장음표시 사용
361쪽
MATHEMATICAE IN PHYSICIS UTILITAS. 163
tunc oporteret esse Viginti quatuor δ secundum veram distinctionem, ut quilibet angulus corporalis ab alio distinctus haberet treS reCtos sibi proprios. Omnia haec patent ex tribus lineis interSecantibus se ad angulos rectos, ut in tribus festucis Uel aliis. Quoniam Uero angulus cubi est ex tribus rectis, ideo Octo tales possunt propriissime replere locum circa punctum
unum. Et ideo in sphaera terrae secundum figurationem nunc dictam. non erit Vacuum, quia Octo Cubicae ParteS terrRC Congregatae circa centrum mundi replent locum totum necessario
circa illud centrum. Angulus vero pyramidis est eX tribu Sangulis triangulorum, quapropter Valet duos rectoS, et ideo anguli seX tales Ualent quatuor angulos cubicos, nam Utrobique Valent duodecim rectos, et alii seX Valent alios quatuor angulos
cubi COS. Quapropter concludit Averroes in tertio Coeli et Mundi, quod duodecim anguli pyramidum congregati circa
Punctum unum implebunt totum locum corporaliter, sicut octo cubici anguli, et ideo in sphaera ignis non eSt Uacuum. Sed aliae figurae congregatae CircR Punctum Un Um non possunt Secundum Aristotelem et Averroem replere locum.
Quotquot enim congregarentur habebunt majus Vel minus Octo angulis Cubicis, et ideo locum non replebunt. Et ideo in Sphaera aquae et aeris et Coeli accidit Vacuum necessario Secundum figurationem Platonicorum. Sicut Vero Cubus in Corporali repletione respondet quadrato in superficiali, quia cubus sit eX quadratis superficiebus, propter quod utraque figura proprii SSi me replet locum, Sic pyrami S respondet triangulo regulari, quia fit eX triangulis, et utraque figura locum replet. Sed tertiae figurae. scilicet heXagono superficiali, non respondet figura corporalis replens locum, quia CX Superficialibus heXagonis non potest figura he X agonalis regularis constitui, ut
demonstratum est PriUS. Et tamen apis facit domus heXagonas ne Ua Uum inter- Hexagoncipiatur ; et natura in Ventre terrae generat CrystalloS Omne SheXagonas in unum Congregatas. Et sic lapides, qui UOCantur in crystal
irides et in insulis Hiberniae et India dicuntur ab autoribus inUeniri, Congregantur in figura he X agona. Et dicuntur lapides iridi S. quia repraesentant colores triclis et arcus coeleStiS, quando
362쪽
ponuntur ad radios solares. Et sic est de omnibus generati Sin hoc mundo, quae per Superficies suas congregRntUr, Ut retineant figuras heXagonas, ut Vacuum eXcludatur, et hoc CSt mirabile. Sed tamen non est vera loci repletio secundum quod Aristoteles accipit in hoc loco: nam talis est Secundum omnem Situm corporum et superficierum, ut taXilli quatuor Superficialiter secundum omnem situm replent loCUm, et octo Corporaliter, qualitercunque mutentur anguli vel latera, nam aequalitas plena est in illis angulis et lateribus. Et sic est de Pyramidalibus corporibus, et de triangulis superficialibus et quadratis et heXagonis. De aliis non contingit hoc secundum omnem Si tum sed secundum aliquem, et ideo hic non Com-Putantur. Nam si aliquibus domibus apum erectis aliae Ponant Ur Secundum alium situm, non est loci repletio, sed VACUUm Spatium relinquitur, et ideo non sunt de replentibus locum, ut absolute et simpliciter dicatur repletio. Magna est ac prosunda consideratio de his figuris replentibus locum Propter rerum naturalium figurationem. Sed quantum sum cit
ad praesens in universali de hac figuratione in corporibus mundi principalibus declaraVi. CAPITULUM XIIIJ.
