장음표시 사용
101쪽
eis Is M' P. a a ti'. a. - duodecim de satisfaciunt quaestionu
Coti nimio apposita se demonstrati potest. sint duo Numet; ΑΒ. BC. quorum mutuo ductu fiat G.& sit G ad totum A C. in ratione cuius denominator D, ita ut ex D in Α C. fiatri A G. dico D minorem esse quolibet ipsorum A B. B C. Quia enim idem G fit ex A R,.-, n ''' in in B C.& m D in Α C. ' erit A B ad Α C. ut D ad B C. sed Α B. est minor quis, A C. pati quam totum , ergo & D est minor quam B C. N eodem argumento Πω ' habitur idem D minor quam A B. igitur patet propositum.
Dono aduerte Canonem a Xilandro traditum nimis particularem esse, cum iubeat sumere pro altero quaestorem numerorum, ipsum denominatorem rationis unitate audium. Nos itaque ex ipsa Diophanti operatione elicimus hune legitimum Canonem
Masue pro Ahera pia βο-m , Pemtibet numerum masorem denomιnatore ratιonιs , eum qiae Arato in ipsum ἁ- ministorem, proauctum datitae per interuatiam sumpta numera er rati em --αι-- torra , orietur alter quaestorum.
Sed & operatio Diophanti, & hie Canon eatenus locum habent ἔ quatenus productum est maius extremum proportionis. Nam si summa debet esse maloi producto, se erit proponenda quaestio. Inueniantur duo nκmoi quorum sammis is rodvietam eorum mvit iplicariane λι- habe a --
Mandatum sit summae ad producitam rationem esse triplam. Ponatur numerorum alter IN. alia ter quilibet numerus puta a. erit ergo summa a. - r. N. productum a N. Quare eum illa sit huius triola, ε N. aequabuntur a -- I N.& sert a N. t sunt igitur quaesiti numeri a. & l & satissa ciunt postulam. Conditio hie non apponitur, quia potest alter quaestorum esse maior denominatore rationis. dum is tantus si, ut eo oucto in denominatorem rationis, productus superet unitatem. Et hine sot- matur Canon huiusmodi. me xemtiber nameram pro Hiero vas oram, eumque δε cito in denominatorem rarionis , cst per
prodias iam Onitare multarum ἀκιdesumptum numertim , arietur ahre Pasitorum.
Caeterum ipsam quaestionem decimamquatiam soluit infinite Diophantus quaestione 4r. lib. 4.
μν έ L ο δὴ δίυΦάρος ωναίων . e πωοῦσι τὸ πνος IN v π N i κ a duos numerOS, ut uter que ab altero imperatum numerum accipiens, ad residuum datam habeat rationem. Postuletur itaque ut prior acceptis a posteriore 3o. unitatibus, sit residui duplus. Posterior autem acceptis a priore viaitatibus Io. st triplus ad res-duum. Ponatur posterior I N. & praeterea 3o. unitatum quas dat priori , erit ergo prior a N. -3o. ut acceptis 3o. Vnitati-
luis a posteriore , sit reudui duplus. Restat ut posterior acceptis a priore 3o. Vnitatibus , sit triplus ad residuum. Prior autem si det so. vilitates , relinquitur a N. 8o. At posterior acceptis 3 o. fit 1Ν -- 8o. superest ut I N. - 8o. sit triplus ad 1 N. -8o. Ter igitur minor arquatur maiori. & fit I N. unitatum 64. Erit ergo prior 98.posterior st . & satisfaciunt quaestioni.
102쪽
HI e sotino huiusmodi Canonem.
Vt in exemplo Diophanti summa ipsorum go. N m. est go. qua fgillatim ducta in a. & in . sunt 2 o. & 32o. quae si diuidas per s. productum ex a. in 3. unitate multatum, fiunt 48. & o . desectus ipsorum so. & 3o. quaestis. Quare addendo 48. ad 1o. & 64. ad 3o. fiunt quaesti numeri s8. N s .
