장음표시 사용
111쪽
FS τ eadem prorsus quaestio cum pnxcedente, sed alia operatio. Conditio adiem eiusdem est naturae cum ea quae praecedunti apponitur, & eius necclsitas simili ratiocinatione potest deprehendi. sed eodem vitio laborat atque praecedens, nec per cam determinari quicquam Potest de quaestione proposita, antequam petaeta operatione adaequationem peruentum sit. Quare melius praetcribe- Oportet denominatorem partis medii mmorem esse numero qui fit si eiusdem denominatoris aucti parte unitatιs a parae minimi denominata ,seumatur pκra a parte maxim denominata, uni late aucta. Canon etiam ab hac operatione sormari posset, sed intricatus. Quare cum huiusmodi canones vix usus esse possint ob eorum perplcesitatem, illis supersedere satius erit.
IN vENi RE tres numeros , quorum si quisque proxime ipsum sequenti sui
partem quae mandatur dederit, inter eos qui dederunt & acceperunt sat aequalitas. Statutum si ut primus secundo det sui trientem, secundus tertio sui quadrantem a Tertius primo sui quintantem , Npost mutuam hanc contributionem fiant aequales. Ponatur primus quotlibet numerorum qui trientem habeant, quandoquidem daturus est trientem, esto itaque 3. N. Statuatur secundus quotlibet vilitatum quae quadrantem habea fit, quia daturus est quadrantem a esto itaque unitatum 4. & erit secundus datis & acceptis quae imperata sunt IN. -- 3. Restat vi&primus ubi dederit acceperitque, fiat i N. - . 3. sed dans sui trientem a N. accipiens autem 3 - I N. st I N. - 3. Igitur 3 - i N. est quinta pars tertii. ipso ergo tertius esta 3 - 3 N. Oportet ergo & tertium dantem quidem sui quintantem, accipientem vero a secundo quadrantem illa iis , nempe unitatem,fieri 1 N. - a. sed dans sui quintantem, nimirum 3-I N. relinquitur 12- 4 N. Accipiens autem a secundo quadrantem, puta unitatem, fit 13 - N. Hoc ergo aequatur I N. - 3. & fit I N. a. Ad positione. Erit primus ε. secundus A. tertius 3. & constat propositum.
HAE c quaestio infinitas reeipit solutiones, ut patet, cum posito primo 3 N. poni possit prci secundo quilibet vilitatum numerus. Eodeinque modo si ponas secundum N. poni poterit
112쪽
tertius quilibet mitatum numerus. Et si ponatur tertius fret ponetur primus ad libitum quilibet
Quod si determinare velis huiusmodi quaestiones ad unieam solutionem , praescribendus est numerus in quo fieri debet aequalitas, ut si proponatui quaestio hoc modo. Sint inueniendi tres numeri. ita ut primus impertiendo sui itiente secundum , secundus sui quadrante tertium. Tettius sui quintante primum , post hane mutuam contributionem quilibet trium numerorum inueniatur esse Io. Tune autem sie erit operandum. Esto primus 3 N. qui dando sui trientem secundo, remanebit a N. Quate cum accipiendo quintantem tertii, debeat es e IO. Erit quintans tertii Io - 2 N. ae proinde ipse tertius sO -io N. qui dando sui quintantem remanet qo - 8 N. unde cum accipiendo quadrantem secundi, debeat esse io erit utique quadrans secundi 8 N. -3O. ae proinde ipse secundus D N- lao. superest ut secundus dando sui quadrantem, & accipiendo trientem primi, fiat etiam io. st autem 23 N. - so. Igitur u N. - aequantur IO. & fit I N. a. Ad positiones. Erit primus Ia. seeun dus 8. tertius io. Ab hae quaestione parum differunt decima octauadi decima nona secundi ut fusius eo loco docebimus, ita ut videantur hine eo transsatae.
