장음표시 사용
221쪽
eeps Angulos aequales fecerit, uterque remas est. Quamobrem uterisque ipsorum d se, d fgredius erit. Si hoc autem verum est, Angulus etiam,qui ad g, recitas erit. Si autem hoc veru, destructum est vi sus septimum decimum Theorema. omnis enim inquit Trianguli duo quilibet Anguli duobus Reetis minores sunt. nostra autem suppositio ostedit ipsos duobus Rectis aequales, quod est absurdum.
aduersus quoddam incerti Autoris Scholium in Vigesimum quartu Theorema Piimi Lib. ElementoruEuclidis .
I ME A quoque asserenda est sentensa errauic νplane incertus quisquis sit Autor, non errauit aute Philosophus . nam sesedum est quod ipsa Trian
gula,quae Elementorum institutor proponit aut aequicrufa,aut Scalena erunt. squilatera enim esse non possunt,cum inaequales quidem Anguli ve ticales,aequalia vero duo unius Latera duobus alterius Lateribus alterum alteri sint. erut siquidem Anguli etiam squa Ies, quod non supponitur. Si itaque Triangula aequicrura Berint quemadmodum Elementorum quo institutor ipsa accepit, neces sario supra subtendentem quae ultimo protracta est recta Linea in ei det, ut incertus etiam Autor ostendit: Si vero Scalena,vt & Proclus ipse suscepit, fieri potest ut quae ultimo protracta est recta Linea,tum super ipsa subtendente, tum supra ipsam, tum etiam insea ipsam e dat . SI iuxta omnem positionem Theorema veritatem in se conticnet, Ut apud Proclum ipsum quilibet videre potest. Immerito igitur incertus Autor Proclum infestat. non enim in aequicruribus Triangulis, extri vel super ipsa subtendente ultimo protractam Proclus accepit, sed simpliciter enuntiauit. Cum aute indeterminate aliquid affirmamus, i quibus fieri potest ipsum intelligimus,no aut in que,
non potest fieri. Dicendum ergo pro incerto Autore quod aut quasi ad rudes,ambitionis causa,quippe quod tantu virum deceptum oste dat aut exercitationis gratia, Animique excitationis eorum,qui inge nio Valent,praesens seripsit Scholium, aut fortasse etiam hallucinatus est. Scire Utem operaepretium est quod eum ait incerius Autor inquimi
222쪽
qu:eruribuς Triangulis postremo produi tam rectam Lineam supra subtendentem nece ilario cadere, hoc Verum est in iis quide aequicra ribus quae similiter aequicrura sunt, non autem in ris, quae non sunt similiter aequi crura . etenim in non similiter aequieruribus fieri potest, ut quae ultimo producta est recta Linea, modo supra subtendentem, modo insta mod5 super ipsa cadat. Sint enim duo Triangula ab
dem a b sqqale fit Lateri b c, Latus ac: utroque minus: La tus vero d faequale Lateri se,&Latus de,utroque maius . & sit Latus a b aequale Lateri e d, Latus ac, Latoid f. nec non Angulus hac, maior Anguloed f. Ponatur autem Angulus e d g aequalis Angulo b a c, 8c protrahatur ipsadg, ponaturque aequalis ipfi a & conne
elatur ipsa e g. Dico quisd sieri potest ut ipsa eg, Ω
ipsam e L & infra ipsam, iteminque super ipsa cadat. Centro enim Signo d,interuallo autem Linea d LCirculus describani siquem aut tangit Lineae L aut .
ne, igitur d g in Circuli Cir - cunferentians cadet. & quoniam tota contingens extra Circulum ea dit, necessariis ipsa e g supra ipsam e f cadet. Secet autem ipsa es Circulum ut habetur in secunda nostra deseriptione ,& producatur in Sinctumhinea es, quousque Circulum iterum secet in E S gno.Quo11iam itaque ipsa d g, ipsi ds aequalis est, necessarib in Circuli Circunserentia cadit. Aut igitur inter fiu Signa in Circuit ferentia cadit,aut in Signum si aut ultra b Signum: Atqui fieri non potes hvt in Signum ii, aut citra li Signum ipse cadat, necessarium igitur est inter L & h Signa ipsam cadere. Quod autem neque in Signum h, neque ultrali Signum cadere potes: i. sic ostendemus . Cadat pri mum in gignum Κ, ut ipsadh, 8c producatur ipsa hd in directum usque ad Signum k, & connectatur Lineah G qus tangat Circulum,
223쪽
in Signo h. Quoniam igitur duae k1d e duabus e d, d hquales sunt, Basis autem e h.
