장음표시 사용
231쪽
tura e a d. His igitur Triangulis unum quidem est Latus communi unusque Angulus uni Angulo in qualis, reliqua vero omnia inaequa ita sunt. Unum aute Latus, & duos
Angulos accipere licet, esteraque squalia ostedere,& hoc facit per prs-sens Theorema. Unia vero Laius,& tres Angulos squales iterum supponere superuacaneum est. Siquide duobus etiam solis aequalibus exi stentibus, reliquorum aequalitas o stensa fuit. Rursus unum Angulu, duoque Latera aequalia accipiens reliqua aequalia in quarto Theoremate demonstrauit. Vnum autem Angulum, Sc I ria Latera aequa lia accipere superuacuum est. duo nanque tantum squalia assiimpta. caeterorum aequalitatem concluserunt. Quinetiam duo Latera duos que Angulos aequales suscipere: vel duo Latera, & tres Angulos in quales: vel duos Angulos, S tria Latera: vel tres Angulos, S tria
Latera haec omnia superuacanea sunt. quae.n.pauciores consequuntur suppolitiones omnino plures etia comitantur, dumodo cum da
tis conditionibus suppotationes accipiantur. Tres ergo suppositiones Demonstratione egentes sunt nobis ortae, quae quidem sola itia Latera suscipit: quaeque unum Latus,& duos Angulos, qua nunc Geo .metra proponit: huicque opposita. Et propterea hμ sola itia Theoremata de aequalitate Trianguloru habemus quae in Lateribus, An gulisque versatur. Quandoquidem caeterae omnes sappositiones ad
aestium ostendendum aut inualidae sunt, aut validae quidem, sed superuacaneae,eo quod perpauciores suppositiones eadem silapte natura comparata sunt. Queadmodum igitur quando duo Latera duo bus Lateribus aequalia suscipiebat,unoque Angulo unum Angulum aequalem,non equidem quemlibet Angulum accipiebat, sed c ut ab ipso propositum fuit ab aequalibus recitis Lineis contentum, eodem
modo duos etiam Angulos duobus aequales assumens , unumque Latus viii Lateri hoc non quodlibet aissumit,verum aut squis Anguiniis adiacens, aut sub uno squalium Angulorum subtendens. neque enim in quarto Angulus quilibet aequalis sumptus, neque quodvis in praesemi Theoremate Latus reliqua aequalia ostendere potest Diaco autem, exempli gratia, existente Triangulo aequilatero a b c,diuidatur Latus b c in partes inaequales per Lineam a d. Fiunt igitur duo
232쪽
Tria gula duo Latera a b,ad duobus Lateribus a e,a d aequalia habentia, Unuque Angulum, qui ad b Signum uni Angu-1o,qui ad c Signum aequalem,verum noetiam reliqua Latera aequalia sunt,utputa Laius b d Laterid c . inaequalia enim sunt. At neque etiam reliqui Anguli a quales sunt. Causa autem est quoniam Angulo Angulum squalem suscepimus non eum qui ab aequalibus Lateribus continetur. Eodem sanὸ modo praesens quoque Theorema titubare videbitur. nisi iuxta iam ductam coeaditionem, aequale Latus sub uno aequalium Anguloru subtendens vel aequalibus Angulis adiacens accipiamus. Sit enim Tri gulum recta ulum ab c, Angulum, qui ad b Signum est reetum habens, Latus Q b c maius Latere b a, 8 producatur a b, Sc costituatur ad rectam Lineam h c, ad Signumque in ea
Angulo b a c squalis Angulus b c d 8c eoincidant b d e d productae us ad Signum d. Duo ita ιν Triangula sunt a b c b c d unum Latus b c eo, mune habentia, duosque Angulos duobus Angulis squales a b c quide, ipsi ebd Recti. n. sunt b ac autem, ipsi bcd. sic . n. constituti fuere. Ae qualia igitur Ut videtur Triangula
sunt, ostenditur tamen Triangulum b d e maius Triagulo a b c. causa aut est quoniam commune L ius be in Triangulo quidem ab c unum squλliu Anguloru subtedens accepimus, ipsum scilicet, qui ad a Signum est: in Triangulo vero b c d , aequis An gulis adiacens. Opus erat igitur in utrisque aut unum aequalium An gulorum subtendere, aut squis Angulis adiacere. Hoc autem no ob seruantes Trianguiu illud aequale asprmamus,quod necessat id maius est. quomodo .n. Triangulum b e d, Triangulo a b c maius non est eonstituatur .n. ad rectam Lineam b e, ad Signumque in ipsa datum da G
