장음표시 사용
201쪽
Com. a. OUod quidem Laterum aequalitas in unoquo Triangulorum Angulos, qui ab his subtenduntur,aequales efficit, Anguloiuque aequalitas similiter Latera ipsos subtendentia, aequalia ostin dit, per quintum,& sextum Theorema didicimus. inod autem insqualitarem quoque Laterum,eorum,qui ab ipsis subtenduntur Angulorum squalitas consequitur,&e contrario, per fisc Theoremata nunc edo cemur, perodiauum decimum inqua 8c nonu decimum . nam alterum quidem maiorem Angulum sub maiori Latere, alterum vero sub maiori Angulo maius Latus ostendit . quippe qus conuertuntur quidem sibi inuicem in contrariis autem rebus eadem contemplatur Symplomata,qus quintum, & sextum Theorema conleptatum fuit. Doeu-- Manifestum autem est,quisd maius, minusque Latus proportionali- ter sumemus,maximumque, medium,Sc minimu distinguemus, Angulosque similiter in Scalenis Triangulis: in Aequicruribus autem
Maius simpliciter, &Minus sufficient. unum si quidem est Latus,
quod duobus est inaequale, aut maius,aut minus existens , queadmo- δ dum in Aequi lateris haec Theoremata locum non habent. Et vides quod Theoremata,quae quidem Angulorum, Vel Laterum aequalitatem ostendunt,aequilareris, uicruriburis e Triangulis conuenie bant: quae vero inaequalitatem,aequicruribus, atque scatenis. Causa autem est,quoniam Triangulorum alia quide ex aequalitate sola, alia autem ex sola inaequalitate,alia vero ex ambabus producita fiunt, quae partim quidem persequalitatem,partim autem per insqualitate constituuntur. at alia quide Fini cognata sunt, alia vero infinitati, alia aute per mistionem utriusque generantur. apropter per omnia
Ternarius iste permeat ut per Lineas, Angulos, Figuras: in Figuris
que,Dilateras, adrilateras caeterasque consequenter omnes. Verumenimuero dc Finis tum quidem per similitudinem tum vero per aequalitatem Geometricis inesse Formis excogitatur: 8c Infinitu tum quidem per dissimilitudinem, tum vero per inaequalitatem: & Mi stum interdum quide ex similitudinibus,& dissimilitudinibus, inte
dum vero ex aequalitatibus,3 inaequalitatibus. Causa autem horum quo est,quoniam Geometricae Formae ad inantitatem, ad dialitatemque spectant. Haec itaque assignauimus, quonia haec duo nobis assignantibus,mani sinu hobis erit, quod somnis Anguli 3 Et mentorum institiitor dicens non etiam squilateri dicit,sed eius,quod maius, minusque Latus habet . oportet siquidem Dato praecedenti Quaesitu conseques existimare: quod autem maius minusqsie Latus e citati : habet, huic sub maiori Latere maiore Angulum esse. Ogoniam a
202쪽
tem Geometraeum in Constructione Trianguluabe, Latiisque ae maius Latere a b suscepissecvt Angulo qui ad dignu e Angulu qui ad Signum
ti maiorem ostenderer, a Latere a c, Latexi a b, aequalem rediam Lineam
a d abscidit, dieat aut aliqui quod oportet ad Signum c ablatione fieri, age in hac quoq; suppositione Propositu oste damus quemadmodum Porphyrius. sit in de squalis ipsi a b, & producatur a bad Signum e , ponaturque he aequalis ipsi da. tota igitur a e , tona caequalis est.conne stature c. intonia itaque ae, ipsi ac aequalis est, Angulus , quo a ec, Anνlo ace, per quintum aequalis est. Angulus igitur aec maior est Angulo ae h. Est autem Angulus et abernator Angulo aec. Trianguli si quide ebe unu Latus produetiim fuit,
ipsum scilicet B e, S sic Angulus a be ,
externus cum sit,interno,ex opposito p
laceti maiores . Multo maior igitur est Angulus abc, Angulo ac b, quod erat ostendendu . Geometricς quidem prinsentis Theorematis ostesiones huiusce modi sunt. Manifestum est aute quod meinna causa huiusce Symplomatis est, ipsius Lateris Angulum subtendentis iuxta Magnitudinem amplificatio, vel diminutio. na maior quidem existens, Angulum magis amplis cat: minor autem euadens,illu quo simul diminuit, magisque cometrahit. Hoc autem euenit propter rectae Lineae in suis extremitati
