장음표시 사용
81쪽
EηvΜ etiam praeter haec intelli
genti tibi omnes numeros compo stos esse e quadam multitudine unitatum, liquet eos augmentum in infinatum capere. Cum ergo in his quidam scit quadrati , qui fiunt numero aliquo in se multiplicato, qui numerus latus quadrati dicitur ἔ aliqua cubi qui existunt quadratis in sita multiplicatis latera , alij rursus quadrato quadrati,qui gignuntur quadra tis in seipsos ductis; nonnulli quadrato-cubi, quos quadrati in cubos ab eodem prosectos latere ducti procreant i quidam denique cuboc ubi qui cubis in seipsos
duetis nascuntur: viuuenit, ut ex horum
vel ccirpostione , vel quo praestant alij alijs , vel multiplicatione, vel ratione
inter se, aut cuiustibet, quorumlibetve ad sua latera, plurimae nectantur arithis mcticae quaestioncs, qua soluantur tamen , si ea quam commonstrabimus via
IN DEF IN IT IONEM LOVA M ut s species, vel ut alii vocant potestates, quibus velut elementis utitur Iosissim
diti infinitam multitudinem excrescant, ncc earum certus si di determinatus numerus , tamen Diophantus de quinque prioribus tantum tractationem instituit, quae sunt Quadratus,etibus, Quadratoquadratus, Quadrat cubus & cubocubus, ratus scilicet has sumcere ad implicatissimas quasque quae hactenus edicogitata sunt, quasiones dissoluendas. Harum igitur hie affert definitiones. Et Quadratum quidem cubumque definit ut Euclides. Reliquas vero tres, per ipsam nominum impotitionem. Nam quadratoquadratum vocat, numerum qui si ex quadrato in quadratum, idest in seipsum. Quadratocubum veto , qui fit ex quadrato in cubum ab eodem prosectum latere Denique cubocubum qui fit excubo in cubum , hoc est in seipsum . . Vbi aduertendum a recentioribus omnibus quotque ante Diophantum editum logistices rudimenta tradidete, Quadratocubum vocati nunc super lidum , nunc surde solidum , nunc etiam primum Relatum. Cubocubum veto, ab iisdem dici Quadratocubum, quia videlicet est quadrati cubus, vel cubi quadratus, quod adis notasse operae pretium duxi, nequem in authoribus legendis nominum ambignitas temoretur. .
in Ρεηιι ετ va igitur Quadratus,
Dynamis, & est illius nota δ' superscriptum habens o sic δ . Qui autem fit ex quadrato in suum latus cubus est, cuius nota est superscriptum habens, hoc pacto Qui autem fit ex quadrato in seipsum multiplicato, quadrato- quadratus est , cuius nota est geminum δ' habens superscriptum υ , hac ratione
ra T. Qui fit quadrato in cubum qui ab
82쪽
eodem latere prosectiis est, ducto, quadratocubus nominatur, nota eius superscriptum habens 9 sc g '. Qui excubo in se ducto nascitur, cubo cubus vocatur , & est eius nota geminum κ superscriptum habens υ, hoc pacto se . Culvero nulla harum proprietatum obtigit, sed constat multitudine unitatum rationis
experte, numerus VOeatur, nota eiuS P.
