장음표시 사용
191쪽
esse. tot de Propositione sussiciant. In Construestione autem una P titione utitur, secunda scilicet, quae re stam Lineam in directum pro ducere petit, que Iadmodum in Demonstratione praecedenti Theo remate,duobusque Pronuntiatis,eo scilicet,quod qus eidem aequalia.
ad inuicem quo esse squalia dicit: & eo, quod si ab aequalibus
aequalia ablata suerint, reliqua aequalia esse. Ad impossibilis a tem colleEtionem, Pronutiato,quod ait Totum sua parte esse maius
est enim SI aequale uno communi Angulo ablato, quod fieri non potest. God autem possibile est ad eandem rei tam Lineam, ad eiusque Signum duas rectas Lineas consequenter iacentes,ad easdem tamen partes, Angulos, qui ad unam illa rectam Lineam sunt duo bus rectis squales efficere,ostendemus sic,quemadmodu & Porphy-.rius. Sit quaedam recta Linea ab, &
a b exieitetur ad Angulos rectos re cta Linea ed,seceturque bifaria Angulus de b per Lineam ce , &a Si gno e ad Lineam a b ducatur perpe-dieularis e b, AI producatur ipsa e b, ponaturque ipsi e b aequalistis, g
connectatur es. Quoniamita peri ipsi bs qualis est,communis autem. est bc,squalesque continent Angu
los recti enim sunt Baia igitur
e e Basse faequalis est. 8 omnia i tur omnibus aequalia sunt. Angu-
Ius ergo e cb, Angulo iab aequalis est. Angulus autem e e b recti dimidium est. rectu siquidem d ebbifariam sectus filii per Lineam e c. dimidium ergo recti est & A gulus scb. Vnus igitur rectus,rectique dimidium est Angulus de LEst autem & Angulus de e dimidium recti. ad rectam igitur Lineae d ad eiusquε Signum c, duae rectae Lineae consequenter postis sunt, ad easdein partes,ipis nempe e M &es Angulos duobus rectis squales sitientes, dimidium quidem recti ipsa e e. unu Ueris 3c dimidium
ipsa e f. Ne igitur ea, s fieri non possunt quς mus,quonam pacto scilicet e eius rectae Lineae Angulos, qui sint ad rectam Lineam de duobus rectis inuales facientes, sibi inuicem in directum sunt, adiecit Geometra particulam i non ad easdem partes oportet ergo ad utrasq; rectae Lineae partes iacere rectas Lineas, quae Angulos du
192쪽
bus re Us aequales ad ipsam faciunt, ab Vno quidem Signo excitatae, ductae Vero altera quidem ad hasce, altera autem ad illas rectae Lia
A illos,qui deinceps sunt ab Angulis,qui sunt ad verticem diste Com. 19. re dicimus . nam horum quidem ortus,duarum re starum Linearum sectione fit: illorum veris,altera tantum ab altera disieeta . Si enim recta Linea ipsa quide in sed a manes, illam vero sito Extremo secas, duos Angulos fecerit,hos Deinceps Angulos vocamus. Si aute duae Anguli demistae uineam se triui certi secuerint ad verticem Anguli essiciuntur. Sic aurem Vocantur, quoniam Uertices in eodem Siano coniunctos liata 'nguli d
Dent. Vertices aut ei piorum sunt Signa, ad quae Plana dum contra- qui sint.