hus situ. 4psa enim in extremitatibus suis eollocata, Anguloru quo magnitudines iuxta sui ipsius accretionem, at decretionem com lat. 8c haec dicimus in uno Triangulo. siquidem fieri potest ut idem Angulus a maiori, minorique re a Linea subtendatur: eademqPexe,sta Linea maiorem,at minorem Angulum subtendat. Sit enim fortasse Triangulum aequierus ab e 'sumatur in ipso a b Latere Siagnum d & ipsi a d, aequalis auferatura e,connectaturque de . An gulu n igitur, qui ad a Signimi est redita Lineae d e b e subtendunt, quarum altera quidem maior est, altera vero minor. infinitasque eodem
203쪽
eodem modo Angulum a subtendentes
maiores , atque minores rectas Lineaς
accipere possumus. Sit rursus a b e Ae quicrus, fitque b c minor ipsis b a, & a c, constituaturque super b e Triangulum aequilaterum b c d,8c conneistatur a d, S producatur ad Signum e. Quoniam ita que Trianguli abri Angulus bde ex ternus est , maior est Angulo bad. Similiter Angulus ede maior est Angu
io ea d. Totus ergo b de maior est to to hac, eademque reista Linea ambos subtendit, maiorem nempe Angulum, atque minorem. Ostensum autem est, quod etiam eundem Angulum malo res, minoresque rectae Lineae subten dunt. Verum in uno, eodem quo Trian gulo una reeta Linea Unum subtendit
maiorem, minor Vero minorem, cau
iamque contemplati sumus. Com. i . H Oc praecedenti Theoremati couersum est. 8 est simplex in viro 'uetum Datum,tum Quaesitum. 8 quod quidem illie Conclusio, hic Suppositici: quod ver6 1llu: Suppositio, huiusce Conclusio est. Praecessit autem illud quoniam datam habet Laterum inaequalitate: sequitur vero hoc,quoniam Angulos inaequales supponit. videntur enim Latera quidem resti lineas Figuras continere, Anguli autem, contineri. 8c Demonstrationis modus in illo quidem ostendens est. inlio ever6, per Deductionem ad impossibile Propositum concludens Geometra itaque diuidendo ratiocinatur id, quod fieri non potest . Angulis . n. inaequalibus existentibuς. dico inquit ipse quod Latera quoquesnxquales Angulos subtendentia,inaequalia sunt. Sc
204쪽
maius maiorem datum Angulum subtendit. si . n. quς maiorem sub tendit Angulum maior non est,aut aequalis est, aut minor. Uerum si aequalis quidem est, Anguli etiam, quos subtendunt per quintum aequales sunt. Si autem minor, Angulus etiam, quem subtendit, mi nor es, per praecedens. ostensum .n. filii, quod maiorem Angulum maius Latus subtendit minoremque minus. At e contrario Anguli
se habent. Latus igitur Latere maius est. Fieri aute potest ut sine hae etiam diuitane propositum ostendamus, quandam prius sumptiunculam demonstrantes, quae talis est. Si Trianguli Angulus bifariam sectus fuerit, secansque Anguiu recta Linea ad Basim ducta, in partes inaequales ipsam diuidat: Latera illum Angulu continentia ino, qualia erunt;&maius quidem illud, quod cum maiori Basis segmento coincidit, minus vero quod eum minori. Sit Triangulum abe, seceturquSbitaria Angulus qui ad Signum a perrectam Lineam a d, ε ipsa a d secet Basim be in partes squales, sitque pars ed maior pa te bd. Dico quod maius est Latusae, Latere a b. Producatur ad ad Signume,&ponaturaequalis de,
ipsi ad .-quoniam d e, ipsa d bmaior est ponatur ds aequalis ipsi h d,-connectatur e s, & producatur Us ad Signum gi Quoniaita ad ipsi de :&bd,ipsidssquales sunt, duae sunt duabus aequa-Ies, Angulasque aequales comprehendunt,qui ad verticem sunt. Ea
sis igitur b a, Basi e f qualis est,& omnia ergo omnibus squalia sent. Quamobrem Angulus quoque d es squalis est Angulo d a b. At hie
ipsi daginaequalis non est. Quapropter Latus etiam ag, Lateri egaequum est, per sex- Latus igitur ae, Latere e fessus est.Latus aut fe aequale est Lateri ab . maius est ergo Latus ac, Latere a b, quod demonstrandum erat. Hoc praeassumpto ostendemus,Mὁd sub m
tori Angulo, maius Latus subtendit. Sit Triangulum a b c habens Angulum qui ad Signum b,maiorem Angulo qui ad Signum e. Di eo quod Latus a e maius est Latere a b. Secetur b e bifariam in Signod,&connectatur a d, & ducatur de aequalis ipsi a d, & connectaturh e. laoniam itaque bd, ipsi d e: & a d, ipsi d e aequales sunt, duae duabus sunt aequales, Anmsosque aequales comprehendunt eos, qui sunt ad verticem. Et Basis igitur be, Basi ac aequalis est , dc omnia
205쪽