Est & aliud signum immutabile definitorum, Unitas, cuius nota μ superscrip-
HS c ad verbum exprimenda esse arbitratus sum potius qu in tum X ilandro nescio quid aliud comminisci. Quamuis enim in reliqua visione nostra notis ab eodem ratandro exeo. gitatis libenter usus sim, quas tradam infra. H. tamen ab teso Diophanto longius recedere nolui , quod hac definitione notas explicet quibus passim libria is is utitur ad species omnes compendio designandas, & qui has ignoret ne quidem Ciaeca Diophanti legere possit. Porto quadratum Dynamin vocat, qudi vox potestatem sonat, quia videlicet quadratim est veluti potestas cuiuslibet lineae, & passim ab Euelide, per id quod potest linea , quadratus illius designatur. Itali, Hispanique eadem sere de causa Censum vocant, quasi dicas redditum, prouentumque, quod a latere seu radice, tanquam a seiaci solo quadratus oriatur. Inde saetum ut Gallorum nonnulli S Get-manorum corrupto vocabulo renetum appellatim. Numerum autem indeterminatum N ignotum, qui S aliarum omnium potestatum latus esse intelligitur, Numerum simplieitet Diophantus appellat. Ali passim Radicem, vel latus, vel rem dixerunt, Itali patrio vocabulo Colam. Caeteriim nos iii versione nostra his notis N. Q. C. m. .. CC. designabimus Numerum , Quadratum. Cubum, Quadrato quadratum, Quadratocuhuin, Cubocubum. Nam quod ad unitates certas & detetminatas spectat, eis notam aliquam adscribete supet eaneum duxi, quod hae seipsis abique ulla ambiguitate sese satis indicent. Eequis enim cum audit numerum 6: non statim cogitat sex unitates i Quid ergo necesse est sex unitates dieete, cum suffetat dicere, sex λ Demum legendum in Graeco censeo. . inde μνάδων ἐλων , flagitante sententia, potius qu1m γιι αριε - Σὰλ υ , ut habetur in codiee manu exarato, di per multitudinem vnitavim rationis expertem, intestigo numerum indo- finitum & indeterminatum, seu popius ignotum, quc inque statim opponit - μιν seu unita abus cellis & determinatis.
83쪽
QV A M malὸ acceperint hane definitionem Graecus Seholiasses, R Nilander , si vaeat, vi dere potetis. Manifestum tamen est nil aliud velle Diophantum , quam ut fractionibus Nubrieis notae specierum a quibus sumunt denominationem , adlcribantur , docens ip1as fractiones non minus a qualibet specie denominari, qu m numerum quemlibet unitatum integrum. Iloe autem huiusmodi similitudine explicat. Quemadmodum, inquit , fractio quaelibet ab1oluta ab aliquo numero sumit denominationem, velut triens a ternario, a quaternario quadrans, disiede alijs; ita& quaelibet fractio Algebriea a specie cuius nota ei assaea est, denominationem mutuatur , verbi gratia : N. dicet ut semissis unius Numeri, dicetur triens unius Quadrati, C. dicetur dodrans unius Cubi, & sie de alijs, ut superuacaneum si in re manifesta diutius immorari. Portis X d, ii eoniecturam secutus , ducibus in locis loco , reposui παρενυ-ς
P Rui Nos cum tibi singulas numerorum denominationes exposuerim , ad eorum multiplicationes me eonfero , quae tibi facile patebunt, eum per ipsa in nominum impositionem, sere sint iam ante declarata'. Ergo oumerus tu numerum multiplicatus , quadratum producit , in quadratum, cubum, incubum, quadratoquadratum ; in quadratoquadratum, quadratocubum; in quadrato cubum, cubo cubum. Quadratus vero in quadratum, gignit quadratoquadratum i in cubum quadratocubum ,
in quadrato quadratum, cubocubum. Cubus autem in cubum ductus , cu cubum producit. IN DEFINIT IGNEM IV.
HI c specierum multiplicationes explicat, quarum aliquae quidem ex definitione prima, & ipsa nominum impositione manifestae sunt, reliquas vero demonstrate sacile est, tali expedit
lana cum communi eorum utere sunt at . Unitate continue proportionales.
