장음표시 사용
131쪽
i., s. prius productum 3a. posterius 272. Ponatur summa numerorum a N. Igitur est summa ' quadratorem, di quia ex suinina numerorum in interuallum eorundem fit interuallum quadratorum , quo rursus dueto in numerorum interuallum fit 32. erit tu quadratus instrualli numerorum,7- . ρε is qui si auferatur a duplo summae quadratorum, nimirum residuum n aequatur quadrato summae numerorum i omnia ducendo in I N. fiunt uela aequales I C. & fit I N 8. summa numerorum , & 34. summa quadratorum, & a. interuallum eorundem. Vnde facilὸ repetiuntut numeri 3 . & s. Hine fit Canon Aufer prias ρνorietum a duplo posterioris, re uum est e bas summa numerorum, per quam siδ
Inuenire duos numeros ut productum ex summa numerorum in interuallum quadratorum, S productum ex summa quadratorum in interuallum numerorum, datose ficiant numeros. oportet autem duplum posterioris producti multarum priore producto , relinquere cubum, ita ut per eius latus diuidendo prius productum, oriatur quadratus.
Esto prius productum ris. posterius M. Ponatur interuallum numerorum I N. ergo summa qua dratotum erit m. ει ob eausam in precedente allatam mi erat quadratus summae numerorum. Itaque 1., 3. V. si duplo summae quadratorum quod est auferatur quadratus summae numerorum nimirum Pu 3' residuum ni est quadtatus interualli numerorum. Quare di aequatur I Omnia in i N. sunt 8. aequales x C. est ergo a N I. interuallum numerorum, & summa quadratorum 34. N quadratus summae numerorum 6 . unde licet variis modis quaestionem solvete, di inuenire quaestos numeros a. &1. Hine fit Canon. Aaser ius proΔstim a dola poserioris, residuum est evibus interuatii semeraram, itaque per eius iatus dividenda prius prodactam , orat ν quadratus summa numerarum.
IN va Ni Ra duos numeros , datam inter se rationem habentes, ut & sumina quadratorum ab ipsis, ad summam ipsorum datam habeat rationem. Impera tum sit maiorem minoris esse triplum psummam autem quadratorum , summae numerorum esse quincuplam. Ponatur
minor 1 N. Maior igitur erit 3 N. Superest ut summa quadratorum ab ipsis, summae utriusque sit quincupla. Caetersim summa quadratorum ab ipsis ortorum fitio summa vero ipsorum e N. vnde constat lo inquincuplos esse ad 4 Ν. Quamobrem et o N. aequantur io dc fiti N. a. Est igitur. minora. maior 6. de quaestioni satisfaciunt. IN s V ST I O N EM XX XIV.CIRcA hane quaestionem Ze octo sequentes nulla est difficultas, nec ampliori indigent expli eation . Canones etiam pro qualibet formari nullo negotio possunt, quod tibi telinquo pe
ET PEIN δυο c.' λογα γω π Nun Ni Ra duos numeros in data δεθενει -ο ἡ συνλως α, αις I ratione , ut Limma quadratorum ab
132쪽
ipsis ortorum , ad interuallum ipsorum τε μαγ---δ υπεμυμ- αὐ-ς λογον ἔχηcatam habeat rationum. Iniunctum sit δύ, αενον. ---ω δε Φὸν DMζονα maiorem minoris triplum esse s siummam ἔλαν vi εἴ Rπλασιονα, τὸ γ συνειμα γυautem quadratorum ab ipsis ortorum, απ' αὐHI MDγώνω, g αὐηδ o interualli ipsoruna esse decuplam. Pona- δη πλατιονιι. ειναμ ὀ ἐλα-ν ς' α. Otur minor I N. Maior ergo erit 3 N. α 5α-σμι α γ. λειπὸν Mλω - σύ- Caeterum volo summam quadratorum ab diuα F ἀπ' αἰδοῦ - ωνων τῆς μεροχ Ripsis, interualli ipsorum esse decuplam. αὐI πὶ δ πλαλλα Φὸ σδελαια Ned summa quadratorum ab ipsis facit F αὐ αυῆο τ εο αγιννων πω ι δεναοι De i. ἡ
veto 9. & satisfaciunt quaestioni.
133쪽
π Quamobrem et . N. aequantur8 4sc fit rursus IN. 3. & demonit ratio est mani
T P EIN GO-υ λογιο τώ 'Isesta. Similiter hac ipsa ratione inuenientur duo numeri datam ad inuicem rationem habentes, ut productus ex corum multiplicatione ad summam ipserum datam habeat rationem. Et rursus duo. numeri datam niter se rationem habentes,ut productus ex eorum multiplicatione ad ipserum interuallum datam habeat rationem
IN v ε N a R E duos numeros iu data ratione, ut quadratus a minore ortus ad maiorem datam habeat rationem. Iniumstum sit maiorem minoris esse triplum; quadratum autem minoris, esse maioris sescuplum. Ponatur rursus minor I N.