IN v Ni RE quatuor numeros quo rum quilibet proxime sequenti se . . .esui partem quae imperabitu , , ιἀ Vt dantes dc accipientes fiane aequale S. Imperatumst primum secundo dare sui trientem , se .cundum tertio dare sui quadrantem; te tium quarto, sui quintatem I Quartum primo, sui sextantem, ut post hanc mutuam contributionem fiant aequales. Ponatur primus aliquot numerorum trientem habentium, quoniam trientem daturus est sitque 3 N. secundus autem ponatur aliquot unitatum quadrantem habeniatium, quandoquidem quadrantem daturus est, sitque 4. secundus igitur dans sui quadrantem, nempe I. & accipiens primi trientem, puta I N. fit IN. - 3. Oportet ergo & primum cum dederit sui trientem I N. & acceperit sextantem quarti fieri 1 N. - 3. sed cum dedit I N. relin- uuitur a N. oportet igitur hoc adscito, sextante in quarti fieri IN-3. Quamobrem 3 - I N. est sextans quarti, atque ipse quartus est 18- 6 N. Restat ut & quartus dato sui sextante, & accepto quintante tertij, fiat i N. - . 3. sed dato sui siextante, nempe 3 - I N. remanet I 3 - s N. Oportet igitur hunc adsumentem quintantem tertij fieri 1Ν.- 3 sed si adsumat
quintans tertii .Ipse ergo tertius est 3o N-
113쪽
fieri r N. - . s. sed dato sui quintante, puta 6 N. - Ia. remanet 24 N - 48. Accepto autem secundi quadrante fit a N. - 7. Hoc ergo aequale est a N. - 3. & fit i N.
eti Ad postiones erit primus secundus
. tertius 'T. quartus ql Abiiciatur denominator partium. Erit itaque primus lueo. secundus 92. tertius Ieto. quartus ii 4. &satisfaciunt quaest oni. IN AI EsΤ ION EM XXVI.
FADaM ratio est huius quaesionis, quae Λ: praecedentis. Quaestio insnitas reeipit solutiones, &si determinanda sit ad unicam praescribendus est numerus in quo fieti debet aequalitas, tuncque operabimur ut in praecedente traditum est. Quod autem denominatores abiici iubet Diophantus, ut solutio in integris habeatur, id fit quia si inuens semel numeri quaestioni satisfacientes, per eundem multiplicentur vel diuidantur, producta itidem & quotientes quaestionem soluent, cuius rei rati est quam attingit Xilander. quia scilicet quaesti numeri, partes proportionales vicissim dant & a
cipiunt , quae autem partium cognominum cauem - latet 1e, ae vicissim est ratio. Vnde etiam
eoiligi potest alius modus soluendi huiusinodi quaestiones, cum a Metu, piae se tibitur in quo fiat aequalitas. Nam si quaestio prius soluatur per operationem Diophanti, de ii merus in quo fit aequalitas diuidatur per eum qui praescribitur, di per quotientem dividantur item inuenti numeli pei ope rationem Diophanti, habebuntur quaesiti numeri. Verbi gratia, si quae tantur quatuor numeti dan te, & accipientes easdem partes quas requirit Diophantus, ita ut faeia contributione quilibet repe riatur D. e solues prius quaestionem cum Diophanto, & inuenies numeros is . sa. ia .r1 . Et nu- metu, in quo fit aequalitas erit Ir9. Hunc ergo si diuidas per numerum prascriptum 1 9. erit quotiens α. per quem si diuidas sigillatim inuentos numeros, fient 73. 46. O . I. quaesti numeri. Posset etiam tam haee quam praecedens paulo aliter proponi, requireny scilicet ut saeta mutua contributione sant numeri, diuersi non aequales. Verbi gratia, sint inueniendi quatuor numeri ut primus dando sui trientem & aeeipiendo sextantem quarti sat 6. Secundus dando sui quadrantem.& aecipiendo itientem primi sat 7. Tertius dando sui quintantem , & aecipiendo quadranatem secundi fiat 14. Quartus dando sui sextantem, & recipiendo quintantem tertii, fiat aa.
Et tune imitabimur artificium operationis quae ad praecedentem tradita est, hoe modo. Ponat ut primus 3 N. eum ergo multatus suo triente N audius sextante quarti saciat s. erit 6 - a N. sextans quaeli, & ipse quartus 36 - Ia N. unde ablato sextante, manent 3o. -IO N. quae cum quintante tertii debent sacere a3. I tur quintans tertii est io N. - Ideoque ipse tertius est so N. - 3s qui multatus quintante manet qo N - 28. debetque tune cum quadrante secundi facete i . Quare 42- 4o N. est quadrans lecundi, & pia secundus i68 - Iso N. unde ablato quadrante manent ia5 iaci N. quae eum triente primi debent sacere 7. sed iaciunt ias Irs N. hoe ergo aequatiit 7. & fiei N. i. Ad positiones primus est 3. secundus 8. tertius I s. quartus 24.
