장음표시 사용
161쪽
OPERAT io Diophanti satis est Aellis, & ad docendum aeeommodata. Quod ait num etiquadrato aequandi I Q -- 8 N. - . 4. latus fingendum esse ab i N. - tot unitatibus, ut species quae reperientur in quadrato initio non vitaque sua multitudine excedant 8 N. - sic aecipiendum est , ut talis statuatur in latere unitatum numerus, cuius quadratus superet q. sed cuius duplum sit minus quam 8. Nam quod ait Xilandet non inueniti te inerὸ exemplum, ubi pauciore unitates, plutesque sint Numeri, non solum id temeia nos inuenietur, sed nee unqua in poterit inueniti. Etenim ut numeri alicuius quadratus si minor quam 4. Oportet ipsum numerum esse minorem quam a. ut vero eiusdem numeri duplum sit maius quam 8. Oportet ipsuinnumerum esse maiorem quam 4. At omnino impossibile est eundem numerum esse simul minorem quM a. & maiorem quain η. superest igitur, ut talis in latere fictilio ponatur unitatum numerus, cuius quadratus sit maior quam .& cuius duplum si minus quiin 8. seu quod idem est, debet ille unitatum numerus esse maior quam a. minor quam 4. quales infiniti repetiuntur inter a.di sed Diophantus mole suo ad vitandas fractiones , sumpsit a.& finxit hoe latus r. N. - a. facilius tamen fingi potest huiusmodi latus absque tali citeonspectione, si ponatur 1 N. tot unitatibus quarum quadratus superet ut si ponatur IN. - o. fiet quadratus I in I a. N. - . 36. aequalis a Q - . 8 N. - unde si I N. a i ut prius. Caeterum inuentis semel tribus quadratis Iroposito satisfacientibus, licebit absque noua operatione infinitos alios reperite idem praestantes, i iam inuenti quadrati dueantur in quemlibet quadratum, nam fient alii quadrati in illisem ratio. nibus cum iam inuentis quadratis. Qua in ob rem & eorum interualla eandem inter se rationem habebunt, quam habent luterualla iam inuentosu' quadratorum. Ita si inuentos quadratos s l. Iaq. &3odueas in quadratum 4. sent tres alii as. 49. Di. idem praestantes, nam maiorum interuallum a. triplum est interualli minorum, quod est a . Ac sic alios ius nitos eiusdem naturae licebit in
Per hane etiam quaestionem repetientui tres quadrati in Arithmetica med etate. Noe enim nil aliud est quam repetite tres quadratos, ut maiorum interuat Ium sit aequale interuallo minorum- Quare ponatui minimus 1 QOmedius I QU- IN. I. erit igitur maximus I Q - Α N. -- a. euis Ius latui fingetur N. - tot unitatibus quarum quadratus superet a. Verbi gratia r N. - a set quadratus IQ, - N. - 4. aequalisi α-- 4 N. - a. & fiet erunt ergo quaesti quadrati ἀ .8c si eos per eundem quadratum Io. multipliem, fient alii x. v. 4s. quos ii rursus per eundem quadratum 4 multiplices, fient rursus alij Ioo. I . ti se infiniti reperientur. Sed & alia ope. ratione subtili sane di iueim da solui potest huiusmodi quaestio , etiamsi requirat ut praeterea ut meis dius quaestorum quadratorum sit quilibet datus quadratus. Sint enim i eniendi tres quadrati in Arithmetica medietate, quotum medius sit as. sume duplum ipsius 2y. nempe so. Quia ergo componitur ex duobus quadratis et s. de as. diuidatur rursus idem 3o. in duos alios qua statos per decimam huius, sintque hi I. Ee s. dico istos esse minimum & maximum quaesitorum, quorum,. a. Misaest medius aritbmetice proportionalis, quia enim summa ipsorum I. Ee 4s. ex constructi ne, dupla est ipsus as. . erit as. inter eos medius in arithmetica medietate. Quod erat propositum. Vnde eum idem so. rursus diuidi possit in duos alios quadratos infinitis varijs modis. constat infinitos alios duos quadratos repetiti posse, inter quos dis. st medius arithmetice proportionalis.
que quadratus altero numero adiecto, faciat quadratum. Ponatur primus I N secundus 1 - 2 N. ut quadratus primi absumens secundum, quadratum faciat.
