장음표시 사용
71쪽
Iam uero sit A impar, atque ideo & D impar. Igitur ei ipsa E salterum parem, alterum imparem esse necesse est. Nam siue M uterque ponatur par, siue uterque impar, a erit compos tua ex ipsis D par, contra hypothes m. Sit ergo E par. F impar. Igiturer v v & B pat erit, 3 C impar. Itaque sumpto G L aequali ipsi A. N ideo impare, addat ut ei L N impati I C aequalis. , erit ergo totus G M par. Quare secetur bifariam in X & ipsi X L. sumatur aqualis H Κ, buh.ι o. ira, C H remaneat aequalis ipsi L M. Tune. ut prius ostendemus, quadratum ex G L. seu D atqua 1., ii quadruplo plani sub G Κ. Κ L N quadrato interualli GH qui est F. di tandem quadratum E iae s. aequati quadruplo plani sub G Κ. Κ L. atque ideo planum ipsum sub G Κ. Κ L aequati quadrato se missi, ipsitia B. Vnde sequitur ipsos GK. KL esse planos similes. Qua ni obtem Λ componitur ex duobus planis smilibus. Quod erat ostendendum.
Hiise ρὰ, ja qui ι itti planismiles ex quibus componitur hypatenus reianguli. Nam s hva eΑtis addia vir er adam Iur utramtibet laterum circa restim, semisses fiamma, cr inter Ili Ghibebώων pian. aitia, similis. Vnde tutias eollige si hypotenuia si numerus par. eam semper bis componi ex duobus planis smilibus integris. Nam tune ut ostensum est, utrumque latus cirea rectum est par , quare utrumlibet addatur & adimatur hypotenuis, erunt summae N interualla numeri pares, & eorum semisses in integriq habebuntur. Sie posita hypotenuia Io. si ei addas te ad imas 6. fiet summa di interuallum i ε.& 4. quotum semisses 8. N a. sunt plani similes ea quibus Io. eonstat. Rursus si eidem io. addas Ee adima, alterum latus s. st summa di interuallum I& de a. quorum semisses s. N I. sunt alii duo plani similes ex quibus Io. componitur. si .eto hypotenuia si impar,eum ut ostensum est, alterum laterum circa rectum si par alterum im p 1e. Componetur hypotenui a semel tantum ex integris duobus planis similibus, qui habenti, i s ei ad ditur Ad adimatur latus illud quod est impar,& summat di interualli semisses sumantur; sed si hypoleianuis addatur de adimatur latus par , tam summa quam interuallum impar erit, atque adeo seriises eorum non habebuntur in integris.
PROPOSITIO V. Probi. a. A duobus quibuscumque inaequalibus numeris triangulum rectangulum formare
.. Sint duo numeri inaequales A B a quibus oportet sermare triangulum rectan in *' gulum. Sint ipsorum A B quadrati CE N productus ex A in B. esto D. Tune se Q I duorum CE summa est o F,& eorundem interuallum G. & sit H duplum ipsu, 9- δε-- Q D. Di eo F. C. H esse triangulum rectangulum quaesitum. Nam ipsos F G H em, i ah ipsa A B ut traditum in des nitione sexta manifetium est. Restat robandum eosdem FGH eonstituet e triangulum. Quoniam ergo CE sunt plani smiles , S D medius eorum pro portionalis , patet ab ipsis C E formatos esse FGH, atque adeo FGH constituere triangultim rectangulum per tertiam huius. Quate constat propositum
Ina uatis num/ras esse oportet. Alioquin si aquatis essen , quadrati quoque eorum essem les , es haberi non posseι ultis eirca rectum quod GF interuallum quaeriatorum. Caterum parer modiam hine μν manat 1 tangultima duobias qua buscumque numeris non H fore ab eo qui tradisus es proposiιιon. ιινιia, sisco Lireum stimansur ipsa quadra/a ct ab ipsis eancipiatur formari ιriantium.
Si suerint quatuor numeri proportionales , aggregatum quadratorum a singulis, aequatur quadratis summae extremorum, & interualli mediorum. Itemque quadratis
summae mediorum, & interualli extremorum. si a x i sint A BCD quatuor numeri proportionales , se uidelieet A ad RA L. B 4. C ,. D s. ut C ad D.& ut extremorum summa γε, mediorum interuallum κ ci , L I. ' Rursus sit mediorum summa C. interuallum edittentorum L Di eo quadratorum a singulis A BCD aggregatum aequati tum quadratis ... i. a ipsorum Η. X. tum quadratis G L. Quia enim . quadratus H aequalis est quadrati, partium A I D& duplo plani sub Α & D seu plani sub B & C. duplum autem plani sub B di C cum quadrato inter
72쪽
ualli eorum Κ aequatur quadratia ipso tum BC. Manifestum est quadratos singulorum ABC Da vitiae aquati quadratis ip1orum H Κ. Eadem prorsus ratione , quia quadiatus abs G. aequatur quadratas' γ partium B. C. & plano bis sub A & C. seu sub Α & D. N planus bis sub A N D una cum quadrato , interualli eorunt L aequatur quadratis ipsorum A D, sequitur quadratos abs G & L aequatiturius quadratis a singulis A BC D. Quamobrem constat propositum.