IN vani Ra tres numeros ut bini stam ut sumpti faciant imperatos numeros. Oportet autem ut summae trium
imperatorum semissis maior si quolibet ipsorum. Imperetur itaque primum & se. cundum simul additos eis cere dici. secundum & tertium conficere 3o. At tertium cum primo facere Ao. Ponatur si1mma trium i N. & quoniam primus & secunduseficiunt dio. si ab 1 N. auferam dio. habebo
tertium, nempe I N. - ao. Ob haec eadem erit primus I N. -3o. At secundus I N. --4o. Reliquum est vitres smul ad diti aequentur 1 N. Atqui tres simul addi, iti faciunt 3. N. - 9 o. hoc ergo aequaturi N.& fit i N. unitatum 43. Ad positiones. Erit primus quidem 13. secundus vero 3. Tertius aue. & euidens est demonstratio.
CONDIT Ovis appostae ratio est , quia cum tres numeri bini & bini sumuntur, aggrega iatum summarii in quas bini & bini consciunt , continet bis summam trium numerorum , quod euidens est, quia quilibet trium numerorum bis sumitur. Oportet autem summam trium numero- tum maiorem este summa duorum ex illis. Hinc etiam euidens fit causa Canonis 1Xilandro traditi, qui tamen & ab operatione Diopiranti elicitur. Aggrega istim νum quas bini er bini conficiunt tres nureret, ese dimidium; hiae a re si lui dictas siummas , restabunt qu sit numeri. Eosem sere artificio soluetur quaestios quaerantur quotlibet numeri multitudine impati, dentύ que 14immae primi cum feeundo. seeundi cum tertio, terti j eum quarto, quarti eum quinto : & se dei neeps. Ac demum ultimi eum primo. Verbi gratia. Quaerantur quinque numeri v. primus eum secundo faciat s. secundus eum tertio saeiat s. tertius cum quarto faciat IO. quartus cum quinto faciat i . denique quintus eum primo faciat II. Pone summam quinque numerorum I N. Cum ergoptimus & secundus snt 8. & tertius & quartus Io. erit quintus rN. - 18. Rursus quia secundus 8e tertius sunt s. quartus & quintus 14. erit primus . I N. - 23. Rursus quia tertius S quartus sunt Io. quintus & ptimus ri .etit secundus i N. - 2I. Item quia quartus & quintus sunt r4. primus ti secundus L erit tertios I N. - 21. Denique quia quintus & primus sunt ii . at secundus di tertius s. erit quartus I N. - 2o. Horum summa s N. - Ο aequalis est I N. & fit I N. 26. sumina quinque nisine torum, unde si auferas sigillatim summam quatuor quorumlibet, nempe ipsos 23. II. 22.2 . ig. remanent quaesti numeri a. s. 4. 6.8. Quod si artificium supra allati Canonis libeat imitari. sume aggregatum iunimarum datarum 8. 9. Io.I4. II. neu e 32. huius semissis 26. est summa quinque quae-
103쪽
storum numerorum, unde ut prius f auseras quatuor quosque remanebit quintus. Praeterea in tractatu nostro de iucundis quaestionibus quae per numeros ab Iui intur, alium tradidimus Canonem, hoc utique non deletiorem, quem , s vacat, videre poteris in praxi vigesima secunda. . Vetum si multitudo quaestorum numerorum fuerit par, qui eodem modo bini sumantur, & vitiis mus iungat ut pes mo, nee operatio similis nec traditus Canon locutii habebunt ut euidens est, cuius rei ratio est, quia in hoe casu quaesto non unam recipit solutionem, sed infinitas dum modo possibi- Iis proponatur, ut si quaerantur sex numeri, ita ut primus cum secundo sectat 33. secundus cum tertio faciat Is. tertius cum quarto ficiat I p. quartus cum quinto faciat II. quintus cum sexto saeiat io. ΡΟ- terunt esse quaesiti numeri s. s. io. s. et . S. Itemque hi T. 6.9. o. r. 9. imo S quemcumque sumas pro primo qui eadat intero. & 13. satisfacies quaestioni. Itaque huiusmodi quaestiones hae arte te itio. Ponatur in dato exemplo primus 1 N. ergo secundus