriam secet intin Signo h. inoniam igitur a L fh γquales sunt, comunis aute es, Bainisque e a, Basi e b aequalis, omni
186쪽
omnibus aequalia sunt. Quapropter Anguli, qui ad Signum L rediisent. Rursus quoniam aequalis est sh, ipsi h b, comunisque c h cone-Basis e faequalis Basi c b,ex Centro.n. sunt, Anguli igitur, qui ad Signum haecti sunt. aequales n. deincepsque sunt. Quonia igitur uterque Angulorum esti, et frectius est, aequalis est cLipsie h. Nerum e L ipsi e e aequalis est, ex Centro enim sunt,& ch igitur, ipsic et squalis non est,quod fieri minime potest. Reliquum autem est Tertiam Instantiam percurrere . Secet .n. inquiunt qui describitur Circulus rectam Lineam in Signis
cates rectam Lineam ab bifariam in Signo k, &conectentes Lineas P ca,chck,chid, quod fieri nop test inedemuεIs cum enim a L, k ti aequales sint, S communis eli Ba s lsraque e a, e b aequales, At Anguli I igitur, qui ad ab Signa, aequales X Isi ni, qui autem ad Signu k. recti. E Verum utracp ipsi e faequalis est. 'Bc Anguli igitur,qui ad Signum f. .
recti sunt.sqvales sunt. n. deincCPS
existentes. ipsa igitur cfsqualis est ipsi ek.rectos.n. Angulos subtendunt. At es equalis est ipsi e d, ex Centro siquidem sunt, c d ergo,ipsicli aequalis est quod est impossibile.Fieri igitur non potest ut in uno Simo,vel in duobus,vei i pluribus alns prster Signa a b Circulus,qui deseribitur rectam Lineam a bseret. Instantiar itaque hae sunt. Sunt rat Casius autem & Casus Constructionis huiusce Problematis, qui ab Instat is δή Asunt distinguendi. non n. idem est Instantia,& Casu sed hie quidem aliter idem ostendit: illa uerὁ instantem ad incommodum ducit. Alii I autem expositores hare ab inuicem non distinguentes,omnia in idem νμε
asserunt,incertumque est Utrum Casus nobis, an Instantias scribere enu
uent. Nos igitur hare distinguentes, seorsum post Instantias Casus des here colligimus. Sic igitur rectae Linea Infinitae ab datum aute Signu c. Dicit itaque aliquis quod no est a plius locus in altera rectae Linee par te, sed in illa tantum ubi Signum e
187쪽
iacet. Sumetes igitur in ipsa ab reeta Linea Signum 4 Centro qui e Sc interuallo ed Circuli Circunferetiam describemus de f, cantesque ipsam d f bifariam in Signo li, conei hemus Lineas e d, e h. es. Quoniam igitur dii,ipfiliis qualis est,comunis autem c h, A cd ipsi c faequalis est ex Cetro . n.sunt. Anguli igitur, qui ad Signum hsibi inuice aequales sunt deinceps existetes. Reciti igitur sunt. Perpessicularis ergo est e h ad ipsam d f. Quin etiam siquis dicat Circu lum,qui describitur rectam Lineam a b, non secare, sed tangere ut Circulum d e, suscipientes exterius Signum e , Centro quidem c , interuallo verote Utentes, quemadmodum in
iam dicto Quaesitum habebimus. Totidem e m de Pr
hiematis easibus exercitation saudientium gratia die a sint. Si
digressio libet autem -contemplati onem
quoque hisce duobus problematibus adheere, videtur quidem recta Linea, quae ad Angulos rectos erigitur, vitam ab Inferioribus in altum tendentem, pureque, atque incontaminate ascendentem, ad deterioraque inflexibilem manentem imitari: Perpendicularis vero, vitae quidem per ipsam Perpendicularem descendentis , Infinitudii neque iuxta generationem minime repletae imago esse. Reetus enim Angulus inflexibilis, Aequalitateque,Termino,atque Fine coarcta tae actionis est Nota. Vnde sanὸ Timaeus quoque alterum Circulum sensilium Rationes habentem in Anima diuina rectium appellauit is nostris enim Animis omnis generis flexionibus fleetitur, variasque