Si numerus ex duobus inaequalibus quadratis compositus ; ducatur in alium compositum quoque ex duobus inaequalibus quadratis, qui non sint proportionales iis ex quibus prior componitur, producetur numerus qui componetur bas ex duobus quadratis sit A eompositus eου duobus quadratis inaequalibus D E. itemque B coni. positus ex aliis quadratis in aqualibus FG. qui non sint proportionales iris k D E ductoque A in B. fiat C. Dico C componi bis ex ouobus quadratis. Etenim quadrato tum D. E. F. G latera sumo Η Κ LM. due iue L. in ipsos H Κ fiant N P. & ducto M in eosdem H Κ fiant Q. R. Erit e d/ι lina igitur tam N ad P quam Q ad R sicut H ad Κ. Quare ipsi P .Q R. sutit 7 proportionales. Quia vero dueere A in Bal idem est ae dueete singulo, DE iti siugulos FG. Atristi. gulis quadratis D E in singulos quadratos FG. sunt quadrati quatuor quorum latera sunt ipsi N. P. ε' 'Q. R. qui fiunt eα singulis late tibia, HK in singula lateta LM. patet C aequalem esse quadratis ipsorum N. D. Q R. sed quadrati ipso tum N. P. Q R. aequantur tum quadrato summae eet tremotum N R. ς sola ati quadrato interualli mediorum P Q tum quadrato summae medio tum P & quadrato interualli ea tremorum N R. Igitur & C aequatur tum quadrato summae extremorum ,& quadrato interualli mediorum; tum quadrato summae mediorum , & quadrato interuaIli extremotum , ae proinde eomponit ut bis ex duobus quadratis. Quod erat demonstrandum.
73쪽
Si da orum triangulorum rectangulorum latera circa rectum proportionalia fuerint, similia erunt triangula. Sed &s fuerit hypotenula primi ad alterii in latus civ dem, sicut hypotenusa a. ad alterum illius latus, similia erunt ipsa triangula.
Dentonstratur hoc ab Euclide in omnibus triangulis lib. o. prop. sexta& septima. Sit triangulum C, Mis x o x Gangulum As C. cuius hypotenuis A. Itemque triangulum rectangulum s' κδ'' e' h v s e itis hypotentisa D. N primo si a ad x sicut C ad F. Dico triangula esse Di. s 1 τ ου similia. Sumantur G H a quadrati ipsorum a se. Itemque L MN. quadrati ip i sorum D E p. Cum ergost a ad E ut C ad F, erit S Mad M ut x ad N cum vitaque φο F i, lodicet iisdem rationis dupli eata. . Igitur di antecedentes simul M x seu G. ad consequentes simul M N. seu ad L. erunt ut M ad M vel x ad N. Quare eum sit a ad L ut M ad M vel vix ad N. erit & A ad n ut a ad Ε & ut c ad p. Atque ideo tota triangula similia erunt ex definitione. Qus d erat propositum. Deinde sit A ad D ut v ad a. Di eo rursus similia esse triangula. Etenim quia est A ad D ut a ad a, erit At c ad L ut M ad N. Quare permutando erit o ad M ut L ad M. & diuidendo erit x ad H ut N ad M. N rii sus permutando erit x ad M ut M ad M. Igitur est & c ad p ut a ad a vel ut A ad D. Ae proinde similia sunt triangula. Quod erat demonstrandum
PROPOSITIO ITA proportionalibus numeris formata triangula, similia sunt.
p p i G ου μ sint proportionales numeri A B. CD. quorum quadrati a ν.