Superest ut 3c quadratus secundi primo adiecto faciat quadratum, sed quadratus seeundi adiecto primo efficit A Q. -- s
N. - I Hoc ergo arquatur quadrato Formo quadratum a a N. - 2. nempe qQ. - - 8 N. de fit r N. n. Erit igitur primus secundus 3. de soluunt quaestionem. πιιum τὸ προασμα.
162쪽
IN v a N i R a duos numeros vi utriusque quadratus, altero numero dempto quadratum faciat. Ponatur minor 1 N. "quot libuerit unitatum, esto itaquei N. - . Maior autem si quadratus minoris dempto I in ut minoris quadratus detracto maiore relinquat quadratum. Quia ergo minoris quadratus est i m. a N. -4. I. utique maior dempto 1 m rita N. I. & patet minoris quadratum dempto maiore sacere quadratum. Oportet itaque & maioris quadratum, puta44-- 4 N. - I. detraeto minore sacere
quadratum i sed facit 4 3 N. Hoc
IONEM XXI ET XXII. NIMit He notatu dignum, quod non satis tum a Scholiaste , tum a Xilandro sit animad
IN v a Ni R a duos numeros , ut utriusque quadratus adscita numerorum sum ma iaciat quadratum. Ponatur minor I N. Naior vero IN. -- I. ut quadratus minoris, nimirum I in adsumens utrumque puta a N. - I. iaciat quadratum. Superest ut & quadratus maioris ad semens utriusque summam iaciat quadratum Sed maioris quadratus adiecta virtusque summa st i N. a. Hoc ergo aequale est quadraiq. Formo quadratum ab I N. - a. ipse igitur quadratus erit I N.& nti N.;. Esto ergo minor . maior μῆ. & soluunt quaestionem. δυσα me vi H δ λ ψει ιξ δ' . s γ νιπιι Λύ- οῦ κνὶ ποιοῦm Q ονόβλημια.
Bs e v κ v ti sortassis alleu; videatur, quanam arte suas postiones ita instituat Diophantu . in summa vitiusque numeri addita quadrato minoris faciat quadratum. Id autem se consequitur. sngit quadratum ab I N. - quotlibet unitatibus, verbi gratia ab I N. - . r. fitque quadratus I a N. -- I. Quare s ponamus summam numerorum et N. - I. patet eam additam ad x sacere quadratum. sed tune ut satisfiat via postulatorum, oportet x inesse quadratum unius nu-
163쪽
mei tum quaestorum. Is ergo erit 1 N. quo detracto ex utriusque summa quae posita est a N. I. manetiner I N. - I. Unde paeci ptiorem issum quadratum fingi potuisse a quolibet numero Numerorum . quotlibet unitatibus. Verbi gratia sngatur 1 a N. -- 3. fiet quadratus H-Ia N. -- 9. Quare ponemus summam numerorum quaesitorum Ia N. - s. ae proinde alterius quadratus eum debeat es in erit altet ille a N. quo detracto a summa remanet alter Io N. . s. Itaque si hac operatione quaestionem absoluere libet, testat ut maioris quadratus , ni miti Ioo. Q -- tDN. -- gi. adscita utriusque summa nempὸ Ia N. - s.faciat quadratum, facit auis em ICO. I92 N. - M. Hoc ergo aequatur quadlato, cuius latus formo abs Io N. - 3o. &fit i N. ea sunt ergo quaesti numeri i. Quod si velimus uti proprietate numelorum unitate differentium , quibus aecidit ut eorum summa aequetur interuallo quadratotum eorundem quia scilicet ex summa num elotum in eorum dissetentiam , ' fit interuallum quadratorum, S posita differentia numerorum I. productum ex summa in differentiam atqistret ipsi sunt mae longe minore negotio rem expediemus. Etenim ponatur minor quaesitorum quilibet Numerorum numerus, puta 2 N. Tum ponatur maior idem Numerorum numerus -- I, puta 2N -- r. patet ex demonstratis utriusque summam additam minoris qua-diato esseere quadratum maioris. Restat igitur solum vi eadem summa eum qua8tato maioris faciat quadratum, Ne . Et ad hane numerorum proprietatem sortasse respexit Diophantus, eum ponat minotem numerum IN. maiorem IN. - I unde lane ex illius operatione facillimum elleio Ca-
