장음표시 사용
151쪽
t ut sapiat. Ex his omnibus operationibus vatis Canones eliei possunt, sed ovinium facillimus
prima hi, nimirum. Capa diari quadrisios eadem mseruallo iusiantes quo ct Διὶ numerι δ ne, sea litis maiores, cra maιore quadrato a re masstrem numerum, vela minore manorem, re quod eris ιaemures, que, quaslum exhibebιέ n merum.
Axis duobus numeris auferreundem numerum, dc faceret residuum utrumque quadratum. Iniunctum sit ut a 9. dc a 2 r. auferatur idem numeruS, dc utrumque residui ina sit quadratus numerus. Qualemcunque vero quadratum
aufero de altero ipsorum s statuam reliquum cum hujus desectu, is enim detractus relinquet quadratum. Esto igitur quadratus a s. detractus I inrelinquentur ergo q-I Q oportet igitur etiam a 2I. auferre 9 - I Q sc facere quadratum Sed si a ri. abstulero ρ. - I. Q relinquitur I II. Hoc ergo aequatur quadra to, Fingo quadratum ab IN. cum desectu tot vastatum, ut quadratum earum amplius sit quam 12. Sic enim rursus ab utraque parte una species uni speciei aequalis relinquetur. Esto itaque unitatum ipse igitur quadratus erit I I6. - 8.tit εἰδα. ἐνὶ θον καλει mimum. ἔπι-M
' - , seu unde desectus I Q. auferatur, Q. β. - scilicet G. de fatisfit proposito
LINITATIO quam praescribit Diophantus citea latus fictilium, omnino insulseiens est. Quod si libet experiri finge illud i N. - 8. quandoquidem quadratus ipsius 8. excedit II. fiet quadratus I Q in N. -- 6q. aequalis 3 Q. ra. N set i N. 4 Quare quamlus numerus qui positus erat s. - Iaaberi non poterit , quia I inest maior qu ni s. Itaque eum duo praescribendi essent termini intra quos eadere debet numerus unitatum ponendus in latete fictitio, unum duntaxat praefiniuit Diophantus, nimirum ia. seu potius latus ipsius ia. Quod eum sit paulo minus quam 3 rQE dieemus eum Diophanto numerum illum viratatum desere superate 34. vel certὸ non esse minorem. Sed hoc non iusseit, nam praeterea necesse est, talem fieri valorem Numeri ut resoluendo hypostases a minor quam s. quia scilicet quaestus numerus postus est s - I Q auare oportet I N. minotem esse quam 3. Quia ergo aequando quadrato I -- aa. di fingendo latus i N. - aliquot unitatibus, fit valor Numeri ex quadrato unitatum illarum multato numero Ia. & diuiso per duplum sui rateris, eo redigimur ut inueniamus talem unitatum numerum , cuius quadratus multatus numero Ia. R diuisus pet duplum sui lateris, det quotientem minorem quam 3. Esto talis numerus I N. Ergo u' minor in qu m 3. de omnia in et N. fit x Q a. minor quium 6 N. 8e tandem fili Q inor quam 5. N. - ia. qua resoluta oecasone x Q inor quam a aI. - . seu minor quiin l ferὸ quamobrem necesse est Oinnino numeram unitatum ponendarum in latere Rctitio eadere inter 3 ἱ & quales sunt . s. 6. . de alij infiniti admittendo fractiones. Caeterum.
152쪽
Caeterum, ut benὸ monet Xilander , haec quaestio non secus ae praeeedens per duplicatam aequa. litatem me solui potest. Verbi gratia si dati sint numeri s. N ar. Ponatur quaelitus ab utroque auterendus I N. rs tam 9. -I N. quam 2I -I N. aequatur quadrato. Horum interuallum est Ia. Quare tales teligendi sunt numeri , quorum mutuo ductu fiat ia. ut semissis summae illorum quadratus sit minor quam ai. vel quod idem est, ut semissis interualli quadratus sit minor quam s. Ob contrariam scilicet rationem eius, ob quam in praecedente requirebatur contrarium. Memores igitur eorum quae docuimus in praecedente, quia quadruplum ipsius 2I. est 34. dicemus numerorum quorum mutuo ductu fiet Ia . lummae quadratum ininorem esse debere quia1 84. Quare cum proximum latus de S sit s. i. oportebit summam talium numerorum minorem csse quam 9 L qualis emumma ipsorunis.&6. vel ipsorum 3. & 4.&aliorum infinitorum. Quod si sumamus a. dc es. erit quadratus semissis summae illotum i6. at quadratus semissis interualli fiet 4. Sive igitur aequetur 9. - I N. siue I 6. aequetur ar. - I N. fiet utrobique idem valor numeri s. Quare F. est quaesitus numerus, qui ab utroque datorum detractus relinquit quadratos A. & I6. Hinc etiam cum Xilandro eliciem
Sume duos quadratos eodem distantes inter Eo, qua dasi numeri iussant, sed minores tuis. rima maiore numero aufer minorem quadrarum, vel a mnare mιnorem. Residuum 3κod erit idem utrobique, quasitum exhibebit numerum.
