장음표시 사용
241쪽
ab una recta Linea secentur,internos, ad easdemque partes Angulos duobus Rectis esse aequales. necesse est enim Parallelas secantem aut duobus Rectis squales internos ad easdemque partes Angulos essc duobus Rectis minores,aut duobus Rectis maiores. Sint ita- metitatio. que Parallatae ab,ed, incidatque in
ipsas recta Linea g s, dico quod inter nos,& ad easde partes Angulos duo Immo ter bus Rectis maiores no efficit. si enim fhu ,τουε, Anguli a fg, c g f duobus Rectis ma- e -- άcunda pio , reliqui b fg, d g f duobu, diemaeum. sunt Rectis minores. sed duobus etiaRectis iidem maiores sunt. non enim magis Parallelae sunt af,cgquam ib, g d. Quaobrem si quae in ipsas a L c g incidit internos duo bus Rectis maiores efficit quae etiam in ipsas f b, g d incidet, internos duobus Rectis maiores efficiet. Uerum ipsimet duobus etiam Rectis
sunt minores quatuor siquidem a fg,c g f. b fg, d g f quatuor Rectis
aequales sunt quod fieri non potest. Similiter plane ostendemus quae in Parallelas incidit non facit duobus uectis minores internos, ad easdemque partes Angulos. Si autem neque maiores, neo mino res duobus Rectis efficit, reliquum est incidentem internos, ad easde-DEm5qui que partes Angulos duobus Rectis aequales efficere. Hoc itaque prs- shcsid si enim quod si Ptoleiu u in duas rectas Lineas recta incides Linea internos,ad easdemque partes Angulos duobus Rectis minores secerit,si producantur ipsae rectae Lineae coincident ad eas partes, in quibus sunt Anguli duobus Roctis minores . non coincidant enim. At si non coincidentes sunt ad eas partes, in quibus sunt Anguli duobus Rectis minores, multo magis ad alteras partes, in quibus sunt duobus Rectis maiores non coit cidentes erunt. Quapropter ad utrasque partes non coincidetes erunt rects Linear. Si autem hoc verum est, Parallelae sunt. Verum oste
sim est quod quae in Parallelas incidit internos ad easdemque partes Angulos duobus Rectis aequales efficiet. Iidem igitur & duobus RGctis aequales, & duobus Rectis minores sunt, quod fieri non potest. ζ', b pr Pstendisset Ptolem sus,ad Propositumque peruenisset, nis secun- quoddam accuratius adficere vult & ostendere quod si in duas rectaς Lineas recta incidens Linea internos, bc ad eassem partes Angulaseuca ior duobus Rectis minores fecerit non solum non sunt non coincidentes ψ φ' ' Lineae quemadmodum ostensum est,uerum etiam coincidentia ipsarum ad eas fit partes,in quibus Anguli duobus Rectis minores
242쪽
sunt,non autem in quibus maiores. Sint enim duae rectr Lineae a b, cd, incidesque in ipsas recta I senea e fgh faciat Angulos a fg,&c ginuobus Rectis minores. Re liqui igitur duobus Rectis malo res sunt. Quod itaque non fiant
non coincidentes rectae Lineae, ostesum est. Si autem coincidui, aut ad Signa a,e coincidis, aut ad
b, d Signa. Coincidant ad Signa b. din Signo h. Quoniam igitur
hus Rectis sunt minores: Anguli vero a fg, b fg duobus Rectis a quales ablato communi ala, Angulus e g f Angulo hin minor