Sit vilitas A quodlibet latus B. cuius quadratus C. cubus D. quadratoquadratus E. quadratoculnis n. c o T .ae E - . F.& cubocubus G. Dico A B C D E FG, esse eoni,ntidri proportionales. Quia enim' ex B in B, fit C. erit ex
definitione multiplieationis A ad B, ut B ad C. similiter quia ' ex B. in C, sit D. erit eadem de ea iis A ad B, ut C ad D. Qua te ipsi ABC D. sunt eontinue proportionales. Rursus' quia ex C in seipsum sit E, erit eα definitione multiplicationis A ad C, sicut C ad E. Quare eum inter A & C. cadat unus medius proportionali. B, ' cadit etiam unus in eadem ratione inter C N F, sed in ratione A ad B, vel B ad C, ostensus est C ad D. Isitut D est ille medius, ae proinde est C ad D, ut Dad E. Rursus quia ex C. in D producitui F, erit A ad C, ut D ad F. Quare rursus e i inter A C cadat medius proportionalis B, eadit & unus medius in eadem ratione inter D N F. Vnde cum in illa rationei ostensus sit esse D ad E, erit E ille medius, & ideirco erit D ad E, ut E ad F. Denique quia . e, D in seipstim fit G,etit A ad D, ut D ad G. unde sicut inter A dc D cadunt duci media proportio nate, B C, ' se & inter DG cadent duo in eadem ratione. Sed in eadem ratione ostens sunt esse Dad E, &Ead F. Igitur E F sunt illi medij, ae proinde est Ε ad F,ut F ad G.& omnes ΑΒ C DEFG. sunt continuὸ proportionales. Quod demonstrandum erat. Hinc porro specierum multiplicatio a m modi, et: ροὰ demonstratur. Primo enim ex Numero B in seipsi in s. ia. q. 3 3 ' 4 qti,diatum C. itεmque ex Numero B in quadratum C. fieti cubum D, patet ex definitione prima. Seeundo ex Numero B. in cubum D, seri quadratoqu
84쪽
dratum E probatur. Quia enim per praecedens theorema ips Α Β C D E sunt continue proportionales , erit A ad B, ut Dad E. ' Quare qui sub extremis AE continetur, aequatur ei qui lub mediis B D. sed ev unitate A in E fit ipsemet E. ergo idem E fiet ex B in D. quod erat propositu in. Tertio , s. semitrii. dico ex Numero B in suum quadratoquadratum E fieri quadratocubum F, quia enim est A ad B ut E ad F, numerus qui fit ex A in F, nempe ipse F aequatur ei qui fit ex B in E. Quod erat propositum. Quarto dico ex Numero B in suum quadratocubum F, fieri cubocubum C. Nam ut prius cum sit Λ ad B. Vt F ad C. fiet idem G e2 A in G, vel ex B in F. Quod erat intentum. Quinto ex quadrato C in seipsum, fieri quadrat uadratum E, patet ex definitione ptima, scut & ex eodem quadrat C in cubum D seri quadratocubum E. sexto ex quadrato C in quadratoquadratum E fieri cubocuia hum G se probatur. Quia ob continuam proportionalitatem, ut A ad C, sic est E ad G, idem G fiet ex A in G , vel eu C in E. Quod erat propositum. Denique ex euho D in seipsum, fieri cuboetibum C. patet ex definitione prima. Quamobrem ex omni parte constat propositum.
cognominem multiplicatus, vitia πρυα raciariae θεὶς, α νωδα πριμtatem producit.
HI c praeclard nugatur scholiastes, cum putat in hae definitione loqui Diophantum de fractimnibus absolutis , & nulla speciei alleuius nota affectis, quas docere velit ex I in 3. vel ex ἰ in . seri unitatem, quod quid ad logistieam conserat, non video, sed sane vulgo Arithmeticorum notum est, atque ipsis lippis di tonsoribus, ut geometrica demonstratione, opus non fuerit ad id confirmandum. Caeterum non id voluit Diophantus, sed potius fractiones Algebricas illas, in quibus unitates per aliquam speciem diuisae intelliguntur, auctas in speciem 1 qua denominantur, producere unitates absolutas , vis ducatur in 4. N. sent a. unitates absolutae, & si dueanturan 6. Q dent 4. v nitates absolutae, & si ducantur in io. C. sent et . unitates. Et hanc esse Diophanti mentem ex definitione inaua manifeste colligitur. Cum enim ibi multiplicationes huiusmodi sta-.91cinum tradat. non doeet quid producatur ii fractio ducatur in speciem a qua denominatur, quia stitieet id ista definitione iam comprehenderat.
rat speciem. IN DEFINITIONEM ULNON melius accepit hane definitionem Scholiastes quam praecedentem S sequentes duas,quod seitiet atque iterum monuisse semeiat. Existimauit enim in istis quatuor definitionibus Diophantum loqui de numeris & stactionibus absolutis, quod a scopo illius prorsus alienum est. Hieitaque docet Diophantus, unitates duetas in speciem quamlibet , ipsammet speciem producere, ut si a. ducantur in a. N. fient s. N. Et si ducantur in s. insent et . Qibi: sie de aliis. Causam autem assignare videtur, quod unitates absolutae, unitatis ipsus natu tam sapiant. Quemadmodum ergo unitas in quemlibet numerum ducta, producit ipsum eundent numeruin, sic N vnitates in quamlibet speciem multiplicatae, eandem speciem gignunt.