AB eodem numero auferre duos da
tos numero ita ut residuum virumue sit quadratus numerus. Constitutiimi ab eodem numero auferre 6. de . &utrumque residuum sacere quadratum. Ponatur quaesitus numerus I N. & si ab eo abstulero 6. relinquitur I N. - 6. aequa
lis quadrato. Si autem abstulero 7. relinquitur 1 Ν - . & rursus in hoc casu duplicata aequalitas existit. Et quoniam horum interuallum , puta I. continetur sub x. 3c : fiet tandem 1 N. Η & satisfacit proposito. Ne vero in duplicatam aequalitatem deueniatur , sic indagabimus. Quaeremus primo a quo numero 6. subtractus, relinquat quadratum. Caeterum cuicunque . quadrato adiiciamus s. is erit qui quaeritur. Esto igitur quadrato I inerit ergo qui quaeritur i 6. & patet si ab eo auferantur 6. relinqui quadratum. Oportet igitur auferre quoque . ab I α - - 6. & facere quadratum. Quamobrem I. - r. aequatur quadrato. Fingo quadratum ab I N. - a. Ipse igitur quadratus erit I in F q. -- N. Hoc aequatur I Q I.& fit i N. . Erit
ergo qui quaeritur & soluit quaestio
PRIMAE operationi, in qua utitur duplicata aequalitate Diophantus, nullam adiicit conditionem , nee adi ieienda est aliqua, ut male arbitratur Xilander. Cum enim quadrati qui caprunia
153쪽
E 21. D 49. tur eodem distantes interuallo quo & dati numeri, addendi sint ipsis datis numeris , minor scilieet
maiori , & maior minori , patet ut additici perfici poss*t non referre virum tales quadrati maiores. sint dati; numeris vel, minores. Quod in duabus praecedentibus cireum spiciendum erat, quia in illis substractione utendum fuit non additione; allucinatus erso est X dander esistimans utendum hie eadem cautione in huiusmodi quadratis deligendis, qua fuit utendum in duodecima. quod &evemplo ab ipsemet allato confirmare facile est. Sint dati numeri i. & os . quorum interuallum et . quod fit ex 4. in 6 vel ex v in 8. hos tamen binos rem expedire posse negat Xilander, idque eon stare evertentia ait. Sed sanὰ eonstat expetientia salii dii landium. Nam ipsorum 4. & o. summae &interualli semisses sunt & i. quorum quadrati 23. & I. Quare si addas a. ad 6s. vel 2s. ad 41. fiet utroque modo quaestus numerus 66. ut patet. Rursus ipsorum 3.& 8b summae& interualli semisse, sunt v& p piorum quadrati Q &U&si addas ad 6s. vel - ad 41. fit utroque modo quaesitus numerus 7i - qui satisfacit proposito. . Porto ut modus hie utendi duplicata aequalitate persectὸ demonstratu et maneat, sint dati numeri A maior & B minor, horumque interuallum C. R ponatur quaesitus numerus x N. Igitura aequandi quadrato erunt I N. - Α . . I N. - B. Sumantur itaque duo' quilibet quadrati D maior & E minor, quorum in te fuallum sit idem C. Quia ergo ob maiorem desectum totus I N. - Α minor est toto i N. - B. aequabimus illi minorem quadratum Ε, maiorem veto D hule. Et in ptima aequatione supplendo desectunt , fiet i N. aqualis sumniae ipsorum Α E. At in seeunda set iN. aequalis B D. summa autem ipsorum A E aequalis est prorsus sultimae ipsorum B D, quia te a1 . νωψ . sint arithmetice proportionales A ad But Dad E, ' est summa extremorum A E aequali summae mediorum B D. Quam hie in In utraque aequaticine fit idem valor Numeri. Quod demonstandum erat. Hine elicitur Canon a Xilandro traditus. Cape avios quadratos eodem Astantes an/rmatu, quo σ- ά si numeri, horum minorem adde maiorin mino , or maiorem minori, utraque modo fiet idem quastus numeras.