omnibus. Quamobrem Angulus etiam dbe, Angulo qui ad Signuc aequalis est, minor autem Anguinto abd. Secetur igitur bifaria Angulus quoque ab e perreetam Lineam b f. Maior est igitur e L ipsa a. Quonia ita Trianguli ab QAngulus qui ad Signum K bifaria
sectus suit perrectam Lineam b L&maiorestes, ipse sa, maius est per praeostensum Larus h e, Latere ba. ipsa aut e b e, ipsi a e squalis ostensa filii. Latus igitur a c maius est Latere a b, Quaesitum ergo Euthε inensum cst. Et est manifestum quod Elementorum institutor .a,tum. rietatem Demonstrationis deuitans ab hoe demonstrandi modo se abstinuit, ostensioneque usus fuit, quae ex diuisione ad impossibile ducit, quippe qui Cinuersum praecedenti nullo interiecto mediosa,
cere Woluit. Siquidem octauum etiamquod quarto conuertitur magnam attulit perturbationem, quippe quod Conuersionem cognitudis item feeit . praestantius .n. est continuationem seruando perim C ui R: possibile Theolemata quae eonuertuntuἡ ostendere, quam priveipua Conuersa Demonstratione continuitatem discerpere. Propterea sanὰ Conue
is seserὸ omnia Theoremata per impossibile ostendit.
uiω- PRaesens Theorema impugnare quidem Epicurei consueuere tum ita π Asino ipsum manifestum esse dicentes,tum nulla egere probatione militer autem ignari munus esse ea, g clara sint probatione digna censere, immanifestisque per se fidem praestare. qui .n. haec consu dit,indemonstrabile, demonstrabileque manitae ignorare videtur. idd autem Asino praesens Theorema cognitum sit, ostendunt ex eo, quod herba in altero Laterum Extremo posita Asinus pabulume exens,Unum Latus peragrat,non autem duo. Aduersus h ita idicendum quodprssens Theorema sensu quide manifestum est, non autem S sciςnu m ratione. multis .n. hoe accidit rebu
206쪽
Exempli gratia, Ignis cateiacit,hoc quo sensui indubitatum est,sed
quo nam pacto calefaciat conuincere scientiae ossicium est, utrum incorporea vi, an corporeis sed ionibus: Sphaericis particulis, an Pyr midalibus. Rursus quod movemur sensui est presbicuum, quomodo autem moueamur,ratione docere dissicile est,utrum per impatetibile, an per Interuallum, quomodo autem infinita percurrimus, siquidem
omnis Magnitudo in infinitum diuisibilis est et Sit igitur hoc quo ,
duo Trianguli Lateraereliquo esse maiora, sensiti manifestum. . modo vero hoe fiat,dicere ad scientiam spectat. Ueruntamen adue sus Epicureos haec dicta sint satis. Operae pretium est autem caeteras . . quo praesentis Theorematis Demonstrationes enarrare,quascun & Ηero Heronis, Porphyrnque familiares recta Linea minime producta d ό., I scripsere quod Elementorum institutor secit. Sit Triangulum a b G tione,..portet ita Latera a b. a e Latere b c maiora ostendere. Secetur bifariam Angulus qui ad a Signum est per rectam L1neam a e. Quoniam itaque Trianguli
a b e, Angulus a e c externus est, maior
est Angulo b a ς. Verum Angulus b a e
Angulo eae aequalis positus fuit. Angulus igitur aec maior est Angulo eae. Quapropter Latus quo ac, Latere c emaius est. Eade sane ratione Latus etiaa b maius est Latere b e.Trianguli enima e c, Angulus a e b externus est, maior que Angulo c a e, hoe est Angulo e a b. apropter Latus quoque a b, Latereti e maius est Latera ergo a b,a c toto Latere b e maiora stat. Simis liter de s as etiam Lateribus ostendemus. Sit rursus Triangulua b c Si ita aequilaterum est Triangulum a b c proculdubio duo Latera reliquo sunt maiora. Tribus . n. aequalibus existentibus , duo quaelibet reliqui dupla sunt. Si autem aequi crus, aut minorem Vtroque a qualium Baiam habet aut maiorem. Si itaque minor qui de Basis est. duo rursus reliquo maiora sunt. Si autem maior Basis, sit ipsa b c m ior abscindaturque alterutri illorum squalis, qus fit b e, & connecta tur a e. Quoniam igitur Trianguli a e b, Angulus a e e externus est, maior est Angulo b a e . eadem sane ratione Angulus etia a e b, Ampulo c a e maior est. Anguli igitur, qui sunt circa e Signum, toto qui
est ad Signum a maiores sunt, quoru bea aequalis est ipsi b a e, siquia dem t
207쪽
dem a b, etiam ipsi b e squale est.