AT partes denominatae s inter se
multiplicentur, partes producunt ipss numeris cognomines. Verbi gratia pars numerica iii partem numericam ducta,quadraticam gignit ; in quadraticam, T A in Ouώνυμα ι θεια -ἰαυτα πρυ-
85쪽
νύ- μ' - hanc cubocubicam , idque communicata αριθμῶν, ου' πουε . ω δὲ δμαωπον, δύ . MU denominatione continget. Pars vero δὲ sic ν, - ' δὲ - , κα . di ο κ quadratica , in partem numericam, par-c , , μ' --ον, - δεμ . iam' rem cubicam facit; in quadraticam,qua-ο δ ιὰμ dratoquadraticam; in cubicam, quadra μῶν, hH-ἀυθμῶν, A. ἰῶ δὲ tocubicam , in quadrato quadraticam , , - si δὲ ἰώ - cubocubicam. Pars autem cubicam μκὸν, ocαιων. numericam, partem tacit, quadratoquadraticam; in quadraticam , quadrato- cubicam, in cubicam; cubocubicam. sed pars quadratoquadratica in numericam, partem facit quadratocubicam; & in quadraticam, cubo cubicam. Denique pars quadratocubica in numericam , partem gignit cubocubicam.
HAE e definitio a quarta pendet. Quemadmodum enim ibi numerorum iotegiorum a specie bus denominatorum multiplicationes docuit, ita di hie fractionum ab iisdeni speciebus de nominatarum multiplieationes tradit, quatum eadem est prorsus ratio. Nam scut verbi gratia a. N. in 3. N. saeiunt s. in ita FN. in i N. facit uec sic ut 3. N. in iaciunt ret. C. se i N. iui iunt tet C. & sie de aliis. Itaque quae demonstrata sunt ad definitionem Quartam. hic etiam locum habent.
RVasus fractio numerica in quadra
tum ducta, numerum gignit , in cubum,quadratum ue in quadratoquadratum, cubum ; in quadrato cubum, quadrato quadiatupra in cubocubum, quadrato-cubum. Fractio vero quadratica in numerum ducta , Fractionem numericam producit; in cubum, numerum , in quadratoquadratum, quadratum , in quadratocubum, cubum, in cubocubum, qua drato quadratum. Fractio cubica ducta in numerum , fractionem quadraticam gignit; in quadratum , fractionem numericam I iii quadratoquadratum, numerum ; in qua scatocubum, quadratum, in cubocubum, cubum. Fractio quadratoquadratica in numerum ducta, producit fractionem cubicam , in quadratum, fractionem quadraticam Iin cubum, fia-ctionem numericam ; in quadratocubum, numerum, in cubocubum, quadratum. Fractio quadratocubica innumerum uincta, stactionem iacit quadratoquadraticam i an quadratum, fractionem cubi canni in cubum , fractionem quadraticam 3 in quadratoquadratum, fractionem numerica mi in cubocubum, numerum. Fractio cubocubica in numerum ducta, stactionem gignit
86쪽
quadrato cubicam 3 in quadratum, fractionem quadratoquadraticam i in cubum, fractionem cubicam ; in quadratoquadratum , 1ractionem quadraticam , in quadratocubum, fractionem numericam