erit. Triaguli ergo g fh externus interno. 8c ex opposito iacenti minor est, quod fieri minimὸ potest. Non igitur ad hasce partes coincidunt. At qui coincidunt. Ad alteras igitur partes ipsarum coincidentia erit ri quibus sunt Anguli duobus Rectis minores. Haec quidem Ptolemarias. Animaduertendum a tem est ne Hrte aliqua peruersa, Hosaque ratiocinatio in asti impiis suppositionibus sit, in illis inquam, in quibus dicebat quod recta Linea, Arnon coincidentes rectas Lineas secat, quatuor internos An gulos essiciente, Anguli, qui ad easdepartes in viris Q partibus sunt aut duobus sunt Rectis aequale aut duobus Rectis maiores, aut duo hus Rectis minores. non . n. perfecta diuisio est. nil siquidem impe dit non coincidentes dicentem eas,quae ab Angulis minoribus quam duo Recti producuntur,duos quidem,qui ad easdem panes sunt An gulos duobus Rectis maiores dicere: duos ver qui ad reliquas, duo hus Rectis minores,& Unam, eandemque ratione de his non admit tere. Impersecta autem diuisione existente, Propositum minimὰ de monstratum est. Praeterea illud quo aduersas ostensionem haud si lentio praetereundum est, quod non per se id, quod fieri non potest ostendit. non . n. quia Parallelas secans quaedam recta Linea Angu log ad easdem partes in uti pariibus existentes duobus Rectis maiores,vel minoresfecit,propterea hasce suppositiones absurdum eo sequitur. Quonia tamen quatuor qui intra Lineas,quae secantur sunt Anguli, quatuor sunt Rectis aequales, propterea utraque harum suae
Aduersis Ptolemeu Primulandamentu. Secudum fundavi
243쪽
a 2 a Quaruda inllatia aduersus quita Petitio
positionum geri non potest . quandoquidem siquis etiam non paras telas reetas Lineas acceperit , eisde suppositionibus assumptis eadem consequentur. Aduersiis igitur Ptolemaeum haec dicentes anima duertemus. patet enim ex ias, quae diximus ostentionis imbecilitas. Age autem illos quo inspiciamus,qui dicunt fieri non posse ut quae ab Angulis minoribus quam duo Redii producuntur coincidant . Cum enim accepissent duas rectas Lineas a b, c d, A incidentem in ipsas rectam Lineam a c, internosque duos Angulos duobus rectis mino res facientem, fieri potest inquiunt ut rects Lines a b, c d non coincide tes ostendantur . diuidatur enim bifariam ipsa a c in Signo e, & abscin tur ab ipsa quidem ab , aequalis ipsi a e , quae sit a s: ab ipsa verd e d. aequalis ipsi e c,ipsa e g . Manifestum ita est quod rectae Lines a f, eg non coincident in Signis in . Si enim coincidem, erunt duae ipsiacaequales in I riangulo,quod fieri non potest. Connectatur rursus fg.&diuidatur bifariam in f, Signo, abscindaturque aequales. Ne hae igitur incident per eandem rationem,hocque in infinitum facientes Signa non coincidentia connectendo, connexa bifariam secando,irectisque Lineis hisce dimidiis squales Lineas abscindendo, ostendere dicunt quod a b c d rectis Lineae nusquam coincidunt. His ita talia dicentibus, dicendum nobis est quod verum quide dicunt,
non tamen quantum opinantur. determinare enim coincidentis Sisegnum simpliciter hoc modo, verum non est, ne F veru est ipsas nullomodo prorses coincidere. non coincidant enim ipsae a b, c d rectae
Lineae Angulo b a e,'Angulo dca determinato, in Signis f, Sc g, nihil tame impediet quin coincidat in Signis h. l,si di ip* fh, gl ipsis
sh,hgequales fuerint . coincidetibus. n. ipsis ah,cino adhuc ride ma
net ipsi h fh Igh Anguli AIqusda ipsius iurects Lineς pars extra ip
