장음표시 사용
211쪽
ttistantiae huius Problemati S.
admodum autem Theorematum iuxta Verum,& Falsum sit diuisi ita quo Problematum iuxta Possibile enuntiatum, at Impossibilala. Quod autem instantiae etiam,quae aduersus Constructionem feruntur,hinc dissoluuntur,didicerimus quidem paululum in ipsam ii
spicientes. Geometrs.n Uerba sequemur. Sint tres redis Li - .ncae a, b, c, quarum duae quo modolibet assumptae relIqua sint maiores,lussimque sacere opus fit. Ponatur qusdam re
cta Linea d e ex altera quide parte finita, utputat Signo d: ex altera vero Infinita. 8cpo natur ipsi quidem a , aequalis
ipsa d s: ipsi autem b, ipsa la:
ipsi vero e,ipsa g h. & Centro quidem f. interuallo autem sd; Circulus k describatur. rur sus ν Cetro quide g, iteruallo vero g h, Circulus 1 designetur. 8c secent se inuicem Ct culi . hoe siquidem Elementoru insti fas,lapsit. tutor 1 sortitus est. Unde igitur hoe euenit dicat aliquis et sortasse enim vel
tangunt tantum se inuicem, vel neque etiam tangunt. nam trium xmum quid ipses pati necesse est, aut se inuicem in tersecare, aut tangere, aut distare ab im si s. uicem - Dico ita quod necessatio se inuicem intersecant. tangant enim prius se inuicem. Quoniam ita v f SignuCentrum est Circuith, ipsa d faequalis est ipsisn.&quoniam g Signum Cen trum est Circuli I, aequalis est ipsa li g, ipsi gm. Duae igitur d fgh, Uni squales sunt nempe ipsi fg. Posita autem sunt ipsa maiores, quemadmodu etiama ini cum e, ipsa b est maior. illis siqui de sunt .equalis. Aequales igitur ipsi, ipsaque maiores sunt, quod fieri
212쪽
fieri non potest. Rursus si fieri potest distent ab inuicem Circuli, ut ipsi h l. Quoniam itaque fSignum Ci cael k Centrum est, ipsa d L ipsi fn aequalis est. 8c quoniam Signum g , Cir
culi I Centrum est, h g aequalis est ipsi gm. Tota igitur g duabus d f. hil est maior. ipsa enim fg ipsas d fgh exe, I a j
dit, ipsa n m. Suppositum autem iactat x Iipsas df,hgapsa fg maiores esse,quem admodum etiam ipsas a,c ipsa b. nam ipsa quidem id L ipsi a : ipsa autem fg,
rumptaS, non autem uni aequales ne ipsa minores. necesse est autem tangen
tibus quidem ipsis se se, ipsas essemqua-ies: distantibus vero ipsis ab inuicem, duas reliqua minores esse
Addatam rectam Lineam, datumq; in ea signum,dato Angllo rectilineo aequalem Angalum constituere.
PRoblema hoc quoque est, quod Oenopidis quidem potius quam
Euclidis inuetum lucrum est, ut ait Eudemus: Anguli vero alii Amgulo rectilineo ad datam rectam Lineam, datumque in ea Signum inuetitam constitutionem exigit. Hoc igitur,datum quidem Angulum rectit neum esse necessario Euclides adiecit . quonia nec fieri potest ut om ni Angulo aequalis Angulus ad rectam Lineam constituatur. Osten- Iaebm. . m. n. fuit quod duo tantum curvilineoru Angulorum Rectilineis
Angulis aequales sunt, Angulus scilicet Figurae Lunula is, qui omni rectilineo Angulo aequalis ia ostensus fuit: & Angulus Figurae illius, quae Seeuri similis est, quippe qui duabus Rem Terti js aequalis est.
213쪽
nularis &vocat Pe-laccides Angulus .