TAN ciet hic aliud genus fractonum, quae fiunt cum numerus a specie inse toti denomina ius diuisus intelligitur, per numerum ab altioia specie denominatum, ut si unitates per Nu- metos dividantur, fit fraelio Numetica, qualis est au. Et si unitates per quadratos dividantur, se fractio quadratica, ut , R se de aliis. Disserunt ergo re fractiones line ab iis de quibus actum est superiore definitione, quamuis utrasque iisdem nominibus appellet Diophantus. Nam in inis speciei denominatio asscit Numeratorem, in istis denominatorem, verbi gratia si dicas i N. intelligis 2. N. diuidi pers. At si dicas ibi intelligis a. diuidi ter 3. N. vitamque tamen saetionem Diophantus ἀριθριοςὲν vocat, similiter et &ω vocat δυνὰμτον communi nomine, & sc de aliis. Ratio vero multiplicandi stactiones illas, tota pendet a ratione diuidendi species inter se. Porto ditiiso multiplicationi contraria est, quamobrem, ut monet Diophantus definitione decima, cognitis specie tum multiplicationibus, cognoscuntut & diuisiones: scut enim verbi gratia Numeius in Nume tum ductus producit Quadratum, ita si Quadratus per Numetum diuidatur, orietur Numerus a deseut e, Quadiato in Cubum fit Quadratoeubus, ita si Quadrat cubus per Cubum diuidatur,otietui Quadratus, di rursus si Quadratocubus per quadratum diuidatur , orietur Cubus, di sic de alijs. Diue patet si stactio numerica Vu ducatur in a. inseri numetum, nam si seruata utraque denominatione quia vero diuidendo Quadratum per numerum, Otitur numerus , hoc idem est atque a N. Simili argumento rationem reddes omnium quae hae definitione complectitur Diophanius.
MINvs per minus multiplicatum , A EIΨΙΣ h λειψιν - λαπλα Pro producit plus. At minus per plus si ἴ- εα λειψο δὲ siti multiplicatum, producit minus. Et de- μαρξιν, - εἰ λενω, κω τῆς λεχεως mucis sed ius nota est litera ψ decurtata, & deor--κ- νων P. sim vergens, sc p. IN DEFINITIONEM ΙΥ.
YΠAPSIN &-ιιν, abundantiam de deseetiam vertere poteramus. Placuit tamen a recentioribus omnibus usitatis vocabulis dicere Plus de Minus. Et Diophantus quidem ut significet plus nulla utitur nota, sed conjunctione tantum copulatilia. Nos vero in versione nostra, eos qui ante nos Latinὰ scripserunt, imitati; Plus hoc signo denotabimus --. Minus veris isto-. Ceterum sicui mirum videatur quod Minus per Minus multiplicatum, effetat, Plus, Ze huius rei deinonstrationem requirat, legat Petrum Nonium parte a. tua: Algebrae, cap. q.
Ες ιε os ergo multiplica- rtionibus,manifestae sunt etiam pamtitiones propositarum specierum. AEQuum
itaque est eum qui hoc negotij suscipit, me viae in additione, subductione, & multipli- πολλα
catione quae speciebuς accidunt, exer- μα acitatum esse, nimirum qua ratione species quae adsunt, quaeque desint non , eiusdem multitudinis, alijs adiicias spe- ciebus quae vel adsiunt, vel itidem adsunt λ.eriis atque desunt. Et quomodo a speciebus equae adsunt, & aliis quae desunt, auferas alias quae vel adsint, vel itidem adsint atque desint
87쪽
Anni et totis M, subductionem, multiplicationem, & diuisonem speeietum, eum diuersi modὸ per Plus & Minus copulantur, non persequitur Diophantus, sed supponit in his jam exercitatum eum qui libros istos aggrediatur. Nec ego in re facili diutius immorabor, uide, si libet, authotes omnes qui Iogisticam scriptis mandarunt, ut Nicolaum Tarteseam, Petrum Nonium. Christophorum Clauium, aliosque passim.