An POSSint eSSe plures mundi, et an materia mundi sit eYtensa in infinitum. Et transeo ulterius ad duo eXempla breviter annotanda in Corporibus mundi, quaO indatur Super geometricam poteStatem, et Sunt Acili Uc anneXa materiae corporali eorum. Nam Aristoteles dicit primo Coeli et Μ undi*, quod mundus occupat totam suam materiam in uno individuo unius speciei, et Sic de quolibet corpore mundi principali, quoniam unus mundu Sest nUmero, nec POSSUnt Plures mundi esse in hac specie, Sicut nec plure S SoleS nec plures lunae, licet multi posuerunt contrarium. Nam Si eSSet alius mundus, esset sphaericae
363쪽
MATHEMATICAE IN PHYSICIS UTILITAS. 165
figurae, Sicut iste, et non potest esse distantia inter eos, quia tunc Spatium Vacuum Sine corpore esset signabile inter illos, quod falsum est. Quapropter oportet ut SC tangerent, Sed non poSSunt tangere se nisi in puncto uno per Xii tertii Elementorum, ut prius declaratum eSt per CirculoS. Ergo alibi quam in illo puncto erit spatium Vacuum inter COS. Aliud eSt, quod corporalis materia mundi non est eX tensa in infinitum, ut multi posuerunt. Nam geometrica potestas hoc eXcludit. Quoniam Conjungantur λ duae lineaea et δε angulariter in centro mundi, et a ConcurSU ORTU IDeXtendantur in infinitum, et tertia uni illarum ducatur aequi- distanter et terminetur ad aliam, et sit c a. Ergo a et bSUnt ae UaleS, et se, quae CSt parS a, et c Sunt aequaleS, qtata
ab eodem puncto scilicet o vadunt in infinitum. Sed c linea aequatur b lineae. Ergo o linea aequabitur ipsi a totali, scilicet pars suo toti, quod est impossibile. CAPITULUM XIV r.
De unitate temporiS. Multae autem aliae demonstrationes geometricaO POSSent ad hoc adduci, atque veritates aliae in rebus mundi POSSCnt Time con- notari quasi insanitae, in quibus geometrica Virtus elucescit. V V Sed haec sufficiunt persuasioni, et solum evacuabo duas sal- matter,
secundum opiniones Vulgatas. Nam pontant quod tempuS Sequitur ad materiam rerum, et aeUum ad formam, et ideo Sicut os onemateria CSt Una numero et non plures, sic tempus est unum 'im ς'βδ'' numero simul et Semel, et sicut forma Variatur in rebus, sic aevum multiplicatur in aeviternis. Unde plura dicuntur esSORCVR, Ct Unum tempus, ut Secundum numerum angelorum sit numerus aeUorum. Sed cum probatum est quod materia non PoteSt OSSe Una, thanc falsum est tempus habere unitatem ab ea. Deinde tempus non poteSt sequi, nisi ad subjectum SUUm.
δ The diagram in o. has been omitted as unintelligibie.' Cf. Opus Tertium, cap. 41. whicli contains an application Of the View herestated to the doctrine of Transubstantiation.
364쪽
Sed motus est subjectum suum, non materia ; et subjectum
motUS non eSi materia, Sed CorpuS compositum ex materia et formR. The present Postremo rOS geometricae nobis ostendunt Causam unitatis
bbitidi si ' in temPore, et demon Strationem addunt super hoc. Nam P0int, in y corpus quia habet undique dimensionem, ideo non compatitUr
numbor Di evcludat secundum longum et latum et Profundum. Ereo Superficies secundum longum et latum eXcludet aliam Superficiem, Sed non secundum profundum, quia sic est indivisibilis et Caret dimensione. Et linea secundum longum eXCludit aliam, Sed non secundum latum et profundum quia sic non habet dimensionem. Ergo punctus Cum omni careat dimen-Sione, non habet unde eXcludat aliud a suo loco indivisibili; sed imaginato primo puncto in suo loco secundus adUenienS habebit eundem locum in mente, quia non est distantia media, et sic de tertio puncto, et de infinitis. Motus Vero non habet nisi linearum dimensionem a priori in posterius Secundum longitudinem spatii et hoc est a praeterito in futurum. Ergo solum secundum hunc decurSum, scilicet a priori in posterius, Seu a praeterito in futurum, unuS motuS eXCludet alium, scilicet prior poSteriorem, et Praeteritum eXcludet futurum. Sed comparatio motus ad PraeSens eSt alia quam secundum decursum a praeterito in futurum. Ergo respectu praeSentis nulluS motus habet dimensionem nec divisibilitatem, et ideo non habebit unde eXcludat alium a praesenti. Et ideo infinitos secum poteSt pati praesentes; et ideo unum tempus praesens susticit omnibus motibUS praesentibus, et propter hoc habetur hic Uera CauSa unitati S tempori S, et non Propter materiam. Deinde ex istis elici potest unitas Vera aevi, sicut temporis. Nam aevum vel solum habet dimensionem linearum, si ponamuSaevum esse clivisibile et habere partes, ut multi aestimant Contra totam PhiloSophiae poteStatem, atque contra AuguStinum et Dionysium, quanquam AnSelmus Velit contrarium. Et si hoc sit verum, tunc λ sic est de aeVo Sicut do tempore, propter quod erit unum et non plura. Aut aevum erit indivisibile, et tunc erit ad aeviterna, sicut locus indivisibilis ad
365쪽
MATHEMATICAE IN PHYSICIS UTILITAS. 167
puncta et atomos, et idem numero est locus unius puncti et plurium. ut prius habitum eSt. Ergo unum erit aeUum OmniumneViternorum, et hoc est necessarium. et nulli perito in philosophia dubium. Nec est Contra sanctos et doctores principalCS,
sed conveniens Sentontine Corum.