IN v ENia a tres numeros ut quilibet a reliquis duobus coniunctis partem imperatam accipiat, & fiant aequales. Statutum si primum a reliquis duobus criniunctis sumere trientem. Secundum ti reliquis duobus coniunctis accipere quadrantem. Tertium a reliquis duobus conjunctis sumere quintantem, & Omnes fieri aequales. Ponat ut primus I N. teli qui vero duo compendi j gratia,quia men tem dare debent, statuantur unitatum quotlibet, trientem habentium, sintque a. Tres ergo numeri simul erunt i N. 3.
114쪽
& sine primus sumens a reliquis duobus
trientem , fit 1 N. -- i. oportet ergo &secundum a duobus reliquis coniunctis iumpto quadrante fieri IN. - I. Suman-rur Omnia quater. Quater igitur secundus adscitis duobus reliquis,eit ter secundus adstiscens ipses tres numeros. Terergo secundus adiunctis tribus numeris fit N. - Si igitur inde abstulero tres numeros relinquuntur 3 N. - r. quod est ter secundus, ipse ergo secundus est 1 N. - oportet itaque & tertium sumpto reliquorum duorum quintante fieri i N. - r. Omnia similiter sumantur quinquies, & eadem ratione inuenietur tertius IN. - . P. Superest ut tres simul iuncti sint aequales 1μ- 3.&MN. Momissa denominatione par=- , ni primu SII. secundus I p. teritus I9. & implent po
SUMA NYvR omma quater, Sec. Haec si obseuriora videantur, sic poterunt elueidati. Quia oportet seeundum sumpto quadrante reliquorum fieri 1N - L sumendo huius quadruplum patet 4 N - 4. continere quater secundum, & semel reliquos. Quare si inde auferatur semellumma trium numerorum, nempe IN - 3. patet residuum IN . continere ter secundum. Quare fiet ipse serundusi N. -- I Similiter quia IN. - I. continet semel tertium, & quintantem reliquorum, si sumatur huius quintuetum, patet N. - . continere quinquies tertium , & semel teliquos. Quale si auferatur inde lumma omnium, nimirum I N. -- 3. residuum N. - . a. erit tertii quadruplum , erit ergo tertius IN. - . caetera patent. Haec etiam quaestio infinitas solutiones recipit,de inuentis semes numeris quaestionem soluentibus. quotquot sumentur in iisdem rationibus, ij latisfacient proposito , ut sitis indicat Diophantus eum denominatorem abiicit. Quod si praescribatur numerus in quo fiat aequalitas , iam determinabitur quaestio ad unicam solutionem. Verbi gratia. Sit propositum inuenire tres numeros ut primus cum teliquorum faciat Ao. Itemque secundus cum i reliquorum, Ze rursus tertius cum reliquorum eiat etiam 4 . Ponatur primus I N. ergo reliquorum erunt εο - I N. Quare ipla summa secundi & terti, fiet clo. -I N. & summa omnium fici - 4 N. Itaque cum o. contineat secundum& reliquorum, huius quadruplum I . continebit quater secundum, & ter reliquos, auferatur ergo hinc triplum summae omnium, puta I -I N. remanebit secundus I N. - ao. Similiter quia v. continet tertium , &b reliquorum, huius quintuplum, nempe acio. continet quinquies tertium, di quater reliquos, auseratur hinc quadruplum summae Omnium, nimirum 2 - a N. remanet tertius a N. - o. Superest ut huic addendo ' tam primi, quam secundi nempe i N. S N. -I6. fiat M. fiunt autem N. -s6. aequalia qo. α fit i N. a . Ad hypostales. Ea primus 1 .seeundus I s. tertius 8. Eodem artificio soluetur quaestio, si singuli numeri eum certa parte aliorum diuersos conficiant numeros, ut si primus cum aliorum faciat 3a. secundus cunar aliotu faciat 28 tertius eum: alioru Keiae M.Ponatur enim primus IN. ergo semissis aliorum est 32 -i N.summaque ipsoru a N & summa omnive, - I N. Cum ergo a8.contine at secundum &a reliquorum, huius triplum g eontinet ter seia eundum & semel reliquos, quare si hinc auseratur summa omnium 6 - I N. residuum zo ' IN.erit duplum secundi, ac proinde ipse secundus est Io - 4 N. similiter quia 3 i. continet tertium reti reia liquorum , huius quadruplum Ia'. coutinet quater tertium & semel reliquos. Quare si inde auseratur summa omnium 64-IN. residuum εο - I N. est triplum tertii: ergo ipse tertius est χοN. superest, ut huie addendo Liam primi qu1m secundi nempe N. &a 2- - i N. fiat 3 i. fit autem vi - - c hoc ergo aequatur 3I.&fit I. N. Ia. M positiones. Pr unus est Ir. secundus ι6. tertius 24.
