장음표시 사용
141쪽
aΦιη Hν τῶ πρώρου πλd ρα ις πινα αδαν. ergo primi latus I Atque ipse quadratus
DARuM aut nil differunt hae duae quaestiones, elim idem quarant, & eodem prorsus operandi I modo. Quare unica indigent explicatione. Operatio est subtilis N Diophanti propria, qua insequentibus pulcherrima S diis cillima perscit problemata, & ab alio ante ipsum nunquam excogitata. Proinde tyronibus hie omni ope laborandum est, ut methodum istam fingendorum latetum persect) eo merchendant, illique assues eant. Cum igitur Diophantus aequare velit quadrato 15 - i in id tali artilicio peragit vi aquatione rite praeparata, tandem inter duas species proximas aequalitas consistat, sic enim cum nulla opus sit radicis extractione, sed sola diuisione inueniatur valor Numeri , patet solutionem contingere rationalem. Et hoc unitin voluisse Diophamum praeter quam quod res ipsa et amat, ipsemet dilertis verbis te satur quaesione undecima insta, vSi cimi e sngendo latere quadrati praeceptum deii set, lubiicit, me en m a specie Oni spee ei aquati remanente. .aepedietur quam . Quod rursus iisdem fere verbis repetit quaestione duodecima de decima tertia. Hic itaque ut aequatio rite procedat, tria liliat Obleritatula
. Primo ut in latere ficti ij quadrati eo natur unitatum numerus aequalis lateri quadrati diuidendi Sti duos qs adtatos, ita Diophantus tingit hoe latus a N. - . Quod fit idcirco , quia se necesse est In quadrato fietitio repetiri unitates aequales ipsi quadrato diuidendo, nimirum Io. clim lex multiplicationis requirat ut ex - q. in . nant Is. Quare cum idem unitatum numerus iit etiam in alte-
la aequationis parte, puta in i 6 - ineuidens est auferendo similia a similibus, unitates omnino tolli lati utraque parte, & aequalitatem consistere inter proximas duas species, Quadratos scilicet &
. ὀ Secundo necesse est vi unitates quae ponuntur insistitio 1atere, adiunctu ni habeant si mim de iis, sic Diophantus ponit huius nodi latus a N. - . di ratio est quia si poneretur et N. - .
nulla quadrati pars adiunctum haberet signum desectu, , esset enim quadratus I6N. I 6. QDre clim in altera aequationis parte sint unitates cum desectu quauratorum , nempe I 6 - I Q. latis utrimque vilitati hus 16. ut supra dictum est, di addendo deiectu in utrinque, nempe i Q remanerent 1: --, x6. N. aequales nihilo. Vt igitur Numeti defietant necesse fuit ponere latus quadrati cum defectu unitatum, puta a N. - . sic enim et quadratus Is N. - I6. Quareatitatis viti que viaitatibus i s. & addendra utrimque a Q. tum 16 N. remanent hinc s. Q. inde res N. inter se aequales. Denique multitudo Numerorum qui ponuntur in latere fictitio, debet esse maior vel minor unitate. Nain si ponatur unitas, orietur valor Numeri aequalis lateri ipsiua quadrati diuidendi ,& te luendo hypostas es, ipsum latus fictilium, reperietur nihil. Ita si ponas in
exemplo Diophanti, latus fictilium I N. - . set quadratus I Q 8 N. -- r6 aequandus 16 - I Q. Quare auferendo similia a similibus, & supplendo desectus, remancnt et inaequales 8 N.&sti N. 4. Quare latus quod post una erat N. - . erit - 4 seu nihilum. Cur autem id contingat, ratio est euidens. Nam numerus quadratorum qui in aequatione remanet, semper aequalis est quadrato Numerorum qui ponuntur in latere ficto, adscita unitate , quare cum in latere ficto ponet uex N. numerus quadrato ni qui manent in aequatione, erit a. in At multitudo Numerorum cui
requantur a inest dupluin lateris quadrati diuidendi, quia scilicet fit ex ductu i N. in dictum laruabis. Verbi gratia in dato exemplo a Q aequantur g N. Quare cum duplum lateris, puta 8. diuidetur
per a. necesse erit oriri ipsum latus 4 pro valore Numeri. Quod erat propositum. Nis lane probe intellectis totum Diophanti attifieium precipietur. Sed abundantioris doc linae gratia libet aduertere, eandem solutionem contingere, quamuis dupliciter instituatur positio se cundi latetis, nimirum, sue ponatur in eo quaelibet multitudo Numerorum maior ea quae posta est in primo latere, sue alia minor, ita tamen ut inter harum utramque , illa sit media promtrionalis. Verbi gratia in e amplo Diophanti, sue ponas latus fictilium a N. - q. siue : N. eadem continget tolutio, set enim utrobique I N. -. Quia scilicet i N. est medius proportionalis inter et M. & N. & se de aliis. Cuius symptomatis causa pendet ab huiusmodi Theoremate . . - Si fuerint ι res numeri proporato Ira , me se habet aggregarum quadratorum a duobas primis ad n mum , isa or auregatum qua atorum a duobus pube s ad ρο rem m. v κ u, o nutres proportionales A. B. C. quorum quadrati DEG. Di eo esse D Esi
i. a i ' mul ad A, uelit E G simul ad C. Quaa enim Dad E est in duplicata ratione 16. MD. lateris A. ad latus B ' sed & A ad C est dupli eata ratio rationi A A ad B, erit D ad. E se ut A ad C. eodem argumento ostendetur eae E ad G ut A ad C. Quare est D ad si vi E ad G
& coiiuertendo C ad E ut E ad D. Quia vel st D ad E ut A ad C i est de vicissim D ad A Vt E
142쪽
C. Itaque cum sit E ad D ut C. ad E etunt componendo D E simul ad D, sicut E C simul ad Ε, sed vi D ad A, sic Ead C. ut ostensum est iam. Igitur ex aquo ut DE simul ad A, sic EG simul ad M.f. tiri.