233쪽
e, Angulo ac b aequalis Angulus feb. Angulus . n. b c d maior es Angulo ac b,quemadmodum etiam Angulus, quiada Signum est. Oniam igitur duo Triangula sunt ab c, bcsduos Angulos abc, b c a duobus Angulis c b Lb c falleru alteri squales habentia Vnuque Latus comune squalibus Angulis adiacens ipsum scilicet b c, Trian gula aequalia sunt. Maius est aute Triangulum b c d Triangulo b c f. Maius igitur est Triangulo etiam ab c. Prius aute aequale ostensum fuit, propter cuiuslibet Lateris assumptionem. Haec ad praesentium . iis, diligeniiZm Porphyrius nobis suppeditat . Eudemus autem initus. Geometricis enarrationibus praesens Theorema ad Thaletem refert. E. Nauigiorum . n. quae in Mari sunt distantiam eo modo, quo dicunt tricis enar ipsum ostedere, hoc insuper uti inquit) necesse est. Ex iam dicta au
ad rhas tem diuisione omnem de Triangulorum aequalitate contemplationei ό ό breuiter assumemus,praetermistarumque causas dicere poterimus,la inare fert quam mendaces suppositiones ipsas, vel tanquarii superuacaneas re
s= iotu, darguentes. 8c huc Usque finem habere Elemetorum institutori primam se laonem statuemus,quippe qui Triangulorum quidem Con mi lib. ρ- stitutiones,ac Comparationes iuxta Aequale,de In squale fecit. 5 peri. Iba, Constitutionem quidem,ipserum Essentiam tradidit : per Compa
dis . rationem verθ,Identitatem,atque Diuersitatem. tria. n. sunt quς cir
ibis ' ca existentiam versantur, Essentia,Idem,S Alterum, tum in Quantitatibus, tum in Qualitatibus secundum subiectorum proprietatem. Pulchra Ex his ergo tanquam imaginibus ostenditur quod unumquod sibitatio. ipsi idem est,a se ipsoque discrepat propter eam quae in ipse est mul titudinem: omniaque eadem sibi inuicem sunt, & a se ipsis diuersa. etenim tum in Unoquoq; Triangulorum, tum in pluribus uno Tri gulis aequalitas,inaequalitasque reperta fuit.
234쪽
sod sit Secundae primi Elementorum Partis Propositum
ortu,& aequalitate,vel inaequalitate quaecunque Et Elemetari institutioe dici poterat ex ili dictis didicimus.De inadrilateris aut Figuris deinceps Euclides enarrat,praecipue quidem de Parallelon
mis nos edocens,simul vero cum horum contemplatione de Trapeziis quo doctrinam afferens. diuiditur enim ut alicubi prius etiam in Suppositionibus diximus
Quadrilaterrum in Parallelogrammum, & Trapezium: & Parali Iograminum in alias quasdam species rapeziumque similiter V rum quoniam Parallelogrammum quidem propter aequalitatis participationem ordinatum est,Trapezium vero non eundem,neque si milem ordinem habet, non immerito praecipue quidem de Paralle logrammis ipsi est sermo, una autem cum his Trapezium quo contemplatur . ex Parallelogrammorum enim sectione, Trapeziorum Ortus apparebit, Ut procedentibus nobis manifestum erit. Quoniam autem rursus fieri non potest ut aliquid de Parallelogramorum constitutione, vel aequalitate dicatur abs Parallelarum confideratione nam ut etiam ex nomine fit manifestum, Parallelogrammum illud est, quod a Parallelis ex opposito iacentibus rectis Lineis circunseribitur ) necessario hinc a Parallelis do strinae sumit initium, paululum autem ab his progressius, Parallelogrammorum doctrinam ingreditur Uno medio usus Theoremate inter harum, illorumque Elementarem institutionem. quippe quod Uidetur qui de Symploma quoddam,quod Parallelis inest contemplari: primum autem Parallel grammi ortum tradit. tale enim est quod ait,Rectae Lineae, quae γquales,& Parallelas rectas Lineas ad partes easdem coniungunt, ipse quoque aequales,& Parallelae sunt. nam in hoc quidem Theorem
Continuatio Libri. In eo. Ist. Libri 1. Inferius LProponeas Prop. 33.
