장음표시 사용
171쪽
gulus bc Angulo bdc. Sed quoniam rursus I meadb aequa.. sis est Lineae b c Anguli etiam, qui ad
Basim, aequales sunt, nempe Angulus
h cd, Angulo b d c. Idem igitur 9
multo maior, SI aequalis est,quod minime seri potest. Et hoc quidem est, quod in exponendo quinto Theor male dicebamus, quod, Angulos,qui sub Basi sunt, sibi inuice aequales esse, quanuis ad sequentium Theorematu Demonstrationes utile non sit, ad I
stantiarum tamen solutiones maxim1 aTert utilitatem. in praesentia nanque Instantiam redarguimus,quoniam accepimus quod a Ga d equalibus existe
erunt. Consimiliter aute in aliis quo . Theorematibus ad dubiorum solutio tries maximὰ nobis coserre apparebid .
Alii Insta Si quis autem dicat quod sint super ridicis Linea a b re star Linear b d b c squales rediis Lineis a c,a d,quarum b c quidem squalis sit ipsi a c b d veris psi a d ad aliud at aliud S nu a scilicet at h, ad easde
partes, eadem Extrema cum ipsis ac , a d trabentes,c nempe, 5 d Si Resposo, gnum quid ad hunc sermonem dicemus Sn quod oportet primas etiam rectas Lineas super rect Linea a b constituere,hisque aequales super eadem recta Linea a b constitui c hoc modo enim Elemento.ῆrum quo institutor in Propositione di est. Ipse autem a QS a d rectgLineae non sum super recta Linea ab ed ad quoddam eius Signum constitutae sunt, & non super ipsa. Qinmobrem aliae quidem sular
et quae super ab recta Linea consistunt,vit ac eb, 8 ad, db: aliae vero, qu que rectNilis Lineae, quae a principio posita fuerant quaeque ipsis equa las constitui debent. cum tamen opus sit rectas Lineas, quae supefrecta Linea a b constituuntur, aequales ipsis esse,quae erant super ipsa ab recta Linea. Tot etiam aduersus haec S aduersus hanc quaestio nem lassiciant. Quod autem prassiens Theorema ab Elementorum
institutes per Deductionem ad impossibile ostensum est, ct quod impossibile ipsum communi oppugnat notioni dicentiaotum est suR
172쪽
rematis esse. ad illius nan Demonstrationem confert, nev Ele nuntum simpliciter est, neque Elamentare. non . n. ad plura suam extendit utilitatem . Rarissimum igitur apud Geometram ipsius
OClauum Theorema quarti conuersum est, non iuxta praecipuam Com. ii. Conuersionem sumptum. non.n. totam illius Suppositionem, Conclusionem: totamque Conclusionem, Suppositionem facit . Uerum aliquam quidem Suppositionis quarti Theorematis partem, aliquam vero Quaesitorum,quae in illo sunt contexens, Vnu quid ostendit eorum, quae in illo Data fuere. nam hoc quidem, duo Latera duobus Lateribus aequalia esse, in utroque Suppositio est: hoc vero, Baiani Basi aequalem este, in illo quidem unum Quaesitorum erat, in hoc autem Datum est: hoc autem, Angulum Angulo aequum esse, Da tum quidem in illo, Quaesitum vero in hoc. Sola igitur Datorum, Quaesitorumque immutatio Conuersionem efficit. Siquis aute causam addiscere desideret, propter quam octauum in ordine positu est. R Sisi di non statim post quartum tanquam illi Conuersam, quemadmo
dum sanὸ post quintum sextum, quippe quod ipsius quinti Conuer
sum est G plurima siquidem eorum, quae conuertuntur Praecedent a consequuntur,& postipia nullo medio intercedente ostenduntur,di cendum quod septimo quidem oestauum indigebat. nam per Deduis Resposio.
etionem ad impossibile ostenditur, impossibile vero quod tale sit, a septimo fit cognitum. Hoc autem riirsus in Demonstratione,quinto indigebat. Neees Iarib igitur septimum,ac quintum ante hoc, quod nune ostenditur Theorema praeassumptum fuit. Quonia vero Con uersum quoque quinto facilem. 8c ex Primis Demonstrationem I, hebat, iure statim post quintum collocatum sitit, propter cognaHonem, quam habet cum illo: & quoniam eum per Deduetionem ad impossibile ostendatur, a comunibus notionibus quod fieri non potest redarguat, & non quemadmodihoctauu) ab alio Theoremate
euidentiora . n. ad redargutione sunt ea, quae comunibus notionibus
spugnantia sunt,'s quae Theorematibus contradicunt. hsc siquide
173쪽
Vionis Demo strati Casus Demonstrationi, Philonis. Primus. Meundus.
per Demonstrationem si impia sunt, illorum aute cognitio Demon stratione melior est. At Elementorum quidem instatutor ex iam demonstrato septimo Theoremate quod nunc proponitur ostendit.