μὴ - . xiora progredi. sie enim incipientibus ieorum haerebit deductio, pertractatione ιDEt Noa si in aliqua quaestione tractanda eaedem species adsint ex traque parte non aequali multitudine; auferenda sunt similia a smilibus, donec una species uni speciei aequalis remaneat. Quod si in utraque parte, vel in alterutra desint quaedam species, quaedam adsint, quae desimi utrinqtie addenda sint , dum species eaedem utrinque
inueniantur 3 rursumque utrimque auferenda similia a similibus, tantisper dum ab utraque parte una species relinquatur Atque hoc accurate in ipsis quaestionum postionibus, quoad detur, conabere eis cere, usque dum una species uni speciei aequalis deprehendatur. Posterius autem tibi commonstrabimus quo modo quaestio explicetur, etiam cum duae species uni aequales relinquuntur. Nunc vero ad ipsas quaestiones accedemus, cum nobis via abunde pateat, ob materiam ab ipsis speciebus collectam. Cum autem plurimi sint numeri, de mole ingentes , atque ideo tarde comprehendantur ab iis qui huic studio incumbunt , nec valent memoria i statui quae es iis ita decerpi possunt, ita ut maxime in tractationis principio elementorum partes sistineant, primo loco pro
ponere , & a simplicioribus ad perple-
fient penetratu se ciliora , S in memoriarum libris tredecim inclusa. IN DEFINITIONEM XI.
I v A T I o, est unieum medium quo utitur Logistica ad qua uis soluenda problemata, taIirm artificio ignotam quantitatem, notae alicui comparando, vi tandem inter eas aequal1tatem deprehendat,&se in agnitionem ignotae perueniat. Vt autem docet hic Diophantus, non quaelibet aequatio statim apta est soluendae propositae quaestioni,sed magna interdum indiget prapalatione quo fiat simplicissima, ita vi si fieri potest una tantum species uni speciei, vel duae, uni aequales reperiantur. Totum veto negotium praeparationis aequationum in eo consistit, ut desectus communiter addantui . di similia a similibus auferantur, & si utraque aequationis pars altioris gradusipecies
88쪽
species contineat, sat hypobibamus, seu descensu; quidam, vel depressio characterum, ut vocat X, tander, omnia diuidendo per insimae speciei donominationem. Quae omnia vi unico exemplo confirmem, sint a. C. -- 3. N. aequales s. N. q. in Quia ergo desciunt ex altera parte 4. addantur utrimque A insent et C. -- 3. N. - inaequales s. N. quia vero similes species . nempe Nin. meri utrimque reperiuntur, auferantur utrimque a. N. remanentigitur a. C. - 4. aequale hs Denique quia speetes altioris gradus ex utraque patre reperiuntur', quae Ovinea diptessionem pari possint, diuidattit utraque pars per infamam speciem quae hie est I. N. Fient ergo di. χ' . Daequales ε. unitatibus. Et tunc demum aequatio eensebitur rit E praeparata. Praeteres Parabolataria diaddit Frataciscus Vieta in libello aureo eui titulus. Bagoge in artem Analyticeri . . ius praeseriimvsus est in aquaticinibus compositis, qualis est illa quam exhibuimus , quique fit diuidendo sincula aequationis partes per unitates altioris speciei, vi In dato exemplo diuidendo eas per numerum uva.dratorem ,qui est e. sunt i Q. - I N. aequales 3. sess hac methodo non utitur Diophantus,qui aequautiones coinpostas resoluit absque hisiusmodi reductione numeri altioris speciei ad unitatcna , ut suo loco docebimus. Porro haee omnia tribus tantum nituntur prinei piis . nimirum.
Si as aqualibus aequalia aviferantur, gna remanent funt aequalia. - 1 Si aequa Isbtis aqualia addantur, rota fiant aequalia. Si a qualia peν eandem numerum dividantur , sens aquatis quotienIes . . . Haec breuiter cum Diophanto attigisse susciat, qui plura des delat, legat Vietam libro citato.
Vbi breuiter, sed aeeuitatε more suci ista persequitur. Caetetum aequatione rite praeparata, quomodo ea resoluenda sit, ut ignota quantitas innotescat, non tradit Diophantus, & eum hic polliceatur se daturum regulas quomodo explicetur quaestio.cum dua species , uni aequales reperiuntur , in libris eius qui extant huiusmodi regulae non continentur, ita ut videatur regulas omnes Algebrae quas vocat, supposuisse, ut pote notas nam iis passim utitur in his libri L) vel alio opere edito qui ad no s minime peruenit, eas tradidisse. Equidem resulis simplicibuς tantum cum scilicet una species uni speciei aequatur) in tribus prioribus libris utitur i. in sequentibus vero ad eompositas etiam nonnunquam deuoluitur. Simplices unica regula compte henduntur quae talis est.