235쪽
te quoddam squalibus, Parallelisquercestis Lineis Accidcnseonside
ratur: ex connexione autem Parallelogrammiam apparet, quod Latera ex opposito iacentia, Paraliciaque habet. Quod igitur Paralle Iarum sermo necessario praeasium pius fuit, ex his manis stum est. Tria quae Tria autem asumenda sunt quae Parallelis per se insunt,'ipsas persta sues steXprimunt, ipsisque conuertuntur, non sol na tria simul, sed vinu- quod etiam seorsum abal 3ssumptum. Quorum vnii quidem esit, Re fia Linea Parallelas secante, Alternos Angulos aequales esse: alterum autem, Recta Linea Parallelas secate, internos Angulos duobus Rectis esse aequales: reliquum vero, Reicta Linea Parallelas se
cante,externum Angulum interno, ex oppositoque iacenti aequalem
esse. sufficiens enim est quodlibet horum Symplomatu demonstra tum rectas Lineas Parallelas affirmare. Hoc modo aute cςteri quo Mathematici de Lineis dis rere consueuerunt, uniuscuiusque speciei A-6llisti Symploma tradentes. Apollonius nan in qualibet Conicarum Li-t N nearum quid Symploma sit ostendit,& Nicomedes in Concho di-Hii pias. bus, de Hippias in Quadrantibus, Pers usque in Spiricis . nam post λς ς- ortum quod ipsis per se,& secundum quod Ipssem in sit, asesumptu, constitutam nobis sermam a cunctis al0s distinguit. Eodem modo igitur Elementorum quo i institutor Parallelarum Sympto mata primum inuesitigat.
Com. i- IN praesenti quidem Theoremate laquam euidens prae assumptum non fuit rectas Lineas in uno esse Plano, potius vero in omnibus Theorematibus,qus in Plano considerantur. Ad icitur autem hoc, eo quod non omnino Alternis Angulis aequalibus existentibus redis Lineae Parallelae essent ni se in eodem quoque essierit Plano. n hil. n. obstat in modu liters X rectis Lineis altera quide in uno,altera vero in alio Plano iacti ibus rectam in ipsas incidentem Lineam Alternos aequales efficere non sum tamen Parallelae quae hoc modo se habent
236쪽
rectae Lineae. Praeassumptum itaque suit quod omnia quaecunque in In lib. i. plana tractatione describimus, in Uno eodem p Plano excogitamus. Quapropter hae quo additione in prssentia non indiguit. diciendu es aut est quod particulam t Aliernatim J dupliciter Geometra suscipit, interdum quidem iuxta talem situm, interdum vero iuxta talem Ra tionu consequentiam. 8c iuxta hane quidem significatiotae in quinto Libro,& in Asthmeticis particula L Alternatim J utitur: iuxta autealtera tum in hoc tum cuctis at is in Libris in Parallelis rectis Lineis, in hasque incidentem. Angulos ei im,qui ad easdem paries non fiunt
neque deinceps sibi inuleem taeent, sed distincti quidem ab incidente
sunt ambo aute intra Parallelas existunt,diflevit vero eo valter quide sursum alter aut deorsum iacet, Alternos Angulos,i1ue Alternum Angulos appellat. Dico aut,exem
pli gratia, rectis Lineis a b , & e d
existentibus, incideteque in ipsas recta Lineae L Angulos a e L dfe itoque Angulos e se, h e fAlternaum. sue Alternos esse dieit,utpote Alterno,commutatoue ordine Iuxta pomtionem se habentes. Illud aut scien dum est quod tali rectatu Linearum
situ existente, omnia Symplomata diui ne sex tanti quorum tria tantum Geometra suseepit, tria vero misit. aut enim ad easde partes An gulos sumemus,aut non ad easdem . Et si ad easdem partes,aut ambos intra rectas Lineas, quas ratio PM tiis a si rallelas ostendit: aut ambos extra: aut unum quidem extra, sterum vero intra. 8c si non ad easdem rursus eodem modo aut anabos extra Tectas,quae secantur Lineas accipere necesse est: aut intra: aut unum quidem intra, alterum vero extra. Fiat autem in eadem descriptione