115쪽
les. Imperatum sit primum a reliquis tribus coniunctis sumere trientem. Securi dum a reliquis tribus coniunctis simere quadrantem. Tertium similiter sumere quintantem. Quartum vero, capere icX-tantem, & omnes fieri aequales. Ponatur primus i N. reliqui vero treS, quandoquidem trientem dare debent, statuantur unitatum quotlibet trientem habentium, puta 3. Primus igitur a tribus reli- - 'oniunctis sumpto triente fit I N. - I. Oporte L ..eo & secundum sumpto a reliquis tribus quadratile seri I N. -- I. Rursus omnia ut in praecedenti quater sumantur, & iisdem de causis inuenietur secundus I N. - . Tertius vero I N. - At quartus 1 N. - - Restat ut quatuqrnumeri simul iuncti aequentur I N. -- 3.& fit tandem IN. Erit ergo primuS s. secundus 77. tertius 92. quartus Ioi. & hi satisfaciunt proposito. νος ρι' ρα. e 7πιῶγι - . προτιψεως.
ΕΑns M omnia quae ad praecedentern dicta sunt, hic etiam locum habent. Vnde apparet fi mili prorsus artificio extendi poste quaestionem ad quinque , ad sex vel ad plures numeros, siue ea determinetur ad unicam solutionem, siue non ;&siue singuli numeti cum certa parte reliquorum aequales faciant numeros, siue diuersos. Itaque de his latis.
DV o a V s datis numeris, inuenire aliquem numerum qui in utrumque ductus, hunc quidem quadratum ericiat, illum vero latus eiusdem quadrati. Sint dati duo numeri roo. & s. & ponatur is qui quaeritur i N. qui si ducatur in acio. iacit et Oo N. At si ducatur in s. facit 3 N. Oportet autem horum alterum quadratum esse , alterum latus eius ; si ergo quadrauero ue N. fient as inaequales utiqueetoo N. Omnia per numerum dividantur. Igitur as N. aequantur zoo. & fit I N. 8. Ac is quaestioni satisfacit.
116쪽
DV y L ε x casus hic considerati potest, prout tertius quaestus duetus in utrumque datorum, productum ex maiore acit quadratum , di ex minore latus quadrati. Vel contra pro sudium ex minore saeit quadratum ,& ex maiore latus. In priotem calum incidit aequatio Diophanti. In posteriorem ista. Ponatur 1 N. quadratus , & eius latus et O N. ergo 1 N. aequantur q-oo. fit I N. . . qui quaestioni satisfacit. Pro vitoque autem casu fiet unus Canon uuiuersalior eo quem inertXssander. Alterum dato m mmerorum divitia per quadratiam ahenias, aris ur quasitus numerus. Porto quod ait Xilander, si quidem in numeris non surdis & integris quaestio eonsistat, duos propositos numeros semper esse quadratorum similes . falsi stimum est D per propostoa numeros, datos ab initio intelligat, vi ex ipso Diophanti exemplo marii festum fit, nam eto . & s. non sunt plana similes. Si autem intelligat tertium quaesitum , S alterum datorum , id verum est. Semper enim . tertius quaelitus de is in queo, ille duetus quadratum facit, sunt quadratorum similes. Sed si hoc voluit Xilander obseurὸ locutus in, & malὸ ad integros numesos id testrinxit. Quieumque enim su-naantur Numeri, idem euenire necesse est, cum ponatur ex eorum mutuo ductu produci qua a οβ ι.dratum . Quod autem ait Diophantus, sissis depressonem specierum intelligit , quam alibi vocat , de qua defio. .ic viaiaccinia autum est. Clim enim s N. sint aequales as si utraque aequationis pare erit N. diuidatur, fiunt s. aequales as N. quia icilicet aequales numeri per eundem muricium diiusi , aequales dant quotientes.