Facto h obiba mos opussit, ita τι υ niιates alleui speciei aquales remaneant,dividanis
ur isitates per numerum a specιe denominarum , orietur qualor illius speciei. .
Vt si a. N. aequentur ra. ubi nul Io est opus hvmbibasmo, divide n. per 3. fit q. vesor unius taumeri. At si et . aequentur Io. N. Facto hypobibali io 2. N. aequantur Io. unde ficta diuisione, prodit s. viam unius numeri. Quod si a. C. aequentur I 8. N.facto hvpobibata a. aequantura unde diuidendo 18. per a. fit p. valor unius quadrati, & extracta radice M 3Ialor Numeri. Et si e de allax.Huius resulae nati damentum totum est Regula aurea proportionum, seu trium, in qua tertitis texminus est unitas, unde 1ola diuisione opus est. Nam verbi gratia in ultimo exemplo, dico per regulam avium, si I. aequantur 18.eui munero aequatur I. Q unde patet diniso I8. per a. quotientem p. esse valorem madrati. De compositis regulis agemus ad propolationem 33. Iibri huius,ubi earum fundamentum tangit Diophantus. Nam piget diutius immorari in re facili ,α vulgo etiam Logistarum notissima.
TR prosa ruri numerum in duos numeros partiri, quorum datum sit
interuallum. Esto datus numeruS IOo. interuallum vero Ao. oportet inuenire numeros. Statuatur minor t. N. Maior ergo erit r. N. & o. unitates. Igitur Vterque simul erit r. N. - o. Dabantur au tem esse Ioo. Proinde unitates Ioo. aequales sunt r. N. -- o. Ausero similia a similibus, nimirum aufero o. unitates,&
N. aequales unitatibus M. Ergo alter numerorum est 3o. Ad positiones. Erit minor quidem unitatu in 3o. maior vero nitatum 7o. & demonstratio est manifesta.
89쪽
IN RU AEST ION EM LO Past A etro Diophanti sicilis est. & nihil continet quod lectorem morati debeat. Vetbα
autem illivit etvi ura casu, 'quae Ionga periphras vertit dii tander, & aliquando etiam pet- pexam , ut suo loco monebimus. em passim interpretatus sum, Ad Positionesi vel etiam tetenta Orio vocabulo. Ad Hypostases. Semper enim inuento valore numeri, propositionem his verbis ahseluit Diophantiis, quia videlicet ut propos quaestionis habeatur perseeti 1olutio , oportet valorem numerLad positiones applicare, ut hoc loco, Cum inuenerimus valorem Numeri esse 3O.quia Minut pars pio positi numeri posita erat . N. erit ea 3o. Maior vero quae posita erat 1. N. - η . erit utique o di si e numerus ioci. divisus est in duas partes m. he 7 quarum interuallum 4o. ut requiretatur. Poterant etiam positiones aliter insitus hac arte. Ponatur maior pars I. N. erit ergo minoe .. . hatum aggregatum est a N. o. quod aequari debet oumero IOO. Quare addendo ultimque ΑΟ. sunt a. N. aequales a d. v est I N. o. Ad hypostasis. Erit maior pars γ. Minoi 3o. ut prius. Ex utraque autem operatione elicitur huiusmodi Canon. Mat. numera Luadendo, atae ieI ad me datum inter sitim, semiso summa misis rem partem; s misi re i, minoνom exhibebit. Qui Canona nobis synthetic E demonstratus est propos t. eta. lib. t. porismatum Aliter etiam rursus piaerant insilui postiones. Statuatur interuallum quaesitarum partium a. N. Maior sero pars estoso. - IN. minor so - N. sic enim utraque simul conficit ioci.& interuallum ipsarum est a. N. quod amuatur numero Ao. Quare si I. N. et . Ad positiones. Maior pars quae posta erat so-IN erit vitque 7o. Minor vero quae posta erat so - I N. erit 3o. & hinc rursus elicietur alius Canon.