Baiie k est maior, Angulus se edh, Angulo edk maior est. Uerum Angulus ed Em ior est Angulo e h d. Multo maior igitur est Angulus e d h,
Angulo elid. & Latus ergo eh, Latere ed maius est. Erat autem Sc squale, Triangulum siquidem squierus supponeba tur, quod fieri non potest. non eadet ergo in Signum ii, recta
ostendemus quod neque ultra ipsum iisdem existentibus suae positionibus cadere potest. Necessario igitur inter Signa fh in Circunferentia cadit,secantque
se inuicem ipsi d g, e li rect s Lineae. Ipsa ergo e g protracta magis remota quam ipsa e li a Cetro est',*propterea intra ipsam e scidit, quod demonstrandum erat. Demonstrauimus igitur quod tum supra,tum insta ipsam cadere potest. Reliquum autem est ostedeo re quod fieri potest, ut etiam super ipse subtendente quae ultimo protracta est recta Linea cadat. sin; itaque duo Triangula aequierura a b ς, d e f ut ea, quae superius descripta sunt.Wiit qui dem utes Angulorum b ae, a c b r
liqui duplus, itemque duplus Angulied f. hoc enim fieri potest.constituatur aut add erecta Linea, ad Signuque in ea d. Angulus edgaequalis Ani oba c,&pon tur cuiuis Lineam a ς,d foe- qualis ipse d g conectitur' Linea e g. Ut quod his suppositi necessario ire
224쪽
sa fgipties iis directu est,ipsaque eg postrem6 protracta, super ipsae fg velis nolis cadet. Primum igitur ostendendum quod in directuest ipsa st Lipsi feόVnaque est recita Linea ipsa ela: postea vero,quod super ipsa eadit recta Linea e g, postremo protracta. Si autem hoc stendere volumus, ostendenda prius est nobis Sumptiuncula qu a, quae talis est. Si Trianguli squicturis trunque eorum, qui ad Basim sumptio. sunt Angulorum reliqui duplum habentis utervis Angulorum,qui ad Basim sunt bitariam sectus fuerit,quae Angulum secat recta Linea ad reliquum Trianguli Latus ducta squalis est Bast Trianguli, quod initio erat, itemque alteri dissecti Lateris Segmento, quod minori Tri guli Angulo magis propinquuest. Sit Triangulua bearquicrus ha- ι Demo si
sim sunt Angulorum eliqui duplu, 8c secetur bitariam Angulus, qui ad a Signum est per recta Lineam ari& ducatur ipsa a d ad Latus bc. Ui- , o quis aequalis est recta Linea ad .
Quoniam Angulus b ae duplus est utrius Angulorum B a d, a b Angulus b a d, Angulo a b d aequalis est. Aequale igitur est Sc Latusad, Lateri db. Rursus quoniam Trianguli ab dexternus est Anguis Ius adc,da tisinternis,ex oppositoque iacentibus, ipsis nepe ab Lb a d est aequalis qui ipsi b a e aequales stint. Angulus ergo ad e, An gulph a c inaequalis non est. At ipse b a e,ipsi a c b est squalis. aequia crus. n. Triaguluin ab c supponebatur. Angulus igitur a d c, Angulo a c d squalis est. 8c Latiis ergo a d equale est Lateri a c. Ostensum est aut ipsi etiam d b squale. Recta igitur Linea a d utri a Gdbrectarum Linearu aequalis est quod oportuit demonstrasse. Hoc praeasuiri pio Propositum ostendemus. Sit igitur quae superius designata sibit descriptio.