N v a N r R g duos numeros , ut semma Iipserum, &productus ex eorum mul- J
tiplicatione datos esticiant numeros. Oportet autem inueniendorum numero rum summae sc mitis quadratum , quadrato iuperare productum multiplicationis. Est autem hoc Plasmaticum. Constitu- tu in sit summum essicere 2o. at productum multiplicationis ρε. Ponatur interuallum ipserum a N. Et quoniam summa ipsorum est ro. si hanc bitariam secuero, erit pars quaelibet diuisionis , seu semissiς summae io. Et si semissem interualli, putar N. uni parti adieccro, & detraxero ab
altera, manebit rursiis utriusque summaeto. & interuallum 2 N. Ponatur ergo maior I N. -- Io. erit minor Io - I N. ω manet summa ao. interuallum a N. Restat
ut productus multiplicationis sit q6. sed productus ille est Ioo - I Hoc ergo arquatur 96. & fiti N. a. Est igitur maior ET P SIN δυο αριθυους Emo: ἡ σωθεσις
DV o indieat eonditio apposta. Primum an absolutὸ possibilis sit quaestio neene, seeundum auper nnmeros rationales solui possit, vel per surdos tantum. Primo enim eum eonstet per secundam seeundi potisin: um. madratum semiiss summae duorum numerorum aequari producto multiplicationis eorundem, & quadrato semissis interualli ipsorum, fieri non potest ut productum multiplieationis sit maius quadrato semissis summae, sed oportet aequale esse, vel minus. AEquale
117쪽
quidem si aequales sint numeri, nam semissis summae aequalium numerorum, idem est atque alter ipsomni, ae proinde ploductum multiplicationis aequatur quadrato eiusdem semissis. Minus vero, si, sint in aequales numeri, quia tune, ut dictum est, productum multiplicationis vn cum quadrato semissis interualli aequatur quadrato semissis summae. Quare oportet .vt quadrato semissis summae auferendo productum, supet si quadratus semissis interualli. Unde constat Diophantum per conditionem appostani supponere quaestos numeros esse inaequales. Deinde patet ut solutio contingat rationalis, oportere ut detracto producto a quadrato semissis summae, residuum fit quadratus numeras. Nam cum hoe residuum sit quadratus semissis interualli, si residuum illud non sit quadiatue nummas, erit interuallum irrationale, ac proinde di ipsi numeri. Verbi gratia, si diuidendus se Io. in duos numeros, quorum productum sit s8. operando cum Diophanto inueniemus tandem tinaequalem a. Quare semissis interualli erit a a. atque ipsi numeri io - 2 a. & Io - a. Porro tam ex conditione apposita, quam ex ipsa operatione elicitur iste Canon. A quadraro semissis summa, aufer productum mωθι Iearion. ι, potaui radta quisa ara, a Tra ct ad mlta alium semus summa, quassos exhibebis numeros. Aliter etiam proponi poterat conditio, nimirum. oportet numerorum summa quia tum, quadrato numero superare quiad piam producit. Nam ut ostensum est quinta seeundi potismatum. Quadraturi summae duorum numerorum,aequali, est quadruplo plani sub ipsis numeris, una eum quadrato interualli ipsorum. Vnde etiam sius Canon formabitur, nimirum. Aufer quaa plum traduiti a quia ato Iumma, -- ά rem quais tam atas ct assima isset Amma, semusis aurigati s res si ros exhibebit numeros. Sed & notatu dignum est ad hane quaestionem, illam etiam pesse reduei. Dino med a privi roporrionalium, o aggregata extremorum, extremos ἰηπιένι. .sViIαι Vt dato medio s. & summa extremorum Io. sint inueniend; ipsi extremi. ' Quia in tribus propo tionalibus , planus sub extremis aequatur quadrato medij, cum medij quadratus si sa. patet eo reduei propositam questionem , ut diuidatur Io. in duos numeros, quorum mutud ducti, fiat s Quod idem est eum Diophantaeo problemate, & per illud, vel per eius Canones inuenientur estremi quaesiti . Rict Quod autem attinet ad verba illa, τῶ re πλασMaraxes, quae nos retento Graeeo uocabulo vertimus, EI autem hoc plasmaticum, Xila et vetA Diophanti mentem minim/asseeutus, male interpletatur, me autem se fictum aliund/. Nos ea essteabimus inta quaestione trigesima tertia.