Maior igitur erit; N. superest ut & quadratus a minore ortus, sit maioris sescuplus. Sed quadratus minoris est i gitur I sescuplus est ad 3 N. Quamobrem I 8 N. aequantur I in&fitIN. I 8. Erit ergo minor 18. Maior 3 . Sc hi sati faciunt quaestioni.
N v s N I R E duos numeros in data ratione , ut quadratus minoris ad ipsum minorem datam habeat rationem. Constitutum sit maiorem minoris esse triplum ; Minoris autem quadratum ipsius minoris esse sescuplum. Esto similitet maior 3 N. minori N. & manet maior minoris triplus. Restat ut minoris qua diatus , ipsius minoris sit sescuplus. Quamobrem I insescuplus est ad I N. Proinde 6. N. aequantur 1 ME fit I N. 6. erit igitur minor 6. Maior I 8. & soluunt quae
N v v N I R a duos numeros in datara Ilione, ut quadratus minoris ad seminam utriusque datam habeat rationem. Statutum sit maiorem minoris esse triplum, quadratum vero minoris summae
etriusque esse duplum. Esto rursus Maior 3 N. minor IN. Superest ut quadratus a minore ortus, summae utriusque sit du-
134쪽
I M itit x a R ob haec eadem, inue- Μ ΟΙ Ω Σ δὲ δια τι- αὐτων α δε-LAnientur duo numeri in data ratione, σοντα. ἀειθαρὶ δυο ει λιγω-δ Ita ut maioris quadratus ad minorem da- Θεντι , o ο τοῦ α Oisc τε ἄγωνος αγὶς tam habeat rationem. Et rursus duo nu- τον ἐλάσσονα , λογον δεδοι εαν. καὶ v.
meri in data ratione, ut quadratus maiO- ων δυο ἀειθ-ὶ εν λόγω σω δεθίνυ rueris ad ipsum maiorem datam habeat ra- Ο G μυ νοο πνοος αυτον τὸν ia I omtionem. Et similiter duo numeri in data λογον δέδορ-ον. καὶ ὁ πιλο δυο ἀειθ- ratione, ut maioris quadratus ad sum' εν λαγω νω δαθεντι επωe o sώ - tii Lmam virtusque datam habeat rationem. 6 Ο --ιαμφότερον λογον εχη δεδωEt adhuc duo numeri in ratione data, καὶ ἔνι δύο δριθμηὶ ὀν λογω Φωδο- ut & maioris quadratus ad interuallum Θιm , οπακ καὶ ο Κτο τῶ μύ νος νε α ω- ipsorum datam habeat rationem.
135쪽
quod si multiplicetur in reliquum, putam s. fit 3 N. -I . Denique si 3. & s. coniungantur, & qui conficitur 8. ducaturin 1 N. fiunt 8 N. EnimVero 3 N. --I . non esse trium productorum maximum liquet, maior enim illo est 3 N. -- I . Er-SO IN. -- I s. aut minimus est, aut medius. At 3 N. - i . aut maximus est,
aut medius, Denique 8 N. & maximus,& medius, & minimus esse potest, eo quod ignotum sit quantum valeat I N Ponatur ergo primo minimus N. --I . minimus 3 N. - - 13. medius subinde 8 N. Iam si tres numeri aequalibus se superent interuallis , maximus & minimus coniuncti , duplum sunt me dij. Maximus autem & minimus faciunt 8 N. - 3Ο. Hoc ergo aequale est 16 N. & fit 1 N. Tantus est quaesitus, & satisfacit postulatis. Iam vero sit maximus quidem 3 N. -- I . sed medius N. -- I minimus vero 8 N. Atqui si tres numeri aequalibus se superent interuallis , quanto maximus medium superat, tanto medius superat minimum. Sed excessus maximi supra medium est i N. Medij autem supra minimum excessus est 13 - 3 N. Igitur IS - N. aequantur a N. & fit I N. V. Tantus est quaesitus , & quaestioni satisfacit. Denique maximus esto 8 N. medius autem 3 N. --is. minimus 3 Ν. II. Quandoquidem rursus maximus Mininimus duplum me dij conficiunt, sed maximus & minimus faciunt II N. - II. hoc duplum est medii; medius autem est
N. - II. Igitur Io N. - 3o. aquantur Π N. - Is. Erit ergo quaesitus numerusis. & implet postulata. EM XXX XLI iinoo hie assumit Diophamussi tres numeri suerunt in arithmetica medietate, summa extremotum est aequalis duplo medij, demonstratum est propositione quinta libri primi porismatum.