sas a lis 1 rectas Lineas reliquitur. 8c sie duae rursuς ipsae stilicet sh,g ltanta Basi maiores sunt quanta intercipiunt in interiori ipsius fg re Lines parte. Preterea aut illud quoin dicendu est indeterminate ipsis dicentibus Rectas,qus a minoribusq duo Recti protrahuntur no co incidere, quod ea quo destruunt, quae destruere nolunt. Sit enim eadem descriptio. Utrtim igitur possibile est a Signo a ad Signum g rectam Lineam connectere, an impossibile et nam si impossibile quidem cst, praeter quintam Petitionem primam quoque destruunt
244쪽
dicentem ab omni Signo ad omne Signum feri poste ut redia Linea ducatur: si vero possibile, connec' tur. Quoniam itaque Anguli fa si ,
se a duobus Rectis sunt minores,manifestum est quod Anguli etias acigca multo magis duobus Reestis mi nores sunt. Ibines rectis igitur a g, c gin Signo g coinciderunt ab Angulis productae,qui duobus sunt Rectis minores. Fieri ergo non potest ut indeterminate dicatur eas, quae a minoribus quim duo Recti producuntur non coincidere. Veruenim- Asi iiiς reuero quod aliquae quidem rectar Lineae ab Angulis,qui sunt minores duobus Rectis productae coincidunt,manifestum est,qua uis de om- b st duo nibus hoc qiasrere sermo videatur. dicat enim aliquis indefinita duo
rum Rectorum diminutione existente, iuxta quidem tanta diminuis cid ι r. ationem non coincidentes rectas Lineas permanere: iuxta vero aliam tacido' hac minorem,coincidere. Ei autem, qui huiusce Demonstrationeni perspicere qua mi dicaturi nobis quod opus est tale Pronuntiatum toris opi,
praeassumptiste quo Aristoteles quoque usus est mundum finitum p .huhi ,
esse ostendens Si ab Uno Signo duae rectar Lineae An ulum facien tu,quous tes in infinitum producantur, ipsarum, qivppe quae in infinitum pro- sto . i. deducts sunt distantia omnem finitam Magnitudinem excedit. osten-- πη-dit enim ille quod rectis Lineis, quga Centro ad Circunferentia pro Oste ductae sunt infinitis existentibus, interuallum quo inter ipsas inter iacens infinitum erit . finito siquidem existente, fieri potest ut distantia augeatur. Quamobrem rectar Lineae infinitar non sunt. Omni igitur finita Magnitudine maius interuallum rectar, quae in infinitum producuntur Linea ab inuicem distabunt. Hoc sane praesepposito, sumptib. dico quod si alteram Parallelarum rectarum Linearum quaedam recta Linea secuerit,reliquam quoq; secabit. Sint enim Parallelae arie d, secetque ipsam a b, recta Lineae fg. Dico quod ipsam quo cd
secabit . eum enim duae recte Lines sint, quae ab uno Signo sin infinituproducuntur, ipse nempe b f, fg, omni Magnitudine maiorem ha bent distantiam. Quapropter hac quo , qtim tanta est quantu est in teruallu,quod inters' arallelas adia
245쪽
cet. Cum igitur maiorem distantiam ab inuicem distiterint harum Parallelarum distantia pias ipsam e d secabit. Si ergo alteram Pa- hu rallelarum quaedam re sta Linea secuerit,reliqua quo secabit. Hoc
elira De- an id demonstrato, consequenter Propositum ostendemus. Sint
enim duae redis Lines a b,ta, cadatque in ipsas rectia Lineae s Angulos b e Ld se duobus Rectis minores efficies. Dico quod recitae Lineae hisee in partibus coincidet, in quibus sunt Anguli duobus Rectigminores . cum enim Angulibes,dfe duobus Rectis munores sint, sit aequalis excessiti duorum Rectorum . h e b Angulus, &producatur head kSignum. oniam igitur in rectas Lineas hiae d,recta Linea e Decidit,internosque Angulos duobus Rectis squales efficit,ipsos scilicet h e cd scirects Lines h k,c