huntur, Angulos e ciunt. Hoe ita Theorema ostendit,quod dua hus rectis Lineis se inuicem secaritibus, Anguli ad Uerticem aequales sunt. inuentum quide ut ait Eudemus a Thalete primo: existimata sutum Uero Demonstratione scientiam gignente dignum ab Elemen- tu Theb torum institutore. Ostenditur autem non ex omnibus capitibus. n a Constructio quidem in praesentia deficit: Demonstratio vero,quam fere te Euomnino necessarium est inesse, a tertiodecimo Theoremate depen- di 2, ε det. Utitur autem duobus etiam Pronuntiatis,quorum unum quideest,Ous eidem aequalia,& inter se sunt aequalia : alterum Vero, Si ab steatile aequalibus aequalia ablata fuerint,reliqua squalia sunt. Verumenim uero Euclidis Theorema manifestum est. Conuertitur autem huic
Theoremati aliud tale. Si ad aliquam rectam Lineam,ad eiusque Signum duae reetae Lineae non ad easdem partes sumptae, Angui QS ad susci, τε ε verticem aequales fecerint, ipsae rectae Lines in directum sibi inuicem erunt. Sit enim quaedam recta Linea a b, & quodcun in ipsa Sugnum c , 8c ad Signum c duae rectae Lineae c d, e e non ad easde par tessumatur facientes Angulos a e d b c e squales. Dico quod in directum sunt ipsae e d , e e . Cum enim recta Linea c d si aper re- sentis Thectam Lineam a b insederit, duobus rectis aequales essicit, An
193쪽
Oniam ita v ad quandam rectam Lineam be,ad eiusque Signum c duae recitae Lineae con
sequenter c d,c e non ad easdem Parres politae Angulos Dein ceps duobus recus aequales ef ciunt, in directum sibi inuicem sunt rectae Linear c d. c e. Con uersum igitur praesenti Theore e. hiau mRxi Ostcnsum est. Uidetur aude, hoe y te Geometra hoc praetermitisse, termiseri quoniam facile est iuxta eadem
viam per Deductionem ad impossibile hoc quoch ostendere, Iuxta quam quartum decimum ostendimus. iisdem . n. suppositis, dico quod recta Linea e d. rectaece in directum est. si .n. non est, sumatur ipsi cd in directum iudidie a. recta Linea c f. Quoniam ita. duae rediar Lineae se inuice secant a b d L Angulos ad vertice aequales essiciunt. Anguli igitur a c d b c faequales fiunt. Erant autem a c d, b c e quoq; Anguli squales. An Iug ery b c e, Anguio b c faequalis est, maior minori, quod fieri non potest. Null4 igitur alia recta Linea praeter ipsam c d ipsi e e in dii Etum erit. lpis ergo c d, e e re Lineae in directum ad inuice sunt Hngulis ad verticem aequalibus suppositis. Cum itaq; eadem sit De
monstratio quae in quarto decimo quoq; Theoremate praeasstinanta fuit,quomodo superuacaneum non esset hanc aTrre Couersionem redhesihi, EXerotarionis autem gratia, tum per Deduetionem ad imo sibile tum . tum per Uiam ostendentem nos ipsum probauimus. Videtur autem' hoc quantum decimum Theorema parti si similitudini rectarum Linearum in extremitatibusque situi confidere . quoniam ste se hahentes Lineas,& se inuicem secantes, similis ad se inuicem utrinque I nclinationes,ad ipsasque habere necesse est. Circ ferentiae si uide Omninoque non rectae Lineae se inuicem secantes, Angulos ad verti laterdum vero inaequales. si .n, duo aequales Circuli per Centra se
ver sed . a Lunulares Angulos adeauum s . um non etia reliquos, Wirin
uineis Situs in extremitatibus aequalem alterius segmen
194쪽
torum ad alterius segmenta distantiam efficit.