An motus graVium et levium eXCludat omnem Violentiam.
Et quomodo motus gignat calorem. Itemque de duplici modo
Sciendi. Quoniam Vero motus est Subjectum temporiS, et temPUS OSt In a falli nil monSUra motUS, POSSumta S adhuc Videre magnam geometriae potestatem in motibus corporum istius mundi. Aestimant poliat alone Vero naturales, quod motus graUium deorSUm Sit natUralis sibe pnili Omnino, et motus leUium sursum est Similiter omnino naturalis,
ita ut non habeant de violentia. Sed figuratio geometrica ostendit nobis contrarium. Nam sit d b c lignum vel lapis in aere, et a centrum mundi, g h diameter mundi. Cum ergod b c sint semper in suo toto aequaliter diStantes descendant ad centrum per lineas aequidistantes. Ergo d descendet per lineam d es, et δε per lineam δε a, et c per lineam C o, quaPropterae cadet extra centrum mundi in diametro h g Versus coelum, scilicet in e puncto, et C in se, qURre in hoc descensu d declinabit a Centro
a UerSUS Centrum per altitudinem a P, et c per altitudinem a o. Sed omnis declinatio graVis a contro VerSUS CCn- 9trum est violenta. Ergo et c mo-UCntur Violenter, et sic de omnibus
partibus d b c praeter δε quae sola
vadit in Centrum. Quapropter multum erit hic de violentia. Caeterum incessus rectus et naturalis ipsius E est per lineam E a, unde si Separetur d a Suo toto Caderet in a per rectum incesSum, quia Omne graUe tendit in centrum. Omnis autem declinatio
366쪽
gravis ab incesSu recto est violenta, sed quanto magis dmovetur super lineam d c, magis recedit ab incessu recto, Ut patet ad Sensum, quia d a et d e lineae magis separantur inferius quam Superius. Ergo is quanto magis descendit deorSum, tanto magis movetur per Violentiam, et similiter c,
et ideo quaelibet pars ipsius totius d b c gravis, praeter b quae
sola semper descendit secundum incessum rectum. Manis Stum est ergo quod magna et multiplex violentia est in motu naturali ipsius gravis. Et eX hoc sequitur quaedam Veritas in rebus naturalibus, scilicet quod motus naturalis generat Calorem; nam quum demonStrata est Violentia, et constat grave naturaliter inclinari deorsum, planum est quod duae Virtutes sunt in gravi moto deorsum inclinantes ipsum in partes contrarias. Ergo una distrahit partes gravis in unam partem, et alia in aliam, et ad has distractiones necesse est rarefieri partes gravis. Sed rarefactio est dispositio immediata ad calorem, unde Per eXperientiam ScimuS quod graVe de- Scendens deorsum calescit. Potest ergo hoc hic adverti, Sicut in prioribus, quod causae rerum naturalium debent assignari Per mathematicae potestatem. Et potest homo videre quod in rebus naturalibus sunt duo modi arguendi, UnuS Per dem OnStrationem quae procedit per CausaS, et ali US per demon- Strationem ad effectum, ut cum prioribus demonstrationibus Probatur Per cauSam, quod Uiolentia accidit gravi in suo motu naturali, postea demonstratur hoc idem per effectum, scilicet per generationem Caloris. Nam non goneraretur Calor nisi Per rareflactionem, nec rarefactio ista nisi per virtutes distrahenteS grave in partes contrariaS, et hae non pOSSunt eSSenisi una naturalis, altera Violenta, quapropter graVe in Suo motu naturali habet violentiam. Et sic haec conclusio, grave recipit violentiam in suo motu naturali, Probatur Per CRUSamet effectum. Sed causa Sola facit scientiam aut longe majorem quam effectus, quia Aristoteles dicit primo Posteriorum quod
stratio, ut ibidem docet, est syllogismus facienS Scire, neceSSeest quod demonstratio per causam sit longe potentior, quam Per effectum; et hoc Vult Aristoteles libro Posteriorum'.