est 13- IN. unde tertius si a - 1 N. Qua te quartus erit 17. x N. igitur quintus set i N. - Ae denique sextiis i6- i N. Restat ut & se, tus cum primo faciat i5. Quare eum 16 i N. & I N. verὸ consciant Is. nulla repat ad aequationem via; ita ut una species, alteri speciei aeq.alis repetiatur. Quamobrem cum inuciati numeri in terminis Algebricis omnes propositi partes impleant, manifestum est quaestionem in sinite solutam esst, hoc est quemlibet numerum sumi posse pro valore Numeri, modo possit positionibus rite applicari. Etenim non quolibet numero pro valore Numeri sumpto, aptὸ molui poterunt hypostases, quod accidit quia in aliis repetiunt ut unitates cum desectu Numerorum, in aliis Numeri eum defectu vilitatum. Quare determinandum de valore Numeri. & praescribendi sunt termini inter quos cadere debeat. Hoe autem se praestabitur. Sume hypostas ni illam in qua est minimus unitatum numerus cum maximo desectu Numerorum , itemque illam in qua est minimus Numerorum nuine tua cum maximo desectu unitatum, sunt hae 3 - 1 N. R I N. - 6. Divide ergo utrobique unitates per multitudinem Numerorum , fient i . N 6. qumsti termini. Igitur necesse est valorem Numeti maiorem esse quam 6. minorem quam is . Quicunque autem ponatur inter s. 3c I3. satisfiet postulatis. Modus isse praeseribendi terminos inter quos cadere debet valor numeri, in quaestionibus quae infinite sol uuntur, a nemine ante nos quod sciam θ traditus est, cum sit facilis, & ad ardua problemata sol uenda necessarius ut iam monui in libello iueundarum quaestionum quae per numeros absoluuntur.& filius docebo ad quadragesimam primam quarii.
IΝvs Nisa quatuor numeros , ut terni iuncti sectant postulatos numeros. Oportet autem eorum qui postulantur numerorum summae trientem maiorem esse quolibet ipsorum. Statutum sit primum ti duos deinceps sinus iunctos facere et . secundum & duos deinceps sa cere 22. tertium & duos deinceps facere 2 . Denique quattum & duos deinceps
sacere et . Ponatur quatuor numerorum
sim ma i N. Igitur si ab 1 N. abstulero tres
primos, nempe sto. reliquum habebo quartum, nimirum i N - ro . eadem de causa primus erit I N. - aa. secundus I N - 24. tertius I N. - 27. Superest
ut quatuor simul additi sint aequalesi N. sed quatuor smul additi essiciunt
N. - 93. Hoc ergo aequatur 1 N.& fit 1 N. unitatum 31. Ad positiones. Hit primus quidem s. secundus vero 7.tertius 4.quartus D.&hi satisfaciunt quaestioni.
104쪽
CONDITIO hie apponitur eadem de causa , qua siniim est ut praecedenti apponeretur, quia videlicet cuin quatuor numeri, terni sumuntur, quoties fieri potest diuersis modis, Omnes sumuntur ter. Hinc autein patet, quaestionem huiusmodi proponi posse de quotliliat numcris qui sumantur omnes, unci minus , quoties seri potest diuersis modis, & erit eadem operationis ratio ; sed S Canon uniuerlatissimus formabitur.
IN v E N i a x tres numeros ut bini iuniacti superent reliquum imperato numero .Inii uictum sit primum S secundum superare tertium unitatibus ro. secundum& tertium superare primum unitatibus 3O. Tertium vero S primum superare secundum vnitatibus 4o. Ponatur summa trium a N. & quoniam primus de secundus su perant tertium unitatibus dio. Adieeto utrimque communi tertio ; trium summa erit bis tertius,& interuallum eto. Si igitura summa trium , hoc est a di N. abstulerodio. habebo bis tertium , scilicet a N. 2o. smplex ergo tertius est i N. - io. Ob haec eadem crat & primus I N. -rs. secundus vero i N. - ΣΟ. superest ut tres smul aequentur a N. sed tres simul eis ciunt 3 N. - 3. Hoc ergo aequatura N.