C. Quod erat propositiim. Noe posito isto B numerus Numerorum primi lateris, medius proportionalis inter A& C. die OA N D n MC N D A ponatur si murus Numerorum secundi lateris, siue C., a , ψ' eundem eonti tigere selutionem. Sit enim D latus quadrati di uide ius in duos quadrato . Igitur Α - Derit sceundum latus, 3 cuius quadratus constabit ex qua- 4. secumadratis ipsorum A & D. minus duplo producti ex A in D. cui audendra quadratum ex B. totum comis positum aequabitur quadrato diuidendo abs D. Quare auferendo utrimque quadratum abs D, re transferendo deseditim in alto avi aequalionis partem, manent quadrati ex A & simul aequales duplo producti e2 A in D. unde fit valor Nuineri diuidendo duplum producti ex A in D per aggregatum quadratotum eb, Α & B. similiter ostendemii si secundum latus statuat ut C - D valoiem Numeri haberi diuidendo duplum produecti ex Cin D per aggregatum quadratorum alis L&C. Ciam ergo per praecellens Ilicori ma iit vi aggregatum quadratorum abs A& B ad A. ita aggregatum quadratorum abs BN C ad C. ae proinue per eundem duplum ipsius D multiplieando conie- M. rquentesi ' sit ut aggregatum quadratorum abs A N B ad duplum producti ex A in D. ita aggregatum
quadratorum abs B S C ad duplum producti ex C in D. patet diuiso seotiam duplo producit ex A in D per aggregatum quadratorum abs A N B, ct duplo producti ex Bin C per aggregatum quadrato
tum abs B&C. seri ob aequalitatem proportionis , eundem quotientem utrobique , atque ideo eundem vitobique reperiri valorem Numeri. Quod demonstrandum erat. Aduertendum preteterea primi quadrati latus poni posse quemlibet Numerorum numerum, dum in secundi latere ponatur maior vel minor Numerorum numerus, verbi gratia ponatur primi latus N. erit quadratus 9 Igitur secundus quadracus erit I 6 - 9 uius latus Iangatur et N. - . fiee quadratus in Q is N. Is,aequalis 36 - ς inde tandem Π equabuntur I6 N. & set 1 N. etit
igitur primum laetus incundum quorum quadrati & οτ' quorum summa Vae seu 16. ubi Miseidit quod animaduertione dignitim est θ resoluendo hypostas in se eundi lateris illud reperies nona N. - . sed 4- 2 N. Manet tamen eadem aequatio, & res aeque bene succedit, quia quadratu i5 N. --μ Is . cum quo aequalitas instituitue , habere potest duplex latus, nimi tum a N. - .
vel 4 - a N. nec interest quo illorum e sngi concipiatur. Quod semel monuisse suffieiat, ne eui scrupulum moueat quotiescunque deinceps simile quid continget. sanὸ Franeiscus Vieta in tali casu desectunt sub ambiguitate relinquens tali nota uteretur ad eum fgnis eandvno N. - . Indieans se ilieri ob in determinationem Numeri qui talis esse potest ut a N. nune maiores snt qu3m 4.rune minores, latus illud loni vel a N - . vel - - a N. prout valor Numeri commodius posticitanibus applicari potcrit. Caeterunt ex operatione Diophanti nullo negotio Canon erui potest. Sed omnium Aetllimus ad huiusmodi quaestioncs soluendas, elieitur ex propositione tertia libri tertii potismatum . nimirum.
portionalis inter eos eadent s, Iatera exhabent quae florum quadratorum.
Vt si datus si quadratus i6. diuide latu; eius 4. in planos duos similes, habentes scilicet rationem quain ad I. quod set per Canonem secundae primi, eruntque & quorum interuallum Quare latera quaesitorum quadratorum sunt & ,. Si autem 4. diuidatur tursus in alios duos. planoas miles seruantes aliam proportionem, alia teperietur solutio, ut si diuidatur in duas partes seruantestationem quam habent . ad s. erunt hae i &l. quarum interuallum,induplum ni edii proporti natis sunt Pi& n latera scilicet quaesto tum quadratorum. Attamen , ne quid tyrones fallat, aduet-eendum est seri posse, ut idem numeru bis diuidatur in duos planos similes , nec tamen per geminam illam diuisionem quadratus illius bis componatur ex duobus quadratis. duod accidit quotiet cunque partium prioris diuisionis interuallum aequatur duplo medii proportionalis cadentis in ter partes posteriori; diuisionis, Ne conuerso. Unde necesse est per vita nque diuisionem eadem quadratorum latera teperiri, non autem diuersa. Verbi gratia , s idem q. diuidat ut in planos similest quorum ratio est quae t ad p. sunt hi diuersi a iam expositis l&μ. Attamen quia eorum intelia
uallum fidem est cum duplo medii qui cadit inter A P. & e conuerso interuallum ipsotum &idem est cum duplo med ij qui cadit inter ' & nimi tum patet per utramque diuisionem eadem reperiri latet a Vt autem saee eκ altiori principio repetantur, id huiusmodi planis similibusaeeidit, quia illi sunt in ratione quadratorum i&ς. assi veto in ratione quadratorum I. & 4. at priorum latera aequantur summae laterum posteriorum I corum interuallo, etenim posteriorum latera sunt I.& 2. quorum summa & intervallum, nimirum 3. & I. conficiunt latera priorum. Hane porro esse veram symptrimatis huius causam more nostro libet demonorare.