ἡ aiata, a e J ri 8 G M o quibus formentur triangula rectangula, si videt ieet
.sim. ' M ' o . 2 ὰ x. Rinnaa ipsorum s F, at L eorundem interuallum, Μ duplum 3 ' medii pioportionalis. S; militer sit ν. summa ipsorum o M. At p eorundem interuallum. o duplum media proportionalis. Dic triangula xC M. Nν esse si . milia. Quia enim est A ad a vi e ad D. etit & g ad ν ut G ad Η & componendo erit uterque x p smul. nempe x ad p. sicut ambo G M, nempe N. ad M. Rursus quia est E ad F ut G ad M, diuidendo & eon uertendo , etit s ad L, si eut it ad p. Cum ergo si x ad F vi N ad Η, & rursus p ad L, ut M ad p. erit eaee ama, aequo x ad L. vi N ad P. Quamobrem similia erunt triangula XL N. N P . Quod erat propostum. - Eademque et it demonstratio si formentur tria n gula a planis similibus proportionalibus ut traditum est prop. tet tia. Nam si ponantur huiusmodi plani as. G H. ab eis formata erunt triangula x LM. N p quae ostendentur similia ut prius.
Sit triangulum rectangulum AE C. & aliud non simile D E F, a quibus oporteat efformare alia duo; ducatur basis A in basim D, di perpendiculum B in perpendiculum n & fiant M G. Tum ducitur hasis D in perpendiculum a di basis A in perpendiculum a & fiant x x. Deinde additis smul sat M. & e et duobus is o minor de maiore auseratur & supelsi N. similiter addantur 1a c. di fiat ex ipsis x L minoi de maiore detrahatur, & supersit p. Denique du-eatur hypotenuia C. in hypo tenusam v N sat R. Dico MN . SP Q R ese quaesita triangula. Primum enim ea sol mala esse eonstat a datis triangulis, ut tra.ditum ess des nitione septima, s videlicet lateta AD. vel BE nune ut bases nune ut perpendicula considerentur. Igitur restat solum Irobandum M N R eonstituere triangulum rectangulum , ite trique P o R. Dueatur C in ipsos D s N nant T v. Cum ergo idem e ductus in so- prima, gulos D s s see erit ipsos T v a I patet T v R eonstituere triansulum rectangulum, & quadratum ab quati qu adlatis abs τ, & v. similitet quia idem D ductus in singulos a A C, producit ipsos x M T. eonstituunt N hi triang. rect. & quadratus aha T aequatur quadratis abs x & M. Rursus quia idems ductus in singulos Aa C. producit ipsos Lo v, constituunt& hi triang. redi. N quadratus ab .a . . ete illatur quadratis abs L.& G. Quare eum quadratus ah R si ostensus aequalis quadtatis abs et & v. ρμι- j. erit quadratus ab R aequalis quadratis a singulis x M LGι Quoniam veto ex eodem D in ipsos a AP s. eia, producuntur x M. erit 1 ad Η ut B ad A. Similiter quia ex E in eosdem B λ sunt O L. erit o ad L via adi ias. λ, ae proinde erit x ad M ut G ad L. Quamobrem A aggregatum quadratorum Mingulis ER I G. .seu quadratus ad R. aequatur quadrato su inmae extremorum seu quadrato ab M. di quadrato interualli mediolum seu quadrato ab N. Quare uti κ constituunt triang. rectang. Rursus i dura aggregatum
74쪽
quadratorum a singulis x M. Lo. seu quadratus ab R aequatur quadrato summae mediorum seu quadrato abs Q & quadrato interualli evite motum seu quadrato abs p. Quamobrem di ipsi P QI. sonstituunt iii g. rectar g. Itaque ex omni ae te confiat propositum.
nis ipsi R. ΡRopo SITIO XI. Probi. Inuenire tria triangula rectangula, ut selidus sub perpendiculis ad selidum sub
basibus sit in ratione quadrati numeri ad quadratum numerum. Exponatur triang. rect. ABC. euius hypotenuia A pereendiculum B. basis ιC Deinde ab ipsis A & B sotmelut aliud triang. tect. ita ut hypotenusa sit summa quadratorum , perpendae ulum E sit duplum producti multiplicationi, & hasis F sit interuallum quadrato tum , nimirum quadratus ipsius C. Denique ab ipsis A C. formetur etiam tertium triangulum, euius hypotenuia G. sit summa quadratorum , perpendiculum K duplum producti, &basis L differentia quadrato tum, nempe quadratus ipsius B. Dico tria haec triangula praestare quod requiritui. Ducto enim E in Κ fiat P. quo ducto in B fiat Mimilitet ducto C in L sat M, quo ducto in F fiat N. Dico inblidum sub perpendiculis, ad N solidum sub hasthus habete rationem quadrati ad quadratum. sumatur it duplum ipsius A. & ev B in C sat V. quo ducto tursus in B sat T. Quia ergo sumptis tribus numeris B C.& B rursus,o idem si numerus quouis ordine in tet se ducatur,ducto e terita, s. autem B in C & producto V in B fit T. At ducto B in B & producto Lin C. fit M. sunt utique Τει M aequales. Quia vero e 2 B in Α bis, seu e E B in It si E, & ex C in R fit Κ. consideratis quatuor numeris B. R. C. R. idem set numerus quouis ordine inter se ducantur. Sed ducto Bin R. undest E, & ducto C in R unde fit Κ, de demum ducto E in Κ produeitui P. Igitui s dueatur R in Runde fit H, & R in C. unde sit v. ae demum V daeatur in H. fiet idem P. Cum igitur idem V ducto, in H & in B prodii eat ipsos P T seu P M. ι erit H ad B sie ut P ad M. . Quale qui si ex mutuo a decima ductu mediorum B P. nempe 1olidus Q. fit etiam ex ductu extremorum H M. Chm igitur ex eodem 'Min ipso H&F fiant solidi QN. et it Q ad N. sicut Had F. Quare eum H & F sint quassiat L, erit ad N in latione quadrati ad quadratum. Quod demonstrandum erat.