Seeundae vero operationi ut perficitur a Diophanto, limitatio quadam 'adi ieienda erat; nam cum numerus quadrato aequandus si a QIt. debet eius latus fingi ab i N - tot unitatibus, ut tandem valor quadrati inueniatur excedens I. Quare si eodem utaris attificio, quo usi sumus in praeeedentibus, inuenies latus illud fingendum esse ab I N re aliquo unitatum numero maiore quam a. uel minote quom r. alioquin s ponatur latus illud I N. - a. repetietur 1 Q x nihil esse. Ita si propositi numeri sint F. N 6. ponatur quaesitus I s. unde auferendo et o. remanet I QU- 24. aequandus quadrato. Cuius latus fingendum ab I N. - tot unitatibus vi tan ueni it maior qi im24. Quare eum latus proximὸ maius ipsius 23. sit . Opestiet i N. non minorem esse qui s. fit autem I N. ex quadrato unitatum quae ponuntur in latere utatio, adsumente numerum 24. divisoque per duplum tui lateris. Ponatur ergo hie unitatum numerus I N. Igitur. maior est ves salistem non minor quam s. & omnia in a N. fit I Q. - 24 nesti minor qu,ra I N. Qua aequationetasoluta fili N. vel 5. vel 4. Quare oportet talem poni in laterὸ fictilio unitatum numerum, ut sit non minor quam6. vel nou maior qu in A. Qua ratione exeluduntur tantilan omnes numeri inter η & s. sngatur ergo latus I N. - . fiet quadratus 8 N. - 15. aequalis r Q - 24. Vnde set N. s. erit ergo quaestus numerus 31. & latissae it proposio. Uel fingatur idem latus IN. 6see rursus a N s. & quotiescunque sumentur auo numeri unus mattit quam s. alter minor quam 4. ita ut maior ad ipsim 6. eandein habeat rationem quam habet q. ad minorem, eadem per utramque aequationem continget sitiatio. Ita si eiusdem numeri Iur et latus fingas I N. - 2. vel IN. ra. fiet idem valor divineti Itemque .sve fingas idem latus a N. - 3. sive I N: -8. set idem ualm Numeris 3. & sic de alijs. Quod Mnotasse fuit operae pretio m. Potest tamen operatione paulum immutata, tam labotiosae conditionis necessitas evaneseere. Si videt ieet, ponatur quaesitus tiumerus 1 Q. - maiore datorum numerorum, ut iis exemplo Dioia phanti ponaret quaesitus numerus I Q - 7. hinc ergo detracto 6. remanet I -- I. aequandus uuadrato, cuius latus fingo ab iN. - tot nitatibus, quarum quadratus superet I. Se manifesta est soluti tus latio. Ita si dati sint nummi so. At ε. Pono quaestum I Q - 3o. unde auferendo o. rema net t et . aequandus quadrato, crius t tus fingo ab I N. - tot unitatibus, quarum quadratuusuperet a . Hinc etiam licebit elegantem formare Canonem. Datorum numerorum interuatium aufer ab aliquo quadrato, residuum d aide pre durum Meri, ri,.sam quadrari, q tientis quaisarus adiutus maiori visorum nammoriam , quas m exhibista
DA τ v M numerum diuidere in duos
numeros, & inuenire quadratum,
154쪽
qui utramque partem adsumens faciat quadratum. Sit diuidendus sto. in duos
numeros. Exponantur duo numeri, ut
quadrati eorum simul minores snt quam 2D. puta 2. dc 3. & si utrique adiiciatur IN. erunt quadrati ab ipsis, hic quidem I Qi N. -- q. Ille vero I -- 6 N. -- ρ. Si ergo ab utroque abii utero I qui utique quadratus est, habebo quaesitos numeros, qui adsumentes videlicet quadratum, facient quadratum. Sed si abstulero i elinquuntur, hinc quidem
N. - 4. Inde vero 6 N. - 9. Oportet ergo summam istorum, nimirum Io. N. - 3. aequari aci. & fit 1 N. A. Est igitur hic quidem mille vero ' M.&satisfaciunt quaeuioni.
IN hae quistione nulla est dissicultas. Cur velit Diophantus sumi duos numeros , quorum qua drati simul minores snt numero diuidendo nemo est qui non videat. Itaque ex operatione ipsa hunc thrmamus Canonem. Stime duos numeros quarum quadrasi simul minores sint numero aeuidendo , horum. Aa ονώms mam aufer a mero ἀώιdenda , resid-m Δαιῶ per duplum summa sumptorum numeror moraetur latus su λ drata, oius Apiams ducar seorsim is sumpιυ mmeras , ct ρνs dAltisaddas seorsim Palatos sumptoνum istimeνorum, fient quassa partes numeri ἀώidenati. Vt si datus sit numerus 33. lume duos numeros a. & 3. quorum quadrati simul faciunt i3. quo dotratio de M. supellunt M. quae diuisa per duplum ipsorum a. &3. nimirum per Io. dant et . latus qua.diati quaesiti, cuius duplum duatum sigillati in in ipsos a. & 3. iacit 8. & Ia. quibus si addas seorsim quadratos eorundem a. S3. nempe ipsi 8. quadratum 4. & ips ia. quadratum s. fient Ia. N M. quaesitae partes numeri 33. quibus addendo eundem quadratum q. fiunt quadrati I6. N as.