sunto quadrati A C. quo tum latera G A. itemque quadrati D F quorum latera Κ L. ita ut ipso. tum Κ L summa sit aequalis ipsi G,& eorumdem KL interuallum sit aquale ipsi H. Tune ducatur
143쪽
idem numerus M in ipsos A C, ut sant plani s miles in . itemque dueat ut idem N. in ipsos DF.,
ut fiant plani similes T X. ita tamen ut ambolum in S. lumina si aequalis sumniae amboruiti T. X. de ipsoru ni in s. medius proportionalis esto R, interuallum veto V. I plorum quoque T X medius proportionalis esto V, interuallum Z.dico tam
2 ipsius R. quam vicissim Y ipsius V duplum esse. Sumantur enini R ipsorum A C.& DF medii proportionales B E. & eorumdem interualla o P. Quoniam igitur quadratorum D Finteruallum P fit ex sumina laterum Κ L in eorundem interuallum, set P e, C in H e, hypothes, at ea C in H si etiam B igitur B P. sunt aequales. t At vero quadrati A C, simul quadratorum D F. sinui dupli sunt & ex Min ipios A C fiunt S.eae N autem in ipsos D F sunt T X,eum ergo stinima duorum Q s. sit aequalis summat amborum T X. patet ex M ia summam ipsorum Α C fieri eundem numerum qui si ex N. in summam ipsorum D F. Igitur' est ut summa ipsoru in A C ad summam ipsorum D F, ita N. ad M. Quare & N. duplus est ipsius M. Rursus cum ex M in ipsos A C. sant s. patet etiam ex M. in ipsos B. o. fieri R Y. similiterque ex N in ipsos E P. fieri V. Z. Quoniam itaque e2 N in P si Z , di ex M in B st R. de B. P. Ostensi sunt aequales, patet ex eodem numero in ipsos N M. seri ipsos Z R. Quamobrem est Z ad II sicut N ad M. ae proinde Z in duplus ipsus R. Quod erat ostendendum. Deinde eum summa ipsorum G H constet ex summa ipsorum Κ LN eorum interuallo erit summa ipsorum G H dupla ipsus K. & quia interuallum eorundem G H fit e, summa ipsorum XL multata eorundem interatallo. y erit interuallum ipsorum G H duplum ipsius L. Quare productus ex summa ipsorum C H in eorundem interuallum iam itum D aequabitur producto ex duplo Κ in duplum L, seu quadruplo producti ex K in L Igitur O quadruplus est ipsus E. Proinde productus ex N in o quadruplus erit producti e N in E seu ipsus V. sed quia N est duplus ipsus M. idem productus ex N in o duplus est producti e Y M in o seu ipsus Y. Igitur Y. duplus est ipsius V. Quod de
monstrandum erat. Itaque ex omni parte constat propositum.
Hine euidens est e ut et lain eum Diophanto positionibus diuersimode institutis, eadem tamen nonnunquam solutio contingat, si enim primo statuantur numeri Numerorum utriusque late is quales sunt KL di secundo statuantur iidem numeA Numerotum quales sunt G H. eadem petu tramque positionem inuenietur solutio. Nam si ponas cum Diophanto latus unum i N, aliud veto a N - 4. nunt latera qviesitorum quadratorum π&π s autem rursus ponas Iatum unum a N. aliud vero a N - . fient rursus eadem quadratorum latet a V & π Eadem de causu si ptima uice ponas numeros Numerorum a. & 3. secunda vice I & s. non contingit solutio diuersa, quia sellieet ipsorum α&a. summa S interuallum conficiunt ipsos s&I.&se de aliis. Denique eu dictis melius & vniversalius quini modo I Xilandro tradito, licebit cognoscere an pro potitus quadratus e m ponaturei duobus quadratis integris, immoti quoties in duos integros quadiatos diuidi post, respiciendo scilicet an latus eius e duobus planis similibus integris componatur, & quoties ex planis similibus integes s & diuersis componatur, adhibita tamen emtione ne duorum ex iis planis similibus interuallum aequale sit duplo medis proportionalis inter alios duos eadentis. Hae arte inuenies quadratum latet is Q. quater componi ex duobus quadratis integris, quia scilicet ipse Q. quater componitur Eduobus planis smilibus integris,nimirum ex I de Eq. de i3. de sa. ex i6. Ac 49. 3e denique ex 2 . Ac Μ. Itaque per Canonem supra traditum inuenies latera quadratorum, ex quibus quadratus ipsius os . componitur, videlicet 63. & is vel 39. de s a. vel 33. & 16. vel demum aue. de M. Sed de his satis
DA τ v M numerum qui eκ duobus
componitur quadratis , in alio quadratos partiri Numerum I3. compostum ex quadratis q. & 9. diuidere oporteat in alios duos quadratos. Sumantur latera praedictorum quadratorum a. & a & ponantur quaestorum quadratorum latera : hoc quidem 1 N. -- a. Illud vero numerorum quotcunque , cum desectu tot unitatum quot continet latus alterius quadrati, puta 3. 5 esto a N. - .
& fiunt quadrati , ille quidem I -
144쪽
Restat vi ambo sinui itineti conficiant unitates 13. sed ambo simul tutiati faciuntue Q. - I3. - 8 N. Hoc ergo aequatur i3.& fit 1 N. Ad Positiones. Posueram
priorii latus 1 N. H. a. erit ergo statue ram autem posterioris latus a N. - 3. erit
utique :. Ipsi ergo quadrati erunt, ille
quidem et . Hinc autem i. Et ambo s-mul faciunt a seu imperatas unitates 13.
PVLeus statuvia est hoc ploblema, & eluciem naturae cum praecedente, euius magnus est usus in sequentibus, praesertim libro quinto. Sed circa operationem Diophanti inulta iunt obseruanda, quae Scholiastes & Glander, vel non viderunt Omnino, vel imperfectὰ tractarunt. Piimo obseruandum ne in viroque latere sciitio idem statuatur Numerorum nutu erus, alioquin non inuenientur diuersa quadratorum quaestorum latera a datis iam lateribus, sed eadem protius, de inutilis erit operatio. Ita in exemplo Diophanti si ponas fictilia latera i N. - a. & I N. - 3. vel rursusIN. - . a. & I N. - 3. inuenies per utramque positionem eadem latera a.& 3. quae iam data sunt, Aenihil actum erit. Quod ut sua demonstratione fulciat ut sunto B C. Iatela data quadratorum . quotum summa X. N ponatur A eertus Numerorum numerus in vir isti , Miar que latere fictitio, ita ut alleluin sit Α - Β, alteram Α - C. duplum
H u 's' autem quadrati abs A esto D. 8e duplum producti ex K in Α esto E. pa-D D Q ' iei diuiso E me D. oriri istorem Numeri. Nam ducere B in Α , de Citi A idem est atque ducere suminam ipsorum B C. nempe K in A. in te duplum productum e , Bin A, & ex C in A, aequatur duplo producti ex K in A, puta ipsa E. Quamobrem E est numerus Nu merorum qui reperiuntur in aggregato quadratorum a fictitiis lateribus Α - Β & Α - C. Atqui Dest numerus Quadratorum qui iunt in eodem agaregato. Proinde diuiso E pet D st valor Numeri. Itaque quia duplum Α in ipsum A ductum facit D. N duplum A in Κ facit E, et it D ad F se ui Αad K. Quare diuiso Κ per A prodibit idem valot Numeti qui ostensus est prodite diuiso E per D.