d ParalleIs sunt. &seeat ipsam k h, ipsa a b. Secabit igitur & ipsam ed,per sumptionem, quae puE ostensa est. Coincident ergo rectar Lineae a b, c d ad illas partes, in quibus sunt Anguli duobus Rectis minores . Quocirca Propositum ostensum est .eε- . Consueuit Geometra in Sermonibus iis,qui circa respectus versan tur ostendere identitatem permeantem per omnia,qus ad idem eum phimsi dem respectum habent. sic enim in Pronuntiatis quo dicebat, gaequalia,S inter se sunt aequalia in sequentibusque dicet,Qusserit Ele eidem similia,& inter se sint similia,& inae eidem Rationi eaedem,p .hό ad inuicem quo einem sunt. Hoc modo igitur nunc quo demon quinti Ele strat quod quae eidem rectae Lineae ParalleIar,'inter se sunt Parab φη ' μ' Aeeidit autem no in omnibus respectibus hoc verrum esse. nonnis ui,E -ςiusdem dupla,ad inuicem quo dupla sunt: nee qus eius rum. dem sesquialtera,ad inuicem quoq; sesquialtera sunt, sed in illis solis
solum habere videtur,quaecun y vniuoce couertuntur, in squalitars, in
246쪽
in similivictae,inulentitate S in Parallela positione . quae enim Pa- :speetib ralleis Parallela.& ipsa Parallela est. quemadmodum squali squale,& ipsum est aequale: &simili, simile, ipsum quoq; est simile . ,
nan Parallelarum ad sese respectus similitudo positionis est. Dicir ωY.e, eis,iIure, atque ostendis in praesentia quod quae eidem Parallelae sunt, omnino ita se habent, ut ad inuleem quo Parallelae l1nt. Et ipse Paralleliquidem eidem Parallelas extremas suscepit, & mediam. d quam hae similem habet respectum, ut a communi etiam notione quod dicitur militudo. fiat nobis manifestam. Si enim ad alterutras partes inter se coinci. ..is dunt,omnino & cum ea,quae ia medio iacet eoincident,& non erunt amplius ad ipsam Parallais. Fieri autem potest ut qui etiam situm ia u, Problepermutauit, idem ostendat Mem vηs, quibus Geometra ad Propositum ostendendum usus est. Exempli gratia qui ad ipsam ah. ipseme d.& iam efParallelam acce pit, ambabus supra iacentibus. ipse abitis , 8c non media exiastente. incidens enim in ipsas re- ιει Linea h kl, utrun , Anguelorum likd.hi L psi ah hinu lem efficiet, quoniam Alterni . sunt. amobrem dc sibi inui cem aequales efficiet Angulos hkd. Elf. Rectae Lines igitur c d,e LParallelae sunt. Si quis autem dicat sint a li,h b,ipst e d Pars letae,5 inter se igitur Paralleis sunt, dicemus quod ah,hb unius P rallelae sunt partes,&non sunt duae Parallelae . in infinitum siquide produci Parallelae intelligendae sunt, ipsa autem a li producta.in ip sam h bincidit. Eadem ergo mi aest,&non alia. Omnes igitur ipsius Parallelae partes 8c ipsae tum rem, cui tota etiam Parallela erat Lines tum partibus ipsius Paralleis sunt. Exepli eausa tum ipsa ah ipsi Ed: tum ipsa h b,ipsi c h. Si enim in infinitum producantur,
nunquam coincident. Hse non ab re adnotauimus, propter Sophiasti eas importunitates, iuueniles Audientium habitus. gaudet enim vulgus huiuscemodi eaptiosas ratiocinationes inueniens, scientibusque vanam molestiam asserens. Non est autem opus prssens Them Nota su. rema conuertere, at ostendere quod quae inter se Parallelae, eidem
quoi p sunt Paralleis. Si enim rursus alteram alicui Parallelam supposuerimus,illi etiam reliqua quoque harum erit Parallela,& Paria Iesae eidem erunt, in Uenuiue redibimus.