manifestum quod dicitur,& sint quaedam rectae Lineae abbe d. & in cidat in ipsasrecta Linea e f. producatur adh g Signa. Si igitur ad easdem quidem partes Angulos accipias, aut ambos intra pones, ut ipsos b es,& e s d. vel ipsos a es,& e fc:aut ambos extri,ut ipsos h e b&d fg vel ipsos h e a.& ef g: aut unum quidem intri, alterum Uero extra, ut ipsos heb,&efd, vel ipsos g f d, & fe b, vel ipsos si e a. 8ce se, vel ipses g se, re a es. quadrupliciter enim hi aecipientur. Si a tem non ad easdem partes Angulos accipias, aut utrunque intri po
237쪽
terum vero extra,hocque rursus quadrupliciter. aut enim ipsos a e h.
Anguli in ea pones.&praeter has alia Sumptio non est. Cum itaque An-s k ibas, guli sex modis sumantur, eo metra tres solas sumptiones contexuit. sumutur. &-quidem consequetia Symplomata Parallelas exprimere apta nata sunt. Harum autem trium Sumptionum vn a quidem est ex rix Angulis,qui non ad easde sunt partes,ex ηs quidem,qui intra tantum sumpti sunt, quos Alternos etiam appellauit,ita ut η, qui extra ambo sunt, S ii, quorum Unus quide eXtra, alter vero intra,praetermissi sint: duae ver3,ex iis,qui sunt ad easdem partes, ex ηs quide, qui ambo imira sunt,quos duobus Rectis squales esse dicit,& ex iis, quorum unus. quidem est intra, alter vero extra, quos aequales esse dixit una sane Sumptione relista,quae ambos extra supponit. Nos Igitur dicimux. quod tres etiam praetermisias suppositiones eadem consequuntur Sint enim ad easdem partes ambo
extra Anguli h e b, diu, dico *hi
duobus sunt Rediis aequales. Angulus enim d se, Angulo h e b: & Angulus b es, Angulo d in aequalis est. Si autem Anguli bes,efd duobus rectis squales sunt, Anguli etia d fg,
he b duobus sunt Recitis aequales. Sint rursus non ad easde partes Anguli a e li,e sd,quorum alter quidem sit intra, alter vero extra, dico quod ipsi quoque duobus Rectis aequales sunt. si enim Angulusaeli, Angu
lo b e faequalis est, Anguli aut e b e f& e sd duobus Rectis sunt squales, AnguIi quoque a e b,S e M du bus Rectis aequales sunt. Sint rursus non ad easdem quidem partes, ambo autem extra rectas Lineas, ut Anguli a e h, d fg, dico quod hi sibi inuicem aequales sunt. si enim Anguli a e li, S b e s ad inuleem aequales sunt, Angulus autem d fg, A ngulo b e fest aequalis, Anci ius igitur a e h. A ngulo d fg inequalis non est. Si igitur qus in tribus,
quas Geometra suscepit suppositionibus cosequuntur sumpta Lerint, eadem omnia in reliquis etiam tribus veluti vera consequentur. prs
ter hoc, quod in quibus quidem lisc Geometra suscepit iuxta quidem
238쪽
duas Sumptiones Anguli tibi inuice aequales supponuntur, iuxta vero Uriam,duobus Rectis squales: in his autem e contrario uxta duas quidem duobus Rectis aequales iuxta oriam vero, sibi inuicem. cum enim omnes sumptiones sex sint, ex tribus quidem accidit Angulos duobus esse Rectis aequales,ex tribus vero aequales ad inuicem. MPropter non imerito quae praetermissae, qs, quae memoria digns facts sunt sumptionibus ἡ contrario se habent. Videtur autem Geometrahasee suppositiones elegisse,quecunque vel assirmatione abundat, vel simpliciores sent, at idcirco ex ηs quidem Angulis, qui non ad eas
dem sunt partes,solos internos,quos Alternos nuncupauit: ex ηS Uero,qui ad easdem partes sunt, tum internos,tum unum quidem inter num,alterum vero externum accepisse: reliquos autem tanquam magis per negationem declaratos, vel tanquam magis varios deuitasse. sumptio-Veruntamen siue haec causa, siue alia dicenda sit, ex his manifestum ab d suefiest quot sunt ea,quae suppositiones ipsas consequuntur. 'inr-