Proinde eum te luendo hypostasis, ducetur valor Numeri in A . fiet Κ, a quo auserendo B test bit utique C, N auserendo C, restabit B. Igitur latus Λ - B idem erit quod ipse C, S latus Α - Cidem erit quod B. Quod etat demonstrandum. Deinde ponatur unum latus Α -- B. alterum Α - C.& si Κ interuallum ipsorum B C st autem Dut prius duplum quadrati A. sed E. sit duplum producti ex A in M, ὰς di M Patet ob fgni diu statem, haberi numerum Num et citum eontento 6 ri Q M' rum in aggregato quadiatorum qui sunt a fictitiis lateribus, s 1 duplo M 7 διὸ pioducti eu A in C, auseratur duplum producti ex Α in B. hoc autem idem est atque dueere duplum Α in interuallum ipsorum B C. seu in Κ. Igitur E est ille numerus
Numerorum. Itaque cum D sit numerus quadratorum in eodem aggregato contentorum, diuiso Eper D. orietur valor numeri. Quia ergo ducendo duplum A in Α fit D. N dueendo idem duplum Ain Κ si E, erit Aiad K ut D ad E Proinde diuiso X per Α orietur item valor Numeri, & resoluendo hypostases eum A dueet ut in valorem Numeri set K. Quamobrem Α -- B aequabitur ipsi C. & Α - C hoe est C - Α aequabitur ipsi B. Quod erat propositum. Aduertendum secundo ad hoe ut aequatio proeedat, in latetibus fictitiis ponendum eae latus
utramque datorum cum signo desectus, vel saltem alterum, ita ut in aggregato quadratorum fictitiorum numerus Nnmerorum reperiatur eum signo desectus, ae proinde transeat in alteram aequa tionis partem, & maneant Numeri aequales quadratis. Quare tutissimus omnium modus fingendi latera quadratorum est, cum in utroque ponuntur data latera cum signo desectus, S tune nulla
145쪽
cautiti adhibenda est, praeter eam qua tradita est aduertendo primo vi scilicet numeri Numero rum fuit diuersi , & eam de qua agetur aduertendo ultimo. Ita si ponas latera I. N. N a. N. - a. fiet IN. - & latera quaesita crunt, & έ. & sie aliis infinitis modis variati pontiones poteti ni.& variae continoent solutiones, prout varii ponentur Numerorum numeri, qui ta inen non sine prius positis proportionales, aIimum si proportionales sint eandem exhibebunt solutionem , ut 1acile est demonstrate. Quod si alterum tantum datorum laterum statuatur cum signo minoris, alterum vero cum signo pluris, duplicit re id accedere potest, quιa vel minus latus afficitur ligno vel insus latus. Itaque. - - - . Aduertendum tertio, cum minus datorum laterum afficitur signo - maius vero frὐnO - . Ne cesse esse ut nummis Numerorum appositus minori ad numerum Numerorum appositu ni maiori maiorem habeat rationem ratione datorum laterum. inare ut hoc casti si eonatur verbi gratia alterum latus IN. - 3. ponendum erit alterum a N. - a vei 3 N. - 2. de sic in infinitum, ita ut numc-rus Numerorum secundi lateris excedat i ἰ qui ad unitatem seu ad numerum Numerorum primilateris eandem habet rationem quesu 3. ad 3. Huius rei cauia euulans est, quia oportet , ut dicium est in ast repato quadratorum fictiliorum numerum Ninuerorum esse cum signo -. late in hoc easti oportet δuplum producti ex minore datorum laterum in Numeros sibi appolitos lii perare duis
plimi producti ex maiore in Numeros sibi adiunctos, quod patet fieti non posse nisi obseritetur ''Idumen im quarto cum maius latus datorum incitur signo ,- minus vero signo - - tunc ne-eesse esse ut numeriis Numerorum appositus malini ad appositum minori lateri, maiorem babeat rationem ratione datorum laterum. Ita si ponatur alterum latus IN. - . statuendum erat alterum i , N - a vel ia N - et de sie in infinitum, ponendo in secundo latere quemlibet numerum diu merorum minorem quam I vel si secundum latus statuatur I N. - a. statuendum erit primum: N - 1 vel 4 N. a.& ite in infinitum ponendo in primo latere quemlibet numerum Numerorum maiorem qua ii i .Qum obseruari oportet ob causam in praecedente aduertendo allatam. Ita oessunt haec duo praecepta in unicum contrahi, nimirum. Clim in uno latere fietitio ponitur alte- cum latetum datorum cum signo, in alterum vero Ponitur in altero latere fictitio cum signo. - O potia trivi numerus Numerorum qui a ficitur signo- ad eum qui assicitur signo M. maiorem rationem
habeat, ratione datotum laterum - . Ο r' Aduertendum postrenio, tum maius datorum laterum assicitur sim - & minus signo - . timoeauendum esse ne numeras Numerorum maiori appositus, ad appositum minori eanciem rationem
habeat, quam habet summatiatorum laterum ad corundem interuallum I alioquin idem sequetur absurdum quod In primo aduertendo selyti ostensum est, reperiemur scilicet cado in later quae data sunt, de nihil effectum erat. Verbi gratia si ponas alte m latus 3 N. - 3. alterum i N. i et ciuiae N ad 1 N. se habet sicut summa ipsorum 3. 8c 2. ad eorundem interuallum inuenies tandemIN - a. nil aliud esse quim 2.5c a N. - a esse idem quod 3. Huius symptomati et eausa est huiusmodi Theoremate pendet. . . Datia ouatuor numero, pistram 8rmus ad seMndum sit vi summa tertiI ct auarti , ad emo um ertu supra ouarium : erit a gregatum armadratorum rem ct secund34 ad viroducto ex rrimo in rei Dum mAfranis pro Illa ex se inri in pro tum: Sι cur primo ad fem em summa rem1 re suam, veI sicut se euulis ad semissem interualla eorundem. sint dati quatuor numeri ABCD.& ipsorum C D interuallum sit E cuius temissi, G. & eorumleur CD summae semiiss sit F. 6e aggregatum quadratorum ah A & B sit Histroductum autem ex R in C multatum producto ex B in D esto Κ. N ponat te
esse A ad B sicut summa duorum C D ad eorundem interuallii in F, hoe est seut Fad G dico esse lieut Had Κ. sic A ad F vel Bad G. Quia enim est A ad Bsielit F ad G, erit vicissim A ad F sicut B ad G. Itaque sumantur L M qua illati ipsorum A B. quorum a resatum positum est H. N ex F in A fiat R. &e c' in II fiat P. Quia igitur F est semissis summae iplorum Ut , de G lemiliis I interualli eorundem; D G simul ' aequantur ipsi F, de G F simul aequatit ut ips C.