Si itam ipsa st f in directum non est ipsi fe, sed sunt duae Rectae ipsae e fg, d
catur a Signo e ad g Signia recta Linea, s aut supra e Lfg rectas Lineas cadit, aut ins a. na super duabus rectis Lineis
225쪽
una redia Linea cadere minimὸ potest. Cadat primo supra. Seeat imtur ipsam d f. secet in Signo h. Quoniam igitur a b, ipsi d e:Wa c, i ped g aequalis est, duae duabus aequales, SI Angulos aequales comprehe-dunt eos,qui sunt ad verticem. Rasis igitur b c, Basi e g aequalis est, omniaque omnibus sunt aequalia. Triangulum ergo e d g squicrus est. habens Utrunque eorum qui ad Basim dg sunt Angulorum, reliqui
duplum. Secat autem Linea d h, Angulum e d g bifariam. Aequalis est igitur ipsa d h,ipli d g, posita autem erat ipsa dg .ipii d f squalis. 8cipsa ergo d h,ipsi d faequalis est, Totae sua pars, quod nequaqua fieri potest. No cadit ergo supra recta Linea e g. Cadat infra, Sc produc tur ipsa d squousque ipsam secet in f, Signo. Similiter porro ostendemus quod tota d li suadi d sparti aequalis est, quod est absurdum. Fieri
igitur non potest ut egrecta Linea inseae L fg rectas Lineas cadat. At ne supra. Super ipsis ergo necessarib eadet. Ueru una recta Linea super duabus rectis Lineis tota cadere non potest. Ipse igitur e L fg,duae rectς Lines no sunt. Vna ergo tota ipsa e fg recta Linea est. Cum aute una sit,manifestum est quod nulla alia est, nisi ipsa e g postremis protracta. In huiuscemodi igitur Aequicruribus,qus hoc modo se se habent recta qus vltimo protracta est Linea,ne supra, ne pinset sed seper ipsa subtendente omnino cadet. Ostensum autem fuit quod aliter se se habentibus huiuscemodi Aequicruribus fieri potest ut etiam supra ipsam & infra ipsam cadat. In non Similiter
Aequicruribus igitur ipsa e g&supra, Sc insta ipsam e f, & super
ipse cadere potest, quod oportuit demonstrasse. Eodem sanὸ modo ostendemus quod si Triangu la Scalena fuerint fieri potest ut ipsa e g tu in superioribus, tum in
inferioribus partibus, tum etiam
super ipsa subtedete cadat. Sint ergo duo Tri gula Scalena absid e quae duo Latera a b, a e duo bus Lateribus d e, d falterum aluteri squalia,& Angulum qui ad a
Signum, Angulo qui ad d Signia
est,maiorem habeant. Costitua-
226쪽
tur ad rectam Lineam d e, a d Signumque in ea d, Angulo b a caequalis Angulus e d g,& ponatur cuiuis ipsarum ac, d faequalis ipsad g. SI connectatur e g. Dico quod fieri potest ut ipsa e g supra ipsam e Lia insea,& super ipsa radat. Centro enim d, interuallo autemd fCirculus designetur,que aut tangit rursias ipsa e L es tunc recta Linea e g supra rectam Lineam e fcadet,ut in Aequicruribus ostensum
est: aut secat ipsum. Secet, Sc producatur in directu ipsae s quous secet rursus Circulum in ii Signo. Aut ergo ipsa d g inter Signasti in Circunferentiam incidit, & fie ipsa e ginta liniam e fcadet: aut in Signo h, 8c tunc ipsa e g saper ipsa e fin directum cadet, ut ipsa eli: aut ultra li Signin ut ipsa d k,8e M ipse e k, hoc est ipsa e gsupra ipsam e fcadet. In Sca lenis ergo Triangulis quae ultimis producta est recta Linea non solum supra subten dentem, verum etiam insea, iteque super ipsa cadere potest,quod erat demostrandum ι Non errauit igitur Proclus maximus quidem Philotaphus, quippe qui Triangula ipsa non determinauit, sed simpliciter enuntiauit. Assumemus autem ex his I anguloru Dis., cum ad principia totius Mathematics essentis relationem,rum ad ea, quae sunt proportione. quum enim Mathematica genera, Se species Fine,& Infinito participent,siquidem ab ipsis etia scatu iunt,alia qui dem Fini eognata sunt,alia vero Infinitati, alia autem permistionem viriusque subsistunt. & quae quidem ex Fine orta sunt terminum,&statum,S identitatem,& squalitatem,& similitudinem seruant:qus autem ab Infinitate emanant , in infinitum progressionem, & acer tionem,& decretionem , 8c inaequalitatem, & dissimilitudinem, &varietatem, omnisque generis diuersitatem in sese ostendunt: quae vero permissionem Utrius gignuntur,partim quidem Finis natura propter meliorem coordinationem partim autem Infinitatis propter deteriorem seriem indicant. Non immerito igitur Propter haec eum
227쪽
Trictgulo similitudine est praeditum, & auxta omnia finitum semper, atque
prit,eipi, terminatum, idemqblemanens, S ne accretionem iuxta Angulos.