V Num quid Geometricorum nominum Corollarium est. hoc au Com. o. tem duplex quidpiam significat . vocant . n. Corollatia quaecunque etiam J heoremata una cum aliorum Demonstrationibus probatur, veluti Lucra is expectata, at* emolumeta quaerentium existentia: S timquaecun qusruntur quidem, inuentione autem indiget, & ne F ge nerationis solae causa quaeruntur, ne* simplicis conleplationis . nam quod quide Aequicrurium qui ad Basim sunt Anguli aequales sunt, conreptari oportet, existentiumque rerum huiuscemodi cognitio est. Angulum aut e bifariam secare, vel Triangulum constituere, vel re Etam Lineam aequalem abscindere vel ponere, hμ omnia ut aliquid
sat postulant. Dati vero Circuli Centrum reperire, vel duabus M pr mum gnitudinibus commensurabili s datis maximam ipsarum commu- Dem mensuram inuenire, Vel quaecum id genus alia, quodammodo accidit. inter Problemata, at Theoremata sunt ..ne p. n. Quaesitorum o tus in his ne sola contemplati', dinuentio est. opus est siquid m
a situm in conspeetu,& prae oculis ponere. talia igitur sunt quaecun etiam Corollaria Euclides scripsit, quippe qui libros Corolla Euclide, xiorum construxit. verum de huiuscemodi quidem ComitarnS dic bis, axe praetermittatur. ar autem in Elementari institutione sunt Corollaria. simul quide clim aliorum Demonstrationibus apparet, ipsa vero non prscipue quaeruntur, veluti id, quod in praesentia proponitur . naquaerebatur quide si duabus rectis Llneis se inuice secatibus, Anguli ad Ue licesquales sunt. Sum authoe osten d batur simul etiam demonstratu est,
quod quatuor qui Eut Anguli quatuor
sunt rectiis aequales. Cum . n. dicebamus sint duae rectς Lines a b, c d se invice in Signo e secantes. quonia igitur
ipia a e super ipsam e d stetit, Delaeps
195쪽
Angulos duobus rectis aequales etait. 8crursius quoniam ipsa b eper ipsam c d stetit, facit Angulos Deinceps duobus rectis aequales, tunc una cum Quaesito demonstrabamus, quod Anguli, qui sunt circa e Signum, quatuor rectis aequales sunt. Corollarium igitur est Theorem quod ex alius Problematis, vel Theorematis Demon stratione ex improuiso emergit. nam Ueluti casu quodam in Corollaria incidere videmur . nec proponentibus enim nobis, ne ν etiam quaerentibus obuiam se se offerunt. Unde haec quo lucris assimila uimus . 8c fortasse Mathematicarum rerum periti hoc ipsis imposuere nomen,os,ndentes Vulgo,quippe quod apparenti gaudet lucro, quod Uti F Uera Dei munera, veraque lucra haec sunt non aut quς illi videntur . lige siquidem iacultas illa,quae in nobis est producit, feraxque scietiae vis pnecipuis quaesitis ad icit, copiosas Theorematu opes manifestans Corollariorum igitur proprietatem talem esse dicedum. Diui deda autem ipsa sunt, primo quidem iuxta scietias . Corollario rum . n. alia quide Geometrica sunt,alia vero Arithmetica. nam prς- sens quide Corollarium,Geometricum est: quod autem in fine secudi Theorematis septimi libri Arithmeticorum Elementorum adiici tur, Arithmeticum. Deinde vero iuxta principalia Quaesita. nam alia quidem Problematibus consequetia sunt, alia vero Theorema tibus. hoc .n. Theorematis est: quod vero in secundo septimi libri est positum, Problematis. Tertio aute rursus iuxta ostesiones . nam alia quide una cum viis ostedentibus alia vero una cum Deductionibus ad impossibile ostenduntur. praesens .n. directa ostesione: quod autem in primo tertii Elementorum simul ostensium fuit, una cum Deducstione ad impossibile apparuit. Verumtamen multis etia aliis