146쪽
His praemissis , s ponantur data latera C D. N snt A. B. numeri Numerorum , sique unum latus soliti uin A - C, alteium B - D. fiet aquatio inter aggregatum quadratorum ab A & B, & inter duplum producti ex A in C multatum duplo producti ex B in D. nempe interii & duplum ipsus K. in F s. Quarc Miletur Valor Numera diuidendo duplum ipsius K pet Η, Quia authmin is di E , , i H ad Κ, si e est A ad F. erit S H ad duplum Κ . sicut A ad duplum F. hoc B; N M. D . G1. est ad summam ipsorum C D. Quare ii ac lumma diuisa per Α orietur quoqueti, o x Ha N. valor Numςri. Proin sc resoluendo hypostases cum vilitates ipsius A dueen H P tue in valorem Numeri, set A aequalis luminae ipsorum C D, vade patet Α - C sole aequalem ipsi D. similiter quia ut id ad duplum Κ. sic est B ad duplum G. nempe ad E , diuiso E per B orietur turlias valor Numeri. Vnde resoluendo hypostases eum unitates ipsius B. dii centur in valorem Numeri, set B aqualis ipsi E. Quamobrem B - D necesse erit aequari apti C. Quare ex omni parte patet propositum. Idem quoque absurdum sequitur, clim in utroque latere sistitio ponuntur data latera eum signo
desectus , si Numitorum numerus minori appostus, ad appositum maiori eandem tutius habeat rationem quam habet sui unia datorum laterum ad eorundem interuallum , vis in hypothesi Diophanti ponar ut alterum latus N. -a alterum I N. -3. Quod eadem faei litate demonstratur, hoe praemisso Theoremate. Damas qua uor numeris, quorum primus ad secundiam situ summa terti et uarii ad Me sum quarti supra seri Am , erιt 'gregatum quadrateram primi Gr secundi, ad aggregasum produc3orum expνι ma in rotium , ct ex secundo ιn quartum, ficue prιmus ad semissem summa rerιι O quari , Orisso Iecun As Λά semissem inter tia eorunae m. Demonstratur autem hoc theorema eadem fere ratione qua & praecedent, imo eu illo Acilὸ in
seitur , probando scilicet eundem K seri siue a producto ex Α in C. auferatur prodisetti, ex B in D: sitie producto ex A in D. addatur productus ex B in C. Quod tibi relinquo considerandum exerci
Varii Canones eY uaria positionum institutione formari possent, sed quia parum in eis esset eo m- pendii, hute labori supersedeo. Verum Canonis loco libet explicare modum perficiendi hoe problema Francisco Vieta traditum γetetico 3. libes quarti, qui talis est. Constitia tin Diaris data, hypote se duorum trianguiarum rectanguiarum simihum. Summa baseos 3ν mi Opιυ ηδ liseevindi; iιemque ιnremalium perpendscias primi es bis eos seeunssit vel ia-are hum baseos prima es perpendu δε se M. ; itemque summa peἹeniurati primi, s baseos δε-
Porro quilibet numerus fit hypotenuia trianguli rectanguli per praecedentem, diuidendo stilicet eiu s quadratum in duos quadratos. Verbi gratia , sint data latera a. & 3. s per Canonem praeeden. tis diuida a. in duos planos similes, videlicet qui stit in ratione 1 ad 4. erunt hi & ex quibus sol. mabuntur latera circa rectum trianguli tectanguli & . Rursiis diuide 3. in duox planos similes, qui que sint in eadem ratione 1 ad 4. erunt his& V ex quibus formabuntur lateta circa rectum trianguli rectanguli a & V. Habemus itaque latera circa tectum triangulorum similium, nimirum I. sum,ma baseos primi S perpendiculi secundi est et interuallum autem perpendiculi primi & baseos secundi est l. Sunt ergo latera quasitorum quadratorum & l. vel summa perpendiculi primi S baseos secundi est interuallum autem baseos primi & perpendiculi secundi essi. Rursus ergo quaestorum latera esse possunt : & q. Huius rei de non stratio in promptu est. Sunto data latera A. B. & inuenienda sint alia latera, quorum quadrati aequentur quadratis ipsorum A B. sat A hypotenuia trianguli rectanguli per praecedentem, sntque latera eirca rectum CD. natitem B hypotenua similis trianguli, euius latera eirea rectu in snt E F. Ita ut quadrati ipsorum CD sint aequales quadrato abs Α & quadrati ab E& F. sint aequales quadrato ab, B. & st C ad D ut E ad F. Denique ipsorum C F sentina esto G interuallum L. Item ipsorum E D summa esto X interuallum H. Dico Iatera quaesita esse G H. vel etiam K L. Quia enim est C ad D ut E ad F. ' Erunt tam quadrati duorum C H. quam quadrati dum . rum X L aequales quadratis omnium C D. E F. Ri quadrati ipsorum CD. EF aequantur quadratis duorum A B ex hypothesi, igitur quadrati ipsorum A B aequantur quadratis ipsorum G H. vel etiam
147쪽
libet unitatum, dummodo harum quadratus non superet interuallum datum. Sic enim a specie uni speciei aequali remanente expedietur quaestio. Esto igitur 1 N. -- 3. Ipsi igitur quadrati erunt 1 ua in - s N. - 9. Interuallum ipsorum est
6 N. -- 9. Hoc aequatur viaitatibus so. &fit 1 N. 8 i. Erit igitur prioris latus 8:. Posterioris vero . Ips autem quadrati erunt, a. d de i32. . & manifestum est satissa-
etum esse quaestioni. IN AV AEST IO N E M XL
VEREA illa, Dummοῶ harum ouadratus non speνer Ini eruallum ritum, caute accipienda sunt. Nam in exemplo Diophanti, ubi interuallum datum eo. non est quadratus numerus, res bene habet, nam clim non possit dati quadratus aequalis nuruero non quadrato qualis est 6O. quieunque quadratus acet piatur non maior quam εο. is necessario minor erit, quod requiritur ut aequatio rite procedat. Sed si datum interuallum esset quadratus numerus, tune non sum ceret ponere in latere secundi quadrati unitates, quarum quadratus non superaret datum interuallum , sed ponendare flent unitates, quatum quadratus deficeret a dato interuallo. Verbi gratia sit datum interuallum M. Ponatur latus alterius quadrati a N. alterius vero I N. - s. sent aci N. -- 23. aequales 23. Quareio N. aequabuntur nihilo. Itaque oportet fingi latus secundi quadrati ab I N. - tot unitatibus, quarum quadratus sit minor quam as. vii N. - . I & sent a N. - I aequales as. eritque I N. I a. sunt ergo quaesita latera i a. N a 3. & satissae iunt proposito. Quamobrem melius & uniuersalius praescribetur eonditio hoe pacto. Dummodo harum quadratus Ila minor viro intervilio. Caeterunt ex Ope
ratione Diophanti et ieielut huiusmodi Canon.