Fit aut huiuscemodi Lunula is Figura,quae Pesecoides vocatur,duo buς Circulis per Centra se inuicem secantibus. Hoc vero, ad quanta restam Lineam Anguli constitutionem fieri, Angulum qui consti stituitur de Urminatum esticit,n G autem specie indisterentem, sed aut rectilineum, aut mistum. cum autem nullus mistus rediit ineo aequa lis este possit, manifestum quod ipse quoque omnino re stilineus est. Elementorum itaque institutor praecedenti Problemate simpliciter usus ex tribusque rectis Lineis,quae tribus datis aequales sunt,Trian gulum machinatus, Propositum fecit. Accipies autem Trianguli e si , hui, stitutionem exquisitiori doetrina hoc modo. Sit data recta Linea a b.
b. autem in ipsa Signum ab datus vero rectilineus Angulus ed e. oportet ita iacere id, quod iussum
est. Coneetatur e e,& producatur a bad utran partem us* ad Signa fg, 8c ponatur ipsi quide e d aequalis,ipsa fa: ipsi autem d e, ipse 1 b: ipsi veroe c,ipia b g. Centro quidem a, interuallo aute ac Circulus h designe tur.5 rursus ut in praecedenti,Cetro quidem b interuallo autem h g, Cir
cuiust describatur. Circuli igitur se inuicem intersecant, quemadmodum superius ostensum est. Secet se in Si gnis m,n, i Signoque n conectantur ad Centra rectar Lineae, similiterques Signo m Quoni a igitur fa,ipsi a m& ipsi a n,qualis est: ipsi autem fa, sequalis est ipsa e d, ipsa quoque a m,& ipse a n,ipsi e d aequales sunt. Rur
aequalis est: ipse autem p b ips c e in aequalis non est,ipsae elisi b m,& b n, ipsi ce aequales sunt. Uerum S ipsa a b,ipsi d e aequalis est. Duae imi tur a b,am duabus de dc inaequales no sunt,& Basisb m aequalis est Basi e e. Angulus ergo m a b Angulo qui ad Signum d , aequalis est Rursusque duae n a a b duabus c d,d e aequales sunt,& Basis n b,Basie e squalis. Et Angulus igitur ii a b, Angulo c d e est squalis.Iussu Pdupliciter laetum est. non . n. unum tantum, sed duos constituimus gulos dato Angulo aequales ad utranque partem redis Lines a b
214쪽
vi in sequentibus etiam in qualibet voluerimus parte constitutionem secere, indubitatum fit,nemoque contradicat. Hsc quidem Conmmctioni Elementorum institutoris adiicimus. Apolloni' autem ostensionem non laudamus,tanquam eam, quae iis indiget, quae in Teletio stensotie. Libro ostenduntur. accipiens .n. ipse quemcunque Angulum ede,&rectam Lineam a b,Cetro quiadem d, interuallo aut c d , c e Cir cunferentiam describit. Similiter que Centro quidem a. interuallo verba b, b fCircunferetiam dem gnat. intercipiensquece Circun ferentiam aequalem ipsi h f, comnectit rectam Lineam a L Ang
losque a, e sequalibus Circunsere tias insistentes, aequales assirmat.
Oportet autem praeasiumpsisse quod ipsa etia a b, ipsi ed aequalis est,
ut Circuli quoque aequales sint. Huiuscemodi itaque ostensione tan quam posterioribus utetem ab Elementari institutione alienam esse censemus Illam autem Geometrae tanquam principia consequentem
Rursus ad Theoremata transiuit 8 similes de inmusitate in duobus Triangulis vadit orationes illis, quas de aequalitate quoque tradidit .nam duo quidem Triangula stappones duo Latera duobus L
teribus alterum alteri squalia habentia, Angulum Verticalem inter dum quidem aequalem in utroque ponit;interdum verdinaequalem: 8 Balam eodem modo interdum quidem aequalem in viro , inte dum autem inaequalem . 8c squalitati quidem illius consequente esse dethonstrauit Basium aequalitatem, harumque aequalitati AnguloruVerticalium squalitatem esse consequentem similiter demonstrauit et inaequalitati vos inaequalit te nunc ostenditia Hoc igit quod nunc
215쪽