75쪽
Invenire quo triangula rectangula , ut planus sub perpendiculis, superet planum sub basbus numero quadrato, vel cubo, vel quadrato quadrato, vel quadrato cubo, vel cubo cubo.
D s. Exponatur quodlibet it ang. rect . AB C. ita ut D duplum perpendietili C st A s. B 4. C 3. maius basi B. N ab ipsis tmetur triangulum H Κ L. E ia. Fue. G ia .l As. X ao. R I 6. ita vi H sit aggregatum quadratorum , bass X st in. H sa. Κ eto. L 8.is I 4. N 8o. T O . tertia: lum eorundem de perpendiculum L st duplum M io8. N M. Froa. V uers. X aro. Y aso .iproducti ex B in D. Deinde singula latera H X L. di-d pH a, ut dantur per basim B &4 fiat aliud triangulum smile E F G. . . . Di eo primo habeti duo triangula A si C. E F G. ita ut planus sub perpendiculis supetet planum sub basibus quadrato numero. Etenim ducto Cin G fiat inde quia dueto B in F fit Κ ex constu cticine, auseratur X ex inti supersi R. Di eo R esse quadratum. Quia enim D est duplus ad C. prodite iis his ex B in D nempe L aequatur quadruplo producti ex B in C. Quare diuiso L per B quo lien, G est qua diu plus ad C. Cum ergo ex C in C fiat inelit in quadruplus quadrati ipsius C. seui quali, quadrato ipsius D. Proinde cum X sit interuallum quo quadratus ex D. nempe upetat quadratum ex B patet ausetendo Κ ex Q residuum R esse quadratum ipsus B. Quod erat propo
Dieo seeundo haberi duo triangula A B C, H Κ L, ita vi sanus sub perpendiculis superet planum sub basibus numero cubo. Etenim ducto C in I sat S. & ducto B in Κ sat N. quo detra istoe et S. supersit T. Dieo T esse euhum. Quia enim ex eodem Cin ipsos GL sunt Q s. etit ad S ut Gad L. Rurias , quia e et eodem B in psos F Κ, fiunt X N. erit K ad N vi F ad X. Quare eum ob s militudinem triangulorum sit F ad K ut G ad Letit& ad s. vi K ad N. Ideo cum si . t totus Q ad totum s. ssablatus X ad ablatum N. erit& reliquus R ad teliquum T. in eadem ratione. Sed rationi, F ad Κ seu C ad L denomina tot est B ex eonstructione. Igitur & rationia R ad T idem B de nominator et it, ae proinde ex B in Rset T. Igitur cum ex B in suum quadratum R. sat T. erit Teubus ipsius B. Quod erat propositum. Rursu, si B ducatur in itiangulum H Κ L. ' sat aliud smile M N P. Dieo haberi duo teiangula ABC. MN P. ita ut planus sub perpendiculis superet planum sub basibus numero quadratoquadrato. Etenim si C dueatur in P unde fiat V. N B ducatur in N unde fiat X quo detracto ex V te linquat ut Y. Dico Y esse quadrato quadratu in . Nam eodem quo prius argumento Osendemus esse
76쪽
T ad Y se ut X ad N vel L ad P. Quare eum rationis X ad N vel L ad P denominator sit B ex conis structione ; erit idem B denominator ratiotii, T ad Y ae pioinde ex B in suum cubum T siet Y. Quare Y erit quadratoquadratus ipsius B. similiter, si B ducat ut tutias in triangulum MN P. fiet aliud smile quod eum triangulo ABC exhibebit duo itiangula ita ut planus sub perpendiculis superet planum sub has bus numeto quadratoetibo. nimirum quadratocubo ipsius B. Et si tui sus Bdueatur in ultimum triangulum , het aliud quod eum ipso ABC duo exhibebit itiangula, ita ut planus sub perpendiculis supetet planum stib basibus cubocubo ipsius B. Igitur ex omni parte constat propositum.