247쪽
e. . , . OPOrtuit non solum ParalleIis per se accidentia in Elementorum institutoris sermonibus nos didicissis, sed ortum quoque ipsarum Geometricis v is enarrasse, & cognouisse quo nam pacto alia recta Linea. alii Parallela fieret. passim enim ortus apertiore nobis retidunt subiei horum essentiam. Hoc igitur Elenientorum institutor per praesensessicit Problema. eum enim Signum, rectamque Linea Dodestine- . suscepisset,per Signum,rects Lines Parallelam ducit. Oportet autenos praeast iniere quod necessarium est ut Signum extra rectam Lianeam omnino iaceat. no enim quoniam per datum Signum dictum est, in ipsa quo recta Linea ipsum dabimus. nulla siquidem alia praeter datam rectam Lineam erit illa, quae per ipsum ducitur Paratu tela . Cum igitur Signum, rectamque Lineam partitus sit, indicaui quod Signum extra rectam Lineam accipiedum est, quippe quod in Psrpendiculari per additionem etiam manifestum fecit dicens, super datam rectam Lineam infinitam a dato Signo, quod in ea non est. sinu, in Perpendicularem deducere. Vnum igitur hoc quide ambobus higres bux',N Problematibus est commune: alterum vero quod ab eodum Signo
miphoble duae Perpendiculares non deducuntur ad eandem rectam Lineam,
- & per idem Signum duae Parallelae eidem rectae Lineae non ducuntur . ocirca Elementorum quo institutor hoc modo singula iter dixit rectam ducere Lineam, illic quidem Perpendicularem, hie Iheb., i. Uero Parallelam. Verum illud quidem ostensium filii, hoc vero exbb xςxxv -demonstrato manifestum est. Si enim per idem Signum eidereti rectar Lineae, duae Parallelae ductae fuerint,ad inuicem quo Paral Diti με lais erunt,in dato Signo coincidetes quod seri minime potest. Opus άόόὸ ἡ est autem differentias quo harum duarum Propositionum obseram. πο uare, a dato Signo, & per datum Signum . nam quando p quidem. φm Signum rectae, quae dueitur Lineae principium est, Sc propterea ab
ipso fit deductio: quandoque vero in ipsa est, quae ducitur recta Lunea, & proinde per ipsum ductio fit. non enim ed quod secet recta Linea datum Signum, particula r per J dicta fuit. sed e6 quod cum ipse eoincidit, terminatque suum respectu illius rectae Lineae inter uallum per Signi, rectsque Lines distanti . quantum enim datum
248쪽
Signum a data recta Linea distat, tantum etiam Parallela inter seirsam,& illam interuallum habet.
QVantum deficiebat in sextodecimo,&septimodecimo Theorein Com. s. mate, tantum in hoc addit. non solum enim quod Trianguli externus Angulus utro interno,& ex opposito iacenti maior est per hoc Theorema addiscimus, verum & quanto maior. ambobus siquidem aequalis cum sit, maior quam alteruter reliquo est. nec quod Triai guli duo quilibet Anguli duobus Rectis minores sunt ex his cognoscimus, sed quanto etiam minores. reliquo enim trium. Illa igitur quodammodo magis indefinita suere Theoremata: hoc vero Scien
tiae terminum viri ep attulit. Dec propterea superuacua illa esse diceremus. maximam nanque nobis multis in Demonstrationibus atm- adliso
Ierunt utilitatem, e quibus hoc quoque ostendemus. 8c necessarium est cognitionem nostram ab impes icto ad perfectam procedetem, ab indeterminatis apprehensionibus ad determinatas, certasque ora tiones transsre. Veruntamen Elementorii quidem institutor extra Parallelam ducendo, Utrun eorum, quae quaeruntur ostendit . fieri autem potest ut qui etiam no extri eam ducit eadem ostendat, ordinem tantum eorum, qus ostenduntur immutando. nam ille quidem hoc prius ostendit, externum Angulum internis,& ex opposito iace tibus squalem esse, ex hoc' re liquu probauit. nos vero ὀ con
tratio iaciemus. Sit igitur ab cIDiagulum, & producatur L tus B e us ad e Signum, & sumatur Signum in ipsa b c quod sit L 8c eonectatur a L & per Si gnum s Parallela ducatur ipssa b ipsa fd. Quoniam ita ta, ipsi a b Parallela est, in ipsasque
incidit recta Linea af & recta
249쪽