Caeterum ex triplici operatione, triplex Canon formari potest nimirum. Divide duplum producti multipocationιs datorum numerorum, per summam eorundem, orietur ter rius quaesitus. Vel. Divide productam multiplicationiι per compositum ex maiore numero er interuallo numerorum, oris tur tertius quasitus. vel denique. Divide produstum multiplieationis per id quo durum minoris numeri excedit maiorem, orietur teris
Ex hoe autem ultimo Canone manifestum est te iri ut duplum minoris numeri excedat maiorem. Nee tertia operatio Diophanti absque tali limitatione iocum habere potest.
136쪽
Nutu ista duos numeros', ut summa ipsorum , ad summam quadratorum ab ipsis ortotum datam habeat ratio nem. Imperatum sit summam ipsorum summae quadratorum ab ipss ortorum esse decimam partem.Ponatur minor i N. maior autem a N.fit summa Ipsorum a N. Summa vero quadratorum ab ipsis ortorum est ue Oportet igitur 3 N. esse decimam partem de 3 Quare 3o N. sunt aequales 3 Qst i N. 6. Est ergo minor 6. maior Ia. & satisfaciunt quaestioni. T p EI N δύο - νωι ἡ
In II. Librum Diophanti commentarij.
I ΑΜ animaduerterunt & Seholiastes &Xilander quatis, quaestiones initio libri huius exispositas, cum quatuor priore libro traditis, in omnibus sere eonuenire, nimirum primam& secundam huius eum trigesima quarta & trigesina septima primi. At quartam & quintam huius cum trigesimaquinta & ttigesima sexta illius. Nee in alio differunt hae quasiones ab illis, nisi quod istae uniuersanus proponuntur. in illis vero numerorum quaestorum ratio praes-e ibitur, sed ortandi modus idem est. Itaque vi quod sentio, libetὸ dieam, vix adducor ut erodam haee seripsisse Diophantuin, & in te saeili tam inani viam esse tepetitione. Iudicent alij.
IN vs Ni Ra duos numeros, ut interia uallum ipsorum, ad interuallum quadratorum ab ipss ortoruti datam habeat rationem. Constitutum si interuallum ipsorum s interualli quadratorum ab ipsis, esse sextantem. Ponatur minor IN. maior autem a N. 5 fit interuallum ipsorum i N. At interuallum quadratorum ab ip-ss ortorum est 3 Q. oportet igitur 1 ιN.
137쪽
ἰσει δυαάμιεσι g. s. stiti γί. ιτυ ό αυἄυὸς IN us, ias duos numeros , ut pro ductus ex eorum multiplicatione ad summam virtusque, vel ad interuallum ipsorum datam habeat rationem. Conis
stitutum si primo productum multiplicationis, summae sescuplum osse. Ponantur quaesiti numeri 1 N. & a N. Cae-eterum possent etiam in qualibet data ratione poni. Erit igitur productus ex eorum multiplicatione et insumma vero utriusque 3 N. Oportet ergo a infuscuplos esse ad 3N. Proinde i8. N. aequantur 1 se fit i N. q. Erit ergo primus secundus i8. & soluunt quaestionem. i Quod si imperatum si productum multiplicationis interualli esse rescuplum. Erit rursus productum multiplicati nixi inAt interuallum i N. Proinde rursus 6 N. aequabuntur a. α& fiet 1 N. Erit ergo primus 3. secundus 6. & satissaeiunt quaestioni. γ . ο δὲ δd γιρκ H ς. e ποιουσι γο αγρ-
H E c quastio cum nulla primi libri conuenit , quiequid dieat scholiastes , qui eam reuoeae
ad tripesimam & trigesimam tertiam. Sed quim merito , sola eollatione set manifestum. Caeterimi licut hὶc Diophantus eomparat productum ex multiplicatione duorum numerorum, cum eorum summa, & cum eorum interuallo, sic & idem productum comparati potest interuallo quadratorum , & summae eorundem. unde duae huiusmodi scirmabuntur quastiones.
AVAEsTIO PRIMA. Inuenire duos numeros, ut summa quadratorum ad productum multiplicationit da
tam habeat rationem. Oportet autem vi a quadrato semissis denominatoris rationis, auferendo vilitatem supersi quadratus.
