장음표시 사용
121쪽
Facto si opus si parabolismo, adde unitatibus quadratum semissis Numerorum, lateri agglegati adde ipsum semistem Numerorum, fiet valor Numeri.
' Verbi gratia I QAit aequalis N. - et t. addo ad ai. quadratum semissis ipsus 4. nempe . stas. cuius lateti s. addo 1upradictim semissem a. fit 7. valor numeri.
. EADEM EX PETRO NON IO. Quadrato numeri Numerorum adde quadruplum unitatum, lateri aggregati adde numerum Numerorum, fiet valor Numeri duplicati.
Verbi gratia i mi aequalis 1 N. - et . Adde as. ad quadruplum ipsius a . nempe ad 96. sit III. cuius lateri I i. adde s. fit I s. duplum Numeri. Quate 3pse Numerus est g. Utrumque modum derivari quoque ab hae quaestione trigesima tertia se probabimus. Sit I Q equalis 4. N. - ai. imprimis patet I N. maiorem esse quam A. tiumvrum . nam ex quolibet latere in seipsum,vel in numerum ipso maiorem , si vel quadratus lateris , vel numeriia 4ridem quadrato maior. Quates 4. esset aequali, vel major quam i N. essent' N. aequales vel maiores quυ. Q. ae proinde non posset 1 Q aequar N. -q. 23. Hoc posto. Sit A C. I N. erit erso AC maior quam q. ut prob ri Dim est. sumatur igitur in eo AB 4. & reliquo BC ad uatur aequali, ei CD. A n' Patet ergo quadratum ex R C esse I Q productu ni ex A C in Α B esse N. a. s taxia. ' Quare cum quadratus ex A C sit aequalis productis ex A C. in Α B. N ex A C. in B C. seu in C D. sequitur productum ex Α C. in C D. aequari a I. Igitur ut prius quaerendi sunt duo numeri A C. C D. quorum interuallum A B seu η. & produEtiam multiplicationis est a I. nam horum maior Α C. erit valor numeri. Itaque a dupli et Canone, duplex ut supra eruitur re Ia, primae prorsus similis, finali tantum substractione in additionem mutata, quia videlicet ibi quaerebatur minor numero C D. Hie veto quatitur maior A C.
TERTIA REGULA C O M P O S IT A R V M. Numeri aequales AEuadratis O initatibus.
Facto si opus sit Parabolisino. A quadrato semissis Numerorum aufer unitates, res dui latus adde vel adime semissi Numerorum, fiet valor Numerita
Verbi gratia IO N. snt aequales i Q, - - 1i. Quadratus semissis Numerorum est as unde si aufera et t. unitates superest . cuius latus a. si addas N ad imas semissi Numetorum s. fit valot Numeri vel 3. vel 7.
EADEM EX PETRO NON IO. A quadrato numeri Numerorum aufer quadruplum unitatum, res dui latus adde vel adime ips numero Numerorum, fiet vasor Numeri duplicati.
Verbi gratia 7 N. sint aequales 1 io. quadrato ἱpsius ' puta a 49. aufer quadruplum ipsus Io. nempe o. superest si cuius latus a. adde vel adime ipsi p. tiet vel 4. vel Io. duplum Numes. Qtrare Numerus est vel a. vel s. utramque regulam deduci a trigesima quaestione Diophanti Aetlὸ
probabitur. Sunto io N. aequales I Q. - 23. imprimis patet numerum Numerorum Io. maiorem esse quam I N. nam si esset aequalis, vel minor, eo ducto in i N. fierent Io N. aequales I invel mi- hores illo. Quare eum Ici N. praeter I Q contineant an oportet Io. esse maiorem quis I N. Hoc
posito sit A B lo. in quo sumat ut i N. A D. vel DB. & si ponatur I N. A D. eonstat ex AB in A D. A Dis io & quadratum ex A D. esse I Q. Quare eum stod mis ex A B. itia serendi. . A D. ' sit aequali et quadrato ex A D. Vna eum producto ex A D. in D B. relinquiis tur productum e et A D in D B. esse ai. Igitur quae tendi sunt duo numeri quorum summa sit Io. productum a r. Eodem modo si i N. ponatur D B. ostendemus e2 A B. in D B. fieti ro. N.&ex A D. in D B. fieri at. Quare vi prius quaerendi erunt duo numeri, quorum summa sit Io. productum et r. Quod ipsum quaerit Diophantus quaestione trigesima. Itaque s libeat uti primo Canone ibi allato. Summae Io. semisse capto nempe s. ab illius quadrato
122쪽
2s. auferemus ploductum II. ει residui 4. latus a. addemus veI adimemus ipsi s. & sent quaesii numeri T. N 3. quorum alter est A D. alter DB.&vterque ualot Numeri esse potest. Qui est pii inu, nitidus hanc regulam persciendi. Quod si utaris secundo Canone , incides in regulam Petri Nonii ut mani testum est. Seo de ex annotatis ad trigesimam patet si quadratus semiissis Numerorum aequalis si unitatibus , ipsum eundem semissem csse valorem Numeri, signum enim est quaestos A D. DB. aquales esse. Caeterum quia Diophantus ut iam monui ad desnitionem undecimam . peculiati utens methodo.& nunquam adhibens parabolismum aequationes resoluit, quomodo id perficiat iam docendum est.
REGUL A E COMPos ITAE EX DID PHANTO. Ducito numerum Quadratorum in unitates, producto adde quadratum semissis Numerorum in prima & secunda regula. vel ab eodem quadrato aufer idem prodi Etum in tertia regula. Summar vel residui cape latus & huic adde vel adime semissem Numerorum in prima vel secunda regula Contra semissi numerorum adde vel adimeidem latus in tertia regula. Summam vel residuum diuide per numerum quadratorum, sci valor Numeri.
