장음표시 사용
91쪽
ψὲ -ρη - , ταμνώω κ. noris quincuplo existente, interuallum est sto. IN NI AESTION EM IV.
VADRvHIe rixa institui potest operatio. primis ut habetur apud Diophantum. Meundi se. Ponatur Maior N. ergo minor i N. Florum interuallum i N. arquatui sto. &st R.' maior numerus. Ergo minor s. o prius. Ex utraque autem harum operationum iste C Mn elicitur. Stime Asa mineros an rasione dista, est per Mom antoniatium azuide datum anter I - , qtiaraenadu s in sumptos semeros , piastor exhibebit. Tertio se operabere. Esto minor I N. ergo maior IN. - eto. qui cum sit minoris quincuplus. erunt 3 N. aequales I N. -- et . di tandem 4 N. aeqvantur Io. vel I N. aequatur , N. - 4. & tandemi N. aequantur 4. & utroque modo si I. N. s. minor numerus. unde maior est as. ut prius. Quarto, esto maior i N. ergo minor 1 N. - et . qui cum sit quinta pars maioris, set ἱ N. aequatis I N. - 2 . vel x N. aequalis s. N. - o . & utraque aequatione resoluta, fit I N. as. maior numerus , unde minor est s. ut plius. Hinc etiam alius Canon esiei posset. Quod tibi considerandum relinquo.
in duos numerus, ut horum utrius que, non tamen eaedem, datae partes si coniungantur, datum conficiant numerum. Oportet autem talem hune datiui sit in medio duorum numerorum quiunt, si numeri ab initio propositi praesecriptae partes accipiantur. Imperatum sit partiri 1oo. in duos numeros, ut pri mi tertia pars , & secundi quinta pars si coniungantur , conficiant so. Statuam secundi quintam partem I N. ipse igitur erit unitatum 3ο - 3 N. atque adeo ipse primus fiet unitatum so-3 N. Reliquum est utrumque simul conficere unitates ioo. At ambo iuncti conficiunt ΣΝ. Vo. Haec igitur aqualia sunt unitatibus1oo. Austro similia a similibus. Restant igitur unitates Io. aequales a N. ergo fit iN. s. Ad positiones. Statueram secundi quintam partem I N. erit igitur haec unitates s. atque ideo ipse secundus dis. At primi triens erat 3ο - I N. est igitur as.
atque ipse primus 7s. Et primi quidem
tertia, secundi vero quinta pars simul additae conficiunt numerum 3o. prout imperatum erat.
92쪽
HIc duas veluti conditiones apponit Diophantus. Prima est non sumendas esse easdem putes utriusque segmenti. Quod necessarium est, non ut quaestio sit posti hilis, sed vi sit alicuius
momenti. Nam si eadem partes utriusque segmenti petantur, hoc idem erit atque diuidendi numeri partem eandem sumere. Vt si postuletur duo segmenta de Ioo. fieri, ut viritisque quinta pars numerum certum conficiat, patet non alium esse posse numerum illum quam aO. qui est quanta pars ipsius Ioo. quia sellicet idem est sumere quintam partem totius numeri, atque sumere quintam par tem singulorum segmentorum illius. Itaque in huiusmodi casu , datus numerus quem debent conficere praescriptae partes quaestorum se en totum, semper idem erit, nimirum eadem pars totius diuidendi numeri ut dictum est. At segmenta ipsa duo quilibet numeri in quos secabitur diuidem diis numerus, di sie infinitas solutiones recipiet quaestio a &absque ullo negotio secando propositum numerum in duos quoslibet, satisfactum erit proposito. Secunda eonditio prorsus necessaria, est , Numerum quem conscere debent datae partes quaestorum segmentorum debete esse in medio partium ea tundem proposti numeri. Quod ne sola experientia cum Xilandro cognoscamus, hoc E. . argumento probabimus. Sit A. propositus numerus secandus in duos, ut unius
V A ib. pars ab B. denominata, & alterius pars a C denominata, s coniungantur , fiat c i D. sitque B. maior quam C. N ipsius A. partes eaedem snt E. F. dico D. i, b necessario cadere in E. R F. seu esse minorem quidem ipso E. maiorem vero ipso F. Quia enim ut dictum est supra, si utriusque segmenti ex A. sumeretur eadem pars B. esset partium summa aeqiralis ipsi E. patet si unius segmenti sumatuti ars B. alletius vero pars minor, puta C sunamam partium nimirum D. fore minorem ipso E. Rudius si viritisque segmenti sumatur eadem pars C, erit summa partium aequalis F. Igitur si unius quidem segmenti sumatur pars C, alterius voto maior pars, puta B. erit utique summa partium D. maior
quam F. Qilare constat propositum. In Graeco aurem ubi legebatur, ἱαι - δι ἐξ- Π παχληφθω. Jobεήτα μὴ Φα iarem legendum censui, εαν - εξ &e. μὶ γὼ ἀισάμερη. Porro quadruplex institui potest operatio, aut benὸ monet Xilander. Ptima est quae habetur in textu Diophanti, ponendo secundi segmenti i. N. Meunda fiet si ponatui triens primi segmenti I N. tunc enim erit ipsum primum segmentum a N.