& fit 1 N. 43. Ad postiones. Erit primus
3o. secundus M. tertius 33. & hi fatissa-ciunt quaestioni.
A DI aceto mirimque eommunι tertio ,&c. Res , Scholiaste obscuratur potius quam illustretur. Quod autem ait Diophantus tale est. Sint tres numeri ABC. ita ut ambo A B. simul supereat A sc terti iam C. interuallo D. infert Diophantus. Ergo tres ABC. sinitii eontinetit hia3' ipsum C. R semel ipsuin D. quia enim AB. simul aequantur ipsis CD. simul, si vitimque addatur ipse C. erunt tres ΑΒ C. simul, aequales ipsi D. N duplo ipsuς C. Quos erat propositum. Caeteritin ex operatione Diophanti elicitur huiusmodi Canon. Asemisse auregat. excessunm aufer sigillatim semissem esiuslibet excessas, o ua erunt quasi intimem. vel quod idem est. Ab aggregato excessuum aufersigillatim ipsos meustis, res uorum semifes e n/ quasti rimeri. Hine aut ein manifeste colligitur Aggregatum ipsum excessuum aequale esse suininae quaesitorum numerorum. Quod tamen etiam allicr demonstrabitur hac arte. sint tres numeri ABC. ita .i ri ambo A B. superent C. excessu D. Ambo B C. superent A excessu E.denique ambo D ,2 s h s , A supereiit excessu F. dico summam ipsorum AB C. aequari summae ii, itim DEF. Quoniam enim per mox demonstrata tres ABC. continent bis ipsum C.& semel ipsum D. i temque tres ABC. continent bis ipsum A & semel ipsum E. ac denique tres ABC. continent his ipsum B & semel ipsum F. Patet summam ipsorum AB C. ter, continere bis
105쪽
ipsos AB C. &semel ipsos DEF. Quare si utrimque auferantur ipsi ABC. bis, remanent iidem AB C. semel, aequales ipsis DEF. t mel. Quod erat ostendendum.
dus si perant tertium unitatibus 2o. eito tertius 1 N. Igitur primus & secundus iuncti erunt i N. -- eto. Rursus quoniam secundus & tertius superant primum viai ratibus 3o. Pono secundum tot unitatum , quantus est semissis numerorum ro. dc 3o. nimirum unitatum aue. Et quia primus & secun iis iuncti sunt 1 N. - 2 o. quorum secunduS est unitatum 23. reliquus erit primus i N. ---3. Superest ut tertius & primus iuncti secundo superad dant unitates o. sed primus cum tertio est N - s. hoc ergo aequatur unitatibus f . Communis addatur desectius. Igitur a N. aequantur 7o. & fit 1 N. 3s. Ad positiones. Statueram primum I N - s. erit ergo 3o. secundum autem posueram a 3. At tertium
IN. inamobrem erit 3 . IN AVAEsT IONEM XIX.
HIc Diophantus usurpat huiusmodi Theorema.
Datis tribus numeris, ita ut duo quilibet simul resiquo sint maiores, summa Δοrum exesuum ροι bus bιπι resiasuum siverant, dupla est et mus ex tribus datis num/ris , illius scilicet ad quem reliquorum excessus non est relatus.