Sume quem a quaaratiam minorem Gro inter IIo , eumqtie μιιrahe a dato anterualla , νωδε- diuida per duplum lateras sumpta quadrati , orietur inum Iarus quassaram, exisi addas Iarus sumpta quadrati, fer alterum Iarus. Alitet etiam institui potest operatio, nimirum. Ponatur minor quaestorum quadratorum I Q. ergo maior erit IQ,-- 6O. fingatur eius latus ab I N. tot unitatibus, quatum quadratus sit minor quam M. di fiet operatio eadem eum operatione Diophanti. Vel snsatur quadrati eiusdemiatus ab I N. - tot unitatibus, quarunt quadratus sit maior quam so. vetbi gratia fingatur ab 1 N. - io. set quadratus I Q ao N. roo. atqualis I QUAE iso. & fieti N. 2.eruntque quaesita latera a.& 8. Hine tutias sormabitur iste Canon Sume quem a quadratum maiorem dars iste alio, est ab eo stibtrahe datum inre antim re virum ἐκ de per δε - lateris sumpsi quaarasi , friesur dinum larus quassorum, quod βbtraha a latere fimi ι quadrati , siet alsertim latus. Aliter tursus Ponatur maior Quadratus a Q. erit ergo minor I Q - . euius latus fingarer ab x N. - quotlibet unitatibus, puta ab I N. - io. fiet quadratus I Q. O N. - ioo. aequalis I Q oo. & set i N. 8. eruntque quaesita latera 8. &2. H ine etiam formatur huiusmodi Canon. Sume quem ιber quadratum quem adue dato inter IIo, summam diu de per duum L eris fiam . qu drari , orietur unum Iatus quassoru , a quo aufer latus sempia quadrisi, vel eontνa:
Porto Canon omnium elegantissimus, di quo sequenti quaestione utitur Diophantus, & alibi saepe eliritur eu' tertia secundi .porismatum, adiuuante vigesima tertia primi, vel Canoneptimae primi Diophanti, nimirum. Cape duos numeros quoram tuo iactu sat datiam interuallum, horum summas mi is, ct semilsia
re alii eorundem, quasi orum quadratorum exhibebunt Iatera.
. Sit eni in Α datum interuallum , & ex B in C sat A. summae autem ipsorum B Ca i. e is semissis esto*semissis vero interualli eorundem B C. esto E. aia 'erso constat pet ' u vigosimam tertiam primi potismatum , vel per Canone in primae primi ni ophanti sum ' δ' mam ipsorum D E aequati ipsi B , & interuallum eorundem D E aequari ipsi C patet A seri eae summa ipsorum D E in eorundem interuallum. Quamobrem Α est interuallum quadratorum ab ipsis D E. Quod erat propositum. Hi ne autem melius di uniuet salius quam modo a Xilandro tradito cognosci potetit, an in in-
148쪽
tesii, quaestio solui possit, imino& an pluribus modis in integris solutio contingat: si enim ipsi
BC tales dclisi pi si vi , ut vietque sit par vel vicique impar , patet tam eorum lumina , quam interualli scinissim in integris haberi. Quare ipsi D E integri erunt ut iam docuimus ad ptimam primi. Si autem ipsorum B C. alter sit par, alter impar, non potetunt ipsi D E habeti nisi diuisa unitate. Quamobreni quot modis reperiri potetunt duo numeri mutuo ductu conficientes datum interuallum , quorum uterque sit par, vel uterque impar, tot modis per integros soluetur quaestio. Vt dato intervallo fodere o o. quia id sit tum ex io in o. tum ex 3o. in a. quorum uterque par cst duobus modis in integris continget solui quassioneni, eruntque quasi talaleta 8 & et vel i6 S i . similiter dato interuallo as. quia id fit tum ex is in I. tum ex 3 in 3. duobus modis in intestis soluctui quaestio , eruntque quaesita latera SN 7. vel 4 S I. Rursus dato interuallo 48. quia id ri tum ex 2. in et . tum ex. 4 in II. tum ex is in 8. tribus modis soluetur quaslici per integros, S erunt quasi a latera a 3. R ii. vel 8 8 4. vel denique 7S I. Vnde sequitur quod iam aliter demonstauimus in Corollatio vigesimae secundae primi potism. si datum interuallum sit pariter impar tantum , non posse solui quaestionem in integris, nam non metietur illud numerus par per parem , alioquiu esset pariter par contra hypothesim , non metietur etiam idem interuallum numerus impar per imparem , alioquin esset impar, quod est etiam contra hypothesin. Quamobreni relinquitur ut metiatur tantum illud numerus par per imparem , ac proinde, ut ostensum est, non continget solutio in integris. Si autem datum interuallum sit impar, vel quilibet numerus pariter par supra quaternarium , soluetur quaestici semper in integris. Quia quemlibet imparem unitas metitur per ipsunamna et imparem. At quemlibet pariter parem metitur binarius per eiusdem patitet patis semissem ' qui semper est par. Excluditur autem quaternarius, quia metitui eum tantum hinatius per binatium non potest autem idem binarius esse lumma & interuallum duorum eorundem numerorum , nisi pars ponatur aequalis toti .