Inuenire duo triangula rectangula ut planus sub perpendiculis cum plano subbasibus , iaciat quadratum , uel cubum, vel quadrato quadratum , vel quadrat
cubum , vel cubo cubiam. Exponatur triang. rQ. AB C. ita ut D duplum bass C. fit minus perpen-D Io. diculo B. . Et ab ipsis B D sotmettit aliud triangulum H Κ Lut supra , cu- . A ra. B ia. C s. ius omnia latera dividantur per B di . fiat E ao F 3 G ao. Q ico. Κ 44. R 1 . triangulum simile EFG. Dico primo duo h , iis..H a 4 . Κ 4. L 24o. S iam. N 118. T i 18. trian uia ABC. EFG huiusna odi esse ut ... . M ayχ8. N ueas. P 288o. t V i oo. X ει;6. Y ro ιε. planux sub perpendiculis cum plano sub basibus iaciat quadratum. Etenim ducto C in C fiat ineui addatur Κ productus ex B in seα eonstructione & fiat R. dico R esse quadratum. Quia enim D est duplus ad C. & ex B in D bis fit L. idem L fiet e et B in quadruplum ipsius C. Quare eum diuidendo L per B fiat G. erit G quadruplus ipsius C. proinde Q ploductus ex C in G aequabitur quadtuplo quadrati ipsius C, ieu quadrato ipsus D. ei ergo Κ ut interuallum quo quadratus B superat quadratum ex D nempe ipsum Raddendo &Κ summa R. erit quadratus ipsius B. Quod erat propositum. Di eo seeundo duci triangula ABC. H Κ L talia esse vi planus sub perpendie ulis eum plano subbasibus faeiat e libum. Nam ducto C in L sat s. ductoque Bin Κ fiat N quo addito ad s. fiat T. Dieo T esse eubam. Etenim quia ex eodem C in G ge in L. fiunt Q S. & ex eodem B in ipso, F Κfiunt Κ N. erit uad S. ut G ad L. & erit K ad N. ut F ad K. sed est F ad Κ. ut G ad Lob si in ilitudinem triangulorum, ergo est & Q ad S ut K ad N. Quare & erunt antecedentes sinui nempe R Meonsequentes simul nempe ad T vi N. sed B est denominatot rationis K ad N ex eonstructione, ergo α rationis R ad T. Quamobrem ex B in R ti et T. unde cum R sit quadtatus ipsius B ut osten in es . eriti e ubυς eiusdem B. Quod erat propositu in . Rursus si B dueatur in triangulum H Κ L. & fiat aliud simile MN P. Dico tertio duo iii angula Α Β C. M N P. huiusmodi esse ut planus sub perpendie ulis cum plano sub basibus saeiat quadratoquadratum, Etenim si C. dueat ut in D di fiat V. N B ducatur in N. & fiat X. quo addito ad V fiat Y. Dieo Y esse quadratoquadratum. Nam eodem quo prius argumento ostendemus esse T ad Y, se ut N ad X. Quare eum e2 B in N sat X, necesse est etiam ex B in T seti Y. ae proinde etim T. Ostensu, sit eu bus ipsius B, et it N quadrato quadratus eiusdem B. Similiter si B ducatur rursus initiansulum MN P. set aliud simile quod cum triangulo ABC. ostendetur esse huiusmodi ut planus sub perpendiculis eum plano sub basibus iaciat quadratoeubum ipsus B. Re demum si B ducatur tutias in ultimum triangulum , fiet aliud , quod eum ipso ABC, ostendemus esse huiusmodi, ut planus sub perpendiculis cum plano sub asibus iaciat cubocubum ipsius B. Igitur es omni pa
In hae ct in ρν eadenti problemate avide tit inuenta duo triangula si per eundem numerum utraque munipheentur aut dividantur , prodiaeana istia duo idem pranantia, quod unica exemplo sufficier pro. bare. Multiphsa per 3. triangviIa I 3. ia. s. es Io l. 3 ao. 'nι atia duo, 39. 26. s. cy' o I. II. Eo.
Inuenire tria triangula rectangula , ut solidus sub hypote nuss, ad solidum sub perpendiculis se habeat ut quadratus ad quadratum.