Philonis vero familiares dicunt huius nihil indigendo octauu se de monstratum ire. intelligatatur enim inquiunt duobus Triangulis existentibus a b c, & d e e duoque Latera duobus Lateribus squalia, Se Basim b QBasi e sequalem habentibus, Basis Basi con
in eodem quidem Plano, ne Bassis declinatio duorum sit: ad alteram vero ut ni ipesius e s reetae Lineae partem, ita ut oppositi ipsorum verti ces sint, viceque ips1us a b G sit hoc modo positum ipsum
ela. Si sit ipsi quidem d e,a qualis egc ipsi autem d L ipsala. Ipse itaque is aut in dire dire seu polita erit Lineae de aut non in directum. & si noin directum, aut iuxta interna partem Angulum ad ipsam helet : autiiuxta externam. Sit primum in directu posita. Quoniam igitur squalis est d e ipsi eg, vinaque est Linea ipsad fg. Triangulu degAequicrus est,& Angulus, qui ad Signum d. Angulo, qui ad Signum gaequalis est. Si vero
non indirectum iacet, intus f ciat Angulum, conectaturqued g. inoniam igitur e d,egae quales sunt, Basisque d g, Angulus etiam e d g Angulo e gdaequalis est. Rursias quonia ae
gulo fgdaequalis est. Erat aut -&Angulus edg aequalis Angulo eg d. Totus igitur
174쪽
aequalis est, quod oportuit detraonstrasse. Tertid autem iuxta exter itia, .
nam partem faciat Angulum ad ipsam df, ipsa fg, & connectatur extra recta Linea d g. Oniam igitur de , e gaequales sunt, Bais
ed g dg e squales Sut. Rursus quoniam d L
qualis em Erat autem toti etiam edg, dge Anguli ad inuicem γquales. & reliqui ipse tur ed , fg e Anguli interse aequales erunt. & sie Propositum iuxta quamlibet fi rectae
Lineae positionem inuentum est, dum Theorema nos demonstrauibanus, septimoque nusquam usi suimus. Num igitur dieunt ipsi se stra illud ab Elementoruinstitutore introductum est c si .n. propter octauum tantum ipsum assiampsimus, octauum autem absque etiam illo ostensiam est, quonam pacto penitus inutile septimum non paret et Aduersus haec ita dicendum quae ii etiam, qui nos praecensere dixerunt quod septimum Theorema demonstatum, ijs, qui Astronomicarum reru periti sunt,eo in loco,ubi de Solis, Lunaeque desectibus habetur sermo, maximam affert utilitatem. hoe .n. aiuntvtentes ostendisse quod tres eonsequenter Defectus aequali spatio ab inuicem distantes nequaquam fient. Dico autem,ita ut secundus tanto temporis spatio distet a primo, quanto tertius i sectando. Exempli gratia, si post primum secundus sex mensibus. v ntique diebus elapsis iactus suit: Tertium Utique post secundum tanto teporis spario minimὸ factum esse, verum aut maiori, aut minori . hoe aut siese habere per septimum Theorema demonstrari. & non hoe solum Elementorum institutorem tanquam ad Astronomiam nobis eon serens obiter ostendisse, verum multa quoque alia Theoremat at Problemata. vltimum. n. in quarto,per quod quindecim Angulo rum Figurae Laius Cireulo inscribit, cuius gratia quis dixerit eu pro ponere nisi ad Astronomiam huiusce Problematis relationis r qui
enim deseripserunt in Circulo per Polos transiente ininderangulu, V Polo
ctusqueter quali sp tio diuantes esse nopossum.