Verbi gratia 3 --- ao N. sint aequales 12. ducito 3. in sa. fit Isis. eui adde ioci. quadratum semissis Nun ercitum , fit 236. cuius latus εκ --β- ώ - - η-- a me s. quo diuiso per 3. st a. valot Numeri, eademque est aliartiour saxum Differt Ergo Diophantaea methodus 1 eommuni in hoe solii in . quod , --, imuni diuisio per numerum Quadratorum fit ab initio, in Diophaniὰ, is his o , eadem diuiso fit in finc. sed demonstrandum est utramque methodum eodem feeidere. Sit enim A numerus quadratorum,S B numerus Numerorum , S C unitatum. Tunc per Diophan . . . k ia laam n ethcdum ducto A in C. sat D. sumptoquo E semisse ipsius B. eiti, qua 'ἡ statu, F addatur ad D. di sat G. cuius latus esto Id. vnoc userendo E supersit M. Deinde per eommunem methodum diuidandur per A. ipsi A. B. C. unde sane L s. EII. Ualo, vj, ii, M. & numeri N. Ρ. sumptoque in semisse ipsus N. eius quadra. u, R. addatur ad P. & fiat T. cuius latus esto V. vcide ablato G superseps 7 - X. Etit ergo et demonstratum est in prima regula, X valor numeri. Die ora I. O. I. a 4 ,x phi A ditii datur produci eundem X. valorem Numeri. sumatur enimia L quadratus ipsius A. moniam ergo M. est unitas , erunt continuὸ pe I as, i 49 potiionale, L A M. in ratione cuius dc nominator est A, di rationis ipsus L. Laa. X a. V 7. ad M denominator erit L. Cum autem idem A. duetus in P & in C. pr dueat C S, D erit D ad C ut C ad P. & ipsi D C Ρ. erunt proportionales ipsis L A M. eritque Dad P. ut L. ad M. Qia te ex Lin Ρ. fiet D. Quia etiam A ducius in N. facit B, erit Bad N ut A ,A M Quare S dimidium E ad dimidium in erit ut A. ad M. Quamobrem di quadratus F. ad quadratum B erit ut L ad M. Igitur ut F ad R. ita est D ad p. Qii te de ' antecedentes simul, puta G. ad eon. sequentis sinu 1, puta ad T. erunt ut L ad M. Ergo rursus latus H. ad latus V. erit ut A ad M. Itaque eum ostensum sit esse quoque E.ad Q. ut A. ad M.etit ut totus Had totum V. ita ablatus Ead ablatum Quare & reliquus Κ ad reliquum X erit quoque ut A ad M. Quamobrem diuiso κ per Α pe di bit λ. Quod demonstrandum erat. Eadem prorsus ratione, idem euenire ostendetur in secunda regula. Nam Omnia eodem modo perficiuntur, nisi quod in fine fit additio loco substractionis. Vt 1ii eommuni methodo, addatur Q ad V. fici Z valor Numeri. Itaque in Diophantaea methodo addatur E ad H.& sat Y dico si Y diuidatur per A. prodire eundem valorem Numeti Z. Cum enim ut ostensum est sit H ad V, seueE ad Qeseiunt & antecedentes simul, puta Y ad consequentes simul, puta ad Z in eadem ratione, quae eadem est cum ratione A ad M. Quamobrem diuiso Y. per Α, otietur Z. Quod erat osten
Non dis mili ratione ostendetur utramque methodum eonvenite in tertia regula. sit enim Aquadratorum numerus N B unitatum, de C numerorum. Tunc per Diophantaeam methodum ducto A in B sat D. de semissῖς ipsus C. esto E cuius quadratus F unde auferendo D. supersit G. euius latus H. quo detracto ex E superst X, 8e eode in H addito ad eundem E fiat Y. Deinde pet eommunem
v ti kὴ methodum dividantur per Α ipsi ABC. de fiant M N P. 3e ipsus D semissi, esto RI - ' in cuius quadratus R, unde auferendo N. supersi T. cuius latus V. quo detra Σ'' , Ri ex QDpei sit X, de eodem V ad Oddito sat Z. Erit igitur vescit Numeri tam X
. ti . di sumpto L quadrato ipsius Α, rursus ut prius ostendemus esse Lad M vi Dad N P sed & est C ad Put A ad M. ergo tutias semissis E ad semissem inest ut A ad M.
123쪽
brem & reliquu, G ad reliquum T est ut Lad M, ae proinde & latus H ad latus ri .s, , si 'υ x' ' Vest ut A ad M seu ut E ad mltaque cum sit E ad αὐt H ad V siue addant ut
' cin V 3' -- H E. itemque .stie detrahat ut ps ex E itemque V ex in erit rursus composito-ax .septimi. rum Y S Z, Itemque residuorum Κ N X eadem ratio quae Α ad M. Quare si ipsi Y & Κ dividantve per A otientur ipsi ZN X. Quod demonstranduin erat. Eὰ his tribus modis absoluendi tegulas compostas, eum seliget peritus logista, quem compendiosiorem iudicabit. Sane si parabolismus citra fractiones fieti possit, communem praestat amplecti methodum, snseeus, Diophantaea compendiosior est. In vitaque porto si numerus Numerorum sit impar. Nonii methodum adhibere iuvabit, nam ea commode aptati potest, non minus Diophantaeae quam communi, Ut si a Quin 7 N. aequentur 26. ducto a in a6. st 8. & quia numerorum Numerus est impar sumo eius quadratum 49. cui addo quadruplum ipsus 78. puta 3la. fitque 36 i. euius latus io. unde si auseras 7. superest Ia. quo diuiso per numerum quadratorum 3. fit 4 valor numeri duplicati, ae proinde ipse Numerus est a. vel si placet diuide ra. per duplum numeri quadratorum , nimirum per d. fiet statim valor Numeri a. sed de his satis.