contorsiones, perturbationes ite a generatione patitur:in Totis autem immaculatus,in contaminamsue firmusque, at indecliuis ante semssilia situs est. Si autem recta quoque infinita Linea Nota est totius generati is, quae infinit 3, indeterminateque mouetur, nec non ipsius Materiae,quae nullum Terminum nullamque est Formam sortita Signum autem extra iacens, impartibilis essentiae a materialibusque separatae imaginem assert, proculdubio quae etiam deducitur Per p dicularis eam imites,itur vitam,quae ab Uno, impartibilique ad
generationem incontaminate prostreditur. Si vero non aliter etiam
perpetidicularis esse ostenditur nisi a Circulis, hoe quoque inflexibi
188쪽
titatis, quae Uitis per Mentem inest, Signum erit. nam vita quidem ipsa per se ipsam cum tanquam motus sit, in determinata est : terminatur autem,& pura,immaculataque potentia repletur Mente parti cipans, t unaque cum Mente progrediens. AD Theoremata rursus transuit ea consequens, quae per Probi mala ostensasunt. Quum enim ad rectam Lineam Perpendicularis,Zc ad Angulos rectos recta Linea ducta suisset, reliqua erat quaerere, si Perpendicularis non esset, quales Angulos, quomodo sese ha bentes ad rediam Linea emciet quae in ipsa consistit. Hoc igitur uniat tersialiter inedit quod omnis recta Linea super quadam recta Lmeacosistens,5 faeiens Angulo aut duos essicit rectos, si status ipsius in decliuis, firmus,nusquamque vergens suerit: aut duobus rectis squales, si altera quidem in parte declinauerit, altera verὁ plus subiecta Linea distiterit . quantum enim ab uno Recto per declinationem in alteram partem aufert,tantum reliquo per distantiam addit. Oportet autem animaduertere quod in hac quoque Propositione diligentiae Geometra curam adhibuit. non enim simpliciter dixit quod omnis recta Linea super rectam consistes Lineam, aut duos rectos, aut duo bus rectis aequales essicit, sed si Angulos secerit. quid enim si in re' Lineae extremitate consistens unum essicit Angulu, accidit ne quam doque hunc duobusrectis aequalem esse hoc certe fieri non potest. omnis siquidem rectilineus Angulus duobus rectis est minor, quem admodum omnis selidus minor est quatuor rectis. Licet igitur eum, qui maxime obtusus esse videtur aeeipias,hunc quoque augebis tan
quam eum, qui duorum rectorum mensuram adhuc non recepit.
Opus est itam rectam Lineam sic consistere, ut Angulos Lesat. Hoeergo,quod dixi ad scientiae genitricem diligentiam spectat. Quid a
tem sibi volens adiecit particulam s aut duos rectos, aut duobus rectis squales 2 c etenim cum duos rectos fecerit, duobus rectis squales etaeit . recti siquidem sibi ipsis aequales sunt. An alterum quidem aequa lium quo Angulorum comune est,alterum vero squalium tantum
Proprium et Consuevimus autem eum quidem & propEum, &eomin
189쪽
mune veri sicatur, a proprio unumquodque exprimere: cum ver8il lud non habrinus comuni contenti esie ad subiecitarum rerum explicationem . Hoc igitur, Angulos, qui deinceps sunt,reetis aequales eu se, rectorum etiam comune est, verum non solum de ipsis praedica tur: hoc Vero,red os esse,aequalitatis ipsoru peculiare existit. Solum