Esto summa quadratorum ad productum vi s. ad a. Ponatur altet numerorum I N. alter I. erit summa quadratorum i in-- I. productum N. Quare I I. aequatur l. N. & si I N. vel a. vel l. Itaque duo quilibet numeri in ratione dupla satisfacient proposito. Nine fit Canon. A quiadrato semus s denominararis rationis diate, aufer imparem , resid- iatus adde vel assim eιdem semissi, orietur miroque modo δnominator ratιonis , in qua auo qui abet sumpsi nummis Mani Disses onem. Ceterum notatu dignum est summam quadratorum ad productum, eandem semper habere rationem , quam habet ad unitatem summa quotientum qui fiunt ex mutua laterum diuisione. Quod
λ η 8 etiam sic ostendetur. sint latera A B. quorum quadrati EF, productum G. & ditiistic f. DP SB. st quotiens C. diuisoque B per A sit quotiens D. Dico ambo, EF. simul ad lacu G. esse sevi ambos CD simul ad unitatem. Etenim quia ducto D in A.&productri', '' O i, 3 B-' idem P. fiet ducto A in B,&producto G in D. Eodem argumento ostendemus E fieri e2 G in C. Cum ergo G ductus in sngulos C D producat singulos E F. pateteu si imma ipsorum C D. in G fieti summam ipsorum EF. Quare ex definitione multiplicationi, est summa ipsorum E F. ad G. sicut summa ipsolum C D. ad unitatem. Quod demonstrandum erat.
138쪽
Inuenire duos numeros, ut interuallum quadratorum ad productum multiplicationis datam habeat rationem. Optrici autem ut quadrato leniissis denonaanatoriS ra tionis datae addendo vultatem, tiat quadratus.
Elta interuallum quadratorum ad productum , ut 8. ad 3. Ponatur alter Numerorum I N. alter I. erit interuallum quadratorum I Q r. At productum I N. Quare I aequabitur - ἰ N.&fiet rN. I. vel si IN. supponatur minor quam I. erit interuallum quadnatorum I - i Quare r. aequabitur 1 α -- : N. & fiet I N.: Quare manifestum est quoslibet numeros in proportione tripla loluere quastionem, hine fiet Canon. uadrara semi sis denomιnatoriι ratione dista adde νmtate , latori semma adde vel ad ma eumdem semissem, utroque modo innotescet denom torratιoms, in auia duo stiber num ι sumptis ira fac/ent proposito. T. Hic etiam accidit interuallum quadratorum ad productum multiplieationis eandem habere rationem , quam habet ad unitatem interualliam quotient uiri qui fiunt ex mutua laterum diuisone Quod ex demonmatis in praecedente, manifeste colligitur.
IN v Ni Ra duos numeros Vt compositus ex quadratis ipsorum ad iplorum numerorum interuallum, datam habeat rationem. Constitutum esto compositum ex quadratis ipsorum interualli esse decuplum. Ponatur, rursus primuS rN. secundus 1 N. erit igitur compositus
ex quadratis ipsdrum s interuallum autem ipsorum est 1 N. Oportet ergo decuplos esse ad I N. Proinde 3. quantur Io. N. & fit I N. a. erit ergo primus a. secundus . 3c satisfaciunt quaeitioni. ET P E I N δυο αυθμὼς ἁ oc o ersati
uallum quadratorum ab ipsis ortorum, ad summam ipsorum numerorum, datam habeat rationem. Imperetur ut interuallum quadratorum , summae numerorum sit sescuplum. Ponantur rursus quaestinumeri, hic quidem 1 N. ille vero a N.& fit interuallum quadratorum ab ipssortorum 3. in summa vero numerorum 3N. Proinde 3 squantur 18. N.& fiti N. s. & euidens est demonstratio. Υ p EI N δυο οπμ η
rum interuallo , Vinumeros, dato eo- interuallum qua-
139쪽
dratorum ab ipsis ottorum, interuallum ipsorum superet dato numero. Oportet
autem quadratum interualli numerorum minorem esse composio tum ex ipsemet interuallo , tum ex dato numero quo quadratorum interuallum superat ipsum numerorum interuallum. Imperetur ut interuallum numerorum siletanteruallum autem quadratorum superet interuallum numerorum unitatibus dio. Ponatur minori N. Maior igitur erit i N. -- a. & manet interuallum ipsorum a. interuallum autem quadratorum est 4 N. - 4. Oportet igitur N. - superare unitates a. unitatibus dio. Quamobrem N. - q. aequantur et r. & fit IN. 4 i. Erit igitur minor 4 i. maior εοῦ. &soluunt quaestionem.