proponitur Theorema Quarto quidem oppositum est. na illud Diudem Angulos V erticales Triangulorum aequales supposuit, hoc vores inaequales ipsos supponit. 8c illud quidem aequales ipsorum Bases demonstrauit,hoc vero eodem modo,quo Angulos,inaequaliS. prscidit autem sequenti Theoremati . nam illud quide a Balibus ad Angulos,sub quibus Bases subtendunt in squalitatis orationem deducit: hoc vero e conuerso ab Angulis ad Bases,quae sub ipsis sunt. Quam obrem ipsum consequenter huic quidem iam dicto modo couersum est octauo autem Theoremati oppositum . nam alterum quidem ab aequalitate Basium Angulos V erticales squales demonsi rat,alterum vero a Basium inaequalitate ipsos quo inaequales ostendit. Com ne autem est hisce quatuor quorum duo quidem circa Aequale ver sar r quartum scili et,& octauu: duo vero circa in squale,hoc uti , di sequens.& duo quidem ab Angulis incipiunt,quartum nempe, Scquod in praesentia qusrere proposuimus: duo autem a Basibus octa iram porro, quodque deinceps post prpsens collocatum est) commune cunctis inquam hisce quatuor est, tum quarto, & oetauo, tum vi gesimo quarto,& vigesimo quinto duo Latera duobus Lateribus aluterum alteri habere aequalia. his. n.inaequalibus existetibus omnis in quisitio superuacanea est,a deceptioneque haud immunis. Hscde histri uniuersum dicta sint. Age autem Elementorum quo institutoris varii hu β prssentis Theorematis Cpnstructionem consideremus, quodque demtii Cab a ciamus accipiensius. ςnim duo Triangula a b c d e Latera a b, aec Lateribus de . δd f aequalia habentia alterum. A ARlteri, Angulumque ad a Si- I I I Ignam existentem Angulo ad I li
rectam Lineam e d , ad Sia ignuntque in ipsa, quod est d, jAngulo qui ad a Signum est μqualem constituit Angulum e d h.maior enim est Angulus qui ad iSignum est. Angulo qui ad Signum d connectitque ipsi a e squalentd h. Recta ita Linea e h ad Signum h producta aut supra recta Lianeam e fcadisiaut super ipsa aut infra ipsam . Elementorum sane ininstitutor Πpotesupra iacentem ipsam accepit. Sit autem super ipsa recita
216쪽
: recta Linea. Rursus itaque ide ostendemus. duae enim a b,a cduabus d e, d si aequales sunt, aequalasque continent Angu
los. & Basis igitur b c. Basi e haequalis est. At ipsa e li maior est quam ipsa e f, quapropter ipsa quo be maior est quimipsa e f. V erum sit insea ipsam e sposita. Connectentes itaque ipsam e h dicemus quod cum ipsae ab , ae ipsis d e, d h aequales sint,
aequalesque Angulos comprehendant, ipsa quoque bc, ipsi e h squalis est. Soniam igitur intra Triangulum d e h dus re chae Lineae d L se in Latere d e
res sunt. Aequalis autem est d h.ipsi d Lipsi nan a c aequalis est. Maior est igitur ipsa hequam ipsa es. Sed he aequalis est ista b e. Maior est ergo ipsa b c quam ipsa e s. Iuxta itaq; omnem positionem Theorema ostensum est. Qua de causa igitur, quemadmodum in quarto Theoremate simul demonstrauit quod Arer quo que Triangulorum aequales sunt in hoc etiam non adii ecit quod pryter Basium inaequalitatem, Areae quoque inaequales sunt: Aduersiis hane uti dabitationem dicatur quod non est eadem ratio in squaliabus Angulis,& Basibus: atque in inaequalibus . naru Angulis quid N Basbus squalibus existentibus,Triangulorum etiam squalitas se quitur: inaequalibus autem existentibus necessarium non est Arearii inaequalitatem consequi. sed tum aequalia, tum inaequalia Triangula esse possunt: maiusque illud, quod maiorem Angulum, Basimque
maiorem habeWitemque minus. Propterea igitur Elementorum in stitutor Triangulorum comparationem reliquit. Praeterea autem, quia etiam horum contemplatio Parallelarum indiget traetatione. Si vero oportet nos ea,quae posterius ostendenda fiant anticipantes in praesentia quoque Arearum coparationem iacere,dicimus quod ipsis