Quoniam vero quaerendo duos numeros quorum suamna, vel summa quadratorum , vel interuallum , vel interuallum quadratorum, aut productum multiplieationis data sint diuersimode,multae aliae non inelegantes cius stiones fieri possunt, quas Oini sit Diophantus, libet hie earum nonnulla, subiicere , in quibus nobis non erit magnopere eauendum , ne in regulas compostas aequatio deuoluatur, eum illae iam nobis sint familiares, dum per eonditiones adiectas innotescat, an tu nu- metis rationalibus solutio conti ligat.
Ar AE ST I O PRIMA. Quaeruntur duo numeri, ut summa quadratorum ab iis ortorum, & productus eo tum multiplicatione sint quales poscimur. Oportet autem, siue addatur , sue ad ima tur, suminae quadratorum, duplum producti, fieri utrimque quadratum.
Esto summa quadratorum 34. productum multiplicationis Is. s plaeet per reductionem ad aliae se a. quaestiones, ista variis modis solui potest. Τ Quia enim summa quadratorum adscito duplo producti, 4. 1. p.ris aequatur quadrato summae numerorum.' At summa quadratorum multata duplo producti, telinquit quadratum interualli numerorum I s ad 34. addas 3o. fiet o . quadratus sit minae. Quare ipsa summa est 3. Item si a 34. auferas 3o. remanet q. quadratus interualli. Quare ipsum interuallum est a. Iam ergo per quatuor quaestiones inueniri possunt quaesiti numeri. Primo per trigesimam quaerendo duos
numeros quorum simina 8. productum Is . Secundo per trigesimam primam quaerendo duos numeros quotum summa g. & summa quadratorum 34. Tertio per trigesinam tertiam quaerendo duos numeros, quorum interuallum 2. producturn a 3. Quarto denique per primam quaerendo duos numeros , quorum summa st interuallum a. Sed si reuliari operatione rem absoluere placeat. Ponatur interuallum quadratorum 2. N. erunt
s. nempe aets. Qia re tandem 64. aequantur I usti N. 8. Ad positiones sunt quaesti quadrati 2s. &ς. quorum lateras.&3. sunt quaesti numeri. Hinc etiam Canonem formare licet.
A Quaisaso semissis summa quadratorum aufer Ρadriar m pro Διὶ i,es Ai Ditis ad ι- ct ademptum semus summa quadrato m , ipsos exhibebis quadratos
Inueniantur duo numeri, quorum interuallum, & summa quadratorum ab ipsis ortorum, sint quales poscimur. Oportet autem duplum summae quadratorum multa tum quadrato interualli, relinquere quadratum.
Esto interii allum 6. summa quadratorum 68.s per reductionem, quaestionem propositam sol uere libet. Quia duplum summae quadratorum, aequatur quadrato summae numerorum, & qua-7- mi, drato interualli, 3 duplo ipsus M. nempe ia 6. auset quadratum ipsus s. nempe 36. remanet Ioci. cuius latus Io. est summa numerorum. Iam ergo soluetur quaestio per trigesimam primam, quaerendo duos numeros quotum summa IO. & summa quadratorum 68. & rursus per primam quaerendo duos numeros, quorum summa io. interuallum 6. sed si peculiati est utendum operatione id ita fiet. Cum interuallum praescribatur s. Donatur alter numerorum 3 - N. alter IN - 3. fiet
summa quadratorum 18 -- a QP qualis 68. Quare fit 1 N. s. & sunt quasiti numeri g. &et. Hine etiam Canon formabitur. Dimiiuum quadrari intematii avifer is smmis quaisis oram, residui semusta latus additum O aδε iam semis iure alii quis si os numeris exhibebιt. Qui sanε Canon prorsus conuenit eum sexta secundi potismatum, ut manifestum est.
124쪽
di EsTIO TERTIA. Inueniantur duo numeri, quorum interuallum, & interuallum quadratorum ab ipsis
ortorum datos consciant numeros. Oportet autem quadratum interualli numerorum minorem esse interuallo quadratorum.
Sit interuallum numerorum 6. interuallum quadratorum εο. s libet uti recludi ione. Quia euinteruallo numerorum in summam eorundem, fit interuallum quadratorum , diuidendo oo. per 5. quotiens Io. erit summa numerorum. Igitur soluetur quaestio per triges mam secundam quxtendo duos numeros, quorum 1umma Io. interuallum quadratorum μ. Rursus soluetur per primam quaerendod uos numeros quorum summa Io. intet uallum 6. Sed si peculiarem requiras operationem. Pone minorem qnaestorum I N. ergo maior I N. - . s. interuallum quadratorum est 36 - 1a N. quod aequatur clo. di sit i. N. a. minor numerus. Vel, Pone maiorem I N. erit minor I N. -6. In teruallum quadratotum est 1a N. 36. quod aequatur 6o. & fit IN. 8. maior numerus. Hine sor
uadratum interualli numeroriam adde ct is, me intervallo quadratorum, summam ct rotavium diuιde per dupiam infe isti numeroriam, nodibunt quasiti numera. Aliter etiam esto minor i N -3. maior IN - - . fiet interuallum quadratorum II N. aequale so Quare fit i N. s. di sunt numeri ut pii, - -- o. ncctiam uanon alius formati potest. Diuide an . aliam quiadra --mper durum 3πter alii numerorum , quotienti adda s. adira sinissem an e alii namjisisse habebιs quaestos numeros.