DA x v ii numerum diuidere in duos
numeros , & inuenire quadratum, a quo uterquc detractus, relinquat quadratum. Numerus diuidendus iterum esto ao. Ponatur is qui quaeritur quadratus a latere i N. cum tot unitatibus, ut harum quadratus non superet ao. Esto ab i N. - a. Quadratus ergo erit I in se 4 N. -- 4. & patet s hinc auferantur 4 N. - q. relinqui quadratum, & smiliter si hinc auserantur a N. - 3. relinquitur quadratus, nimirum I - a Ν. - i. Statuo igitur, hac de causa, primum quidem 4 N. - - 4. Secundum verha N. 3. Quaestum autem I Q - - ΑΝ. - . & sic dempto utroque illorum, sicit quadratum. superest ut ambo stimulaequentur numeto diuidendo. Sed Το N ἄUMἶι α υον et ελῶν εἰς δυοέ -οσειρῶ αυ-ῖς τετρά
155쪽
ambo smul seciunt ό N. - 7. Hoc ergo aequatur et O. Auserantur a similibus similia, & fit i N. R. erit ergo primus secundus Quadratus autem v de faciunt postulata.
FR v s T st A laborat Scholiastes, ut implicatum Theorema nobis obtrudat quas necessatium ad
intelligendam operationem Diophanti, cum illo carere possimus absque ullo altis dispendio. Etenim cum ponat Diophantus quadratum quaestum I - N. - . q. quem snxit a latere I N. - a Primo euidens est cur alteram partem numeri diuidendi ponat 4 N. -- 4. quia scilicet, his ablatis , quadrato exposito, relinquit ut quadratus, nimirum I in Deinde ut aliam partem numeri diuidendi reperiat , tingit alium quadratum ab I N. - certo unitatum numero minore quana a. qui positus est in latete quaesiti quadrati, puta ab I N. - I. fitque quadratus linis 2 N. - I. quo detracto a quaesito quadrato I N. - q. remanet alia pars numeri diuidendi, nimirum a N. H. a. unde etiam colligitur aliter atque aliter sumi posse partes numeri diuidendi, eodem etiam quadrato exposto manente, prout ab eo detrahentur alii atque alii minores quadrati. Quod autem attinet ad limitationem quam praescribit Diophantu circa latus quaesti quadrati, illud nil ieet fingendum esse abi N. - tot unitatibus quarum quadratus non superet numerum diuidendum , hane ego nee susscientem puto, nec omnino necessariam. Suffciens quidem non est, quia etsi obseruetur deueniri poterit ad absurdum. Nam ponatui latus quaesti quadrati I N. - Α.etit ipse quadratus I α-- 8 N. -- I6. euius unitates minores sunt numero diuidendo sto. unde conssat obseruatam esse limitationem poscriptam. Si tamcn ponatur pars una numeri diuidendis N. - s. altera vero I. N. -- 7. quae habetur si ab edi posito quadrato auferatur quadratus a latere I N. - . a. nimirum I i N. - s. . erit, suinma duarum partium is N. - 23. aequalis
dio. Quod es impossibile. Non est etiam neeessaria huiusmodi eonditio, qnia quamuis non seruetur, rite tamen perfici poterit aequatio. Etenim fingatur quadratus quaesitus a latere N. - s. eritis a Q. -- Io. N. - 2s cuius unitates excedunt numerum diuidendum m. eontra id quod praeeipit Diophantus. Tamen ponatur pars una numeri diuidendi a N. - s. quae habetur si ab exposito quadrato auferatur quadratus a lateri I N. - nimirum I -- 8 N. - I6. Riitius ponatur pars altera a N. - . quae habetur si 1 quadrato exposito auferatur quadratus a latere I N. - 44 nimirum I - 2o. : Erit paratum sininis 3 N. - 34. aequalis M. Vnde ficti N. l. Ad hypostases erunt quaesitae partes ': &-Quadratus quaestus , latere is A quo quadrato si auferos gillatim partes inuentas, remanent quadrati Te. vi quorum latera H. Aliter igitur praeneribenda est conditio huic operationi, nimirum. Donatur quadratus quaestus a latere I N. quotlibet unitalibus. Tum sngantur alij duo minores quadrati ab i N. - - tot unitatibus , ut harum quadratis sigillatim detractis a quadrato unitatum primi quadrati, duo resdua simul minora sint numero diuidendo. Hoe autem ne illimum fami est, quia dato quolibet quadrato , lieri inuenire infinitos minores quadratos, distantes dato quadrato, interuallo minote quam quilibet praescriptus numerus. Verbi gratia dato quadrato as. si velim minores quadratos quibus fgillatim 1 21. detractis,
si persi miniis quam Io. quia detrahendo ro. as superest Is. oportet quaestos quadratos minores quidem esse, quam as. sed maiores quam is . Quare eum latus ets sit s. At latus proxime maius ipsius rue. st 4. Patet quadratos Omnes a lateribus inter . & s. quales sunt a latetibus 4. 4 t4. 4: &e. satis ere proposito. Hine est eur posto quadrato quaesto Io. N. - as. quaerendi erant duo quadrati, quibus fgillatim detractis a et s. res dua simul minora essent quam Io. Quia vero quolibet restitio existente minore quam Io. sequebatur utrumque simul minorem esse quam et . tinxi latera quaestorum quadratorum i N. - 4 SIN. - . quia singuli quadrati ipsorum η. & - minores sunt quam Io. ut ostensum est. Simili artificio tectificari poterit operatio illa qua de-dinctione ad absurdum ostendimus insulseientiam Diophantaeae limitationis. Etenim ponendo eundem quadratum quasi tum 1 Q. - 8 N. - iis. esto pars una ut prius s N. - I6. Cum ergo ex eonditione praescripta constet unitates vitiusque patiis simul minores esse debere numero diuidendo atas in una parte sint Is. unitates, patet in alia debere esse minus quam 4. Oportet igitur fingere quadratum ab I N. - tot unitatibus , ut earum quadratus det tactus de I 6. relinquat minus quatis q. Oportet erso quadratum illatum unitatum maiorem esse , quam Ia. minorem qu m I 6. Quare
eum latus ipsius 16. st . & latus proxinth maius ipsius II. st a. sumendus erit quilibet unitatum numerus 1 in Ausiue usque ad 4. Helusiuε , quales sunt 3 34. 3 l. & alii ins niti. Ita s fingas quadratum ab IN. - 3 erit quadratus Ια- N. - Iaa. quo detractoi quaesito quadrato I -- 8 N. - r6. superest secunda pars numeri diuidendi, nimirum I N. - 33. Quate sumina partium fit s N - Is : aequalis ao. Qita aequatione resoluta, optime satisfit proposito.