a d Angulis,duobus Reetis aequalibus existentibus chabeatur autem sermo in deseriptione, quae in Elemento est Triagula aequalia ost b , dun
217쪽
duntur: maioribus autem quam duo Recti, minus quod maiorem Angulum habet: minoribus ver4,maius. bini enim qus in Elemento cos russita silere, & producantur
ipse e d,ta ad figna h h, & supponantur Anguli b a c, e d feste duo hus Recti, squales. Quoniam igitur Angulus bae, Angulo e dg squalis est, Anguli ed g, e d tauo
hus Rectis squales sunt. Sunt aute
Rectis squales. Comunis austra
tur e d g. Reliquus gitur e d L reli quo gdh aequalis est. Verum ipse e d faequalis est ipsi h d h. ad verti cem enim sunt. S Angulus igitur
g d k, Angulo h d k aequalis est. Et quoniam Trianguli g d L Angulus
g d li externus est, duobus internis, 8 ex opposito iacentibus, ipsis scilicet,qui sunt ad Signa g,& f, squalis est. At isti squales sibi inuice senti ipsa nan d g. ipli d faequalis est. Angulus ergo g d h, Anguli qui ad Signum g, & Anguli,qui ad Signum fiduplus est. Aequalis igitur est Angulus qui ad Signum g, Angulo g d k, 8c sunt alternatim. Paral, tela igitur est d e,ipli fg. Triangula ergo g d e, fd e super eadem Basid e sunt in eisdenique d e,g f Parallelis. Aequalia igitur sunt. Veriam Triangulum g d e, Tria gulo a b c est aequale.& Triangulu ergo d e LTriangulo a b c inaequale non est. Et vides quod tribus indiguimus
Theorematibus,quae ad Parallelarum tractatione spectant,vno quidem dicenti quod omnis Trianguli externus Angulus duobus interenis,& ex opposito iacetibus aequalis est: altero autem,quod si in duas rectas Lineas recta Linea incidens Alternos Angulos aequales sec erit Parallelae rectae Lineae sunt: tertio Uero, quod Tria .gula sapereadem Basi, in eisdemque Parallelis const tuta, aequalia sunt. Quae Elementorum quo institutor sciens, Triangulorum comparatio
nem omisit. Verum sint Anguli b a c, e d s duobus rectis maiores.& construantur eadem. Quoniam itaque Anguli b a e,e d L hoc est Anguli e d g. e d f duobus rectis maiores sunt: Anguli autem e d g, d k duobus sunt uectis aequales, ablato communi , ipso scilicet g. Angulus e d f maior est Angulo g d k, hoeest Angulus k d h in tor
218쪽
ior Angulo g d h. Angulus igitur gdh maior quam duplus est Anguli g d h, ipse ne c., qui duplus est Anguli adg Signum existentis. Angulus igitur gdhminor est Angulo, qui adg Signum est. Pona tur ipsi g d k, aequalis dgl, 8c connectatur et,&di. Parallela ergo est gl, ipsi de . Triangula igitur gde, id ea qualia sunt. At Triari-gulum 1 de minus est Triangulo fcle. Triangulum igitur gde, Triangulo deminus est. Aequale autem est Triangulum g de, iangulo a b c. Triangulum ergo a b
habet. Tertio Sint minores duobus Re 4 iis Anguli insquales ead ue constru
hus sunt Rectis aequales, comuni ablato
e d g. rotus g d li minor quam duplus estiplius gd h. Sed duplus etiam ipsius qui ad g Signum est. Angulus igitur gd k,
Angulo qui ad Signum g malor est. P natur Angulogdk, aequalis dg , S c
incidat g l eum ipsa e fin Signo 1, S co nectatur d l. Parallela igitur est l. ipsid e. Aequalia ergo sibi inuice sunt Tri gulagde, Ide. Verum Triangulu qui dem l de maius est Triangulo fd e: Tria gulum vero gd e aequale est Triangulo abe. Triangulum ergo abc, Triangulodia maius est. Ostentum est igitur Tria gulum a b c Triangulo d e f&aequale.&maius . ia minus, Angulis qui sunt ad a,& d Signa aut duobus Rectis aequalibus, aut maioribus quam duo Recti,aut minoribus existentibus. omnes. que suppositioneς fieri possunt. Quid enim si AnPlus qui ada Signum, Unus Rectus, Rectique dimidium esset: qui vero ad Signum