reliquus igitur a e e reliquo c a emaior est. inamobrem Latus quoque a c maius es h Latere e e. Erat autem Latus etiam a b aequa Ie Lateribe. Latera ergo ab,ac, bLatere b e maiora sunt. Si vero Triangulum ab e Scalenum fuerit, sit Latus maximum ab, medium ac, nimum be. Maximum itaque cum alteruao sumptum, retia equum prorsus excedit. per se nanque utroque maius est. Si aut L tera ac,&eb, ipsoab maximo e xistente maiora ostendere quaere remus, ut in Aequicrure ficiemusa maximo alterutri aequalem ab scindentes,&a Signo e connectentes, externisque angulorum Angulis utentes. Sit rursus quod De opstr cun Triangulum ab c. Dico Q,
ne ad im- Latera a b, a e maiora sunt Latere possibile , si enim maiora non sunt, aut aequalia sunt aut minora. Sint ae
qualia, abscindaturque b e aequa iis ipsi ab . Reliqua igitur ec, ips1 bae aequalis est. Quoniam itaque ah,ipsib e squalis est, squales subtendunt Angulos. Similiter porrδεc quoniam a Qipsi e e squalis est,squales Angulos subtendunt. An guli igitur,qui sunt ad e Signu,aequales sunt Angulis, qui ad a Signinsunt,quod fieri non potest. Ru sus autem sint minora Latera a b, ac Latere be,abscindaturque ipsi quidem ab aequalis ipsa did: ipsi Uero a Gipsae e. Quoniam itaque a b. ipsi b d aequalis est, Angulus quoq; bda,Angulo badinsqua- blis non est. N quoniam a caequa lis est ipsi e e, Angulus etiam c e a, Angulo e ac squalis est. Duo igitur Anguli bd a, e e a, duobus b a 48ce ac aequales sunt. Rursus quonia Trianguli ad e, Angusus h da
208쪽
externus est, Angulo e a c est maior. maior est nan ipso e a d. Paritatione dc quoniam Triaguli a b e. Angulus c e a externus est, maior est Angulo b a d. etenim Angulo b a e maior est. Anguli ergo b d a.
ce a duobus b a d, e a c maiores sunt. Erant autem aequales etia ipsis, quod fieri non potest. Latera igitur ab, ac neque aequalia sunt Late rabe, neque minora, sed maiora. Similiter autem de alm etiam o stendetur.
biu ervno Triantuli Latere duς restet inequo Extremisipientes introrsum nititutε fueritit,qus o altitutae sunt tLineae, rel1quis Τrianguli Lateribus minores quidem ei maiorem vero Angulum continebitnt.
QVod quidem a Propositione exprimitur, manifestum:& D
monstratio quae apud Elementorum institutore,euidens est: Theoremaque prima principia consequitur . ex duobus enim Theorema tibus dependet, ex prsostenso scilicet,& sexto decimo. nam ad oste dendum quidem eas,quae introrsum constitutae sunt externarum esse minores,ino indiget Theoremate, omnis Trianguli duo Latera re liquo sunt maiora: ad confirmandam autem Angulum ab ipsis eo prehensum Angulo ab externis comprehenso maiore, illudapsi maximam affert utilitatem,quod ait omnis Trianguli externum Angu- Iam interno, ex oppositoque iacenti maiorem esse. Accipies autem
simul Geometri es diligenti e fidem,& admirabilium, qus in Mathe malicis sunt disciplinis comemorationem,si ostenderimus quod ponsibile est intra Triangulum quoddam super uno Laterum, non super toto, sed super aliqua eius parte duas rectas Lineas externis rectis Lineis maiores constituere: rursusque alias minorem Angulum coprehendentes Angulo ab externis comprehenso. hoc . n. ostenso, simul qui de manifestum erit, qu3d necessariis Elementoruinstitutor adie Et opus esse ut ab Extremis Basis communis incipiant rectae quae in trorsum constituuntur Linear,superque Uno toto Latere, non autem ja,
super aliqua totius parte constituantur: simul veris quid ia diximus admisibi& unum quid ex hs,quae in Geometria sent admirabilia manifestum fiet. quomodo enim admirabile non est, si quae quidem supre toto
209쪽
constituuntur Latere externariam minores sum: quς vero super par te, maiores Sit ita ν recitangulum I riangulum a b c, Angulum,qui
ad b Signum est rectum habens, suscipiaturque in Latere bc quod cunque diignu, fitque illud d. SI conne citatur ad. Maior est igitur a d. ipsa ab. Auferatur ab ipsa ad, aequalis ipsi. b, quaesit de , S diuidatur ea biseriam in Signo f. 8c connectatur D. Quon amigitur a se, Isiangulum est, ipse a L se maiores sunt ipsa a c.