Inueniantur duo numeri, ut productus eorum multiplicatione , & interuallum quadratorum ab ipsis ortorum, sint quales poscimur. Oportet autem quadratum dupli producti additum quadrato interualli quadratorum , essicere quadratum, cuius Iaicri sue addatur siue adimatur duplum producti, fiat quadratus.
Esto productus is. interuallum quadratorum Id. Ponatur summa quadratorum 1 N. Ergo si ad datus ei duplum producti , set I N. -- 3o. aequale quadrato summae numerorum: & si ab I N. au- .. suis inristiatur idem duplum, producti 3o. ' fici I N. - 3o. aequale quadrato interualli numerorum. Portos quia ex interuallo numerorum in summam ipsorum si interuallum quadratorum, patet ex qua- . L. D, dicito intei ualli numerorum in quadratum summae, fieri quadratum interualli quadratotum. Qua 3. pari mobrem ex I N. - . in I N. -- 3o. productus I QE - so . aequatur quadrato ipsius I6. nempe diues.& fit 1 N. 3 . fili Dina quadratorum. Reducetur ergo iam quaestio ad primam istatum quaerendo duos numeros, quorum productum s. summa quadratorum 34. vel etiam ex sumina quadratorum S interuallo ipsorum 16. repertcntur sigillatim ipsi quadrati as. &s. pel ptimam huius libri, unde de latera s. 3. innotescent. Aliter etiam, & saeilius institui potest operatio , & alia quoque conditio praescribi. nimirum. Ditet quadratum producti additum quadrato semissis interualli quadratorum Aeete quadratum, euius lateri sue as dat ut sue adimatur semissis interualli quadratorum, sat item quadratus. Ponatue quadrato tum altet a N. g. alter I N. - 8. Sic enim est eorum interuallum 16. Igitur eum ex quadratotum inutuo ductus at quadratus plani sub lateribus, ex I N. 8. ini N. - 8. fiet x Qeo aequale quadrato productias. nempe 223. N fit I N. II. suntque quadrati quaesiti dis. & s. unde &ipla latera s.&3. noscuntur. Hinc elicietur huiusmodi Canon. su ararum producti adue Paria o semi s interuati. quindratorum , summa lineri adde ct adimas l.m interualia qMisatorum, fient quadrata quastorum numerorum
Inuenire duos numeros, quorum summa, & aggregatum ex producto multiplicationis & ex summa quadratorum, datos conficiant numeros . oportet autem quadruplum aggregati ex producto multiplicationis, & ex summa quadratorum inubtatum triplo quadrati summae, relinquere quadratum.
Esto summa Io. aggresatum ex producto 3c ex summa quadratorum 76. Esto alter numerorum x- I N. alter y. - N. egi summa quadratorum so - 2 produci liii multiplicationis a F
ergo aggregatum horum erit 7s - I Q. aequale 76. & fit I N. I. sunt ergo quaesiti numeri 6. dc . . ut e sotmatur iste Canon.
125쪽
Vel quod idem est. A qaddisplo ag νreati aufer triplum quadrati Amma, residui lutus additum cst ademptam ipsismma , profabιι duplum P horum numerarum. si per ieduetionem veli, hoc problema soluere. Quoniam quadratus sumniat aequatur summa quadratorum& duplo producit, si a quadrato summae I . auferas 76. compositum ex sitimis quadratorum & ex producto semel, residuum 24. aequabitur producto. Iam ergo tripliciter reducetur quaestio. Primo ad trigesimam quaerendo dum numeros quorum lumina Io. prodii estim multiplicationis et . secundo ad trigesimam primam quaerendo duos numeros quorum summa Io. & summa quadratorum 32. nam cognito producto 24. cognoscitur di summa quadratorum au tendo et . de 6. Tertio ad primam istarum quaerendo duos numeros quorum productum et . imma quadratorum Ia.
IVAESTIO SEXTA. Dato aggregat ex summa quadratorum, & ex producto multiplicationis, dato
que altero e duobus numeris, alterum inuenire. Oportet autem datum aggregatum multatum dodrante quadrati dati numeri, relinquere quadratum.
Esto datum aggregatum Iet . alter numerorum io νον - -- eompositim ex quasto numero &ὰ, semisse dati t. N. et quaesitus I N. cuius quadratu, ςst 1 in .. 1-io altilius quadratus est ioo. productum vero multiplicationi piorun ci o N. - Ο. Quae simus effetisne 1 - s. aequalia ia . Quare fit I N. 7. ergo quasitus numeru, qui ponebatut i N. - s. etita. Hinc elicietur huiusmodi Candin. A vi a ististuis . ausis Murantem qΜadrati dati numeri, a resaia titere aUer semissem disii avi.
Inueniantur duo numeri, ut summa quadratorum, & compostum ex summa nuta merorum , & ex producto multiplicationis , datos conficiant numeros. Oportet autem duplum huius compositi unitate auctum , additum summae quadratorum, efficeic quadraturia, cui proxime minor quadratus , ablatus a duplo summae quati
torum relinquat etiam quadratum. Sit summa quadratorum 4. Compositum ex summa numerorum,& ex producto multiplieatio nisi si et . Donatur summa numerorum a N. ergo productum est 23 - 1 N. cuius duplum o - a N. quo addito summae quadratorum ' fit 8o. - χ N. aequale quadrato summae r in & tandem rues a N. aequantur M. quae est prima compositatum, & st i N. 8. summa scilicet numerorum. Quare productum multiplicationis est 31. Itaque iam redueetiit quaestio ad tres alias. Primo ad trigesimam quaerendo dum numeros quorum summa g. productum is. secundo ad trigesmam primam quaerendo duos numeros quorum summa g. & summa quadratorum 34. tertio ad primam istarum, quaerendo duos numeros quorum productum Is. summa quadratorum 34. & omnibus modis inuenientur quaesti numeri a. &1. Hine fiet Canon. Summa quia utoνum Me aviam camposisi ex summis utimerorum ct ex producta, untiate ati J-.
gregari latus unitate muti sum. erat summa numerorum.