modis Corollaria diuidi possunt, nobis autem in praesenti haec quo sussiciet. Praesens aut Corollarium, de quo sermonem habemus, nos doces,quod locus qui circa Signum unum est in quatuor rectis squales Angulos distribuitur,illi etia admirabili Theoremati ansam prinbuit quod Tria haee sela Multiangula totum, qui circa Signu unum est locum replere posse ostendit, aequilaterum nempe Triangulum, Sc Quadrangulum,S Sexangulum illud,quod est aequilaterum,at
aequiangulum. Verum aequilaterum quidem Triangulum sexies aia sumptum. sex liquidem binae Tertiae,quatuor uec tos efficient. Se . xangulum autem,tex factum. quilibet. n. Sexangularis Angulus viii Ree sertiaeque eius p rti aequalis est . Quadrangulum vero, quater. nam Unusquis Quadrangularis Angulus, rectius est. Sex igitur in quilatera Triangula iuxta An los coniuncta, quatuor Re βCQm
196쪽
plent, nec non tria Sexangula, Sc quatuor Quadrangula. Quod Isautem caeterorum Mulit angulorum quomodocuno iuxta Aia pulos compositum Lerit, aut a quatuor Rectis deficit, aut quatuor Rceios excedit. Sola vero haec iuxta dictos numeros Rectis quatuor adae quantur . dc est Pythagoricum hoc I heorema . Per hoc autem Corollarium si etiam plures duabus recitae Lineae in uno Signo se inuicem secuerint, ut puta tres, vel quatuor, vel quotcunq; , omnPS qui fiunt Anguli quatuor Rectis aequales ostenduntur. quatuor cnim re
ctorum Angulorum locum sibi vendicant. Manifestum est autem, quod Anguli semper rectarum Linearum dupli numero fient sic duabus quidem rectis Lineis se inulae secantibus quatuor erunt An guli squales quatuor Rectis: tribus autem, Anguli sex: quatuor v er6, octo, similiterque in infinitum. semper enim rectarum quide Linea rum multitudo duplicatur: Anguli autem iuxta quidem Multitudinem crescunt iuxta vero Magnitudinem diminuuntur. quoniam idesemper est id quod diuiditur, quatuor nempe Recti. Qui hane Propositione cum desectu pronuntiarunt sine hac parti cul a s uno Latere producto a fortasse quidem cum multis aliis, tum
inecipue Philippo ut inquit Mechanicus Heron obtrectandi an
sam praebuin e . non enim omnino quatenus Triangulum est, externum etiam Angulum habet. Quicun* autem hanc e med o tollere callumniam voluerunt, cum proposita additione Geometrς familia xi existente hanc tradidere. etenim in quinto Theoremate Angulos
sub Aequi crurium Basi existises, aequales ostendere volens addidit, quod & productis aequalibus rectis Lineis, qui sub Basis int Anguli, aequales sunt. Et si igitur apud alios non integra impersectaque suit, apud tamen Elementorum institutore persecta, integra p suit per
scripta. Quid ita Propositio inquit quod omnis Trianguli si
unum quodpiam ex Lateribusproduxeris, Angulu qui extra ipsum eonstituitur, Utro interno, & ex opposito iacenti maiore reperies. nam ambobus quidem simul aequalis paulo p8st ostendetur, viro autem maior ex hoc ostenditur. & necessario ad eos, qui ex opposito,
rente H tone. In t 2. pontione.