77쪽
Exponatur triang. rectang. quodcumque A. B. C. ita ut D duplum perpendiculi C. sit maius basi B. Ac ab eo sol metur aliud E F G, ita ut planus sub perpendiculis superet planum sub basibus numero quadrato. Tum a duobus hisce triangulis ρ fotmelut tertium H λ L. ita vi H iit productus ex A in EAt Κ basis fiat addito producto ex G in B. ad productum ex F in C. Denique perpendiculum L fiat auferendo productum ex F in B. . producto ex G in C. Dico tria hare triangula satisfacere propolito , nimi tum M solidum sub hyp tenusis ad N solidum sub perpendiculis esse in ratione quadrati ad quadratum. Quia enim ex Α, in E fit Hex eo ni trudi. patet solidum M factum ex id in H esse quadratum ipsius H. Quia vero ut probatum est i a. huius ex C in G fit quadratus ipsius D. At L. est quadratus ipsius R. ex construet &pe a. huius. Patet solidum N. qui fit ex quadrato in quadratum, esse quadratum cuius latus scilieet est productus ex B in D. Quare eum uterque M dc N. sit qlladratus, patet propositum. α decima Aliter exposito triangulo ABC. ita ut D duplum perpendiculi si minus bati B formetur aliud en a. - E F G, ita ut planus sub perpendiculis cum plano sub bili biis factaei 3. D A quadratum. Et ab ipsis duobus d estot metur tertium H Κ lis ita ut hy-- um 4 Α II. B Iz. C hoienus, H fiat ex Α in E. basis K sit, quod testat a producto ex B in G E 2o l. F 3 7. G ῖο dei theudoprod ictum ex C in F. Denique perpendiculum L. stuum a H 264 1. Κ zz '. L ' p odii florum ex B in F 8e ex C in G. Erit igitur L quadratus ipsius B. i Ouare eum constet etiam per decimam tertiam ex C in G produci quadratum ipsius D. patet solidum s , b ipsis C G L. productum ex quadrato in quadratum , esse quadratum , cuius scilicec latus est productus ex II in D. At solidus sub hypotenti sis, ut prius ostendetur aequalis quadrato irsius H. Igitur cum uterque solidus sit qua diatus, constat abundὸ propositum.
- πο-m. Ceterum piacuit his subtractere ρ quentia Theoremata non inutitia de triangulis reesania ulis, qua protulit primur Franci a Vieta in libri/ cetera rum, εαε κνι ea Bntheis c. mimia alimon rarit. .
In triangulo rectat gulo, quotlibet laterum circa rectum, est medium proportionale inter aggregatum & interuallum alterius lateris & hypotentiis. Et e conuerso,
si fuerint tres inaequales numeri, quorum unus sit medius proportionalis inter summam & interuallum aliorum, constituent triangulum rectangulum ipsi tres numeri. - Sit t iangulum tectangulum A B C. & alterius lateris Α & Hypo tenuis C tua A 3- B 4 C iei uallum si D. a negatum E. Dico reliquum latus B esse medium proportio-Da. G E nile iittet ipso, D li. sumpto enim G. quadrato ipsius B, patet ex hypothesi
quadratum ex A cum quadrato G aequari quadrato ipsius C. Quare G est interuallum quo quadra tertὶa. i. tus ex C. superat quadratum ex A. Quamobrem G fiet ex D in E, ex interuallo lettieet in sum a vites' mam. e Igitur B est medius proportionalis inter D & E. Quod demonstrandum erat. η , 7 E eonuerso ponatur B medius proportionalis tuter D E interuallum Sc suini iam ipsorum A C. Dieci tres A B C eonstituere triang rech. Quia enim lunt proportiouales D B E, - ex Din Efiet G quadratus ipsius B. Atqui ex interuallo D in summam E fit interualliana quadratorum ex A N C., mi. i. Constat ergo G esse interuallum quo quadratus ex C superat quadratum ex A. Ae ideo G seu qua- ιγisvi.' diatus ex Beum quadrato ex A aequatur quadrato ex C. Qua inobrem ABC constituunt triangulum rectangulum. Quod demonstrandum erat.
In triangulo rectangulo quadratus unius laterum circa rectum, aequatur quadrato interualli inter alterum latus & hypotenusam, una cum duplo producti ex eodem m-iei uallo in idem latus, &c conuerso. ἡ .