Porro hieti in sequentibus per quadratum ploxime minorem , intelligo illum cuius latus deficit unitate a latete quadrati cujus si mentio.
Inueniantur duo numeri, ut productum multiplicationis eorum, de compostum ex summa numerorum, & eκ summa quadratorum datos conficiant numeros. Oportet autem octu plum producti unitate auctum, additum quadruplo composti conscere quadratum, cui proxime minor quadratus multatus sedecuplo producti re, linquat quadratum.
Esto productum 6. Compositum ex summa numerorum & quadratorum 18. ponatui summa ni, merorum i N. ergo summa quadratorum i8 N. eui addendo ra. duplum producti ' fiet et O. IN. aequalis quadrato summae numerorum , puta IQsuare N. aequariir o. & fit a ris. summa scilicet quaestorum numerorum. Quamobrem lumma quadratorum est 13. Itaque iam Iieet ad tres alias quaestionem hane reuocate, sicut & praecedentem,nimitum ad trigesimam primanti
126쪽
Inuenire duos numeros, quorum sunma, & compositum ex eorum interuallo, At ex si imma quadratorum, datos conficiant numeros. Oportet autem vi a dato com posto auferendo semis lem quadrati summae, res dui duplum unitate auctum faciat
quadratum. Esto summa g. Compositum ex interuallo numerorum,& ex summa quadratorum σε. Ponatur ini-nor - i N. maior ψ - - I N. horum interuallu est a N. summa quadratorum 3a -- 2 Q alsere gaIN. - . a Q. aequantur σε. & tandem et Q - α N. sunt aequales et .vmle fit x N. 3. seminis interualli, ipsum ergo interuallum est 6. summa quadratorum so. Itaque iam ad tres alias reuocabitur quaestio. Primo ad primam quaerendo duos numeros, quotum summa 8. interuallum 6. Seeundo ad trigesimam primam quarendo duos numeros, quorum summa g. summa quadratorum so. Tertio ad secundam istarum quarendo duos numeros, quorum interuallum 6. summa quadratorum Io. de omnibus modis inuenientur quaesti numeri r & V. Hine etiam elieitur facilis Canon. Aufer a dato composito semusem quadrisii sitimma , residui duplo adde unitatem, for quadratus cuι us
e AESTIO DECIMA. Inuenire duos numer ut interuallum ipsorum, & compositum ex summa nume torum. ex summa quadratorum dat S consciant numeros. Oporter autem ut a dato composito auferendo seniissem quadrati interualli, residui duplum unitate auctum saeiat quadratum.
Esto interuallum 6. eompositum ex summis numerorum & quadratorum sq. Ponatur summa numerorum a N. ergo summa quadratorum erit 38 - a N. ipsi vero numeri IN-3.&a N. - 3. Vt eorum interuallum maneat s. siet autem summa quadratorum 2 - Ι 8. sed iam erat 18 - 2 N. Igitur 18 - a N. aequantur a Q. -- I8. & tandem a a N. aequantur Ao. & fit a N. 4. semissis summae numerorum. Est summa ergo numerorum 8. di summa quadratorum s . Quare rursus te. uocabitur quaesto ad easdem tres ad quas praecedens reduei ostensa est, di inuenientur quasiti numeri 1 & . fiet etiam Canon. εω is a disio compolia semissem quaisisti interualli, residua dulam unitate a stim quadratus
siet. cuius latus unitare matiatam 'it summa numreorum.
Non adigestur hic alia huiusmodi quaestio.
Intienire avios numeros , ut summa quadratorum , ct compositum ex summa numisoram ct ex eommimertiatio datos conficiant numeros.
Quia saeile ei tra Algebram solui potest. Sit enim summa quadratorum so. compositum ex sumnis numerorum ,& ex eorum interuallo a . patet per Canonem primae libri huius, vel ner vises mam tertiam primi potiun. I esse duplum maioris numeri. Quare ipse maior numerus eu 7. cuius quadratum 49. si auferas aso. remanet I. quadratus minoris.
Inuenire duos numeros, quorum summa , & aggregatum ex producto multiplicationis& ex interuallo ipsorum datos conficiant numeros. Oportet autem ut excessus quadrati semissis summae sit per aggregatum, unitatea ictus consciat quadratum. Vel ut excessus aggregati super quadratum semissis summae , ab unitate detractus, relinquat quadratum.
Esto primum summa numerorum Io. aggregatum ex producto & interuallo s6. Ponatur inte uallum a N. ergo prodiitaim erit s&- a N. ipsi vero numeri 8-- r N.&8 - IN. quorum productum fit 64. - 1 Q equale sue - a N. 8e tandem a N. - . s. aequantur i in unde fit i N. 4. semissis in tetuesti, ae proinde ipsum interuallum est 8. prodictum 48. Itaque iam reducetur quaestio ad primam, eum summa fit 36. interuallum 8. vel ad trigesimam , cum summa sit 16. productum 48. vel ad tripesinam tertiam , cum interuallum sit 8. productum 8. N inuenientur numeri 4. Nia. Deinde esto simina ἱ aggregatum ex ptoducto di intituallo l. Posito ut prius luteruallo a
127쪽
N. est productum a N.ips vero numeri IN.&ρ- N. quorum productum sit - I Q. aequale : - a N. di tandem I aequantur a. N. N fit 3. N. o semissis interualli, ergo ipsum interuallum est profluctum item & pet quaestiones supta citatas reperientur quaesita numerii AHine fit iste Canon. Auser a quis io semissis summa datum aggregatam, re uum unitate avictum est quia rus, ius latas Ontiate .urum essemiss7s interualii m erorum. Vel. A,ser a dato aggregato quadraram semissis se a , residuum ab initate defractum relinqvii εὐ- drasum, mitis Iarias detractum iab uni se essemi s antemaIli numerorum.