Quod sie demonstratur. Sint tres dati ΑΒ C.&iidem excessus qui prius DEF. dico summam excessuum DE. esse dupluin ipsius B.&sic de aliis. Quia enim anibo AB. aequan-A30' η λy V3F tiit ambobus CD. itemque ambo BC. aequantur ambobus Α E. erunt ipsi 30 EF xqQ AC semel&B. bis aequales ipsis AC DE. Qirate auferendo utrimque lysos Α C. remanet B bis aequalis ipsis D E. Quod erat propositum. Eodem argumento os cndemus cummam duorum E F. esse duplam ipsius C. & summam amborum D F esse duplam ipsius A. Igitur
ex omni parte constat propositum. Hine autem elicitur huiusmodi Canon. Summa duorum quorumlibet exeusium cape semissem, habebis quasitos numeros. Caeterum placet in artis specimen ex supradicto Theoremate aliud etiam non iniucundum adducere, nimirum . . Daris tribus numeris , ita ut duo quilibet simul reliquo sint maiores , duorum excessuum disterentia dupla es disserentia duorum datorum numerorum, inter quos vicissim facta est excessuum compa-- . Sint dati qui prius A B C. & iidem excessus D E F. & duorum D E. disserentia sit 6 30 η G. euiu, i missi, K. dieo Κ esse differentiam ipsorum A C. Quia enim ut osten-D Q Ε3Q F 60 sum est amborum D E sunima dupla est ipsius B sunt D B E. acillimetice propor-' Gi0 ' itoriale, Quare duorum D B. idem est interuallum, quod duorum B E. Cum erso
extremorum differentia eomponatur ex differentiis extremorum & medii, patet G duplum esse disterentia: D ad B vel B. ad E Quamobrem K est differentia D & B. Itaque quoniam ambo AB. aequantur ambobus C D.ex hypothesi erit in arithmetica medietate A ad C.vt D ad B.Qu re cum ostensum sit Κ c se differentiam ipsorum D B.erit idem K differentia ipsorum A C. Quod erat ostendendum. Eo dem modo ostendemus semissem differentiae ipsorum E F. esse differentiam ipsoriam Α B. itemque se missem differentiae ipsorum D F. esse differentiam ipsorum B C. Igitur ex omni parte constat propositum.
106쪽
P sum N - y. aequatur summae seeundi & interualli F. nimirum i N. et is &has, M , 6 semper L N. F. primus scilicet numerus. Posset etiam noui a. is a. μ'μ' P Q ςmo ν 'x sequς modo triplici via ad aequationem Perueniti, ut mani
IN 'ε Ni ηε quatuor numeros, viter ni uincti reliquum superem numero imperato. oportet autem semisse summa quatuor interuallorum minorem esse quemlibet ipserum. Postuletur itaque ut primus & duo deinceps coniuncti quarto superaddant unitates ao. secundus & duo deinceps primo superaddant unitates 3o tertius & duo deinceps similiter secundo superaddant unitates M. & adhuc quartus & duo deinceps coniuncti tertio sit peraddant unitates so. Ponatur quatuor numerorum summa et Ν. & quandoquidem primus& duo deinceps quarto super- addunt unitates 2o. & quo tres primi superant quartum, eo quatuor simul superant duplum quarti , sunt autem quatuor smul a N. igitur a N. superant duplum quarti unitatibus 2o. Quamobrem duplum quarti est a N. -ro. Ergo ipse quartus est I N. - Io eadem de causa, erit & primus I N. -I . secundus I N. eto. & tertius ΙΝ. -as. superest ut quatuor simul aequales sint a N. sed quatuor simul faciunt 4 N. - 7o. Hoc ergo aequatur 2 N.& fit 1 N. 31. Ad positiones. Erit primus sto. secundus I . tertius Io. quartus 23. &quaestioni satisfaciunt.
107쪽
Dbis,& ipsi Esemel. Eo leti, modo ostendemus summam eorumdem ABCD aequati ipsi A bis S F semel, itemque ipsi B bi, de G semel , ac denique ipsi C bis & Η semel. Ergo sumendo quatet Sms ABCD. erit quadruplum hoe aequale ipsis A B C D bi , N ipsis E F G H semel. Quare au- serendo utrimque ipsos A BC D bis, remanent adhuc ABCD bis, remanent odhue ABCD hi, aequales ipsis E F G H semel. Quod erat propo m.