at secundi quintans erit 3 H N. atque adeo ipse secundus fiet 13o - s N. unde utrummae segmentum iaciet iso - a N. aequalia I . Additoque utrimque desectu, & auserendo sinitia a limitivus a. N. tequantur 3 o.& fit N. 2s. primi triens. Reliqua patent. Tertio, Ponatur primum segmentum I N. erit secundum roo - 1 N. primi triens est N. seeundi quintans et o -- N. quorum summa ac U- RNiaequatur 3o.&tandem ri N. aequantur Io. fitque IN. n. primum segmentum, secundum aue. Quarto ponatur secundum segmentum i N. est primum itio - t. N. secundi quintans fiet ἰα
i. N. as. secundum lumentum, primum autem est s. ut prius. Et ex duabus operationibus ultimis quidquid dicat Xilandet, Canon fiet non adeo perplexus. Proposiι. numeri sume partes simιles postulatis paνιibias, minorem aufer is a te numero quem eonficere debent quaesitas mensorem partes, a maiori aufer dia iam mmotim , residuis Agatiatim diuiae per in emata. mfrali sonum exprimentium partes postulatas , or en ur quassa segmenta. Qii modo autem solui possi quaestio s Propolitus num eius in plures secandus proponatur, ita ut segmentorum postulatae partes datum consciant numerum, non quilibet de vulgo logista doceat. Cum enim huiusmodi quaestionum genus infinitas, imo infinities infinitas saepe recipiat soluti nes , totum altiscium in segmentoruin determinatione consistit, quod tradere non pisebit, si prius tyrones monuero ne operam ludant in re soria captum illorum 1dhue superante, shu huius problematis omissa tradiatione ad ulteriora progrediantur, donec in Logistica exercitatiores ardua quaeque
Sit igitur propositus numerus ioo. diuidendus in quatuor numelos, ita ut primit secundi ζ, tertiia, quarti , haee omnia sinul effciant 27. Oportet autem praescriptum numerum puta hic ar. cadete inter Hopositi ad diuidendum numeti maximam de minimam partium similium illis quae postilantur: tae est quia maxima pars est minima sumentes N de ioci. nempe so.& ao. Oportuit 27. maiorem fuisse quam Io . minorem qu m so. cuius rei ratio ea letia est quae supra in conditionis explieatione allata est. Itaque ponatur primum segmentum 1 N. igitur reliqua smul erunt icio. -i N.&chin primi segmenti . si N. erunt i secundi, et tertii, di et quarti simul 2 - : N. Itaque iam oportet diuidete Ioo- I N. in tres numeros, ita ut primi l secundi tertii l eonficiant et . - N. Quare ob appostam conditionem oportet a7 - . N. cadere inter i & i de ioo- i N. hoc est oportet
93쪽
λ- λ luce clarius est. Cutandum ergo tantum ut sit maius quam 2O- N. Hoc autem ii ponatur addendo utrimque N. Opportebit 27. else maius quam 2o-- ablatis viri inque zo. oportebit