si immatesorum,& summa quadratorum ab ipsis ortorum datos conficiant numeros . oportet autem duplum seminae quadratorum , quadrato superare quadratum summae numerorum. Et hoc quoque Plasmaticum est. Imperatum sit summam numerorum esse sto. &sentinam quadratorum ab ipsis ottorum esse et o8. Ponatur itaque interuallum ipsorum a N. & esto maior I N. - Ο. Vnitates, quot scilicet continet semissis summae, minor autem si Io - I N. & manet ruinis. eorum summa ao. Interuallum vero a N. Superest ut summa quadratorum ab ipsis, sit ro8. Atqui summa quadratorum facit et in aoo. Hoc igitur aequale est unitatibus ro8.& fit i N. a. Ad positiones. Erit maior Ia. minor 8. &satisfaciunt postulatis.
118쪽
HIc etiam conditio indicat an possbilis si quaestio, & an per nummos rationales solui possit, idcique prorsus dicit quod septima seeundi potismatum , nimirum. Quadratus summae ducitum numerorum S quadratus interualli eorum aequantur duplo aggregati quadratorum. Quare ut quaestio sit possibilis necesse est duplum aggregati quadratorum , cile maius quadrato summae, tuli propositi numeri sint aequales, tune in duplum quadratorum aequabitur quadrato lummae. Quia 44 tueri. quadratus summae aequatur quadratis numerorum di duplo producti, at citin numeri sunt aequales, duplum producti aequatur ipsis quadratis.Quare in hoc casu quadratum summae aquatur duplo quadratorum. Vt veto 1 oluti sit rationalis necesse est duplum quadratorum excedere qua statum summae, quadrato numcro, cum cnim hic excessus sit quadratus interualli numerorum , ut docuimus. si huiusmodi excessus non sit quadratus, erit interuallum numerorum irrationale, ac proinde & ipsi numeri. Caeterum ex hac conditione sic explicata pendet Canon a Xilandio traditus, nimirum. A duplo agregati quadraiorum, aufer quadrartim summae numerorum, residus Iaras quiadristim adrio adime ipsi summa numerorum semissu audietati ct resitat quastas exhibebit eras. Poterat etiam aliter proponi conditio, & quidem magis apposith ad operationem Diophanti. Oporter ummam quadratorum superare dupiam quadrati semesis summa numerarum dupia quiadrati
Quia enim per sextam secundi porismatum constat summam uuadratorum duplam esse quadra totum qui sunt 1 semisse summae , & aiemisse interualli corumdem , patet si a summa qua deatorum, ausetatur dupliora quadrati a semisse summae numerorum, resduum aequari duplo qua diati, semissi, interualli numerorum. Itaque ex hac etiam conditione se explicata, & e2 ipsamee Diophanti Operatione elicietur alter Canon. Asiarima quadratorum aufer duplum quadrati semissas ma numerorum, restavit semissis Ditis εὐάν./tim ad tum vel ademptum ιpsssemus semerorum, qMastos dabatntimeros. Verba autem illa. χἰ πλασΠατ ον , luc, ut arbitror, subreptilia sunt , vi ad trigesinam tertiam susus doeebo, nolui tamen ea de textu tollere, ne audax plus aequo vel te metarius alicui sorte viderer , sed ea astetiscis includere satis habui.