156쪽
Ex dictis apparet quam infinitis variis modis positiones institui possint, solutiones diuersae reperiri, nam primo quaestus quadratus variὸ fingi potest. Deinde eodem manente quadrato quaeis sto, partes numeri diuidendi diuersi modὸ fingi possunt. Sed & Diophantus tui sus lib. 3. quatit M. hane iplam tetractans quaestionem alia operatione negotium absoluit, quam ibi expl icabunus.
IN vasta a duos numeros in data ra tione , Vt uterque cum quadrato qui proponetur faciat quadratum. Constitutum sit maiorem minoris esse triplum, utrumque autem adscito 9. sacere quadratum. Hic a quocunque quadrato cuius latus si multitudo quaelibet numerorum - vnatatum p. detraxero ρ. residuum erit alter quaestorii m. Esto igitur minor I-- 6 N. erit ergo mafor 3 α-- 18 N. oportet itaque & hunc adsumpto s. sacere quadratum. Sed facit 3 Q. -- 18. N. - 9. Hoc ergo quadrato aequale est. Fingo quadratum a a N. - 3 & fit x N. so. Erit igitur minor io 8o. maior vero
32 o. & uterque adiecto s. iacit quod postulatur.
sectὸ eomprehenderit, nihil hie obseurum videbitur. Vnum moneo numis 3 in . i8N. - 4ς. latus non solum snsi pose a quolibet Numerorum numero cuius quadratus superet 3 Q. eum de sectu unitatum 3. lateras se ilicet ipsus s. ut iaciat Diophantus qui ponit hoe latus a N. - 3 Ad etiam fingi posse a numero Numerorum euius quadratus superet g.& cuius sextuplum sit minus quis 18. adiectis tot unitatibus quot sunt in latere quadrati dati p. nimirum 3. Idete eo fingi potest hoe I tus a N. - 3. vel et N. - . 3. & se ad -- 3. adiungi potest quilibet numerus Numet tum qui eadae inter α. & 3. Hae ratione fingendo huiusmodi latus a N. -- 3. st quadratus Q. - Ia N. - . s. aequalis 3 a 8 N. - s. & fit x N. s. suntque numeri quaesiti D. & a16. qui satissaeiune post stulatis. Sed & sne magna perplexitate, qui equid dicat Nilander, pet duplieatam aequalitatem solui
quaestio potest. Nam ponatur minor numerus x N.est ergo maior 3 N.Quare virioue adiiciendost. sint quadrato aquandi I N. -- s. S 3 N -- ς. Horum interuallum est 2 N. sumendi ergo sunt duo n. meti quorum mutuo ductu fiant a N. ita tamen ut tam in semisse summa quam in semisse interualli eoru ira teperiatur 3. latus quadrati adiecti p. vi scilicet in aequaticinis utraque parte reperiamur s. unitates , quibus utrumque ablatis, maneat aequatio inter numeros & quadratos. Oportet ergo inuenire duos numeros. quorum mutuo dumi nant a. N. ita ut in eorum summa, & in eorum interuallo reperiantur unitates cl. Qiate sunt huiusmodi numeri s. & l quorum interualli semissis 3 N. cuius quadratus 9 -I N. -- is inaequatur I N. - s. & fit x N. N. suntque qua siti numeri vesupta 72. N et Io. Sed sanὸ hae ratione operando uni ea tantum reperiri potest solutio, eum alii numeri praeter 6. &gN. sumi non possint, quorum mutuo ductu fiant a N. Ob eausam allatam. Quare maluit Diophantus aliam inire viam,qua infinitae solutiones cootingunt. Caeterum ex hae ultima op ratione formari potest Canon satis expeditus Denominatorem rationis vestare multa iam LMιῶ per quaaruplum uteris propa siti quaa si, pinquatientis quadratum diva de rursvis semissem denormnatoris unitate aucti , orieιων -κον εὐ-
Quoniam veto hie des derari vident ut aliquot quastiones non inelegantes, & ad hane tractati a. nem pertinentes, placet illas subnectere.