. maius esse quam N. Quare cum diuidendo T. per A sat quotiens 23 Determinarum ergo est de ptimo segmento, nam statui potest quilibet numerus infra Ponatur ergo Io. erunt itaque t 1iqua simul m. & cum auserendo y. semissem ipsius Io. de 27. luversint m. iam diuidendus erit . in tres numeros , ita ut primi secundi i tertii τ conficiant aa. statuat ut primus seu secundum sementum ipsius Ioci. i N. erunt duo reliqui m 'r NM eum primi l sit N. patet: secundi di ἰ tertii conficere 22 - l N. Hoc autem ut possibile st, oportet 21-t N. cadere inter: dei depo-IN. hoe est oportet aa - N. esse minus quam za N. & maius quam i8 - 4 N. & primum quidem manifestum est secundum. Autem fic curabimus. Quia za - ἰ N. est maior quam i8 - N. addito utrimque N. manebit aa maior quam 8 - . N. & ablatis utrinque 18. manent 4. maiora quam a N. Quate cum diuidendo A. per a fiat quotiens 3o. patet valorem numeri minorem esse debere qnim Io. Itaque posito primo segmento Io. determinatum est etiam de seeundo, nam debet esse infra dio. Ponatur ergo quilibet numerus inse1 3o. puta a . Cum ergo au tendo ro. &24 de Ioo. supersint 66. erit haec summa ter iij dc quarti. Cum vero semissis primisit s. Et triens secundi 8. sublatis his de a7. remanet 14. pro quadrante tertij dc quintante quarti. Diuidatur ergo per propostionem Diophanti numerus 65. in duos, ut unius quadrans eum alterius quintante conficiat I . inuenies alterum I s. alterum O. Quamobrem 'luta est quaestio, de sunt numeri Ioo. quatuor segmenta Io. 24. 36. O. quae satisfaciunt postulatis. Manifestum autem est quaestionem infinities in nitas tecipere solutiones. Nam ut probatum est, potest primum segmentum poni quilibet numerus insta u. hi autem obstactiones insiniti sunt. Dei desumpto uno ex infinitis litis numeris puta Io. primo segmento manente IO. potest secundum segmentum infinities variati,
eum ut ostensum est poni possit quilibet numerus iniri 3o. sed ista sussiciant.
duos numeros, ut prioris data pars, posterioris datam partem superet dato
numero. Hunc autem minorem esse
oportet, eo qui fit si proposti ab initio
numeri pars illa capiatur , quae alteram excedit. Constitutum sit ergo partiri IOO. in duos numeros , ut prioris quadrans, posterioris sextantem 2o. vinitatibus superet. Pono sextantem posterioris I. N. ipse ergo erit 6. N. Quadrans autem prioris erit I. N. -- 2 . Ipse itaque q. N. - . 8o. Carteriam volo duorum summam esse ioo. sed utriusque summa est Io. N. - . 8o. haec igitur aequantur unitatibus1oo. Aufero similia a similibus , relinquuntur IO. N. aequales ro. & fit 1. N. unitatum a. Ad hypostases. Statueram sextantem posterioris r. N. Ipse ergo eritia. At prioris quadrans fuit I. N. -- 2O.