S si in duas rectas Lineas recta inciden Linea externu Angum tu interno, ex opposito iace i, ad easdem partes equale i ira fecerit,aut intemos,&adeasae ni partes tuentes duobus
P Raecedens quidem Theorema Angulos non ad easdem quidem partes,intra aut rectas Lineas taeentes suscipiens, Parallelas esse inter se rectas Lineas ostendebat: hoc vero reliquas duas Suppositiones proponit quarum Unae quide iuxta particulas t extra a & s intra Angulos separat,altera vero ambos intra supponit, eandemque conci sionem ostedit. Videbitur autem fortasse Elementorum institutor Dubitatio incOuenienter Theoremata partitus esse . nam opus erat aut tres suppositiones divisim capere, triaque Theoremata iacere: aut omnes in uno colligere Theoremate,queadmodum fecit Hierapolita Aeneas, . qvi compendium Elementorum scripsit: aut in duo diuidere volen- ὐαε istem, ordinatam facere diuisionem, S seorsum quidem suppositiones suscipere in quibus Anguli aequales sunt, seorsum vero illam, in qua ruseripsit. duobus sunt Rectis squales. in presentia autem in uno quide The remate Alternos muales supposivit,in altero vero externum interno, R internos, ad easdemque partes iacentes duobus Rectis aequales. snam igitur huiusce diuisionis fuit causa An non ad Angulorru solutio. inter se vel ad duos Rectos aequalitatem respexit, neque hac rationee pro
239쪽
proposita Theoremata ab inuicem separauit, sed ad illud, Angulos ad easdem, vel non ad easdem accipi partes nam prςcedens quidem non ad easdem partes Angulos suscipiebat, tales siquide Alt rni sunt: hoe vero,ad easdem partes,ut etiam ex Propositione perspicuum est. Verum quomodo quidem Elementorum. institutor ostendit quod internis Angulis aequalibus duobus Reetis existentibus,rediae Linea sunt Parallelae, patet ex ns, quae scripta sunt. Ptolemarus aut in qui Depostr bus demonstrare proposuit rectas Lineas que ab Angulis minoribus eu titulis, quam duo Recti producuntur coincidere ad easdem partes,in qivbiis i ta is sunt Anguli duobus Rectis minores hoc ante omnia Theorema osteanstulis mi dens internis nepe Angulis aequalibus duobus Rectis existentibu , ab. Parallelas esse rectas Lineas,hoc modo ostendit. Sint duae rectae Li H uctas neae ab , cd, secetque ipsas
crat , dico quod ipis rectar Lines Paralleis sunt hoc est
seri potest coincidant dum producutur b fgd rectς Lineae in Signo h. Quoniamitam recta Linea e f stetits per rectam Linea ab , An gulos a fe, b se duobus Re ctis aequales essicit. Consimiliter autem quoniam lassi per c d stetit, duobus Rectis aequales etaitcgf, dg Angulos. Quatuor igitur,
b fe,a se, eg f. d gs quatuor Rectis equales sunt quoru duo b fg.f. dduobus Rectis supponuntur aequales. Reliqui igitur a fg , c g f hi quo duobus Rectis squales sunt. Si ergo rectar Lines f b, g d duo
bus Rectis internis existentibus Angulis productae coiiaciderunt &ipiar ig tur H g c dum producuntur coincident. nam duobus uectis Anguli quo a fg cgfaequales sunt. aut enim in utrisque partibus rectae Lineae coincident.aut in neutris,siquidem tum hi tum illi duobus sunt Rectis aequales. Coincidant itaque rectae Lineae fa , g e in Signo l. Duae igitur I ash Ieg hrectae Lineae Spatium comprehendunt , quod est impossibile. Fieri igitur non potest ut internis Angulis aequalibus duobus Rectis existentibus rectae Lineae com cie dant. Parallelae igitur sunt.