sientc Quid autem si qui ad Signum Munus Rectus, de Recti dimiadium
219쪽
dium esset: qui vero ad Signum d, binae unius Recti Tertis, non te duobus Reciis essent maiores id vero si qui ad Signum a , unus Rectus, Recti' esset dimidium: qui autem ad Signum d, tertia Re isti pars, non 'ne duobus essent Rectis minores,& 1. mper Angulusa, Angulo d esset maior Omnes ita hae Comparationes Parallelaruvla nobis factae sunt. Necessario igitur apud Elementorum insiti
in vigesimum quartum Theorema Primi Libri Elementorum Euclidis. I MEAM asterre sentetiam ope pretium est, enauit Philosophus . nam fieri non potest ut super ipsa subtendente sposterius protraeta est recta Linea cadat, sed necessario supra ipsam incidet, quemadmodum Elementorum quom institutor usus seit, quod autem dicimus, hoc modo ostendemus. Sint duo Triagula aequi crura a b c, d e s. quae habeant duo Latera b Ma e duobus Lateribus e rid siqualia, & Angulus qui ad Si inua. Angulo qui
ad Signu d sit maior. Ponendus est itaque Angulus ipsi aequalis, qui sit e d g,5 protra
fieri non potest Ut ea, quae connexa est, ipsi e sin directum sit. nasi seri potest sit in di rectum ipsi,hoe est sit per eadem recta I in ea incidat ipsa eg, quemadmodum usus en videtur Proclus in secunda sua suppositione. Quoniam ita. duo Triangula aequierura esse supponuntur, aequalis utique erit Angulus
qui ad Signum e. Angulo qui ad Signum g. eterum ipsi etiam d feest aequalis, & Angulus igitur, qui ad Signum g, Angulo a sesquM
220쪽
tis est . quae enim eidem aequalia, A inter se sent aequalia. Si aute hoe verum est Trianguli d fg, externus Angulus interno,& ex opposito collocato squalis erit,quod est impossibile. Fieri ergo minime potest utre 'a Lineae g,rectae Lineae e sin directum sit. Si vero hoe fieri nopotest,eo magis neque extra incidet. Intri igitur. Non ergo rei te dixit Philosophus. V eruntamen alia quo ratione hoc fieri non posse
ostendemus in eadem descriptione. Cum enim ipsad e, tum ipti d Liu ipsi d g squalis suinponatur, ipse quoqued Lipsi d g erit squalis.
Quapropter tria Tri gula aequi crura sunt,
utputa de , d fg, Scd e g. aequalia siquide
stensa sitit. qui igitur ad Bases tribrum sunt Anguli, aequales sibi inuicem erunt.hoc est qui ad Signum e,Ciqui adi Signum g , &adhue ipR d se: & qui ad Signum g ipsi deg. atuor igitur Anguli sibi inuicem sigillatim squalessent . inamobrem 8c duo ipserum, reliquas duobus aequales erunt. Sint duo qui ad e,& g Signa, duobusdso .d fg squalesviri simul viris Q. Anguli i turdfe,d fg duobus sunt Rectis aequat s. siquide recta Linea es seper recta Linta e g ste tit. Quoes ea Anguli quoque d e Ldgs duobus Rectis aequales sunt.
Si autem hoc verum, septimu decimum Theorema destructum est. Atqui illud verum est hoc ergo nequaquam fieri potest. Quae ergopi ucitur recta Linea e g, super eadem recta Linea e s non conecte tur: Si vero hoc fieri non potest,multo magis ut dictum est neque extra incidet . quod enim in illa suppositione euenit absurdu, absur do hoc maius est. DicMum igitur pro Philosopho quod eos, qui instituuntur alloquens,non satis scite exposuit Uel exercitationis gratia animique excitationis eorum, qui ingenio praestant. vel sertasse etiam hallucinatus est. &nil mirum. Praeterea aliter idem ostende mus um enim quatuor Anguli sigillatim squales sibi inuise osten fisint .hoe est ipse d se,& ipse d fg: 8c adhue qui ad Signum Q& qui adg Signum.Cum vero Linea super recta consistens Linia Dei