Ceterum patet demonstrationis medium congruenti modo applieari posse cuilibet Numerorum multitudini propositae, unde set regula generalis. Si fuerint quothber nameri, quoνum omnιum ona dempto super ratiquis excessus dentur, eris Meessuum se is summa numeraνtim multipha secundώm numerum multitνδικιs merorum binlario
Ita si fuerint quinque numeri, etit excessuum summa summae numerorum tripla, & s fuerint seqnumeri, erit excessuum summa, numerorum summae quadrupla, S sic in infinitum. Atque ex his& ex ipsa Diophanti operatione elicietur Canon generalis ad liniusmodi quaestiones soluendas proposita qualibet multitudine numerorum. Summam excusatim divide per numerMm - ιιιudιnιs numero is binaria multarum, a quotienie avi
fers illatim ipsos exeosus, residuorumsmisses erant quasset numeri.
QVONiAM tres a primo sit perant
quartum unitatibus 2o. Ponatur quartus I N. Tres ergo reliqui erunt IN. - 2o. Rursus ouia tres a secundo superant primum valitatibus 3o. Ponantur secundus & tertius simili tot unitatum, quot continet semissis duorum interuallorum, duorum scilice peto. de o. hoc est unitatum 23. Et quoniam tres a primo sunt IN. - 2o. quorum secundus & tertius sunt 2S. relinquitur primus I N. - . Et quia tres a secundo superant primum vnitatibus 3O.At tres a tertio superant secundum unitatibus 4o. crunt utique tertius& quartus stinui 31. Igitur relinquitur pro tertio 33 - I N. Sunt autem secundus && tertius simul as. quorum tertius est 33
- 1 N. relinquitur ergo secundus I N. io. Superest ut tres a quarto superent te tium unitatibus so. sed tres illi simul sunt 3 N. IS. Tertius autem est 3s. - i N. Oportet itaque 3 N. 13. superare 3S - IN. aequantur 3 N. - Is.& fit IN. vnit tum et s. Ad positioncs.Statueram primum I N. - . erit crgo ro. secundus vero similiter 13. tertius Io. quartus 2 .
Hὶ ς supponit Diopliamus, hoc theorema.
Datis quatuor numerisita ut tres quilibet reliquo sint maiores, summa duomm excessuum, quiabus tres reliquum superimi via es umma duorum ad quos excessis m relatio facta non est.
108쪽
A-, ni C ih D , in x numeri &excessus qui supra. Dico summam excessuum EF. duplam Ε os ad C A , esse iuna inae B C. R sic de aliis. Etenim quia tre, ABC, aquantur 39 Q duobus D E itemque tres B C D. aquantur duobus A F. erunt A D. lcmcIS A C. bis aequales ipsis A D E F. Quare auserendo utrimque ipsos A D. remanent B C. bis aequale, ipsi, E F. Quod erat propositum.
Hi ne etiam patet hoc Theorema ad quotlibet numeros eongruenter extendi, semper enim eodem modo ostendetur summam duorum excessium duplam esse tunitae omnium ad quos nGn est iacia excessuum relatio. Ita si fuerint quinque numeri duorum exeossuum summa erit dupla summae trium numerorsa ad quos non set excessuum relatio N se in infinitum. Sed & eadem ratione ad quotlibet numeros extendemus Theorema quod attulimus ad quaestione deeimam nonam,& illud se proponemus. Daris quosl ber numeris, ara τι omnes s Misono dempto stat sempeν reliquo maiores ; -οrum excessuum iusseren ta dupla es iusserosia Asram numerum , inter quos i Assim Desa es excessuam
Si tu quatuor numeri ΑΒ C D. & excessus trium quorumlibet super reliquum sint EFG H. &ipsorum E F. interuallum Κ culti, semiis, L. Dico L. ese interuallum ipso - Α dio B di. C io D . . xxim A D, Nam sumpta M summa reliquorum B C. inter quos non st ρο-Ε-o p , C A b cessu uni relatio, eris per iam ostensa , summa duorum E F. dupla ipsus Dialis, b L ''in' M.' Quare E M F. erunt in arithmetica medietate. Atque adeo eum extre motum E F differentia sit Κ, eius semissis L. erit differentia ipsorum E M.