HIE c quaestio verbis paulum immutatis eadem est eum tertJa illarum , quas ad trigesimam te tiam ptimi sumus commenti. Nam verbi gratia quaerere ducis numeros quorum interuallum si a. & interuallum quadratorum superet ipsum a. numero Io. nil aliud est quini velle ut interuat. Ium numerorum sit a. interuallum vero quadratorum dia. Itaque eonditici ibi apposita eadem est eum illa quam hic praescribit Diophantus , nimirum. suadratas inta alii numerorum dabor essem. ωον ἰηιera tio εωaaratorum , cuius Theorematis si quis peculiarem requirat demonstrationem , eam asserte non pigebit. sint dati numeri ΑΒ. BC. quorum interuallum Α D. ita ut o B. B C. sint aeqoa les. Dico quadratum ipsus A D minorem esse interuallo quadratorum ab ipsis A B. BC. etenim
η-δει - . si e istinis A B est aequalis quadratis partium A D. D B. & duplo plani sub ip-
ss. Igit ut interuallum quo quadratus ab A B superat quadratum abs D B seu abs C est aequale quadrato ipsus A D. & duplo producti ex A D. in D B. Quare interuallum quadOdiatorum superat quadratum interualli numerorum , duplo producti ex minore numero in ipsum interuallum numerotum. Quod erat propositum. sic contra si interuallo quadratorum addatur qu,dratus intet ualli numerorum , set duplum producti ex maiore numero in idem interuallum numerorum . Nam si quadrato ipsius A D. & duplo producti ex Α D in D B. addatur metus quadratus ipsius A D. erit totum compositum aequale duplo quadrati ex AD, & duplo producti ev A D in D B, hoe est duplo producti ex A B. maiore numero in Α D interuallum numerorum. Quod erat proposituna. Quamuis itaque Cancines allati ad tertiam illarum quas attulimus ad trigesimam te tiam primi, sint Aelles & expediti, ex hoc tamen Theoremate alium eolligemus Canonem , sane
. non inelegantem. Iti erualio quinisatorum adue vel assime quisis tum ntervalli nameVorum, summam ct residia- ῶ- ωide per .ntertialium numerorum , quotientes erunt ausi quastarum numerorum.
να εἴ m et erοτερου si τε mea dis oro: g ὐπε- ροχης, κοῦ τ .RΘ σω, μονάδι, T. εεγαφου κώb υπεροχὴ αυσών νά- S. o G ελαρσων IN v a N i R E duos numer fi, ut interuallum quadratorum ab ipsis, dato numero saperet interuallum numerorum,& se ad illum in data ratione. Constitutumst interuallum quadratoriam, inte ualli numerorum este triplum, At superaddere adhuc unitates Io. Oportet autem quadratum interualli numerorum,
minorem esse composito ex triplo sui ipsius , & ex datis unitatibus Io. Ponatur
140쪽
interuallum numerorum I. minor autemi N. atque ideo maior Oportet itaq N. - . triplos esse ad a. & adhuc superaddere Io. Ter igitur a. adscitis unitatibus Io. aequatur N. - 4. &fit IN. 3. Erit ergo minor 3. maior 3. &sarisiaciunt quaestioni. ς' ἐν de. O . D in latis ς' .ὸς μ' C. δω - σω αem ἀριθuae I -δ' Un Home
CONDITIONI s appositae eadem initio est quae & appositae praeeedenti quaestioni. nil enim aliud requirit quana vi quadratus interualli numerorum sit minor interuallo quadratorum, MCauones iidein hie etiam Iocum habebunt, ut manifestum est.
FROro si xv M quadratum diuidere
in duos quadratos. Imperatum sit viis. diuidatur in duos quadratos. Ponatur primus I QDportet igitur Is - I Q. qu les esse quadrato. Fingo quadratum a numeris quotquot libuerit, cum desectu tot unitatum quod continet latus ipsius is esto a a N. - . ipse igitur quadratus erit qQ -- IE. - Is N. haec aequabuntur uni talibus I 6 -i αCommunis adiiciatur utrimque defecitiis,& a similibus auserantur similia, fients 'quales ab N & fit I N. Erit igitur alter quadratorum alter vero rei de utriusque summa est, seu I6. & uterque quadratus est.. ΓMποπιμπι, irrus 3 sianc ις . καὶ -ν .
OBSERVATIO DOMINI PETRI DE FER MAT
CUbum autem in duos cubos , aut quadrarioquadratum in duos quadratoquadrarag γ generaliter nullam in infinitum ultra quadratum potestatem in duos eiusdem nominis fas est diuidere cuius rei demonstrationem mirabilem sane detexi.