157쪽
Diophanti Alexandrinim AESTIO PRIMA.
Inuenire duos numeros in data ratione, cuius denominator si quadratus numerus : vi uterque cum numero qui proponetur faciat quadratum.
Sit maloi minoris quadruplus, dc uterque adscito io. faciat quadratum. Fingatur quadratus ab IN. - tot unitatibus, quarum quadratus se poet io. puta ab I N. - . set quadratus I in 8 N. - 16. unde auferendo Io. residuum I Q. -8 N. - s. saluatur pro minore quastorum numerorum , is enim adscito io. quadratum facit. Itaque maior erit --. 32. N. -- 24. qui adscitoro. fiet 4 32. N. - 34. aequandus quadrato, quod facile set, quia quadrato tum numerus cst quadratus , fingatur enim latus eius a N. - tot unitatibus quarum quadratus super et 3 . puta a N. - o. defiet i N. 4.. Ad hypostatis Minor numerus est T. . maior ' & utrique addendo io sunt quadrati quorum latera tu . Posset etiam haee quaestici per duplicatam aequalitatem solui. sed utendum esset eo modo duplicatae aequalitatis quem tradit Diophantus quaestione decima Octava tertii, cuiu1 hie explicandi locus non est. Quare ipsain operationem hic D u afferam, sed Canonem pulcherrimum qui ab ea elicitur non diminutabo.
Vt in nostra hypothes ducito 3. n datum numerum Io. fit 3o. Cape duos quadratos quorum interuallum sit F. per Canonem undecimae huius; ita tamen ut minor illorum excedat io. Infinitos tales repe ies, quales sunt r.& m. Igit ut si a minore auferas Io. relinquit ut maior quaestorum nume totum, quare patet minorem esse B& virique si addas i . fiunt quadrati 2 . de T.
Inuenire duos numeros in data ratione, cuius denominator si quadratus nume- rus, ut uterque multatus dato numero relinquat quadratum.
Sit maior minoris quadruplus, & uterque deitacto s. relinquat quadratum. Ponatur minor I s. nam detracto s. relinquet quadratum, erit ereo maior Q -- 2D. unde auferendo s. relinquit ut 4 II. aequandus quadrato, fingatur eius latus a. N. -- tot unitatibus, quarum quadratus su minor quam Is . vel etiam a N. -tot unitatibus, quarum quadratus superet is. Fingatur et M a. N. -- 3. erit quadratus Ia. N. - 9. aequalis 4 as.& fit IN Gsunt ergo quaesiti numeris . S ai. qui satisfaciunt proposito. Potest etiam scut &praecedens per duplicatam aequalitatem solui quaestio. Sed ob causam allatam omissa ipsa operatione, canonem inde depromptum affetie susciet, nimirum. Derio natorem raraonis uni Me -tiatum araei a .n datum numerum a Gm ese avios a. ras..e nodvicta disserentes , maiori aude ιι iam numerum , μι miaior q storiam
. Inuenire duos numeros in data ratione cuius denominator si quadratus numerus,
ut uterque detractus a dato numero relinquat quadratum. Sit maior minoris quadruplus , & uterque detractus a 2o. relinquat quadratum. Ponatur minorao i hie enim detractus 1 Io. λelinquit quadratum. Ergo maior erit Q quem si a dici. detrahas, relinquitur 4 Q so. aequandus quadrato, fingatur eius latus a N. - tot unitatibul, ut hypostasis quadrati reperiatur minor quam ac . quia scilicet alter quaesitorum numerorum postus estao - 4 Qes Cum igitur in huiusnodi aequatione valor Numeri fiat ex quodam quadrato adsciscentesti. & diuiso per quadruplum tui lateris, valor autem numeri debeat esse minor quam latus ipsus Io. puta quam 4 l. eo redacii sumus ut inueniamus quadratum, qui auctus numero G. de diuisus per quadruplum sui lateris det quotientem minorem quam 4 1. Esto is i mergo minor est quam 4 omnia in N. st a clo. minor quana 38 N. qua resoluta aequatione fit N. ς - . u. 2I. vel 9 - R. ai. M per radicis approximationem 13 vel 4'. Hine ergo patet latus quadrati quiqQaetitur eadere neeussatio liver - . & 3 l. Ponatur igitur Io. de fingatur quadratus latere a N. . - O. erit is 4-- o. N. - IOO. aequalis G. & fit I N. q. suntque quaesti numeri Ae is Non seeus etiam ae praeeedentes soluetur hae e quaestio per dupli eatam squalitatem, S Canon hii usmodi e Y illa operatione formabitur.