erit igitur etet. & ipse prior 88. manetque hoc, huius quadrantem sextante illius majorem esse sto. unitatibus. Ipsi autem coniuncti numeri, propositum restituunt
94쪽
CR N o irro NIs appositae ratio in promptu est. Impossibile est enim ut pars aliqua minoris
numeri, sit aequalis vel maior eadem parte maioris numeri. Quare cum diuidendus est Ioo. in duos huiusmodi numeros, ut pclo is quadrans superet sextantem posterioris numero aci. Impossibile est sto. non esse minorem quadrante de Ico. Cum Io. sit minor quadrante unius segmenti
Caeterum ut bene monet Xilander sex diuersis operationibus solui poterat quaestio. Prima est quae habetur in textu Dioph nti, ponendo scilicet sextantem possetioris segmenti seeunda huic respondens est. Si ponatur prioris quadrans I N. ipse pilor N. unde sit sextans posterioris i N. - sto. ipse posterior 6 N. - ao. qui priori additus summam facit Io N. - leto. aequalem Ioc. unde fit I. N. aa. prioris quadrans, suntque ipsi numeri ut prius M. & ia Tettia operatio est. Pono primum I N. ergo N. -aci. est sextans secundi, ipse seeundus I, N. - rao. qui primo additus facit a N. - Iao. aequilia Ioci. & fit i N. m. primus sellieet. Quarta huic respondens est. Potio secundum I N. ergo ; N. - et . est quadrans primi. ipse igitur primus est - - N. 8o,qui secundo additus iacit ii N. -- M. aequalia ioci. & fit 1 N. Ia. secundus
Quinta operatio est. Pono primum N. ergo seeundus est ioci N. Primi quadranstN. secundi sextans 16l - 4 N. cui addendo ao. sunt 36 N. aequalia i N. & tandem N. aequantur 36 l unde
si 1 N. 88. ut prius. Sesta hute respondens est. Dono secundum IN. ergo primus est Ioo. - I N. secundi sextans est ὁ N. primi quadran. Is - - N. Quare N. - 2o. aequantur as-N. & tandem s. aequantur ri N. unde fit a N. Ia. ut supra. Ex duabus autem ultimis elicietur huiusmodi Canon. Propositi numeν. suma partes similes postularis , -nostis adjee datiam intertialium, asser ia minterualium a maiore, summam ct residuum partire seorsu per aggregatum factoonum exprimemiam paries postilinas, orientur quasita n meri.
AB eodem numero auferre duos da
tos numeros, ut residui eam sieruent quae dabitur rationcm. Iubea inur ab eoiadem numero auferre Ioo.& ao. ut maius residuum, minoris sit triplum. Statuatur quaesitus numerus i N. ab eo si auferam Ioo. residuum est I N. - Ioo. &si ab eodem auferam ro. relinquitur I N. -ao. Oportet autem resduum maius minoris eue triplum i Ter igitur minus residuum arquatur maiori. Atqui ter minus residuum , fit 3 N. - 3oo. Hoc ergo aequatur I N. - 2o. Defectus communis virm-que addatur, fiunt 3 N. aequale SIN. 28o. Auserantur a similibus similia; relinuuntur a N. aequales uniratibus 18o. &ti N. unitatuin Iq o. Ad positiones. Numerum quaesitum statueram 1 N. Erit igitur unitatum I o. & si ab eo abstulero Ioci. supersunt o. si autem abstulero ao. restant leto. Et maius residuum minoris est triplum.
95쪽
Ossκ Aetio Diophanti sicilis est ,& ex ea elicitur huiusmodi Canon.
Duriis maiorem datorum numerirum in denominatorem rationis postulata , a prodia D ausis minorem. Residuum divide per denominatorem rationis intrate mutiatum, oraetur quaestias
Aliter etiam eum Flane seo Vieta institui poterat operatio. ponatui 1 N. desectus quo 1oo. descit aquaesto numero. Erit erso quaestus numerus IN. - IOo. Quia vero desectus quo sto. descit ab eodem quaesto numeto, triplus est desectus quo roo. ab eodem deficit, erit ipsus dio. desectus N. adeo quaesitus numerus rursus aequabitur 3 N. - ao. Quamobrem aequaleslunt i N. - Ioo.& 3 N. - eto. unde se I N. clo. & quaestus numerus est I o. ut plius. Hinc etiam elicie tuet alius Canon, nimirum. Dataram titi erorum inter Iliam Luade per denominatorem rar onis unafate mutiatum. orierare Afectus maiονδε numera a quo Io numero, quo ei addito, fer quaessus numerus.