DAxis duobus numeris addere eundenumerum, & utrumque quadratum efficere. Sint dati numeri a &-esici addendus 1 N. erit ergo tum IN. a. tum IN. - 3. aequalis quadrato. Et hoc genus vocatur duplicata aequalitas , aequatur autem se. Interuallo conspecto, quaere duos numeros quorum unius in alterum
multiplicatio producat istud interuallum. Sunt autem hi q. &.ἰ. Horum vel interualli semissis in .se ductus aeqnatur minori, vel summae semissis in se ductus aequatur maiori. Sed interualli semissis in se ductus facit hoc aequatur I N. u. & fit i N. n. Summae vero semissis in seductus iacit hoc a quatur maiori, nimirum I N. - - 3 & fit 1. N. rursus si Erit igitur addendus numerus si de manifestum propositum. Ne autem in duplicatam aequalitatem incidamus, sic agendum. Inuenire numetum qui & ad a. & ad 3. additus, virumque quadratum esciat. Quaero prius numerum aliquem qui adsumens binarium saciat quadratum, vel quis numerus adisiecto ternario fiat quadratus. Porro a quocunque quadrato subtraxero et . vel 3. is erit qui quaeritur. Agamus de r. is aust-
149쪽
ratur ab i Q. superest i α- et & est
euidens hunc si absumat a. fore quadratu. Sed si adsumat 3 . fit 1 - I. Hoc ergo aequatur quadrato. Fingo quadratum abrN. cum desediti tot vilitatum ut resolutis
hypostasibus et Q peret ipsas ante positas
delectus vilitates, nimirum a. Sic enim ex Vtraque parte una species uni speciei aequalis relinquetur. Esto ergo ab I N. - ipse quadratus erit I Q FI 6-8Ν. Hoc aequatur I I. Communis addatur desectus, & auserantur a similibus similia, relinquuntur 8 N. aequalesis. & fit i N. ' Ad positiones. Erit addendus numerim i ..
. V p L I C I Operatione quastionem hane eleganter absoluit Diophantus, sed neutram scho. liastes, Xilandetve satisfeliciter explicauit. Sane quod ad ptimam attinet, in qua duplicata aequalitate utitur author , bene monet uterque eam niti primae te eundi. sed id solum non suscitui eius adaequata ratio persecte comprehendatur , nam licet inuenerimus duos quadratos eodem interuallo distantes quo distant dati numeri ea lege ut maior maiorem datorum 1 uperet, & minor minorem, non satini constat per hane duplicatam aqualitatem utrobique reperiri eundem valorem Numeri, quod unum curandum est vi quaestio perfecte solutast. Hoe ergo si e demonstrabia mus. Sint dati Numeri A B. quorum interuallum C. Ponendo ergo quae-1 N M. . o , N A sixtim numerum I N. erunt quadrato aequandi i N. - Α & i N. B.su
4 e mant ut duo quadrati D E eodem interuallo C distantes, ita ut D sit ma-1, si '' a , ior quain Α, & E si maior quam B. Dico sue D aeque tuti N. - . A. sue
49' i' I' Eaequatur 1 NM. B. eundem utrobique repetiri valorem Numeri. Quia. s. Uri. enim ex constritistione est in arithmet*ca medietate Α ad B ut D. ad E. erit & permutando in eadem medietate A ad D, scut B ad E. Igitur si sumatur F excessus D super A, erit idem F excessus E super B Cum ergo aequando D cum I N -- A. detrahent ut similia a similibus, nimirum eum A vitiinqueauseretur, temanebit F aequalis IN. sed etiam aquando E cum IN - B auferetur utrimque. Bdcremanebit idem F aequalis 1 N. Quare consat propostum. Hoc demonstrato, patet totum duplicatae aequalitatis negotium in eo versari, ut inueniantur duo quadrati eodem interuallo distantes quo distant dati numeri , quod an ε fit per Canonem possiet, uni ad piareedentem allatum , qui ut ossensum est , totus pendet a tertia ieeundi porismatum, quae eadem est eum quinta secundi elementorum. Verum quilibet quadrati quorum sit idem interuallum qui & datorum numerorum , non statim apti sunt duplicatae aequalitati resoluendae, sed tales deligendi sunt, ut inaior superet maiotem datorum numerorum, & Ininor minorem. Ηoe quidem vidit scholiastes, sed in eo allucinatus est. vi bene monet X dander, quod arte certa tales quadratos reperiti posse negauit. Ipse quoque Xilander in asnem eius quem reprehendit errorem lapsus meliora non affert, sed indicata tantum necessitate tales quadratos repetiendi, quo pacto id fieri oporteat, minime docet. Res tamen facilis est, nam tales numeti sumendi sunt quorum mutuo ductu sat datum ;nteruallum, vi summae illorum semiffs quadratus excedat maiorem datorum numerorum , ut in exemplo Diophanti, ubi interuallum est a. maior numerorum 3 Cportet inuenire duos numeros quorum mutuo ductu sat a.& quorum summae semissis quadratus sit maior quam 3. Quare eum summae ipsius quadratus sit quadruplus quadrati semissis , Oportet sum irae quadratum excedere ia. Proinde cum latus proximὸ maius ipsus I a. st 3. 3 neeesse est summam quaesitorum numerorum quorum mutuo ductis nat i. excedete 3 vel sane non es minotem. Hinc in cut abiectis a. & l. Itemque; & l. se legerit Diophantus η. de potueritque eorum loco sumere I. & l. vel s. de . alio Diue infinitos, quorum summa maior est quim 3 l. Ita si dati numeri sint 3o. & 6. cum eorum interuallum sit et . maior vero ipsorum 3o. euius quadruplum Iao. quaerendi crunt duo numeri quorum mutuo ductu fiat et . ita ut eorum summae quadratus excedat Iro.