si as exhibebians partes. Porto ex utroque Canone manifestὸ colligitur, s solutio in integris contingere debeat, neeesse esseve Nume tua diuidendus , & datum interuallum, sint smul pares numeri, vel smul impates, nams alter sit par, alter impar ι tam eorum summa, quam quod testat minorem de maiori subtrahendo, etit impat numeres. Quare nec summae nee res dui semissis in integris habeti poterit. Quod tan gere voluit Scholiastes. Denique moneo eodem artificio datum quemlibet numerum diuidi in quotlibet partea, quarum interualla data sint. Verbi gratia. Numerus I . diuidendus sit in tres partes, ita ut mediae septa minimam excessus sit aci. maximae supra mediam excessus sta . Ponatueminima I N. etit ergo media I N--ao. maxima vecti. N. -- 44. Harum summa est 3 N. - . aequalis Ioc. Quare auferendo utrimque 54. remanent 3 N. aequales 36. de si I N. 12. Ad positiones. Erit minima pare ra. Media 32. Maaima 16. Hine quoque s plaeet eliciemus hunc Canonem. Aafera n mero Huiuendos.mmam in re turam cui des parisa supra minimiam, re Aum p νιire
Vnde constit, ut quaestio sit possibilis, summam interuallorum euius ibet partis supta minimam minorem esse debete numero diuidendo. Caeterum duobus alijs modis institui possunt positiones, pto ut media vel maxima pars statuetur I N. & hinc rursus sermari alii Canones, quae omnia industriae
ALira etiam institui possunt positiones. Statuatur maior . N. Ergo minor- N. horum sum ma xl N. aequalis est 6o. & fit I. N. 43 . Tantus er o est major minor vero II. ut priuε.Ex utraque operatione formatur hic Cauom
90쪽
Sume duos numeras in distis Orione, es per illo risiarimam duido datum numerum. Osriena δε- es s sua Iarim insumptos numeros, exhιbebιt D stas dati numeri partes. Minimos numeros sumendos esse ait Xilander. Sed necesse non est, nisi faeilitatis gratia, quia minores numeri commodius tractantur. Potest& haec quaesto extendi ad diuisionem dati numeri in quotlibet partes, datas rationes seruantes , eritque eadem prorsus operatio, & idem Canon, ut superuacaneum sit id exemplis illustrare.
PRO post τvM numerum in duos partiri in data ratione ,& data disserentia. Constitutum sit numerum 8o. in duos partiri, ita ut maior minoris triplus sit, & adhuc η. unitates superaddat. Statuatur minor I N. erit igitur maior 3 N. - &sic maior minoris triplus est, &adhuc quatuor unitates superaddit. Restat ut ambo simul aequentur unitatibus 8o. sed ambo simul iuncti faciunt N.
tibus 8o. Ausero similia a similibus. Relinquuntur ergo unitates 76. aequales A. N. &fit 1 N.19. Ad positiones. Erit igitur
minor numerus I9. Maior autem 6I. ad triplum minoris adiectis . quae de 8o. subduxeram, ut triplorum numerorum inuenirem quantitatem. Postea vero eadem . adiicio maiori, Vtriusque quantitate cognita.
A mtante sententia. Caeterum hie etiam aliter institui potest operatio. si ponatur Maior I N. unde auferendo A. remanet I N.- . trifum minoris, Minor ergo est i N.-ἡ utriusque summa fit I, Nisi aequalis M.& defectum utrimque adiiciendor : N. aequatur 3I. i QOre fit I N. 6 I. maior numerus. Minor vero I9. ut trius. Uerum eae operatione Diophanti formabitur iste Canon. Sume duos numeros in data ratione, per allorum siummam diutis datum numerum das inter uomultatum; quotientemsitacas in minore umptorum, flet minor quasitorum.
IN v ε N i η κ duos numeros qui & datam rationem, & datum seruent interuallum. Mandatum sit maiorem minoris esse quincuplum, interuallum autem ipsorum esse unitates sto. statuatur