Itaque quia tres A BC. seu duo ΑM. aequantur duobus D E ex hypothesi, ' erunt in arithmetica Disi. ,. medietate A ad D. ut Ead M. Quare de ipsorum AD. interuallum erit L Quod demonstrandum paris . erat. Eademque est ratio si plures fuerunt numeri, ut patct. Quamobrem ex omni parte constat pro positum. Licebit ergo di huius theorematis auxilio alia operatione, eaque sane multiplici soluere imiusmodi quaestiones, ut docuimus ad decimam Donam. Sed de his hactenus
FRoro iτvM numerum in tres numeros partiri, ut uteruis extremorum aflsumpto medio ad reliquum extremum datam habeat rationem. Statutum sit numerum 1 oo. diuidere in tres numeros, ut
primus & secundus tertii triplum constituant. At secundus & tertius quadruplum primi. Ponatur tertius i N. & quia pri-vius & secundus iaciunt triplum tertij, erunt utique ambo 3 N Tres ergo numeti simul erunt N. ete quales sane numero icto. & sit 1 N. rue. Ad postiones. Posueram tertium 1 N. erit ergo aue. Statueram autem primum & secundum simul a N. erunt ergo 73. Rursus quia secundus eutertius constituunt quadruplum primi. Ponatur primus i N. erunt igitur secundus & tertius N. Tres ergo simul sunt ueN. sed& unitates roO. fit igitur a N. et O. est ergo primus ro. tertius vero a 3. Res duum igitur est secundus, nimirum 33. de satis secutiat quaestioni.
EX operatione Diophanti eliciemus huiusmodi Canonem. Datum numerum diu desiuitiatim per denominatorem viri que rationis po lata unitata aum.
Porro quamuis operatio Diophanti per duas positiones sit elegans , potest tamen solui quastio
109쪽
Det vilicam tantum positionem, etiam sine auxilio regulae quantitatis, quicquid dieat Xilander. Ouod ita fiet. Ponatur prunus 1 N. ergo secundus & tertius simul erunt N. de trium lumina y N. si di inditur in duas attes, quarum altera alterius sit tripla, habebimus hine tertium, inde lum-Orimi Ac seeundi. Di iidemus autem y N. in duas partes seruantes proportionem triplam pern secundae huius, eruntque I : N & 3 N. est ergo primus i N. tertius ii N. & liue a lura. 8 tertii ouae est 4 N. auseratur tertius, siue a sumina primi di secundi quae est 3. N. aufei
seeundi&tet tu quait 4 auseratur tertius, siue a sum: a primi di seeundi quae est 3 l N. auseratur
otimu remanet secundus et N. Omnes autem simul faciunt 3. N. Ihitur 3 N. aequantur Icio. dent i N. sto. Ad hypostasis, erit primus aO. secundus 33. tertius 21. N eonstat.
ες ιυ αριθών Θ λιέψω M' αλλα άριο- φῶ ινος ti . . ψεθη. η γινιοι ὀ-M it, o μετορ λ -η συ. o δε IN vε Ni κε tres numeros, quorum maximus medium excedat minimi data parte medius minimum superet maximi data parte. At minimus dato numerito superet datam medii partem. Oportet autem medium tanta parte maximi praestare minimo, ut denominatore partis illius ducto m id quo medius excedat minimum , ma or in eo existat Numerorum multitudo, quam in medio. Constitutum sit maximum medio ptae stare, triente minimi. Medium autem minimo superaddere trientem maκimi. Minimum denique superare trientem medij Io. unitati-hus. Ponatur itaque minimus i N. & Io.
unitatum quibus praestare debet triente medij. Erit ergo medius 3 N. ut contineat minimus trientem medii & unitates io. vel sic. Ponatur medius 3 N.& quia volo minimum superare trientem medii decem unitatibus, erit minimus I N.-IO. Restat ut medius minimum superet maximi triente, sed quo messius minimum superat est a. N. - Io. lioc ergo est triens misimi, ipse igitur maximus est 6 N. 3o. Oportet itaque & maximum medio praestare, triente minimi, sed quo maximus medium excedit est 3 N. - 3o. hoc ergo est triens minimi, minimus ergo est y N. - ρο. sed & repertus est I N. - io.