Iuc nulla opus est conditione vi solutio contingat rationalis, semper enim, dum qumilio sit possibilis eam. per numeros rationales solui eontinget , verum ut sit post bilis sanὰ aliqua limitatione indiget, quicquid dicat Seholiastes, quam ego ita concipio. Oporter excessem Dadratι puper quadratum manorem esse quadrato summa numerorum. Cuius necessitas euidens est, quia ' Quadratus iamram aquatur ipsis quadratis numercitum,& 4. secvassi. duplo producti, quare nis pars ponatur aequalis toti, vel etiam maior, impossibile est interuallum
119쪽
quadratorum esse aequale vel maius quadrato summae numerorum. Itaque in exemplo Diophanti posita summa numerorum 2O. cum eius quadratus sit AOo poterit interuallum quadratorum praeteribi quilibet numerus minor quam UO. aequalis, autem vel niaior nequaquam. Caeterum ex operatione Diophanti elicitur huiusmodi Canon. Divide interuallum quadratorum per durum seu ma numerorum, quotiens additus vel ademptus is summa, dabit quasitos numeros. Hoe autem idem fere est quod demonstratum est prop. tertia secundi portimatum. nimirum.
Dis,de interualium quadratorum per summam numerstrum, orietur ιnteruallum numerorum.
Data porro summa numerorum & eorum interuallo soluitur quaestio per Canonem primae huius. Potest etiam aliter institui operatio, & tamen ad aequationem sinplicem deuenietur. Esto alter numerorum IN. alter 2o-IN. horum quadrati sunt Q.&I Q - MO. M N. quorum interuallum est oo- o N. hoc ergo aequatur M. & fit IN. 8. Hinc etiam elicietur Canon alius, priore non deterior. Quadrato summa adde vel asime ἰnterualiam quadratorum, flummam est residuum iamdesissem per piam fumma numerorκm , orientur quasiti numera.
tet autem quadruplum producti multiplicationis cum quadrato interualli iunctum, facere quadratum. Et hoc quoquePlasinaticum est. Statutum sit interualis tum esse q. productum vero multiplicationis q6. Ponatur summa ipsorum a N.
habemus autem & interuallum A. erit itaque maior IN. . Minor IN - a. Scmanet summa ipsorum a. N. interuallum
. Restat ut productum multiplicationest ρε. est autem huiusmodi productium I in Φ q. Hoc ergo aequatur ρε. & fit
rursus maior I . minor 8. dc soluunt quaestionem
HIc apposita eonditio non est ad ostendendum an ouaestici sit possibilis , sed tantum an per numeros rationales solui pol sit. Etenim non potest absolutὰ proponi huiusmodi quaestio impossibilis, quodcumque enim praescribatur numerorum interuallum ,& qualecumque statuatur produ- ductum multiplicationis eorum, soluetur quaestio. Sed vi solutio eontingat rationalis, necesse estve quadruplo producti addendo quadratum interualli, quadratus fiat, quia scilicet, quadruplum . ρε producti eum quadrato interualli aequatur quadrato sanimae numerorum. Hinc autem elieitur Ca- non a Xilandro traditus. uadrato interualii adde quadruplum producti, et regati latus opsumma numerorum , cuisi addas 2 adimas interuallum, semiss summa ct residus quastos dat numeros. Poterat etiam aliter proponi conditio,&quidem magis apposite ad operationem Diophanti. Oportet quadratum feminis inte alti additum producto, conficere quadratum. a. a. q. ' Quia scilicet quadratus interualli eum producto, quadratum efficit semissis summae. Vnde etiam& ex ipsemet operatione Diophanti alium elicimus Canonem. Adri producto quadratum semissis interualli, aggregati latus est feminis summa numera m , c addendo est adimendo semissem interualli, sient quaesiti numeri. Est etiam notatu dignnm non disserte quaestionena istam ab illa. Dato medio trium proportionalia, O disserentia extremorem, inuenire extremos. Vt dato medio 8. & interuillo extremorum II. quaerantur extremi. inua planus sub extremis aequatur quadrato medij, & is est 64. eo reducitur quaestio.