VAEST IO DUO DEC IM A. Inuenite duos numeros, quorum interuallum, & aggregatum ex summa , & ex producto ipsorum, datos faciant numeros. Oportet autem ut quadrato semissis interualli ad datum aggregatum unitate auctum adiecto, fiat quadratus.
Esto interuallum 8. ag tegatum ex summa dc producto 32. Ponatur summa a N. ergo productum relinquetur D - a N. ipsa autem numeri erunt I N. - Α &I N. - 4. quorum productum aes aequatur ga. - 2 N. N tandem I - 2N. aequatur 48. & fit IN 6. semissis summat. Ipsa ergo summa est a. productum et . Sollietur igitur quaestio per easdem per quas superior ,& inuenient quaesti numeri et S io. & set Cation. Misais semisi inter Isi adde dat g- -- unitate aucrum, fra quadrarus caius linus vinitare muItaliam ema semissa summa numerorum.
Ηla etiam non sublieitur huiusmodi quaestio. Inuinire duos meras, quorum productis, ct aggregatum ex summa ipsorum er inremisti, δε-
Etenim nullo negotio atisque Algebra soluitur. Esto productum 48. aggregatum summae& in terualli et . patet per Canonem primae huius , vel per vigesimam tertiam piimi potita. et . in duplum maioris numeri. Est ergo maior ra. per quem si diuidas q8. fit minor A.
Inuenire duos numeros , quorum summa, At aggregatum ev producto multiplicationis, & ex interuallo quadratorum datos consciant numeros. Oportet autem ut a quintuplo quadrati semissis summae auserendo datum aggregatum , supersit
quadratus. Esto summa II. aggregatum ex producto & ex interuallo quadratorum Ii5. Ponatur minor IN. maior ra - I N.ii iteruallum quadratorum erit r- - 2 N.ptoductuin veth a N. - I Q otiae iuncta faciunt I a N. - I inaequalia I i5. & tandem I Q. - a N. aequantur a8 &fitIN. a. minor numerus. Ergo maior est io. Hinc sormatur Canou. A quin via quadrati semissis βmma ausis datum aggregaram, remanis a Diaratus euius latus Mahaltim semis summa, minorem exhibet numerum. Hie videntur desiderati duae quaestiones quibus quaeruntur duo numeri dato producto aggregato ex summa numerorum, S ex interuallo quadratorum. Vel dato interuallo quadratorum diaggregato ex summa numerorum & ex producto. Sed quia resolui non possitnt per regulas Alpe- hrae persecte Canonicas, quandoquidem incidunt in aequationes in quibus duae species duabus speciebus aequales reperiuntur, non possunt hic commode tractari. Qua de causa nonnullas etiam alias omisimus eiusdem naturae.
Inuenire duos numeros, quorum summa, & aggregatum ex interuallis numerorum & quadratorum , datos conficiant numeros. Oportet autem aggregatum interuallorum esse minus quadrato summae aucto suo latere.
Esto summa Io. aggregatum interuallorum 44. Ponatur interuallum Numerorum 2. N. erunt ipsi s-IN.&s. I N. quadratorum interuallum set sto. N. aequese 44. - a N. & fit I N. a. semissis interualli, quare quaesti numeri sunt- . Hine fit Canon. Divide aggregatum interuallorum per aviam summa binario auctiam, oria in semissis intertiatis
Reducitur ergo ad pHmam vel ad trigesimam secundam Diophanti, vel ad tertiam harum. Nio ter
128쪽
ter ponatur alter numerorum I N. alter ici - IN. fiet aggregatum interualli numerorum ti quadra torum H - 22 N. vel 22 N. - II . prout IN. nunc maior nunc minor statuetur. Igitur IIo -- 22. N. aequantur q4. & fit I N. 3. minor numerus. Vel 22. N IIo. aequantur qq.& fit I. N. 7. maior numerus. Hinc etiam fiet Canon Guadrino summa suo latere aucto adde vel adima aggregatum interualiorum: summam, est re Asmium de per dulum summa binaria auctum, orientur quae=ι numeri.
Inuenire duos numeros, quorum interuallum, & aggregatum ex summa ipsorum,& ex interuallo quadratorum, datos conficiant numeros. Oportet autem datum aggrcgatum maius esse interualli quadrato aucto suo latere.
Esto interuallum q. aggrcgatum edi summa numerorum, & ex interuallo quadratorum so. Pon tur alteri N. alter IN -- 4. set aggregatum ex summa numerorum S interuallo quadratorum Io. N -- aci aequale o. unde fit i N. 3. minor numerus. Quod si ponatur maiori N. minor I N. - . fient io N- et aequalia 3 . unde et it a N. 7. maior numerus. Hinc formatur Canon. Dato aggregato adde vel ad me interuatia quadrartim auctum svis latere, summam ct jestatim Laida ρὸν civiam inter hi auctum bιniario, orientur, qu siti nummi. Aliter et lain fiet operatio posita summa a N. N ipsis numeris tN-s.&IN - s. ut tibi considerandum relinquo. Hic quoque praetermitto quaestionem de iniv. mcndis ducibia, numeris dato inte uallo quadratorum, & agglegato ex summa & interuallo numerorum, nam soluitur absque Algebia.