367쪽
MATHEMATICAE IN PHYSICIS UTILITAS. 169
Quapropter Cum in rebus naturalibus demonstratio habetur per CRUSam Per Uias mathematicae, et demonstratio per effectum habetur Per Vias naturales, plus potest mathematicus in rebus naturalibus Sciendis, quam ipse philosophus naturali S. Et maXime hoc planum est, quod motus Simpliciter ViolentUS, Ut motUS graUiS SurSum, generabit calorem, et longe magiSquam naturalis motus; quia in violenter moto Sunt duae Virtutes motrices omnino contrariae, et Secundum totum, Ctin ContrariaS partes omnino, ut Virtus naturalis gravis tendit deorSum, et Virtus violenta tendit omnino sursum. Et ideo magna est cli Stinctio partium rei motae Violenter, et major quam in naturali.
De motu Libral. Et cum jam dictis expedit altius aperire geometricam potestatem in motibus; et hoc propter intellectum uni UOr- Salem Scientiae de ponderibus, quae est pulchra et dissicilis nimis hominibus non habentibus experientiam causarum in
motibus gravium et levium. Dicit ergo Jordanus in libro de ponderibus J, quod si aequilibris fuerit positio aequalis,
in This was Jordanus Nemorarius, the most original, is we OXcept Leonardo Fibonacci. of the mathematicians of the thirteenth century. There is good groundi or belleving that he is identi eat with Jordanus Saxo who, on the death of St. Dominic, IasI, Succe eded to the generat Alii se of the order. His principal
verein Rin Wissenschast und Κunst of Thorn. Most of theSQ workS wereeVidently known to Bacon. The treatise, De Fonderibus, whicli consi Sis Osa Shori preface followed by thirteen propositions, is interesting as One of the earlieSt studies, by a mathematici an os great originali ty, of the mechanics ofa parti cle forming part os a rigid System. With regard to gravi ty we find, of Course, the doctrine, Still awatting Galileo'S refutation, that heavy bodies fallmore rapidi y than light. The arithmetical treatise, containing many algebraic Problems, had also been Studi ed by Bacon. as his fragment on the Principies of MathematicS clearly shows. See Cantor, GeSch. der Mathem. VOl. ii. PP. 49-54.
368쪽
the arm ofa balance Varies Withtheirposition.
ITO aequis ponderibus appensis, ab aequalitate non discedet, et si ab aequi distantia separatur ad aequalitatis situm revertetur. Et istud videmus ad sensum in lance utraque, quarum Uirga Sit eX parte utraque aequalis in longitudine et in pondere. et omnino appendantur pondera aeqUalia, et libra aequaliter teneatur per appendiculum, ut Stet AP PCndiculum ad angulos rectos super regulam librae in Centro reUolutioni S, nam hic punctus Uocatur centrum revolutionis a quo appendiculum eXit ad angulos aequales. Et dicitur Centrum re Uolutionis, quia quando per violentiam manuS deprimentis alterum ponderum aequalium, aut propter in-ae UalitRtem apponsorum unum eorum facit nutum, aliud elevabitur, et hic motus descen Sus et eleUationis describet Circulum unum, cujus ille punctus a quo e Xit appendiculum est centrum, et ideo dicitur centrum revolutionis. Quod ut
planius sit fiat figura. Nam sit regula seu baculus librae a b, et c d
sit appendiculum, tunc centrum TCUΟ-lutionis a quo eXit appendiculum erit , et in circumferentia istius circuli APPODSR moVeb Uratur, nam illud quod descendet describet circulum inseriorem, et illud quod ascendet describet circulum superiorem. His SuppoSiti S, arguitur sic. Cum alterum brachiorum librae aequalibus appensis nutum faCiat per manum
deprimentis, fit, secundum Aristotelem quarto Coeli et Mundi, graViUS, quia grave quanto adquiret magi S de loco gravis, tanto magis adquirit de forma gravitatis, ut ipse dicit. Ergo quod descendit fit gravius, quantumcunque pariam deScendata situ aequalitatis, et ideo quanto magis deScendit, tanto erit gravius. Ergo fiet inaequale reliquo appenso et Ponderosius eo. Ergo licet fuerint in situ aequalitatis aequalia, tamen cum recedunt ab illo situ fient inaequalia in pondere ; quare semper descendet illud quod nutum facit, et aliud semper
ascendet, et ideo nunquam ad situm aequalitatis revertentur.
in J. 'A reading, argumentor, sor arguitur, suggesis that what sol lows is Bacon sopinion : whicli it is not.
369쪽
MATHEMATICAE IN PHYSICIS UTILITAS. 17 ISicut quando duo pondera inaequalia ponuntur in brachiis,
statim recedunt a situ aequalitatis, et nunquam ad eundum Si tum reUertentur, sed semper descendit quod est ponderosius.