120쪽
ut inueniantur duo numeri, quotum interuallum sit ia. pro ludium multiplicationis 5 . Quod idem est cum quassione isa Diophanti. Quate per ea in vel pet Canones allatos inuenientur uxtrimi quaesti η. & i5. Superest ut explieem verba illa, τῶ πλασμα κον , quae tum huic quaestionittim tri sitiae di trigesimae primae adiecta sunt statim post conditionem, quaque hoc loco dilucidanda recepi. pilus tamen monendus est lector, nee Scholiastem, nec xilandium mentem Diophanti assequutum esse , quod cuilibet fiet manifessum qui ea quae uterque ad trigesimam commentus est Iegere voluerit. 1atu non vacat in eorum nugis testilendis diutius immolati Praeterea Xilander verba ipsa male reddidit, nam Plasmaticum , interpretatus est, effctum aliunde; cum potius
fgni se et id a quo aliud quippiam e singi N plasmati potest. Ego itaque nil aliud voluisse
Diophantum aio , quam indicare ex huiusmodi quassionum solutione , leti ex conditionibus adiectis, vel ex canonibus inde de duetis solitiati & plalmati quodammodo regulas illas quas vocant compositas, cum scilicet e, tribus infimis speciebus , duae uni aequales repetiuntur, seu ut loquitur Franciscus Victa, tepulas de quadrato asse lio sub latere. Etenim prima & secunda illatum levi tum , ab hac ipsa quastione tripesima tertia facile deducuntur. Tertia veto pendet omnino a trigesima. Quamobrem ci m a trigesina prima nulla formetur huiusmodi regula, non dubito eadem verba ibi temerὸ inculcata esse, ab ipso scilicet Scholiasa, vel imperito amanuensi ex aliis quaestionibus
Quomodo autem ab his quaestionibus formentur suptadiictae regulae , non pigebit in tyronum gratiam adscribete , ipsas etiam tradendo regulas, tum eo modo quo communiter absoluuntur, tum eo quem tradit Petrus Nonius ad vitari. - Marones saepe commodo, ae denique methodum ip sam Diophanti edihibendo.
PRIMA REGULA C O M P O SITA RV M.
aeuadrati γ Numeri aequales unitatiι vis.
Fiat prius reductio ad unum Quadratum per parabolismum , diuidendo scilicet
singulas aequationis partes per numerum Quadratorum. Tunc capiatur semissis Nu merorum, S eius quadrato addantur unitates, ab aggregati latere austratur semissis Numerorum , residuuna est valor Numeri. V ei hi gratia et Q φ. 8 N. sint aequales M. set reductio ad I indiuidendo omnia per et . sentque
I. N. a qualia a I. Tunc sumpto semisse Numerorum 2. eius quadratum 4. addo unitatibusa r. fit as. cuius latus s. unde auferendo semissem Numerorum, remanet 3. valor Numeti.
EADEM EX PETRO NON IO. Facto ut supra parabolismo si opus sit. Quadrato numeri Numerorum adde quadruplum unitatum; ab aggregati latere aufer numerum Numerorum , resduum erit valor Numeri duplicati. Verbi gratia a Q -- s N. snt squales 1 . Quia nullo hoc opus est parabolismo, quadrato ipsus
3. nimirum ipsi a s. adde quadruplum ipsius et . nimirum 96. st isti . cuius latus Ir. unde ausetendos. remanet 6. duplum numeri, ergo Numerus est 3. virumque autem modum ab hac quasi ne itigesima tertia dedit ei se ostendemus. Ponantur I Q -- 4 N. aequales II. & sto CDi N. eui addat ut BC ips aequalis. Et illis addatur adhue AB aequalis D ' ' M numero Numerorum, puta . Tunc constat ex C D in B C. fieri i in & ex CD in AB seti 4 N. Igitur ex C D in totum A C fit aI. Quamobrem cum notumst duo tum A C. C D. interuallum esse Α B, nempe . & productum ex eorum multiplicatione est II. patet nos eo deduci ut quaeramus duos numeros quorum interuallum A. produ&im multipli-eatione sit et t. Quod ipsum quaerit Diophantus quaestione hae trigesina tertia. Minor autem quaestorum erit C D. seu I N. quod inueniendum proponebatur. Itaque s viamur secundo Catione supra allato. capiemus semissem Numerorum, seu interualli, uempe ipsus 4. N eius quadratum addemus unitatibus seu producto et r. vir de sentas. euius latus s. unde s auferantur a semissis ipsius . remanet 3 minor quaeritorum, seu C D. seu I N. unde patet a secundo illo Canone deduci motum communem perficiendi hanc regulam. Quod si ad inueniendum duos numero quorum interuallum si A. productum a r. vlaris urimo G-none supra allato , in eides sane in tegulam Petti Nonii. Nam quadrato ipsus 4 qui estis addes quadruplum ipsus a I. nempe 84. vade set Io . a cuius latere Io. ausetes & residuum 6.erit duplun Numeri, nempe ipsius a.