Inueniantur duo numeri, ut summa quadratorum, & aggregatum ex interuallo numerorum, & ex producto multiplicationis datos consciant numeros. Oportet autem vi s a summa quadratorum auferatur duplum dati aggregati unitate multatum,
remaneat quadratus. Esto summa quadratorum s8. aggregatum interualli & producti as. Ponatui intem allum N. erit ergo productum af - I N. Sed a summa quadratorum 18. ausetendo quadratum interualli I - res duum 18 - 1 induplum est producti. Ergo 38 - I Q quatur so-a N.& fit N. . interuallum numerorum, productum ergo est a I. Itaque iam reducet ut quaestio vel ad trigesimam tactiam Di phanti, vel ad primam, vel ad secundam harum, & inuenientur quaesti numeri 3. & 7. Aduertendum autem seri posse ut summa quadratotum sit minor duplo antegati. Quo casu se
praescribenda erit conditio. Uportet ut summam quadratorum auferendo a duplo aggregati, resi duum ab unitate detractum, relinquat quadratum. Et pro utroque eam Canon formabitur. A summis quadratorum anser duplum auregati, residiatim unitate uti iam quadratias eris, euius
latus unitate auctum erat ante a iam numerorum
Vel in alio casu. A dupti aggregari aufer summam quadratoram, residuram ab unitate defractum relinquet qua
dratam , cuιus Ia tis ab initisse detractum, erit inseruialium numerorum.
ΣVAEsTIO DECIMA SEPTIMA. Inuenire duos numeros quorum interuallum, & aggregatum ex producto & ex summa quadratorum datos conficiant numeros. Oportet autem ut si ab aggregato auferatur quadratus semiiss interualli, residui triens sit quadratus.
Esto interuallum 4. aggregatum ex producto vix summa quadratotum 7s. Per solam reductionem solui potest quaestio hae arte. ' Quia summa quadratorum continet duplum producti & qua- 4. a. p sdratum interualli, patui 79. continere ter productum & semel quadratum interualli. Quare s inde auferatur I 6. quadratus interualli, residuum odi. etit triplum producti , erit ergo productum an summa quadratorum 18. Quare multis modis reducetur quaestio, ut manifestum est. Aliter ponaturnamina Numerorum a N. ergo ipsi numeri sunt I N. - a & I N. 2. aggregatum ex summa quadra torum & ex producto est 3 η. aequale ς. unde fit i N. s. semissis summae. Quare ipsa summa Io. ex qua & interuallo per primam huius libri noscuntur numeri a. & Canon.
AAfer ab aggregato quadrarum semum interutati, re Mi triens est quadratus semissa samma nu
129쪽
A VAESTIO DECIMA OCTAVA. Inuenire duos numeros,ut productum multiplicationis & aggregatum ex interuallo
ipsorum, &ex summa quadratorum datos conficiant numeros. Oportet autem ut
quadruplum excessus aggregati supra duplum producti, adscita unitate faciat qua
dratum. Esto productum 2 I. aggregatum ex interuallo numerorum , dc ex summa quadratorum 62. Ponatur interuallum numerorum a N. erit ergo summa quadratorum εα - a N. unde si auseratur qua
dratus interualli, nimirum residuum sa - a N. - 4 aequatur duplo producti, hoc estvni- . . pMU. latibus 42. Quare tandem Q a N. aequantur II. & sit I Na. semissis interualli numerorum. Quare ipsum interuallum est 4. summa quadratorum 18. Itaque reducitur quaestio ad trigesimam te itiam Diophanti. Vel ad primam istarum, uel ad secundam, & inueniunt ut quaesiti nuineri 3. de . Hine etiam fit Canon. Guadruplo exeustis aegregati supra duplum producti adde unitatem, set quadratus ekitis Iasus
unitate miatatum d iam est inseruant numerorum.
VA AST Io SsCIMA NONA. . Inuenire duos numeros, vi summa quadratorum & aggregatum ex producto, &es interuallo quadratorum datos consciant numeros.
Oportet autem ut quintuplum interualli quadratorum ortorum a data summa, &a dato aggregato, additum vel ademptum quadrato aggregati summam vel residuum faciat quadratum.
Esto summa quadratorum sq. aggregatum ex producto ,& ex interuallo numerorum 6i. Ponatur moductum i N. Igitur eius duplo addito ad summam quadratorum, ' fit 38 -- a N. quadratus euxvi. 1uminae numerorum. At eodem duplo detracto ab eadem summa quadiatorum, remanet 18 - a M . a. ρον . quadratus interualli numerorum. Quoniam igitur ex summa numerorum in eorum interuallum. 33. - ρε is fit interuallum quadratorum; utique ex quadrato summae numerorum in quadratum interualli e tum, set quadratus interualli quadratorum. Igitur ex s8. - 2 N. in 38-a. N. fiet 3364. - aequalis quadrato ipsius 6I - I N. nimirum 3 2I. - - I Q Iaa N. & tandem Q maequabuntur reta N. & fiet i N. a I. productum scilicet. Ergo interuallum quadratorum erit qo. unde licet varia uti reductione , di inuenire quaesitos numeros 3. N 7. Aecidit autem ut data summa nune minor sit, nune vero maior dato aggregato, ut in superiore exemplo minor extitit, sed in sequente maior est. Esto summa quadratorum 34. Aggregatum ex producto & ex interuallo quadratorum 3I. eodem utentes ductu inveniemus tandem 6 a N. - isnaequales s k fiet i N. I s. productum scilicet,vnde interuallum quadratorum est 16. & ipsi quadratias & 9. Hine elicitur Canon. an viam excessus quadrati a dato aggregato super quadratum a diata summa, aufer a stia drato aggregati, residui larus adde aggregato, sAmma quinta pars erit prorim m. Vel. Guin viam excessus qtiadrati a data summa Iuper quadrvium a daro aggregata, atae quadrata aggregari, summa liatus adde aggregara , compositi quιnta pars erit no Etam. Aduertendum porro, ut omnino solutio sit rationalis, praeter appositain conditionem, necesse esse ut inuento interuallo quadratorum, id ademptum vel additum nitimae quadratorum, summam S residuum faciat quadratum.