175쪽
Polorum Aequatorti a Sioniseri Polis distantiam habent Quinde casa gulari siquidem Latere ab inuisem distant. Videtur igitur Et mentorum institutor ad Astronoiniam etiam respiciens, multa praeeostendere, ad illam quoque scientiam nos praeparans . Chlm autem simul Vidisset quod septimum hoc I heorema ex quinto Theorema te ostenditur, octauun Mabsque ulla varietate ostendit, hunc ipssiocum praebuit. siquidem Philonis additio pulchra quidem est, Casuum autem varietate Elementari institutioni non satis conueniens. Ad hanc igitur axis ione hsc dicta sint. Siquis autem dubitet qua ratione tot etiam in octauo non addidit,quot in quarto Theoremate,& Triangula inquam Sc reliquos Angulos; aequales esse: Dice mus quod verticali Angulo aequale demonstraro, omnia quoquo mnibus aequalia esse per quarium Theorema sequutum est. Hoc igi tur solum per se demonstrasse oportuit, reliquae Uero omnia i aquam consequentia sumpsisse. Videtur autem verticalium Angulorum in squalitatem, Laterum illos Angulos coprehendentium, Bassumque aequalitas emine . neque enim Batauridaequalibus existentibus adem Anguli manent comprehendentibus Lateribus aequat hus suppositis, verum dum Baiis minor sit, Angulus simul diminuitur. 8c dum cresti illa, Angulus quoque via crescit . neque iisdem Basio
hus existentibus , Lateribus autem inaequalibus euadentibus Anguoius manet, Verum dum quidem imminuuntur, augetur: dum Ueta augenturaminuitur. Contrariam. n. passioneAnguli,Lateraque illos
cuprehendentia patiuntur . etenim si in eade Basi Latera in inseriore parte deseedere intelliga ipsa quide diminuis, Angulum aut ab ips1s rehensem auges,maioreque ipsorii ab inuice distantiam efficis Mavi in altu seri additamentumque suscipere: Angulum, que comtinent diminui . coincidunt uidem diutius, vertice ipsorum magis remoto a Hasi facto. Certum igitur est dicere quod 3c Basis eade exi stes,& Lateras qualia existeria, ipsius Anguli squalitate determinat. PRoblematibus Theoremata admiscet, Theorematibus moueb laniata contexit S utriis tota Elementarem institutionem eoficit,
Em quid- ibiecta compar1s, tu vero Symplom inci subiecta
176쪽
ipsa considerans. Cum itaque praecedentibus ostendisset de in Uno Triangulo equalitati Laterum consequentem squalitatrem Angulo Tum, & e contrario: R in duobus Triangulis similiter, hoc excepto, modConuersionis modus in uno, in duobusque Triangulis diue sus fuit ad Problemata transit, iubetque datum Angulum rectilinea hilariam secare. Et manifestum, quod Angulus hic quidem iuxta Forma est datus. Rectilineus . n. dicitus est, Sc non quicun . nam omne Angulubitariam serare secundu Elementarem institutionem non possumus. quandoquidem ambiguum etiam esse possibile est, an omnis Angulus bifariam secari posti t. sertasse enim dubites vitii possibile sit Cornicularem Angulum bifariam secare. inetia sectionis Ratio nobis distincta seit, Sc hoe rursus non ab . in quamliubet enim Rationem diuidere,praesentem transgreditur Construetio nem. Exempli gratia in tres,vel in quatuor, vel in quin partes at quales. nam Rectum quidem trifaria secare possibile est, paucis eorti, quae posterius tradenda sunt utentem: Acutum vero,impossibile ad alias Lineas non trascendentem quae mistae sunt Speciei. Hoc autemantinant qui hoc modo proposuete. Datum Angulum re stili neum trifariam secare nam Nieoi fies quidem Conehoidibus Lineis, quarum &Ortum,S ordine, & Symplomata tradidit inuen tor ipse proprietatis aptarum existens,omnem rectilineum Angulum
trifariam secuit. At mero, ex Hippis, Nicomesisque quadrantibus Lineis idem fecerunt, mistis hi etiam quadrantibus Lineis usi. At autem ab Archimedis Helicibus incitati, in datam Rationem datum
rectilineum Angulum secuerunt. quorum considerationes ijs, qui imstituuntur contemplatu difficiles cum sint, in praesentia omittimus. forsan enim magis comodum erit hoc quidem in tertio libro exami nare, Elementorum institutore datam Circunserentiam bifariam se
came . ibi nanque idem inquisitionis est modus,non soliJm bifariam, verum etiam TrifaHam se eare. & ab ηsdem Lineis prisci omne Cir