Quamobrem si I N. 12. ς erit igitur ter
Op o R T s T autem mediam &e. Resertur haee eonditio ad Algebricos numeros nota N. affectos,& eius' neeessitas ita dentonstrari potest. Quia Diophantus ponit pro medio certam Numerorum multitudinem , erit & minimus certa Numerorum multitudo is certis unitatibus, quia videli cet minimus est eeria pars medii -- eertis unitatibus. Quare medius excedet minimum certa mul-
110쪽
titudine Numerorum certis unitatibiis, cum entui in medio nullae sint unitates absoluta, tion pruierunt ab eo subtrali nitates quae sunt in minimo, nisi per signum -. Cum ergo excessus ille medij supra minimum lii ccria pars maximi, ut habeatur maximus, ducetur hic excessus in denominatorem partis, setque maximus constans ex multitudine Numerorum certis unitatibus. Nec cile est autem ut haec Num crorum multitudo existens in maximo, sit maior Numerorum multitudine existente in inediO , alioquin si ponatur minor vel aequali, , cum praeterea adiunctum habeat desectum unitatum, sequetur maximum minorem esse inedio. Quod est absurduin. Quae omnia ex ipsam et Diophanti operationc malitiasta sunt. Sed quod pace Diophanti dictum velim ) haec conditio, parum congruenter assignata videtur. Etenim eum quastioni apponit ut conditio, id fit vi per eam agnosicamus utrum poli ibilis si quaestio, necne, ne videlicet oleum operamque perdamus circa imposs- bilem frustra ope tantes, ac proinde talis esse debet conditio, ut ante ipsam operationem naturam quaestionis nobis aperiat. Quod sane non praestat haec Diophanti conditio, cum per eam non nisi iam prouecta operatione, de statu quaestionis iudicium fieri possit. Itaque solitum aut horis aeumen hJeces sero. Certe non crat difficile legitimam eonditionem praescribere, hoe modo. Oportet denomιnaiorem partis med 3 minorem esse num/ro, qui Ili ex eodem denominatore unisare
Canonem hic si formate libet, neeesse et it eum perplexiorem fieti, hoe scilicet modo. Duae inter se aenominatores partiummaae mi es minimi, or troductam Onitate a4 3iam duetra invisum numerum , prorillumque δώide postidum sub tribus denominatorιbus muli usura ini
Verbi gratia dc beat maximus si perare medium quarta parte minimi. Medius minimum sexta parte maximi. minimus quintam partem medii numeto a. ducito inter se & s. producto a . adde i. st quem duello in i a. sit et . quem diuide per solidit in 1 ub denominatoribus s. s. . multatum vnitate de producto ex 4. in summam aliorum, hoc est diuide 3 o. pet 7s. fit A. cui si addas i a. st minimus quaesitotum i6. de si dueas A. in denominatorem s. fiet aci. medius, unde facile est repetite maximum et . eum sit sextuplus ad interuallum medij de minimi.
IN v E N est a tres numeros ut maximus medium superet, minimi data parte. Medius minimum excedat, maximi data parte. Minimus dato numero superci datam med ij partem. Oportet autem maximi talem partem dari, ut adiecta minimo, numeros pauciores conficiat iis qui pro medio numero ab initio ponebantur. Ponatur rursus minimus i N. & m. unitates quibus superat medij trientem , erit ergo medius 3. N. ut scilicet minimus superet Io. unitatibus trientem me dij. Rursus quia volo maximum inedio praestare trientem inimi, si addidero medio minimi tricii tem habebo maximum, nimirum 3 ἰ N. - 3 Restat ut medius aequalis sit minimo, & maximi trienti. Sed minimus cum triente maximi est et Hoc igitur aequa
tur medio seu 3 N. Ausero similia a si-
ntilibus. Ergo G N. aequantur H :. Omnia nouies. Igitur 8 N. aequantur Ioo.