adiicere numerum , ut composti ad inuicem datam habeant rationem. Oportet autem datam rationem minorem esse ea quam habet maior datorum numerorum ad minorem. Iubeamur adroo. & ad ro . eundem numerum adiicere, ut maius compositum , minoris sit triplum. Ponatur addendus utrique nume- . ro IN. is si ad Ioo. addatur, fiet ΙΝ. roo. si vero ad dio. adiiciatur, fiet i N. dio. & oportet compositum maius minoiaris esse triplum Ter igitur murus compo-stu in aequabitur maiori. Ter autem minus compostum, fit 3N. - 6o. Hoc ergo aequale est IN. - Ioo. Auferantur si milia a simitibus, stipersunt a N. aequales unitatibus o. & fit i N. unitatum et O. Ad positiones. Statueram adiiciendum virique numero IN. erit ergo Vnitatum. 2o.& s ad 1oo. addatur fiunt unitates Ieto. At si ad dio. adiiciatur, fiunt vilitates εο.& est maius compositum nainoris triplum.
CON hietio apposta nil aliud dicit, qu in quod ostendimux propostione prima libri primi
potismatum. Reliqua omnia sunt dilucida, & ex operatione Diophanti formabitur iste Canon. Aufis a m ore virorum numerorum , productam ex mιnare in denominararem rationιι ρο dura, νε- Ii vim Laid. p.r e dem denominararem unitate miaratum, arietur Paesitus numerus.
AD , τ i s duobus numeris auferre eundem numerum , ut residui ad inuicem dapam habeant rationem.Opor
96쪽
tet autem datam rationem maiorem esse ea quam habet maior datorum numcrorum ad minorem. Imperatum sit a ro dca Ioo. auferri eundem numerum, ut maius residuum minoris sit sescuplum Statuatur numerus ab utroque numero auferendus 1 N. Et si quidem a Ioo. auseratur, reliquae sunt vilitates 1oo i N. si autem a 2o. detrahatur, restant unitates zo - I N. Et oportet residuum maius,minoris esse sescuplum. Sexies igitur minus residuum aequatur maiori. Sexies autem minus residuum fit iso -6 N. hoc aequale est 1 oo i N. Adiiciatur communis desectus, & auserantur similia a similibus, relinquuntur 3 N. aequales unitatibus 2o. 3c fit 1 N. unitatum 4. Ad Positiones. Statueram auferendum ab utroque numero I N. erit is unitatum ψ. Qui quidem si aroo. auferatur, supersimi unitates q6. si autem a ro. detrahatur, relinquuntur unitates r6. Et est residuum maius minoris se stuplum.
CONDITro NIs hie appositae est eadem ratio, quae supi . Canon se so abitur.
Tacita denominatorem raIιοκιs in minorem dataram mmerorem , a producta aufer maiorem,
νε tium δαιδε per ipsisu denominatoνem im re miratum , orietur quassus numerus. Alitet eum Francisco Vieta licebit operari. Ponamus i N. excessum ipsius Io supti quaesitum numerum , erit ergo 6 N. excessus ipsius ioo. supra eundem. Quare quasitus numerus erit tam aci- x N. quam I o - 6. N. Haec igitur aequantur inter se. Et nil N. 36. excessus ipsius aα supra quaesitum numerum, quo ablato remanet 4. quaestus numerus. Et hinc etiam elicietur alius Canon. Dinarum numerorum interuatium a uiri per denomanatorem rationas umtare mutiastim , oratiar cessis minoris numera sera quasi tim numerum , quo ablato remanet quasi ius numerus.
TV o a v s datis numeris, eundem
numerum minori quidem eκ ipsis addere , detrahere autem a maiori, ut compositum ad res duum datam habeat rationem. Imperatum si ips quidem dio addere, at vero a Ioo. auferre eundem numerum, ut compositum resdui si qua druplum. Ponatur addendus & adimendus utrique numero x N. & si ad dio. ad datur, seti N. -- sto. si vero a Ioo. detrahatur , set roo - 1 N. & oportet maius minoris esse quadruplum. Quater igitur minus aequabitur maiori. Sed quater minus fit unitates Mo. - 4 N. hoc ergo
97쪽
aequatur IN-- 2 o. Communis addatur
deiectus, de auferantur a snail ibus similia, supersunt 3 N. aequales via stati
bus 38o. di sit i N. s. fid positiones.