Verum a s aequalis est ipsi fe. Rediae Lineae igitur se, se, ipsa
tem est d e, ipsi ab . Rectae Lianear igitur se, ta maiores sunt
rectis Lineis ab, a c, S sunt intra . Sit rursus Triangulum aequicrus ab e Basim be utroque squalium L aterum maiore habens, abstin daturque a b ipia b e, aequalis ipsi a b quae sit b d , conectatur a d,
sumaturque in ipsa a d quodcun Signum, sitque illud e , 3c conne clatur ce. Quoniam ita*ab, ipsi
h d aequalis est, Angulus quoq; bad, Angulo bda aequalis est. Scquoniam Trianguli ede Angulus b d a externus est,maior est inter imo,& ex opposito iacenti, ipso nempe d e c. Quamobrem Angulus quo ba d, Angulo d e c maior est. Multo maior est igitur Angulus b ae, Angulo d e c,5 continetur hac quidem 'ab externis, decvero ab internis. Intra Triangulum igitur rectar Linearde,ec mi norem Angulum coprehendentes Angulo ab externis comprehen se consti rutae sunt, Propositumque ostensum est,nobis expositorum Parallelis non utentibus. Necessarium est igitur rectas quae constituuntur Lineas i Basis Extremis incipere. quae enim super aliqua ipsius parte constituuntur SI maiores aliquando externis ostenduntur, Ile in lib. & minore Angulum coprehenderes. Cum aut hoc modo ab Extre ', incipiedo consti untur, eoru etia Trianguloru, quae Acidoidea vocamur species apparςt, unum hoc quo eorum, qus in Geomer
210쪽
admirabilia sunt , Triangulum nempe adrilaterum reperire . Exempli gra
tia, Triangulum a b c . nam a quatuor quidem Lateribus ba, ac, ce, e b conti netur: tres vero Angulos habet unum
quidem qui ad b, alterum autem qui ada , reliquum vero qui ad c Signum est. Quadrilaterum ergo Triangulum est praesens Figura.
AD Problemata iterum traiiuimus, & iubet Euclides tribus prΟ- Com. 11. positis rectis Lineis, quarum duae reliqua sint maiores, Triangulum eκ Lateribus,quς sint datis rectis Lineis aequalia construere. quippe qui hoc quidem primum cognouit quod fieri non potest ut ex iisdem
illis,quae dictam positionem iam acceperunt, Triangulum construa tur: ex 's autem,quae ipI aequales sunt fieri potest. Deinde, quod oportet rectas Lineas Triangulum completuras,duas reliqua maiores esse . nis enim Trianguli duo Latera reliquo sunt maiora, quomodocunque assumpta, quemadmodum ostensum fuit. hacque de causa adiecit, quod vi:que necessarium est primis etiam rectis Lineis politione, existentibus, ex tribus, quae ipsis aequales sunt, Triangulum c5strue xe: opus esse vero duas reliqua maiores esse, quomodocunque ast mantur,Vel non erit Triangulum ex tribus,qus ipsis aequales sunt rectis Lineis. Ad haec autem instantias quoque omnes destruxit, quae aduersus Constri Rionem feruntur, quaeqtie per hanc solam additio nem dissolui possum. Praesens ergo Problema ex Determinatis est, nhys, non autem ex Indeterminatis . etenim Problematum,quemadmodu& Theorematum, alia quidem Indeterminata sunt, alia Vero deter nati, Inssimi nata. R enim hoc modo simpliciter dixerimus, ex tribus rectis Llneis,quae tribus datis rectis Lineis aequales sunt, Triangulu construe re, Problema Indeterminatum est,atque Impossibile. Si autem addi bilibi babderimus quarum duae reliqua sunt maiores, quomodocunque assiime
Pt Oeterminatum est , atque Possibile. fit enim hoc quo . ense mo.