158쪽
Arithmeticorum Liber II. 79QVAESTIO XVIII.
IN v as N i R a tres numeros, ut si quicque proxime ipsum sequenti partem
sui quae imperatur tribuat, & praeterea datum numerum, dantes & accipientes aequales fiant. Imperetur ut primus det secundo sui quintantem, & adhuc vilitates A. secundus tertio sui sextantem, &praeterea 7. Tertium primo sui septantem de unitates 8. Ponatur primus 3 N. secundus sinu liter o N. & 1ecundus accipiens a primo I N. -- 6. fit 7 N. -- s. Dans autem tertio sui sextantem, putai N. & praeterea 7. remanent 1 N. I. superest ut & reliqui datis acceptisque quae imperantur fiant ε N. I. sed primus 'lans sui quintantem , & praeterea unitates s. relinquitur N. - 6. Oportet ergo ut accipiendo a tertio septantem,& unitates 8. sat ε N. - a. sed si N. 6. accipiant a N. s. sunt f N. - I. Igitur et N. - 3. est pars septima tertii, &praeterea 8. Si ergo a a N. - 3. abstuleros. resduum a N. - 3. est pars septima terti). Ipse igitur tertius est I N. - 2I. Superest ut & hic accipiens a medio sextantem, & unitates . datis autem sui septantem & vnitates 8. sat ε Ν. - r. sed dando sus septantem & unitates 8. residuum est 1a N. - α 5. accipiendo vero sextantem med ij & unitates 7. fit 13 N. I9. Hoc igitur aequatur 6 N. - i. & fit IN. v. Erit ergo primus secunns autem Tertius denique 'να & hi soluunt quaestionem.
HAEc quaestio patum differt vigesimaquinta primi. vi iam ibi monuimus. Nam quaeruntur
eo loco tres numeri, quorum quisque ubi proximἡ sequenti dederit certam sui partem , intes distes N aeeipientes sat aqualitas. Hic vero praeterea requiritur , ut praeter certam sui partem Italia adiicit operain
VAESTIO XIX. DAivis a numerum diuidere in , ON s δοθ. - - , - ιαειθώ tres numeros , quorum quisque ubi L οπτω iis e G ὀ -δαμ proxime sequenti dedecit partem sui quae seriise τω- ω λυα eo asiΗΓ-
quillhet det sequenti certum etiam numerum, quod parum aut nihil dimetitioni. Caeterum quid de hae quaestione, di deeima nona lentiam, dicam ad seq
159쪽
imperatur , & praeterea datum numerum, inter eos existat aequalitas. Institutum sit numerum 8o. diuidere in tres numeros,
ut primus secundo det sui quincautem, di praeterea 6. Secundus tertio det sui sextantem , & unitates 7. Tertius primo det sui septantem, & unitates 8. N post mutuam contributionem , fiant ς quales.s Ponatur primus 3 N. secundus Ia. 8c secundus accipiens a primo quintantem, puta i N. & praeterea 6. fit I N. - 18. dans autem tertio sextantem sui & adhuc 7. relinquitur 1 N. -- q. Restat ut re reliqui datis & acceptis quae imperantur, fiant i N. -- ρ. sed primus cum dedit sta
quintantem dc unitates 6. remanet q. N. -- 6. Oportet ergo ut accipiens septan tem tertij, & unitates 8. nat I N. -
sed si accipiat is - 3 N. fit I N. -- 9 Igitur 13 - 3N. est septima pars tertii, de praeterea 8. Quamobrem v a 13 -3 N. aiubducamus unitates 8. habebimus ter-th septantem , nimirum 7 - 3. N. Ipse igitur tertius erit Αρ - 2I N. Superest vidi hic accipiens quidem a medio sextantem & unitates 7. dans autem primo sui septantem & unitates 8. fiat I N. q. sed datis acceptisque quae imperantur, fit 43 - 18. N. Haec ergo aequantur I N. q. &fiti N. l. Erit igitur primus M. Secundus v. Tertius C.