Statueram addendum & adimendum utrique numero 1 N. is ergo erit ε. &si ad et O. addantur s. sunt ρό. si vero a IOD. auserantur, supersunt et . & patet
maius minoris en e quadruplum.
AD ut stir h;e triplicem easum dari posse. Vel enim datis duobus numeris idem tertius quae situs maiori est adimendus, & addendus minori. Vel contia est addendus maiori, & adimenia D v v p istus maiori edus minori. Et ex prima consideratione, rursus duplex easus oritur. Vel enim poscinius rationem eollecti adtesduimi , vel residui ad collectunt, ita ut collectum nune sit maius extremum proporia
Primus eastis est is, in quem incidit operatio Diophanti, cum petat auferti eundem numerum amesoli roo. N addi minori et O. ut sumitia residui sit quadrupla. In quo casu nil refert quae proportici postulet ut, siue nimirum maior proportione datorum numerorum, siue minor; etenim numerus minora o. quantumlibet auferi potest, di maior Io . quantumlibet minui, unde quaecumque proportio postuletur, poterit summa esse maius extremum, & residuum minus extremum. Sed in hoe casu hic formabitur Canon. Dariis d nominatorem rationis posviara in maiorem virorum κumerorem, a proaacto a re minorim a ct restavium partire per ipsum denominararem unitate otium, orreor qωUDtis κumema Alitet etiam positiones fieri poterant. Excessus numeri ioci. supra quaestuin, esto I. N. erit ergo quaesitus too -I N. & quia supradictus excessus ponitur subquadruplus compositi ex numero sto. α ex quaesito numero, erit compositum illud 4 N. Quare auferendo 2o. remanet 4 N. - 2 quaestus numerus. Proinde IOo a N. aequantur 4 N. - 2o. & fit I N. 24. excessus ipsus to . supra qua situ in numerum, quare detracto a . de Ioo. relinquitur quaestus 6. Hine rursus set hie Caia
non. Summam duroram numerarion Lurde per denomsniatorem rationis unitate auctum, orietur excessas maioris L oram n merorum, supra quastium ; eo e aer racio remaχebit quaestus numeras.
Secundus casus est , eum quaestus numerus addendus quidem est , ut prius minoti datorum, &A tori s. h a maiore detrahendus, sed res duum si maius extremum promitionis postulata.c4ὸ o I Tunc autem oportet rationem postulatam minorem esse ratione datorum numero ' o rum. Quod sic ostenditur. Sint A. B. da i numeri A. maior, & B. minotiti sit' ' C. quaestus numerus qui additus ad B. faciat D. detractus ab A. telinquat C. itavi C. sit maior qu,ti D. dico rationem A. ad B. maiorem esse ratione C. ad D. Nam ratio A. ad D. maioris inaequalitatis, maior est ratione B. ad D. minoris inaequalitatis, eum maiorem habeat dens iii minatorem. Igitur & permutando ratio A. ad B. maior est ratione C. ad D. Quod erat propositum Hie etiam licet duplicem operationem instituere, & duplicem Canonem formare, nimirum.
Diae ιο isnominatorem rationis postulata in mιnarem datorem numerorum,productum aufer a maiore, ct risdutiis da vi per ipsim denominatorem unitate auctum , orierar quaesitus numerus. vel . Stimmam durorum numeroram a uade per denominatorem rationis unitate auctum , orietur summis
a M. numisi es minoris a torum, undes auferatur minor datorum, remanet quassas. Tertius casus est cum quaestus numerus addendus est maiori datorum, & a minore detrahenducubi necesse est summam maiorem esse residuo , & oportet possulatam rationem , maiorem esse ratione datorum numerorum. Qusdsimili prorsus argumento ostendetur, illius quo supra contrarium ostensum est. Sed & duplex instituetur operatio, & duplex Canon formabitnr, nimirum. Duelio isnominatorem rionis postilatarn minorem uatorum numararum, a prod tyo amfer maio-ν- , ct residuism Laida per denominatorem ψsum unitase ahctum , arietur quaesitis num
Sammam dis oram numerorum disiae per denominatorem rationis unitare atim , quoriens erit axe.ssus minoris datorum namerorum sipra quasi- , quo daetracta relinquetur qMastitis.