150쪽
Quare cum radix provitiae maior ipsius Iao. sit II. oportebit quaesitorum numerorum summin eo maiorem quam D. vel certe non minorem. Quare rite sumi poterunt a. & ia. vel 3. di 8. aliiquet iv finiti quorum lumnia maior, vel non minor quam II. sed eandem ob caulam rcaacientiar 4. di c. aliique infiniti quorum summa minor quam II. Quod attinet ad seeundam operationem verba, illa αστε του τ δυυ Maiae, απι ααν Σαμα ι' ιν αιτα, τας προεκτεθ ἐυας alio mendo non Iaborant , quicquid dicat Xilander, nisi quod vost mταρ ης temerε ineulcata erat, nam legebat ut in codiee manu scripto, αυτρέ -ς προεκτε Θε: ας τοῦς τεταρυς j ει,εω μναδας. Caetetum hae voeesu
blata, reliqua bene habent, nec ullam parnis it disscultatem, nisi ex praua xii indri interprciti ne, qui ea sic conuertit. υρβυnn ιΛ viaisura earum super et assas an e pυλ s d.femia viaria a LCum tamen vox Hypostasti hoe loco S alibi semper apud Diophantum signiscet , non ip las unit tes quae ponuntur in latere fictis io , sed ipsum valorem numeri vcl quadrati positionibus at plicatum, ut iam docuimus ad primam Irimi. Hinc etiam erroris causam praebuit Xilander Christophoro Clauio cap. 2ς. aenigmate s8. sed N Raphael Bombellius in eodem lapsus est lib. a. suae Alsebrae Problemate 66. Quare teliciis illorum inutilibus commentis, genuiuiis horum verborum sensus hie est. υι quadrati frosos superer Ipsis iamrepostas defectus unis res , vel ut clarioris doctrinae gratia interpretari sumus, ει νιDAD, ινρο sitiis I sverae anas ante possias defesti.a vati rares. Cum et nim quaesitus numerus politus sit 1 Q - 2. inam letium est valorem quadrati talem repetari de herevi superet a. Id aut cin arte certa quiςonsequi possis non do euit h;c Diophantus. Sed profecto insequentibus saepe tali utitur artificio quotic, simile quid accidit. Quia numerus aequandus qua
drato est a Q - - I. patet si eius latus pngatut i N - aliquot unitatibus valorem Numeri oriri diuidendo quadratum ipsarum unitate multatum per illi pl- earundem unitatum .Quia vero Iut dictum est debet esse maior quam a. sumpto lati te ploxime maiore ipsius a. nimirum I rael valorem numeri maiorem esse, vel certe non minorem quani I Igitur eo redacti sumus ut inueniamus nu.
metum, euius quadratus unitate inu Italus di diuisus per duplum ipsius numeri, det quόtientem madorem vel certὰ non minorem quam I Esto huiusniodi numerus i N. ergo maloten 'vel certὸ non minor quθm IR Omnia multirlicando per a N. fit i O - i. non minor quam 1 N, aeno inde a in non minor quam 3 N. -- I. qua aequatione resoluta, hi I N. non minor qu- u 3 1 f. sumptoque latere ipsius 3 nimirum s ei addas I fit I. N. non minor quam 3 LQu mohtem aequantes quadrato a I. fingemus eius latus I N. - quotlibet unitatibus quae supereηι3 s. sic Diophantus finxit hoc latus I N. - Possetque etiam finia IN. - s. vela N - se uainfinitum. Itaque viasta tyronum memoriae firmius inhaereant, placet pauid aliter positiones inm- tuete, quod fieri posse indicauit Diophanim his verbis. Pareo a Daeun e q Aaro sab φαινε a. vel 3. is erat qui quiuritur. Ponatur quaesitus humerus I Q 3. is enim adsumpto 3. quadratum faciti At idem absumpto a. iacit Iin; r. Hoc ergo aequaetur quadrato. Fingo quadratum. ab a N. eum detectu tot unitatum , ut hypostasis quadrati superet ipsas ante positas defectus unitates, nimirum 3. ut ergo determinemus de hoc vestatum denumero, quia set valot Numeri diuidetido quadratum quaesitarum unitatum auctu ni unitate per duplum earundem vilitatum , At oportet I inma. iorem esse quam 3. atque adeo I N. maiorem esse vel eerte non minorem latere prokimὸ maiore ipsus 3. quod est a. Patet eo nos addiret ut inueniamus numerum , cuius quadratus unitate auctus, &diu istis per duplum ipsius numeri det quotientem non minorem quam a. Esso huiusmodi numerusi N. ergo - 1 maior in , vel certe non minor qu3m a.& omnia in a N. Igitur I -- r. maiaior est vel certe non minor quam N. Qua aequatione resoluta fit 3 N. vel a -- R3. vel 2-u3. Aeloco 2 3 sumendo latus proxime minus ipsius 3. nempe rifit I N. vel maior quani 3. q. vel minor quam Hie enim ob valorem Numeri duplicem, duplex inuenitur terminus alter supra quem, alter veto insa quem, sumi potest valor Numeri, POsuinus ergo quadrato aequantes I Q - I. eius latus fingere abi. N. - quotlibet unitatibus quae sint maiores quam 3 vel minores quini fingatur1 N. - 4. fiet quadratus 1 -- g N. -- I s. aequalis a I. & tandem 1 N. est '.' unde fit quaesituso inactus . . idem qui repcrtus est per Operatione ira Diophanti. Fingat ut rursus latus Quadrati i N. - set quadratus 3 . N. -- in aequalis iuri. unde fit I N. & est quaesitus numerus Q. eui addendo 3. N a. sunt quadrati Si eui porto laboriosior videbit ut hae operatio, heebit etiam aliam instituere magis expeditam.&quae tantas disseultates minime patiatur. pingatur in eodem exemplo, quadratus aliquis ab LN. - tot unitatibus quarum quadratus superet maiorem datorum numerorum 3. puta ab I. N. - . a. set quadratus I. - N. - - 4. Hinc ergo auferendo I. statuatur residuum quastus numerus, nempe I Q - - N. - I. uenim adsumenset. Acit quadratum. Restat vidi adsumpto a. quadratum saeiat. Facit autem I -- 4 N. 3. Hoc ergo aequatur quadrato, cuius latus fingo i N. tot unitatibus , quarum quadratus superet . unitates numeri quadrato aequandi, esto latu 1 illud , N.