οδ λψε ne decretionem, nem ullam iuxta Latera varietatem suscipicias: Infinitatis aut,scalenu,quod solius in squalitatis, S dissimilitudinis est particeps iuxtaque omnia indetemationem, S motum infinitum, &varietatem ostendit: Utriusque autem,quippe quae medium ipsarum tenet Centrum, mistaeque ex ambobus naturae est particeps, sequia crus,quod Finis simul,atque Infinitatis ostendendae vim habet. Quapropter Tri agula, qus praesens Uigesimu quartu Theorema proponit, squilatera esle no possunt hoc siquide in squalitate ostedit, illa atab aequalitate undi scatent veria aut aequicrura, aut scatena. & si ar-quicrura, aut similiter. rursus squi crura aut no similiter. & in scalanis magis varia est ipsius Construistio, uinaequicruribus . in scatenis .m. quae postremo protraista est reista Linea & supra, ct infra subtenden tem,itemque super ipsa cadere potest: in aequicruribus aute necensarib supra iam cadit. in aequicruribus inquam, quae similitcr a qui crura sunt . quae enim non sunt similiter aequi crura diuersitate,d c varietate iuxta positione magis participant, quam ea, quae aequi- crura semiliter sunt. Unde etiam magis vasa istorum, quina illorum
Constructio est. Iure igitur in scatenis magis varia Constructio ipsa, 8c Demonstratio est, quam in aequi cruribus. Siquide kalena qui de varietate,& diuersitate,simpliciterque deteriori serie magis quam
pullis i crura parricipant: aequicrura vero Infiniti naturae sunt magis Triagulo cognata. Propterea sane diuinis etiam Animis tanquam inferioruma, b, 6 omnium mense is, simplicitate, dc aequalitate,identitateque prae reo ade ditis aequilaterum quidem Triangulum Pythagorei assimilant: et paratio. quicr autem secundis genetibus materialem naturam ditigentibus, quippe quae mensura quidem abundant, inaequalitatem vero, maiorialem immoderationem iuxta suas extremitates attingunt, aequi
crururitim siquidem duo quide Latera, ct duo Anguli equales sunt, Basis autem, Verticalisque Angulus inaequalis: Scalenum veris vitis partibilibus,qus undequa immoderatione,& irasqualitate, omniu ό, ά que generis diuersitate,& varietate refertae sunt. Vexum de his quidem hacten .
Corollarium ex Scholio. iussi. EX his porro manifestum est qu8d in Triangulis non similiter ς qui- cruribus cum quidem Angulus Verticalis unius duplus silerit Angu '
228쪽
it Verticalis alterius,necessari3 qus vltimo protracta est recta Linea, super subtendtie recta Linea eadit: cum autem maior quam duplus,inis ipsem: cum vero minor, supra. Opus est autem quando seper ipsa cadit,ut Triangulum, quod maiorem Angulum habet, utrun eorum,qui ad Baiim sunt Angulorum reliqui duplum habeat.
P Rgsens Theorema Octauo quidem oppositum est, pr edenti V
xo conuersiim. iuxta coniugationem enim Elementorum institutor de Angulorum, Basiumque aequalitate, atque inaequalitate Theor mala protulit,in unaquain coniugationum alia quidem Pr edentia, alia vero Conuersa accipiens. & in Praecedentibus quidem, directis osteRonibus: in Couersis Uer6,ad impossibile Deductionibus utens. Hoc modo autem in uno etiam quolibet Triangulo secit, interdum
quidem squalitati Laterum,qus in ipso sunt,eorum, qui ab ipsis sub
tenduntur Angulorum aequalitatem consequentem esse ostendens: interdum vero inaequalitati inaequalitatem. Rursusque ἡ conueris, Angulorum quidem aequalitati Laterum aequalitatem, inaequalitati vero inaequalitatem esse consequentem assirmans. Verum ad Pro
Positum venientes, quomodo quidem Geometra ostendit manisestu cum sit, ex Libris legere hs, qui ditandi tenentur desideHoldimitte mus. Quas autem alii etiam eiusdem asserunt Demonstrationes bre uiter enarrabimus. & primum illam,quam Menelaus Alexandrinus inuenit,& tradidit. Sint duo Triangula a b e,d etatio Latera a dia eductus Lateribus d e, d faequalia habentia alterum alteri, Basimqueb e, Bast e friaiorem. Dico quod Angulus,qui ad a Signum, Ang lo, qui ad d Signum, maior est . abscindatur enim a Basi be, Basi efaequalis,quae sit b g.& constituatur ad b Signum Angulo de sinu Iis Angulus gb h.S ponatur b h ipsi d eaequalis, re connectatur h g.