Inuenire duos numeros ut interuallum quadratorum , & aggregatum e& summa quadratorum , & ex producto datos consciant numeros. Oportet autem vi triplum excessus quaarati a dato aggregato super quadratum a dato interuallo , additum quadrato aggregati efficiat quadratum, cuius latus multatum eodem aggregato, numerum relinquat cuius triens additum rursus eidem aggregato, faciat quadratum.
Esto interuallum quadratorum 4o. Aggregatum ex summa quadratorum. A: ex producto
η. ρς 4 es duum N. est quadratus . interualli numerorum. sed etiam si ad 79 addatur productum ra' 't N. . st y i N. quadratus summae numerorum. Igitur cum ex summa numerorum in eorum
130쪽
interuallum fiat interuallum quadratorum,utique ex quadrato ianimae 79 - I N.in quadratum interualli 79 - 3 N. set ca i - ιsa N.-QIequale quadrato interualli quadratorum, nimirum 16oci. de tandem 46 I. aequantur 3 --. 318 N. dc ni IN a I. productum. Qu,re per reductionem ad pia cedentes regulas sciuitur quastio. Hinc fiet Canon. Triptam exosus quadraιι ab aggregato super quadratum ab ante alio, MA Usiquae mala ag νι- gasti ; a summa larere aufer adem aggregaι- , restavia trum πιι productum muti phrasioni, Alia quaestio qua quaeruntur numeri dam producto, & aggregato ex lumina & interuallo quavia totum iacilis est, Ee soluitur abique algebra. .
Quaeruntur duo numeri, ut aggregatum ex interuallis numerorum & quadratorum, itemque aggregatum ex summi, numerorum & quadratorum datos conficiant numeros. Oportet autem siue aggregatum interualloruin addatur aggregato summarum, ii ue adimatur, duplum summae &residiit addita unitate seri utrimque quadratum. Esto aggregatum interualloruim x . aggrestatum summarum 26. Quoniam ' igitur addendo inter- ,s. uallum numerorum summae numerorum, fit duplum maioris numeri, & addendo interuallum quadratorum staminae quadratorum, fit duplum maioris quadrati, patet addito I . ad 26. summam Ao. continere bis maiotem numerum , & bis eius quadratum. Ergo a . est maior numerus & eius ouadratus. Ponatur maior numerus IN. erit eius quadratus I Q gitur I I N. aequatur Io. fitque I N. 4. maior numerus. Eadem ratione auferendo I . de a6. residuum Ia. est duplum minori numeri di eius quadrati. Quare o. est minor numerus & eius quadratus. Posito ergo minote numero I N. set ε. aequalis I QL- - i N. & erit I N. a. minor numerus. Hi ne sormatur Canon. Duu summa Δονtim aggregatον- , s dupla interuaui . rum, adde seors mratem, genario quadrari, quorum Iarrea unitale mutivia , avia manebant quassariam numerorum.
Inuenire duos numeros, ut aggregatum ex summa ipsortim, & G interuallo quadratorum , itemque aggregatum cx summa quadratorum, eu ex interuallo numerorum datos faciant numeros. Oportet autem yt duplum summae aggregatorum addita unitate iaciat quadratum. Et ut duplum interuali 1 eorundem vel additum unitati, vel detractum ab unitate faciat quadratum. Esto prius aggregatum 18. posterius eta. Patet ob rationem allatam in praecedente horum summam . esse duplum maioris numeri & quadrati ipsus. Quare ut supra inuenietur maior numerus Quia vero auferendo ig. dear. superest 4. patet q. esse duplum minoris quadrati minus Auplo lateris. Quare posito minore numero I N. duplum minoris quadrati erit 4 - a N. Qii re a M. IN. aequanis tui I Q fiti N. u. 1 Sed esto prius aggregatum Io Posterius Is. Quia horum summa est quoque M. erit 4 maior numerus ut prius. Sed quia prius aggregatum excedit posterius, erit horum interuallum duplum minoris numeri, minus duplo sui quadrati. Quare pomo minore numero x N. fient λ -- a Q. aequa-Ita a N. unde erit i N. i vel : Et utrumqne satisfacit proposito. Hine fit Cison. Duplum summa et regatorum unitate auctum sit quia rarus , evitas Iatus Onitare mia sum es δε- piam maioris Iaseris, ct duplum excessu/ posterioris aggregati super prius aggregatum I adiuta unitate quiadratias sis , cuius iaras unitara auetam est duum minaria lateris. Ae δε- plum excessus prioris aggregari super psperiusngregatiam , de rasum iab unisare quaάratum relinquis, uriastis adiuιum ct adempιώ semissis talis, irroque modo exhibea dupiam mi
Sed &aduertendum est, si unum aggregatum alteri si aequale, tune minorem numerum esse semper unitatem ut facile est demonstrare.
Inuenire duos numeros ut productum es intae ruallo numerorum in interuallum quadratorum, & productum ex summa numerorum in summam quadratorum datos conficiant numeros. Oportet autem duplum posterioris producti multatum priqre
producto, relinquere cubum, ita ut per eius latus diuidendo prius productum, oriatur quadratus. G ii