98쪽
DV o s datos numeros , alterum
quidem addere, alterum vero detrahere ab eodem numero , ut geniti ad inuicem datam habeant rationem. Constitutum sit ipsum quidem ao. addere , sed ipsum ioo. auferre ab eodem numero, ut maior genitorum, minoris
triplus sit. Esto quaestus 1 N. &si huic
adiiciamus unitates 2 o. fit IN. - ao. si autem ab eodem auserantur unitptes Ioo. superest i N. - Ioo. & oportet maiorem minoris esse triplum. Ter igitur minor arquatur maiori. Sed minor terfit 3 N. - 3oo. Igitur 3 N. -3oo. aequan tur I N. -- ro. Communis addatur defectus, & similia a similibus auserantur, supersunt unitates 32o. aequales a N. &fit 1 N. 16o. Ad positiones. Est maior unitatum 18o. minor 6o. 8c patet maiorem minoris esse triplum. AT O δ'ο hinc ass-- , ον Pta , τον δὲ in ρον ἀφελῶν Κῶ ἀ
OP E R A T r o Diophanti Acilis est. unde Canon uniuersalis elicitur, quamu1s eum Xilanader ad proportionem multiplicem male restringat. Multi/lica detraheniam per denominatorem rarisma, produm adiise aviendum, Fummam diside per denomιnatorem νουumvmtate multatum , strietur quesitus numerus. ΑΙ iter etiam licet operari. Ponatur defectus ipsius No. a quaesito numero x N. ergo ipse quaesitus numerus esti N. - Ioo. At 3 N. erit summa quaesiti numeri & ipsius 2o. Quare ablato Ici. remanet quaesitus 3 N. - Io. Proinde I N. - Ioo. aequantur 3 N. - sto. 3e fit i N. 6o. desectus ipsius ro. quaesito, quare quaestus est 16o. ut prius. Hine etiam elicietur alius Canon. Summam datorum numerorum diuide per denominatorem rationis unitate multatum, quotiens erit defctus detrahendi numeri a quasso , quo restituto fiet quasitus.
PRO Post xv M numerum diuiderebis in duos numeros, ita ut unus e prima diuisione ad unum E secunda di uisione datam habeat rationem. At reliquus ex secunda diuisione ad teliquum d prima rationem item habeat datam. Iniunctum si nobis numerum Ioo. diuidere bis in duos numeros, ita ut maiore prima diuisone , minoris e secunda diuisione sit duplus , maior vero e secunda diuisone minoris e prima diuisione sit triplus. Ponatur minor ς secunda di-iiisone i N. Maior igitur E prima diuisione erit a N. Minor itaque ε prima diui-
99쪽
sone erit unitatum Ioo - 2 N. & quia huius triplus est maior e secunda diuisone , erit utique 3oo - 6 N. Superest igitur ut ambo iseciandae diuisionis conjuncti efficiant ioci. At coniuncti faciunt 3oo- N. Hoc ergo aequatur Ioo. Sc fit I N. unitatum o. Ad postiones. Posiueram maiorem e prima diuisione 2 N. erit ergo unitatum 8o Minorem vero eiusdem diuisionis statueram Ioo - 2 N. erit igitur ΣΟ. At posueram maiorem e secunda diuisone 3oo - 6 N. erit ergo so. Minor denique e secunda diuisione qui positus fuerat I N. erit qo. & e ludens est demonstratio.
E Me monet Xilandet quadtuplicem institui posse operationem, e3 quod quaelibet pars cu- iussibet diuisonis poni potest i N. Sed ego praeterea ex ipsa Diophanti operatione aio formari posse huiusmodi Canonem.
rue ει sigillusim denominatorem rationis utriusque unitate miratum, in ἁ tum numerum ,producta dis vi seorsim per numeram qui sis ex minua denomanatorum mώhiph ιιone unitata mulsatum, orieni vir minores partes viri, que dissonas. Item. I vitio sigilla im denominatorem rationis utrius Me υnitate avim , in darum nameram prod Erad vitis seorsim p.r fundem νι supra numerum, orientiar partes marores.