Sit triang. reet. A BC.& sit D interuallum inter hypotenusam C. & latus B. Α Α, Β 3 sis & ipsiu, D duplus esto G. Dico quadratum alterius lateris A aequari quadrato G ' ipsi ui D. & producto eα G in B. Quia enim BD sin il aequamur ipsi C. erit 'duadratus ex C. aequalis quadratis ipsorum B D, & duplo producti ex Bin D. hoe est quadratis ex B & D, & producto eu Gin B. At rursus ex hypothesi quadratus ex C aequatur quadratis i plotum AB. Igitur quadrati ex Α & B. aequantur quadratis ex B&D & producto ex G in B. Qitate ablato
78쪽
utrimque eommuni quadrato ex B. te manet quadratus ex A aequalis quadrato ex D, & producto ex Gin B. Quod demonstrandui a etat. Conuetiam eadem facilitate ostendetur sit enim quadratus ex A. aequalis quadrato ex D in tet- ualli ipsorum B C. & producto ex C in B. Dico A B Ceolasti ruere dilang. rect. Nam ut plius ua utatus ex C aequat ut quadtatis ex B N DS producto ea G in B. Ergo loco quadrati e Y D 389o lucti ex Gin B. s timendo quadratum ex A illis aequalem, erit quadratus ex C aequalis quaeratis ex A& B. Ac proinde ABC constituent itiang. iect. Quod erat propositum.
In triangulo rectangulo, si duplum interualli lateris unius & hypo tenusae duca tur in hypotenusam, fit numerus aequalis quadrato reliqui lateris , una cum quadrato eiusdem interualli; & e coluier . hac sit eadem figura quae prius , di eo productu in ex G in C aequari quadrati et ipso - , o h s' tum A D. a Quia enim quadratus e2 A aequat ut producto ex G in B di quadrato t. i
'ex D, si addatur utrimque qua status ex D, et unt quadrati ex A & D simul aequa- i., .les producto ex G in B R duplo quadiati eu D. s d quia G est duplus ad D. pliaudius ex G in Daequat ut duplo quadrati ex D. ergo quadrati ex A N D aequantur productis ex G in B & in D, seu s Aia.... producto ex G in C qui eomponit ut ex ipsis B D. Quod erat propositum. E conuerso ponam ut quadrati ex A N D aequales producto ex C in C. dieo ipsi . . ABC eonstituere triang. rere . Quia enim productu, ex G in C. aequatur productis ex G in B S in D. N proa cnim η, Auctus ex G in D aequatur duplo quadrati ex D, constat quadratos e 2 A N D aequati producto ex C in B& duplo quadrati ex D. Quare auferendo utrimque communem quadratum ex D. remanet quadratus es A aequalis producto ex C in B & quadrato ex D. 4 Quamobrem ABC constituunt diri ang. rect. Quod demonstrandum erat. hexta, hu-
si duplum compositi ex uno latere & hypotentiis ducatur in hypotenusam, productus aequatur quadrato eiusdem composti, & reliqui lateris quadrato. Et e conis
uerso. Sit triang. t Q. A a C. & si H summa lateris B & hypotenuis C. & se X duplum ipso, M. die Α L B c productum ex K in C. aequari quadratis i pthrum ΑΗ. Nam quadratu, e2 H p aria. xisina Τ aequatur quadratis partium 3. c. N producto bis ex a in c. Quare addendo
utrimque quadratum ex A. Quadrati ex Α & H aequantur quadratis singulorum Aac & producto ias ex a in c. Quia vero x continet his virumque a C. ducere e in x idem estae ducere C in seipsum, & in a bis. Ergo pio ductus ex x in c. aquatur duplo quadrati ex C. N producti ex B in C. Proinde loco unius quadrati ex C. sumendo quadratos illi aequales ex a Ze n. fiet productus ex x in c. aequalis quadratis singulorum A a C. & producto bis ex . in c. hoe est qua diatis ipsorum a. u. Quod erat cistendendum. E conuerso si ponantur quadrati ex A & M. aequales producto ex x In e. Dico A ac constitueret clang. rect. Nam ut prius Ostende ilius quadratos ex A Ae M. aequari quadratis ain ulti tum AEC &duplo producti in a in C. unde sequitiit eu hypothes productum ex x in c. aequati quadratis sngulorum A a C.& producto bis ex a in C. At ut prius productus ex x in C Ostendetur aequalis duplo qua stati ex e & pto ducti ex a in c. Igitur di quadrati singulorum Aac, cum duplo producti ex ain c. aequabuntur duplo producti ex a in C & duplo quadrati es c. Quare auferendo utrimque dii plum producti ex E in C. & quadratum ex c semel, remanent quadrati ex Α &n aequales quadrat ex C. Ac proinde Aac eonstituunt triangulum rectangulum. Quod demonstrandum fuit.