, XVIII. ET XIX. PE D t v v s eo in xilandri sententiam suspicantis hane & pt cedentem quastionein huie quadratorum tractationi temere insertas esse, siue ab impetito libratio ut putat. ille, siue potius vereor sciolo quopiam qui ἡ tredecim libris Diophanti nonnullas in unum colligens quaestiones, eos quos habemus prae inanibus Arithmeticorum libros consarcinauit. Sanὸ si Diophanto tribueniadae sunt, hae duae quasio est, in ptimum librum retrahendae videntur. & collocandae post viges-mam quintam, a qua parum disserunt, ut iam indieauimus; ista praesertim , quae illius operatimnem quam proxime imitatur. Quidquid sit, eertissimum est totam huius propositionem adulte-tinam esse, & verba illa omnia quae assetiscis inclusimus, esse penitus eliminanda, sussicitque si loco propositionis ei praefigatur Αλλω c. Verὸ enim a precedenti non differt hae quaestio, sed est eadem prorsus aliter tractata, quod familiare est Diophanto, ut eonstat ex decima octaua & decima nona primi, ex vigesima & vigesima prima, S rursus ex vigesma-tertia & vigesis quarta eiusdem. Ae etiam ex Octaua& nona huius. Sed & ipsam hane operationem non conuenire nu. meto D. vel etiam alii certo de detetminato numero optimὸ Xilander conuincit, ex eo quod Diophantus seeundum quaesitorum ponit Iet. quod nequaquam ritὸ in tali casu fieri posset, nisi iam cognito numero ipso qui quaeritur, quod est absurdum. Caeterum omissa propositione, caetera heiae habent, neque uno corrupto vocabulo vel numeto aliquo desciente, & ita bene& ad ainussim praecedenti propostioni cuncta conueniunt, ut mirum sit quomodo grreuius ille tantum frontis habuerit, qui hute eo oti eaput alienum imponere tentauit. Quod si quis fateatur quidem propositionem tractationi reliquae non respondere , sed contendae tithilominus. ab alia quaestione quae libratiorum incutia exciderit, hue transatam huiusmodi propositionem
160쪽
propostionem , non valde repugnabo, cum si te quid accidisse libro quinto certissimis argvolentis compertum habeam. Huic ergo ut satisfiat, quaestionem quoque, ut in Graeco propolata ist, solvemus cum xilandro, quem ianὸ immerito recentiorum quidam arsuese eonati sunt, lede analyseos inscitia criminati, quia scilicet calculi eriore lapsus, falsos exhibuit solutionis humeros. Cum tamen Optimo utatur togismo, quo saluo calculi erior viris doctis non debet imputar; Itaque ut tanto viro debita seruetur reuerentia, in huius quaestionis tractatione ipsa met eius Vetba remne non pigebit, a mendis duntaxat numerorum , ut pares , purgata. Cum tres numeri qui quaeruntur , 8C. summam consciant, neque dum eornm partes adduntur detrahunturque , hute summae quicquam decedat, cum quod uni aufertur, alteri ad sciatur, & nihil excidat amittaturve; liuelligere licet, aequalitatem ttium numerorum ultim5 existentem mira sole, ut quiuis si triens ex 8o. hoc est 26. q. Hoe animaduerso ponamus primum esse N. ab eoque austramus quae dat secuti do 3 N. - - 6. relinquitur. N. -o hoc eum septante tertii & s. aequabitur 26 Ergo et6 t alia
vi pote suit suumΔ r. adimemus . nimirum It N. - 8. t telinquentur V N. - . . His si addamus i N. - 6. quod ei a primo accedebat sent V N. - s. ' aequalia 26. : ob causam fiapta demonstratam , adde utrobique 8. ἱ erunt FN. aequales 'r. hoc est 363 N. aequantur 9 o. alterim per go. alterumper ς. erat multiplieandum, pro his sume minimos Io. & 3. ut alibi docui fit I N. pi ni . . secundus P. Tettius ergo quorum summa idest8o. Caetera omnia conatu ele ad pota Iata quaestionis experiendci deprehendes. Hueusque Xilander. Vettim long/ facilius ad vitandas s actionum molestias instituentur postlones hae arte. Esto tertius 7 N. hie ergo dando sui septantem -- g. remanebit 6. N. - 8. quod eum sextante secundi& 7. aequatur α6 Quare a 26. t luserenda εα- t. remanet sextans secundi nistitum M. t - ρν. ergo secundus i66. - as N. qui amisso sextante & 7. remanet III l - 3o N. quod eum quinunte nimi & ε. aequatur as '. Quare si I 24 4 detrahas uet. - ao N. rem net quintans elimi, ni rema' N. -rro. l. est ergo primus Iso N. sn. . Restat ut trium summa eonhelat M. at rennit idiis -387. . Haec ergo aequalia sunt M. &sri N. N. Igitur tertias qui positus erat et alii qui prius. . . '
IN v ε μ i R E tres quagratos, ut inter uallum maximi & medii, ad interuallum medij & minimi datam habeat rationem. Statutum sit interuallum interualli triplum esse. Ponatur minor IMedius vero Ia N. . a latere nimirum I N. - i. Maximus igitur erita χ' 8 N. - . Oportet igitur 1- 8 N. - aequari quadrato. Fingo
praeterea a tot unitatibus, ut reliquae species quae in hoc quadrato reperientur, numerorum videlicet ει unitatum, non
utraque sua multitudine superent 8 N. α unitates, sed altera deficiat, altera excedat. Esto itaque a 3. unitatibus. Ipse ergo quadratus erit s N. - , s. π alas utique I in--- 8 N. -- 4. & se rN. 1.L Ad postiones. Erit marii musaob minimus ε :. Medius tet 4. 3e satisisciunt