Citerum in siniit ibiti ouaestionibus, si pars una priotis diuisionis si maior una parte posterioris, necessario altera posterio ars est maior altera prioris, quin etiam & eodem inteluallo maior est, ut constat ex prop. quarta illari primi Porism. Quo fundamento qui niti velit, alitet etiam operationem instituet hac arte. Sit minoriters p ima diuisionis i N. Ergo maior secenda erit 3 N. S cum harum partium interuallum sta N. opo ut N reliquas eodem distare interuallo, sed quia reliqua primae diuisionis est dupla reliquae secundae , illarum interuali una aequale est ipsi minori parti secundae diuisonis, quate haec pars est a N. quae maiori nimirum 3 N. addita escit s N. aequales ioo. unde fit a N. etc. minor pars primae diuisonis, Sc.
P Rorosi TvM numerum diuidere ter in duos numeros, ut unus e prima diuisione ad unum e secunda,datam habeat rationem. Reliquus autem c secunda diuisione, ad unum e tertia datain habeat rationem. Et rursis reliquus etertia diuisione ad reliquum e prima datam etiam habeat rationem. Iniunctumst numerum ioo. diuidere ter in duos numeros, Ut maior e prima diuisione, minoris e secunda sit triplus t, at maior ἡ secunda diuisione, minoris e tertia sit duplus , & adhuc maiore tertia diuisione , minoris e prima sit quadruplus. Ponatur minor e tertia diuisione I N. Maior
100쪽
igitur e secunda diuisone erit a N.Et quia totus numerus qui diuiditur est ioo. erit minor e secunda diuisone ro a N. Et quoniam huius triplus est maior e prima diuisione , erit is 3oo - 6N. Igitur minor ex eadem diuisone erit s N. aoo. Et quia illius quadruplus est maior e tertia diuisione, erit is et N. - 8ΟO. Superest ut tertiae diuisionis utraque pars smul efficiat icio. sed utraque smul esta 3 N. - 8oo. Hoc igitur arquatur Io . Et fit 1 N. unitatum 36. Ad positiones. Erit minor e tertia diuisone 36. maior autem sq. At minor e prima diuisone I s. maior 8 . Denique minore secunda diuisione erit 28 maior r. Et manifestum est hos satisfacere proposito.
SEx ruptici TER institui posse operationem bene monet Xilander. Ego vero & Canonein
fabricor satis instentosum. me tres denomanatores eo quo proponuntur ordine, cst ducus queml/bet unitale miratum in nou ui ab ipso tertius est, troductum νnitate auctum ducito in datum numerum , ct pro diam Luadi, per se dum sub deuominatoribus contentum unitate ι- m, habebis minores partes sinoulariam d. Μυῖοπι m. vel . Durato quemlibet denominatorem unitate multatum in eum qui ab ipso tertius es, productum unita a auctum ducaso in retiquum denomιnatoreis, ct rstductum d-ιιο ιπ datum num rum, produltam
que diuide persti an de quo supra, habebis mmdres partes I gularum diuisionum. Propositis autem tribus numeris, tertius a quolibet dicitur ille qui tertius ab eo numeratur, si cum perueneris ad ultimum, recurras ad primum. Vr hisce propositis 3. a.. Tertius ab ipso et . est 4 At tertius ab ipso a. est 3. denique tertius ipὶ .esta.
ductus eorum multiplicatione ad co-rumdem summam datam habeat rationem. Oportet autem multitudinem unitatum quae statuetur pro altero numerorum maiorem esse denominatore rationis
datae. Mandatum si productum ex multiplicatione , ad summam habere rationem triplam. Ponatur alter numerorum I. N. alter ut addita conditio praecipit maior quam 3. nempe ra. & est productus eorum multiplicatione Ia N. summa vero illorum I N. - Ia. superest ut Ia N. sint tripli ad i N. - , Ir. Ter igitur minor aequabitur maiori, & fit I N. unitatum s. Erit ergo alter illorum 4. alter vero ET P EI N ορυο αριθαους οπως o ἐά του