240쪽
φ Iarae allelas rectas Lineas recta incidens Linea, MAlier inos Angulos inter se aequales:&externum latera &ex opposito,& ad easdem paries iacenti equale:& internos, . ad eas deq; panes iaceates daobus Rectis squales efficit.
P Raesens Theorema ambobus praecedentibus conuertitur . quod tenim in utrocu illorum inarsitum est, suppositionem essicit: Qua aut in illis Data sunt,ostendere proponit.& hςc etiam Conuerserum differetia siletio prstereuda no est, ψ omne,quod couertitur,aut Unu sunt couertitur, ut quilo sextu: aut pluribus Urasi,ut pcedentibus quod hi in prssentia proponituriaut plura viii,ut paulo pist nobis manifestuerit. In praesenti aute Theoremate primum Elementorum institu Ptor hac Petitione usus est,qus ait si in duas rei has Lineas redia incides cLineae internos,& ad easde partes Angulos duobus rediis minores se cerit, reetas illas Lineas dum in infinitii productitur coincidere ad eas partes in quibus simi Anguli duobus Rectis minores. Quod expo- tinentes ea,quae ante Theoremata sunt dicebamus, quod non ab om- nibus hoe concessiim suit indemonstrabiliter euidens esse . nam quo modo tale erit cuius Conuersum veluti demostrabile in Theorema tibus perseriptum est Theorema enim illud, quod ait omnis Tria guli duos quoslibet laternos Angulos duobus Rectis esse minores, huic Petitioni Conuersum est. Praeterea quoniam annuere rectas Lineas semper magis, atque magis dum producuntur, coincidentiae certum Signum non est, eo quod aliae quo repertae sunt Lineae an nuentes quidem semper plus, at plus,coincidentes vero nunquam, ut prius etiam dictum sitit. Olim ita quidam quo alii cum hoe tanquam Theorema praeordinassent, quod ab Elementorum inm- cudi lib.et tutore Ut Petitio assumptum est, Demonstratione dignum censuere. s ' Videtur aut e Ptolemaeus quo ipsum ostendere in libro, cui titulus est, rectas L neas, quae a minoribus quam duo Reeti producuntur, 1 σus dicoincidere. ostenditque ipsum cum multa praeassumpsisset eoru quae ad hoe usin Theorema ab Elementorum institutore iam demonstra ta sunt. & supponatur omnia esse vera ne nos quoque aliam su- seeudis. peraddamus confusionem ) hocque veluti Sumptiunculam ex iam dictis ostendi. Vnu aute hoc quo est eorum, quae prsostensa sunt, Conueria
quod ait rectas, quς a duobus Angulis equalibus duobus Rectis pro ': se
ducuntur Lineas nequaquam coincidere. Dico itam quod Conue ponis,
sum etiam verum est, quod ait Parallelis rectis Lineis existentibus stea ab