Missub iere a lib. aliud non mi Meundum, neque inuriti theorema, qMOd ipsi commenti semus.
In trivngulo rectangulo quadratus summae laterum aequalis est numero qui fit bis e N aggregato hypotenuis & baseos, in aggregatum hypotenuia de perpendiculis
79쪽
64 Cl. Gasparis Bach. Pori sim. Lib. tertius.
i, Esto triangulum rectingulum AR C. cuius hypotenuia E. summa laterum D. at .. --, ''c gregatum ipsorum Assit E,& F aggregatum ipsorum BC. Dico quadratum ip ρ. ' . . . ' ius D. aequati duplo producti ea E in F. Elcnim quadratus ex D. aequat ut quadra L η 'μ ii, singulorum A n e & duplo noducti ex quolibet in quemlibet ex alis s. At ex hy hes quadratus ipsus et aequatur quadratis ipsorum a C. Quare loco quadratorum ea A N C. fomendo qualitatum ex R. erit quadratus ex D aequalis duplo quadrati eu a, & duplo producti e , in c. &e, ain ipsos A C. Rursus autem quia x continet ipsos A a. & p continet ipsos E e. duplum pioducti ex x in s continet bis quadratum ipsius a, & duplum productorum ex A in c. N ex a in ipsos A c. I sit ut duplum producti ex E in F aequatur quadrato ex D. Quod erat de in Onstrandum. Delude sint tres numeri)An C. quorum summa D.& aggregatum ipsorum A E sit p, de aggrega-ι H;m , tum ipsotuine C. sit p. de duplum producti ex s in F aequetur quadrato ex D. Dico ipsos A a c. h. ρι- , constituere triangulum rectangulum. Nam ut prius quadratus ex D. aequatur quadratis ipsorem Aac. N duplo pioducti ex quolibet in quemlibet ex aliis. At duplum producti eet x in s aequatur duplo quadrati ex a& duplo producti ex quolibet in quemlibet ex aliis. Quare auferendo utrimque duplum producti ex quolibet in quemlibet ex aliis, manet duplum quadrati ex B aequale quadratia singulorum AE C. & rursus auferendo utrimque quadratum ex a, remanet adhuc quadratus exaequalis quadratis ipsorum a C. Λc proinde a a C. constituunt triangulum tectangulum. Quod erat ostendendum.
80쪽
ARITH ΜΕΤΙC RVM. LIBER PRIMUS.
V Μ animaduerterem te, obseruandissime mihi
explicationem quaestio, num earum quae in nu-- ' 'meris proponuntur teneri; agsrcsius sum eius rei viam rationemque labricari, ex ipsisque sundame iis, quibus tota res nititur, initio petito,
naturam ac vim numerorum constituere.
Quod negotium ut videatur sortas e dise
sicilius quippe ignotum adhuc) cum
animi incipientium ad bonam de te dextro conficienda spem concipiendam nequaquam sint procliues: tamen cum tua alacritas, tum mea demonstratio effciet, vi facile id comprehendas. Celeriter enim talem doctrina accedit. ΗN ευμ ro ο ὀν
addiscunt, quorum ad discendi cupidi-
In primam Librum Diophanti Commentaris .
V IE C V N QV E ante primam quoestionem tramisit Diophantus, ea desinitionum N principioium locum obtinent. Sed velut ad altiora sestinans, hae mira breuitate perstrinxit , ut non tam ea explicare voluisse videatur, quam indicare, tyronEique admonere, ut nonnis horami cognitione iam probe instructi ad hosce Iibros euoluendos accedant. Quod sanὸ non obseutis verbis professus est, definitione decima undeclincque , cum ait eum qui hoc negotii su1cipit in additione , subductione , & multiplicatione specierum iam exercitatum esse dehcre, nec non in aequationibus rite praeparandis arprime versatum. sed & Xilandet lue mutus est, & istarii in des nitionum obscuritateni minime. diuamulans, ut Iaborem eas explicandi deelinet, lectorein ad si iam Algebrain amandat. Scholiastes autem Graecus. more suo, multa, sed ea plerunque sutilia, vela seopo Diophanti prorsus aliena nobis obtrudit. Ego media incedens via, quae Obscuriora videntur breuiter enodanda suscepi , nee tamen inutilia, vel trita di passim obuia persequi statui, praesertim e m Omnia quae his definitionibus continentur, in omnibus quotquot 1 quocunque authore extant de logi sica, libris, reperiantur. Caeterum est quod moneam in Graieci sine ulla distinctione hasce definitiones habeti , quas ego dutinguendac metis putaui, ut sic facilius explicati, ei tarique commodius possint.