les sunt necnon externus interno. Totus igitur a se ipsis sa b, a b isqualis est. Similiter ostendemus Parallelam ducentes quod Angu- Ius etiam a fb aequalis est Angulis sa c,a c f. Duo igitur a fb,a se tribus Trianguli Angulis aequales sunt. Tres ergo t rianguli Anguli duobus sunt Rectis inuales ipsis nepe a s b,as c. erum ipsi etia a c Lace duobus Rectis sunt aequale communis auseratur a c f. Reliquus igitur externus scilicet internis,& ex opposito iacentibus aequalis est. Hoc ita quod diximus iam dicto modo ostenditur. Eudemus auteryth g - Peripateticus ad Pythagoreos emittit huiusce Theorematis inuen-runt hila Itonem,quod Utis omne Trianguluinternos Angulos duobus Re se hi λS habet arquales, propositumque eos hoc modo ostendere inquit. demo. Sit Triangulum abe, ducaturque
PV hasto p r Signum a ipsi b c Parallela d e. ta iis, igitur rectar Linea be, de Parallelae sunt, Anguli etiam Allemi sunt aequales . Aequalis
igitur est Angulus quidem d a b
Angulo ab G Angulus autem ea Angulo a c b. Communis addatur Angulus bae. Anguli igiturda b, bac, ca e hoc est Angulid a b. b a e hoe est duo Recti tribusTHanguli Angulis aequales sunt. Tres ergo Trianguli Anguli duobus sunt Rectis aequales. Talis quidem Pythagoreorum quoque
Demonstratio est. Operaepretium est autem ea etiam, quae huiccis ii, si Elementorum institutoris Theoremati conuertuntur inseper trade- praesentis re . duo enim ad unum conuertuntur, cum hoc Sc iuxta Quaesitum, Fib lite & iuxta Datum compositum sit. Datum enim duplum est. Triangulum siquidem,unumque ex Lateribus productum. λ Quaesitum fi te me similiter . nam unum quidem est quod externum internis, dc ex opposito iacentibus aequalem esse ait: alterum vero quod tres intemos tertio 3- Angulos duobus Rectis esse aequales. Si ita externum etiam inter nis, & ex opposito iacentibus aequalem esse supposuerimus, unum
Latus productum esse, in directumque ipsi uni ex Trianguli Lateri
bus rectam quae extra est Lineam iacere ostendimus: Si Uero tres in Cous, v. ternos Angulos duobus Rectis squales ostendimus quod data Figu- , P. . -&sic totum Quaestium ad totum Datum con demo . uersum est. Sit igitur Triangulum a b esxternusque Angulusa ed
250쪽
aequalis internis, & ex opposito iacentibus , dico quod Latus b e produictum est v si addSignum,
aque recta Linea est ipsa b ed. Cum enim Angulus a cd inter nis , & ex oppos1to existentibus aequalis sit, communis adiiciatur Angulus a e b . Anguli igitur a c d a c b tribus Angulis Tria guli a b c aequales sunt. At tres Anguli Trianguli a b e duobus sunt Rectis aequales. &Anguli igitur ac d aeb duobus Rectis aequales 1 int. Si autem ad aliquam rectam Lineam, ad eiusque Signum dus rects Lines consequenter non ad easdem partes positae eos, qui dei eeps sunt Angulos duobus Rectis squales secerint, ipsae rectae Lineae in directum sibi inulee erunt. Recta Linea igitur bc rectae Lineae edin directii est. Sit rursus quaeda Figura seeundae rectilinea ab c tres habis Angulos solos a duobus Rectis squales ipsos sciliceta,b, c, dico quod Triangulum est, unaque recta Linea est ipsa ae. Connectatur enim recta Linea bd. aaoniam igitur utrius*abd, dbc Triangulorum tres
Anguli duobus sunt Rectis aequales, b orum Amuli ipsius abc duobus Rens sunt aequales, reliqui porro a d b, cdb duobus Rectis aequales sunt,& sunt ad rectam Lineam b d. In directum igitur est d e, ipsi da.
Vna ergo recta Linea est Latus a c. Similiter aut ostendemus q, La tus et ix a KN Latus be una recta Linea est. lagulu ergo est Figura a b e. Si igitur Figura habens internos Angulos duobus Rectis aequa
les rectilinea fuerit, omnino Titangulum est . non Rutem
si aliqua Figura internos duo hus Rectis aequales habuerit, omnino est Triangulum. Figuram nanch ex Circunsere tiis constructam internos duo hus Rectis aequales habentem reperies. sit enim Quadrangu
tu a b c d , & super Latere ab ,
pigura et Circuseretiis eostructa, qu het tute nos Angulos duoes