Ergo similiter hic, quod est contra Jordanum et contra Sen Sum. Item Jordanus dicit, quod inter quaelibet gravia est velocitatis in descendendo et ponderis eodem ordine Sumpta Proportio, Sed istud graUe quanto magis descendit, tanto fit
Ponderosius. Ergo tanto Velocius descendit. Ergo nunquam revertetur Per naturam ad situm aequalitatis. Item JOrdanus dicit, quod minus graVe secundum Sitiam eSt, quod deScen Sum alterius Sequitur motu e Contrario, id est, quod ascendit quando deScendit, et e contra. Sed appensum nutum facienseSt minus grave secundum Situm, ut probabo. Quare Sequetur deScensum alterius appensi motu Contrario, et aSCOn Sum Similiter. Quapropter Secundum quod unum deScendit, reli- Ulam RScendit, et e Contra quare nunquam in situ aequalitatis quies Cent. Quod autem appensum faciens nutum Sit minuS grRVO SO-Cundum Sitiam, manii Stum est per hoc, quod minus capit de directo descensu in diametro transeunte per centrum revolutioni SUOrSUS centrum mundi: quapropter Secundum Jordanum erit minu S grave secundum situm. Et hoc eXigit ipsa Veritas per
figuram declaranda. Et hujusmodi figuratio Sol Vet Objecta, nec potest habere remedium intellectus nisi per figuram. Describatur ergo Circulus super centrum revolutionis, quod est O, in cujUS Circumferentia appensa reUol Ventur, et trahatur diameter
a b aequi distans horigonti, et lineetur alia diameter intersecans hanc quae tendat in centrum mundi, et sit d c, et signentur Rrcias Requales in utroque Semicirculo ab utraque parte diametri aequi distantis hori Zonti, et hoc a parte utriuSque termini ejus, et a terminis arcuum ducantur in utroque Semicirculo lineae aequi distantes sibi invicem et diametro aequi distanti hori-ZOnti, quae Sunt f is,gp, t q, S r, quae Omnes Socant diametriam cadentem in centrum mundi. Oportet ergo Secundum Jordanum et commentatorem ejus quod illae lineae aequi distantes secent de diametro quae Vadit in centrum mundi, parteSinaequales, ita ut illa aequi diStans, quae propinquior eSt diametro aequi distanti hori ZOnti, secet majorem partem
370쪽
OPERIS MAJORIS PANS OUARTA.a TZ diametri alterius, quam remotior aequi di Stans, ut i ρ separabit majorem partem diametri d c quam s r, ita ut pars diametrid c, quae est inter a b et i ρ sit major quam pars ejusdem diametri quae est inter i V et S r, et eodem modo pars diametri d c, quae CStinter ab et g s, erit major quam
illa quae est inter g s et f h. Et
Secundum hoc oportet quod sumpta una aequi distante in semicirCulo uno, et alia in alio, quae aequaliter distant a diametro eis aequi diStante, illae secabunt partes aequales de
diametro descendente in centrum mundi ut i V et g s secabunt partes aequales de d c, et similiter freti λ sicut dicit vicesima seYta propositio de triangulis Jordant. Si ergo partes diametri cadentes in centrum mundi di Visae per aequid istantes sunt inaequales, ita ut illae partes diametri quae dividuntur perae quid istanteS propinquiores diametro aequid istanti horizonti sint majores ; tunc ergo intelligamuS regulam librae jacere in
diametro aequi distante horigonti, et appendiculum sit erectum in diametro Cadente per centrum, ut libra sit in situ aequalitatis et brachia ejus, deinde postea moUeatur libra, et elevetur ParSuna librae usque ad primam aequi distantem in semicirculo Superiori, et alia deprimatur USque ad terminum primae aequid istantis in semicirculo inseriori, ut regula sit in situ Iplineae, et pars librae altior Sit in I, et reliqua in s. Si ergos descendat usque ad terminum alterius aequid istantis δε, transibit de diametro cadente in centrum, partem ejuS quae est inter aequi distantes s et f h, quod minus est quam illa pars diametri, quae CSt inter i st et a b, ut patet eX praedictis. Ergo si descenderet usque a Caperet plus de descensu recto in diametro cadente in centrum mundi quam s, dum descendit in k ; quare I est gravius Secundum situm quam s. Et iterum t descendit Versus centrum mundi. Sed p propter declinationem circuli recurUatur a centro, et Saltem minus tendit incentrum, ut Patet ad Sensum. Ergo relinquitur, quod ex hac cauSa adhuc erit minus grave. Et quia sic est, ideo solvitur