igitur dicitum hoc,duobus rectis aequales esse inaequales significat . in his enim solum verifieatur, in aequalibus veris,minim8. Et hoc EI mentorum quo institutor duobus rectis ex aduerso diuidit. cum . n. ipsum per se ipsium dicitur, inaequales utrobique Angulos significandi vim habet. Postumus autem per haec quoque conspicere quod a qualitas mensura, atque terminus inaequalitatis est . quanuis . n. Obtuli, Acutique Anguli accretio, atque decretio in determinata, infinitaque sit,a Recto tame fine, terminumque suscipere dicitur,& Uter quidem seorsum a similitudine ad illis recedit: ambo vero iuxta viai eam unionem ad illius terminum reducuntur. Quoniam aute ad R O cti simplicitatem squiparari minimὰ possitnt, ipso duplicato aequalitate recipiunt, exemplum infinitatis ipsoru ri Binarius existens, cum per se infinituς sit. Et hoc manifestam progressionis primariam causarum,iuxtaque Unum terminum eodem semper modo circa gener tionis infinitatem consistetium imaginen, asterre videtur . nam qu
modo aliter generatio,quae ipso Magis 8c blinus participat,indefinia teque fertur intellectilibus congruit, quod amodoque ipsis adaequatur,nisi per participationem dum *cundis potentiis ipsa progredium tur , seseque tantum multiplicant quae enim in sua simplicitate, im partibilitateque manen omnino i generabilibus separata sunt. Tota praesenti quoque Theoremate ad uniuersorum cognitionem asu menda sunt. P Raesens Theorema pr stesi Conuersum est. semper enim Con uersa Praecedentibus Theorematibus consequentia sunt. Cum ita illud ructam super Rectam constituisset, dc Angulos, qui deinceps sunt aut duos rectos aut duobus rectis aequales eam efficere ostendis set, hoc accipit quide ad aliquam Rectam duo qui efficiutur Rectos.
190쪽
ostendit autem quod una Recta est, quae hos emi ad iam dicta rectam Lineam. Quod igiturin illo datum lait, in hoc quaeritur, per
Dedulionemque ad 1mpossibile ostenditur. hoc modo. n. me fa Theorematum ostendi debent an Problematibus vero PraecipuaS mala per
quoque Demonstrationes suscipere. Possiimus autem in hoc quo summam,eximiamque orationis sciermam gignentis diligentia aspi- possibile cere . nam primo quidem eum dixisset, si ad aliquam rectam Linea, addit ad eiusque Signum 3 quid .n. si duobus recte Lineae Extremis existetibus, altera quidem ab altero, altera vero a reliquoducta esset, vel os p- duobusque rectis aequales ad rei tam Lineam Angulos fecissent, potuissent te propterea in directum esse & quomodo quae a diiuersis ius ea usi rectae Lineae Signis eductae sunt Idcireo igitur hoc quina re adiecti estis, fi 2I ad eiusque Signum J cum utrasque in eodem Signo iacere vesit. Se cundo vero, quoniam fi poterat Ut quaeductuatur Tectar Lineae ad p λου idem essent Signum,S non Consequenter infinitas squidem rectas βςςR M. Lineas ad unum Signum acciperepossumus adiecit pineticula L duae
rectar Lineae consequenter I Tertio autem,quoniam hoc verbia ζ sequenter I tum ad easdem partes tum vero bim eosiderat et Lineas autem qus ad easdem partes consequenter sent,in directum sibi inui cem esse impossinite, hoc quidem expIieuit, obis autem considera di ansam praebuit, quod rectae I meae, quae consequenter sunt, viro
hique positione sunt accipiendae. hae siquidem in directum etiam esse ostedi poterunt . Sint ad rectam Lineam a b, ad eiusque Signum b, ad easdem partes duae rectae Lineae B c, b d limita co-- sequenter quidem ad inuicem sunt. nulla enim alia recta Linea inter ipsas est .haeenutem deinceps sunt,inter quae nullum est simile. etenim columnas hasce conseque ter esse dicimus, inter quas nulla alia est
columna quanuis. n. Aer omnino me
dius sit, nil tamen eiusdem generis in m dio est. Quoniam ita ad easdem partesiaeet, in directum minime sunt, Iicet duos etia Angulos faciant duobus rectis squales, Angulos nempe, qui ad et Linea absunt. nihil enim impedit Angulum quidem a b d unum rectum tertiamque recti Partem insecontinere: Angulum vero a b edtias reliquas Tertias es