197쪽
sianzIpsum corripara . non auteni est dζinem, nam iusi idem S qualis.& minor est e diorest aliorum Uxζm, Vtroque cunnano maior. Si enim Trari sum hoc ,r 'asDilum sile: ev Inque ex Lateribus rectum Angulum comprehen ritibus pho duci em git eris,extemus es,qui dei eps est,aequalis erit. Si Vein Ohi angulusiterit, fieri poterit ut internus externo maior sit. Idci
co ighur haud reliquo deuem sibi phoiumolpissim coparauit, sed sibi
oppositis. Angulorum enim intra Triangulum existentium unus iaeni deinceps ipsi finitimus est, duo octo ex opposito. Horumi tur utro internus maior est no autem eo,qui deinceps sibi adlis Q ica. Quidam rem duo haec Theoremata praesens scilicet, atque s myi quens coniungentes, Propositionem hoe modo proferunt. OmnisTHanguli uno Latere producto, externus Triaguli Angulus utro interno, ex oppositoque iacenti maior est: & duo quilibet internoruAnFlorum,duobus rectis minores sunt. Habent autem connexio ' ruis '' nis horum Theorematum occassonem quoniam ipse etiam Geom in i ρ- tra paulo post in aequalibus Angulis hoc modo fecit,dicens. Omnis Trianguli uno ex Lateribus producto externus Angulus duobus internis, oppositoqsie existentibus est aequalis: S Trianguli tres in temi Anguli duobus sunt reetis aequales. H1e quo igitur in similliabus Quaesita contexere, Propositioneque compositam efficere aequuesse censent. & est manifesta, quod id quide,quod demonstrandum proponitur, Compositum erit: Datum vero si quidem eum iam di via additione prolatum fuerit,ipsum quom erit Compositum duo siquidem oportet intelligere, subiectum scilicet Triangulum, unaque Laria productum ) si vero sine hac, potentia quidem Compositum
erit, actu autem Simplex. Omnino siquidem hoc etiam tanquam Datum simulaeeipiedum est. dum enim Ansulum externum suae ponimus, Latus tanquam productum me. b. P supposuimus. Hsc de his. Assume- ιοῦ mas aut ex prssenti Theoremate, v fierium ane Enon potest Ut ab eode Signo ad ean-
sumptra. rectam Lineam tres squales re Lineae incidant. Sint .n. ab uno Signo tresrectae Lineae aequales a b a Ga d ad
rectam Lineam b d ductae. Quoniam ira a ipsi ae aequalis est, qui ad Ba sim sent Anguli, aequales sunt. Anguistis igitur abcis alis in Angulo ac ia
198쪽
Rursus quonia squalis est a b , ipsi a d, Angulus ab d, Angulo a d b
aequalis est. Erat autem Angulo a b c, Angulus a c b squalis. Angulus ergo a c b, Angulo a d b aequalis est, externus interno, ex opposito iacenti quod fieri non potest. Ab eodem igitur Signo ad eandem re stam Lineam tres redis Lineae squales minime ducentur. Per Aliud hoc autem Theorema illud quo demonstrabimus, quod si in duas rectas Lineas rei ta Linea incidens externum Angulum interno, 8c ex oppostio existenti aequalem fecerit rediae illae Lineae Triangulum minime facient,neque coincident, quoniam ide & maior, dc aequalis
ou, quod est impossibile. Ex Issi gratia,sint a b,e dreM Lines, in ipsasque recta Linea eb inci dens Angulos a b d, e de squales
faciat,non coincident porro rects Lineae a cd si enim coincide x t Angulis aequalibus manenti hus , erit Angulus ede aequalis pilos a b d. & cu externus sit, interno, ex oppositoque iacenti maior erit. ne esse igituraest si eo incidunt. non amplius Angulos squales manere, sed omnino illa,
qui est ad Signum d augeri . siue
enim a b immobili manente, cd ad ipsam moueri excogitaueris viminesdant,maiorem esseses distutiam in Angulo ede . nam quanto magis ed aceedit ad ipsam a rit to magis ab ipsa d e recedit. siue etiam manente ipsa e d, excogitaue ris ab ad ipsam moueri, Angulum a b d. minorem efficies. simul .n. ad ipsam e d sertur,& ad ipsam h d. siue etiam utrasque ad se inuicem moueri feceri ipsam quide ab ad ipsam edtendente. Angulumque , ah e, contrahentem: ipsam vero ed ab ipsa de recedentem propter quide admotum ad Lineam a b, Angulumque e d e crescentem repeties. Ne resarid igitur si angulum fuerit, &reis ae Linea a b, cd coincide, internutarint, Angui quoque externus Angulo inter fio,8c ex opposito iace
maior eritia aut .n. interno manente externus augetur, aut externo manente internus minuitur, aut & interrius contrahitur, & externus partibus,1
magis distrahitur. Horum autem causa est rectarum Linearum mo- ἡ-4 Prus, altera quidem ad eas partes, Ubi internum diminuit Angulu, altera vero ad eas,uia exteritum auget tendente. Ex hocque tibi c5e uente.