N producatur usque ad kSignum,conectaturque ah. Quoniam ita que
229쪽
queb g aequalis est ipsi ef, bli
autem ipsa e d,duae duabus sunt aequatis, Angulosque aequales continent. ipsa igitur gli, ipsid sequalis est et Angulus b h gAngulo e d sin squalis non est. Et quoniam gli squalis est ipsid L ipsa autem d f, ipsi a c, ipsa quoque g b, ipsi a c aequalis est. Maior est igitur ii k, quam a Gquamobremuit 6 maior quam a P. Et Angulus ergo h ah, Angulo h li a maior est. Rursus quonia aequalis est ipsi a b, ipsa Lb h,ipsi nanque d e est aequalis, Angulus b h a, Angulo b a haequalis est.Totus igitur b h h Angulus toto b a c Angulo est minor,aequalis autem Angulo, qui ad Signumd,ostensus est. Atigulus ergo b a c, AnguIo, qui est ad d Signum,est
maior. Talis quidem Menelai Demostratio est. Heron autem Me chanicus hoc modo non pen im
possibile idem ostendit. Sine duo Triagula a b c, d e Lesdiuti e sint suppositiones . quoniam h e maior est quam ipsa e L pro ducatur ef& ponatur ipsi b c d qualis eg, similiterque protraha tur d A ponatur ipsi d L squalis dii. Circulus igitur, qui Cetro interualloqued deseribitur transibit etiam per Signum h. Describatur ut fk h. S quoniam a c,a b maiores sunt ipsa b e, hae autem ipsi e li squales sui, & b c,ipsi ge, Circulus, qui Centro quidem interuallo autem eg describitur, secat ipsam e h. Secet ut ipse g k,&connectantur a comni uni Circulorum Cestione ad Centra rects
Lineae h d, k e. Quoniam itaque d Signum Centrii est Circuli h hipsa
230쪽
d h. Rdb squalis est,hoc est ipsi a c. Rursius quoniam e Signum Centrum est Circuli gh, ipsae hipsi eg aequalis est, hoc est ipsi be. Quoniam igitur duae ab,ac duabus de, dksunt aequales, S bc Ba sis, e k Basi Angulus quo b a c, Angulo e d hest aequalis . Angulus ergo b a Q Andilo fd e maior est.
Tmangula iuxta Later 8. Angulos, R Areas ad inuicem compa- Com 3 i. rare volentem,necesse est aut Latera sola aequalia accipiendo, Angue dia eo pa lorum aequalitatem quaerere: aut selos Angulos aequales sumendo, Laterum aequalitatem inuestigare: aut Angulos, & Latera miscen- tu Diuisiodo, Angulorum,& Laterum aequalitatem serutari. Solos ita v Angulos quide squales cum accepisset Euclides,Latera quoin Triangu
lorum. potuit aequalia ostendere L aequi angula enim minima quo que maximis Triangula sunt, quum etiam iuxta Latera,comprehen
seque spatia ab alqs superentur: Angulos autem Angulis illorum fingillatim squales habeat. Sola verb Latera squalia eum suppositisset, omnia aequalia esse demonstrauit per octaua Theorema, in quo duo sunt Triangula,quae duo Latera duobus Lateribus alterum alteri ae qualia Pasimque Basi aequalem habent, haecque aequiangula, aequa
itumque Spatiorum comprehendendorum vim habentiae ostendumtur. & Elementorum institutor hanc additionem praetermi fit tan quam per quartum necessario consequentem, nullaque Demonstratione egentem. Latera autem at Angulos accipiens,Vel Unum La tus Uni Gale, unumque Angujum vni aequalem accipere debuit :vel unum Latus,duosque Triangulorum Angulo duobus aequales: vel contra unum Angulum, duoque Latera: vel unum Angulum,&tria Latera: vel unum Latus,& tres Angulos: vel plura etia reo Latere,unoque Angulo plures. Verum Unum Angulum,unumque
Latus cum accepisset, Propositum minime ostendit,reliquoru scilicet aequalitatem. iari enim potest ut duo Triangula iuxta unum solum Latus,vnumque Angulum equalia existentia,qu3 ad reliqua prorsus msqualia sint. Sit enim recta Linea a b Perpendiculariter erecta su per rectam Lineam c sit autem maior b d quam h GA connec tan