eunserentiam in tres partes aequales diuidere conati sunt. Iure igitur, qui etiam rectae Lineae tantum, & Circunseremiae mentionem fecit, tum rectilineum Angulum, Cirrunserentiamque biseriam tantum secuit. Spretes autem, qua ex his mistione eonstituuntur explicatu, enumeratuque difficiles existentes, haud curiose examinaris, omnes huiuseemodi inquisitiones, quaecunque mistis egent Lineis praeter mittit, in primis, simplicissimisque se is ea solum, quae ex his vel fieri, vel considorari possunt inuestiganda proponens. quale profe
cto est, quod etiam in prssentia proponitur Problema t Datum An
tellione 128.Propositione primi Nicom des Eprietaris Con
rulusola, 8 Cii cunferentiam in duas ta
177쪽
gulum rei tilineum bifariam secare J in hoc enim in Constructione quidem una Petitione,& primo,ac tertio Theoremate: in Demon stratione ero, solo octauo Theoremate utitur. omnino siquidem di,'', Problemata quoque Demonstratione egent Ut prius etiam dixia 1 al. . quo uescientiam gignit, ab hac adipiscuntur. Fortasse aute quidam aduersus Geometram instent dicentes quod apud ipsum c stituimr Aequilaterum non intraduas rectas Lineas verticem habe
re, Verum aut in altera aut etiam extra utranque, fieri autem manis
stum utrunque quod dicitur,per elementa. Sit Angulus b a c quem bifariam secare oportet.&in Li
stituaturque in ipsa Trianguintum aequilaterum b c d. hoc por ro diagnum aut inter a b, a c rectas Lineas est, aut in a b, aut in
a c, aut extra Utranque. Elemen
torum itaque institutor inter illas ipsum assumpsti, S propterea qui impedimento sunt, Demonstra tionemque impediunt aut in altera rectarum Linearu ipsum p situm esse dicunt, aut extra etiam Sslatio. Vtranque . Ponatur igitur d Si gnum in Linea ab , ita vi b c d Triangulum aequilaterum fit.
Aequalis igitur eu d b, ipsi d c, ct Anguli, qui ad Basim, aequalas sunt, Angulus sei licet e b d, & Angulus bed. Totus igitur bee maior est Angulo ebd. Rursus quo niam a b, ipsi e a aequalis est, Triangulum a b c aequicrus est, An gulos, qui sub be Basi sunt, aequales habebit . Angulus igitur b c MAngulo ebdaequalis est. Erat autem S maior, quod fieri non potest. Trianguli ergo Aequilateri vertex in recta Linea ab d esse non potest. Similiter ostendemus quod neque etiam in Linea ace. Po- Datur igitur extra utranque si fieri potest. Rhionia igitur bd ipsi edaequalis est, Anguli, qui ad Bassi equales sunt nempe b ed,& ὸ b d. Maior igitur est Angulus h e d, Angulo e b f. multo igitur maior b c e, ipsoc b f. verum aequalis etiam ipsi est, sub Basi siquide b e A quictutis a b c sunt, quod fieri non potest. Non ergo d Signum extra
178쪽
duas Redras in his partibus iacebit. Similiter autem ost demus quod neque etiam alη si'. pyrobul. Et vides rursus quod instantias redaringuimus hoc utentes, Aequi crures inqu pa) Triangulos Angulos, qui sub Basi sunt aequales habere . hoc illud, quod prius dicebamus. s. io. δ quod plura si lentis ψppugilantium, debilia facileque cosutabilia hoc '' Theoremate ostenduntur: quod hanc Geometrae praestat utilita tem . Si quis autem dicat sub Basi b c locum non esse: opus este vero Aequilaterum ad easdem partes, in quibus sunt Lineae b a a cconstia tu, rhρι- tu re, necesse utique eris Lineas, quae constituuntur aut ipsis ba, as congruere, si ipsae quoque Basi c b aequales: aut extra ipsas cadere, si ipsae Basi b c minores: aut intra, si ipsae b M ac, ipsa b c maiores rint. Congruant primum, sitque Requi laterum ipsum b ae, & sumatur in Latere ab Signud,8c a Late re a c austratur a quaks ipsi a d. quae fit a e, connectanturqUe d e, b e,c d, a f. Quoniam itaque ab , ipsi acad, ipsi a e aequales sunt, duae b a &a e, duabus c a, a d *quales sunt, si demque Angulum comprehendiat. Qi iam obre Se omnia omnibus sunt aequalia, Angulus db e. Anguloe cd squalis est . Aequalis autem est& d b ipsi e c: & b e, ipsi c d. Et omnia igitur omnibus squalia sunt. Quapropter Angulus d e b, Angulo e d coequus est. sub his n. pqua lia Latera subtendunt. Et d figitur ipsi e fc per sextum aequalis est. Quoniam ig)tura ipsi ad squalis est,&ascomunis, Basisque df, Basi e s squalis, Angulus d a e i duas partes squales dissiceius est,quod