199쪽
sderandum est, quomodo rerum ortus veras Qussitorum causas amte conspectum nobis asserunt.
Com. , ,. N Unc quidem indeterminatὰ ostenditur, quod Trianguli duo quiui, L. , Anguli duobus Rectis sunt minores , in sequentibus autem de sitione 3 terminatat etiam quanto minores, quod scilicet reliquo Trianguli Angulo . tres .n. ipsius Anguli duobus Rectis squales sunt. Quapro pter duo reliquo, anguli Angulo, duobus iunt Rect sminores. Et Elementorum quidem institutoris Demonstratio manifestam habet meume- VIam . praecedenti siquidem utitur Theoremate. Operaepretium est autem quemadmodum in praecedenti) Triangulorum ortum in spicientem praesentis Symplomatis causam reperire. Sint igitur ab rursus, & e d rectae Lineae,ipsi h d ad Angulos rectos. si itaque Triangula suturum est, rectas Lineas a b, c d ad
se inuicem annuere oportet. ipsarum autem nutus internos diminuit Angulos, quamobrem duobus Rectis minores fiunt . Recti.n.sunt ante nutum . Consimiliter autem. si etiam in Latere a b,rectas Lineas ad Angulos . rectos stantes intellexerimus, eadem
euenient iuxta rectarum Linearun- .
tu: & Anguli,qui sunt ad Signa a, b,
erunt duobus Rectis mi uores. & in reliquo Latere eodem modo. Hoc ergo causa est,non autem externum Angulum vimque interno, ex oppositoque iaccenti maiorem esse . nam productum quide esse La tus,necessarium non est, neque aliquem extra constitutum esse An, gulum. duos vero quoslibet internorum Angulorum duobus Rectis minores esse, neeessarium est. Quomodo autem quod necessarium non est,necessar 3 causa erit c nullo certὸ modo. Verum c quod iam
diYi causa quidem est id, quod dictum sui rectarum in ani Linea,
200쪽
rum ad Basim rectos Angulos diminuentium nutus. Quoniam aute Elementorum instinator per externum Angulum Quaesitum osten-
dit, age nuti uiri etiam ex Lateribus producentes, idem ostendamus. rematis.
Sit Triangulum a b c. sumaturque in Latere be quodcunq; Signum d , SI O
guli ab d Latus unu productum est, ipsum scilicet bd, Angulus externus ad c laterno ab d maior est. Rursus quoniam Trianguli a d c Latus unum productium est, ipsiam nepecd, An gulus externus ad b, Angulo interno a c d maior est. Ueruntamen Anguli, qui sunt circa a d recitam Linea, duobus Rectis aequatis sunt, per tertium decimum . Anguli igitur abe, ac bduobus sunt Rectis minores. Simili ter ostendemus, quod Anguli etiam b a e. & b c a duobus Reetis mi mores sunt, in ae Latere Signum aceipiendo, a Signoque h ad Signa acceptum eonnectendo. & rursus Angulos c a b, a b c minores duc hus Rectis affirmabimus in ab Latere Signu suscipiendo,a Signoquee ad Signum susceptum rectam Lineam connectetido. Propositum ergo per idem Theorema nullo ex Trianguli Lateribus productis o stensum est. Fieri igitur potest ut per hoc,illud quoq; ostendatur, vscilicet ab eodem Signo ad unam rectam Lineam duae Perpedicula
res minime ducentur. sint . n. a Signo a ad rectam Lineam bc duae Perpendiculares ab ac. Anguli ita abe, ac b, recti sunt. At quo
niam ipsum a b e, Triangulum est, duo ipsius quilibet Anguli dum bus Rectis sunt minores. Anguli igitur a b c a e b. duobus Rectis mi riores sunt. Vertam squales quo duobus Rectis propter Perpendi culares sunt, quod nequaΦ fieri potest. Ab eode igitur Signo ad eandem rectam Lineam duae Perpendiculares non ducentur.