faciendum erat. Si autem extra b a, a creestas Lineas aequilateri Trianguli Latera cadant, sint h d,d conne
Naque da producatur usq; ad Signue. Quor iam itaque b d , d e aequales
sunt,communis autem da, Basesqueb a, a c ςquales, Angulus quo b d ac per octauum Angulo c d a squalis
est. Rursus quoniam bd de aequales sunt,&de comunis Angulosque
aequales continent ut ostensum est Bata quoque b c Bassee per '
179쪽
quartum aequalis est. Ἀoniam igitur a b aequalis est,st amunisque ae, Angulus quoque ba Q Angulo cae aequalis est ostendendum erat. Si vero intra ' a b, a c re itas Lineas aequi lateri Trianguli Latera ceciderint, Ut ipsa bd, de , contieetatur rursus Linea a d. inoniam itaque ba, ipsi a e aequalis est, communisque
ipsa a d, Basis autem b d a qualis est Basi ed,et Angulus ergo b a d Angulo cad per octauum a qualis est. Bifariam ergo secatur Angulus,qui est ad Signu a,quo
modocun Aequi laterum eon Dom-- stituatur. Veruntamen quoniaIn
de his quo summatim 1ximus.. ad reliqua quae sequuntur Theo remata veniamus, tale ad 3cientes cirra Angulum datum, quod qua- Angulum poni,&datum hoe modo ipsum esse:&Forma,ut quando Rectum, vel Acutum, Uel obtusum, lomnino Rectilineum, vel Mistum dicimus:& R norem,& M maiorem, icns autem Angulus Forma tantum datus est.
180쪽
hiemate excitati arbitrentur quod tanquam ST sitio apud Geo metras h praeacceptum est, Lineam non constare ex Impariabiliabus. si enim ex impartibilibus constet, aut ex Impar busfin a,co' pletaque existit: aut ex paribus. At si Ox imparibus,impartibile quondile secari videtur dum Recta biiariam muri quoniam altera ipsius pari cum ex pluribus impartibilibus constet, reliqua maior erat . iu ri igitur non potest ut data recta Linea biseriam secetur, si Magnitu-tudo ex in partibilibus constat. Si autem no ex impartibilibus mi finitum diuiditur. Videtur itaque dicunt ipsi hoc commum ominium consensit accipi, Geometricumque principium esse , Magnitudinem ex eorum esse numero quaein infinitum diuiduntur. NOS U- Gemini se tem quodGeminus ait aduersus Edicemus, quod diuisibile quide Continuum esse iuxta communem notionem Geome praeacci piunt. hoc enim Continuum esse dicimus, quod ex partibus conium sto. in aliactis constat,omnino autem hoe diuidi etiam possibile est . quod veris in infinitum quo C atinuum diu ditur, non praesemptae, sed ex calatibus. Propins demonstrant principiis. Cita enim ostendimiqudd incominmensurabilitas in Magnitudinibus est,&non omnes ad mutam coemensurabiles sunt quid aliud ipso ostendere quispia dicat, nisi quod omnis Magnitudo in semper diui ilia diuiditur,& nunquam in impartibile deueniemus, cum minimum communis mensura omnium
Magnitudinum sit noc igitur demonstrabile illud vero, Pronuntiatum est, quod scilicet omne Continuum, est diuisibile. arapi pter eum finita quoque Linea continua sit, diuisibili est. Et ab haenotione finitam rectam Lineam Elementorum institutor in duas se cat partes aequales,non autem tali iam praeassumensquAd iri in i- , tum diuisibilis est . non enim idem est, diuisibile aliquid esse.& in im finitum esse diuisibile. Redargueretur autem per hoc Problema X noeratis etiam sermo insecabiles Lineas inferens. omnino enim si est eis, opiLinea,aut Reeta est,fierique potest ut bifariam ipsa secetur: aut Cir; isti,' in , utaris,&est maior quada Reeta omnis siqindem Circularis pro sus quandam Rei tam mmorem habet aut Mista, atque eo magis id lib. 1io haee diuisibilis est, eum ex Simplicibus diuisibilibus conster. Verum th. bis i enimuero haec quidem ad aliam eontemplationem iussirantur. Ο bu, metra autem re&m Lineam finitam biis iam secat, in Constritisti ne quidem primo,ae nono Utens: in Demonstratione Vero, quarto solo; per Angui enim Bases aequales ostendit . Apollonius vers Pergius datam rectam Lineam finitam biis iam secat hoc modo. ,