IN vs Ni Ra duos numeros ut utrius. que quadratus dempta utriusque numeri summa iaciat quadratum. Ponatur inmot I N. maior i N. - i. vi similitet maioris quadratus dempta utriusque summa iaciat quadratum. Oportet igitur &minoris quadratu dempta summa utrius. que facere quadratum. Facit autem I-2N. I. hoc aequatur quadrato. Folia mo quadratum a latere r. N. -3. Igitur Iss N. aequatur Im- ΣΝ.-I.& fit i N. α'. erit igitur minor et . ma
HI c etiam euidens es Diophantum usum proprietate numerorum quorum Interuallum est Vmitas. quibus, ut ostensum est, accidit summam ipsorum aequati interuallo quadratotum abifis, unde si quaesti numeri ponantur unitate differentes, patet eorum summam a maioris quadrato detractam relinquere quadratum minoris. Porto ex ipis operatione elicitur huiusmodi C
uuadratam eminest vivirale ouum disiae per ispiam fit Meris binaria invitiatum , orietur minor quastorum, cui adiuta vinitate fer maior. Possunt tamen etiam aliter institui positiones nulla habita ratione numerorum unitate disserenistium. Nam ponatur primus Numerorum numeras quilibet -- quotlibet unitatibus. Verbi gratia, Ponatur I N. - 3. erit eius quadratus a Q. H. 6 N. --ς. Quare statuatur summa utriusque o M - ρ. videt tactah primi quadrato relinquat quadratum. Igitur e ni primus si x N. - s. hunc auin serendo a fi N. - . s. remanebit secundus 1 N. - . ε. Restat ri ab huius quadrato qui est as Q:-ε MN. - 36. detrahendo summam vir isque . mmirum 6 N. - s. relinquatus quadratus, at rein mancnt 23 α -- - N. -- 2 s. Haec ergo aequantur quiarato fit eius latus s. N. . s. fiee I N. l.
et umque quaesti numini 3. i ae
164쪽
IN v a N i a a duos numeros, ut summae illotum quadratus , adiecto alterutro quadratum iaciat. Quandoquidem isiue ei adiicias 3 Q. siue 8 quadratum facit. Pono qua storum numero rum alterum 3 alterum 8 quadratum vero summae et Q cenim quadratus sumnace adiecto alterutro facit quadratum. Et quia summa utriusquee1lti quadratus summae erit Iai m. sed est quoque 1 Igitur Iaraequantur I Q. Quamobrem & latus
lateri aequale est. Proinde I N. aequalis est D. inomnia per numerum diui- dantur H N. aequales erunt I. &fiti N. Ad positiones erit alter a. alter Ap.
Quadratus vero summae iii 5. Et satisfit quaestioni. Υ P EIN J,o aes αις &- ο τυ
IN AN EST IONEM XXV. p xxx et analysis Diophantaea breuius explieati sie. Quandoquidem x in siue ei addiela, t
Jue 8 in quadratum iacit. Pono quaestorum numerorum alterum 3. in alterum L QNuaia dialtim vero summa I Q. erit ergo ipsa summa I N. Sed etianira Igitur I N. aequatur at Must et N. 'Porio manalestum est loco 3. &8. sumi posse quoslbet alios quadratos umtate multat , veluti is. a 33. quorum duo quilibet nota Qu3drati affecti , stitui possunt pro quaestis numerii. posito stilicet summam illorum esse semper i N. Ee eius quadratum Nam & quadratus summae vatiari potest, & loco I Ioni quilibet quadratorum numerus quadratus, ut A Q. is Sed tune oportet quaesitos numeros, statui quadratos multatos eodem ipso quadrato qui ponituisto quadrato flammae, ut si ponatur quadratus summae 4 Ponentur quaesiti numeri y α& ia & se de aliis. Praeterea dignum est animaduersione hane quaestionem non ad duos tantum, sed ad quotlibet numeros extendi posse, eodem prorsus artificio. Quaerantur enim quatuor numeri r summae illorum quadratus quolibet ex ipsis adiecto quadratum satiat. Pone quaesitos numeros,m 'in is ina αβ quadratum si mae a Querit ergo summa I N. sed est quoque m Q. Igitur
fit 1 N. ,: N sunt quaesti numeri dxd: 12. quorum summa - cuius quadratus quolibet d- Iotum tecto quadratos Deit, ut patet. Ex his demum Canonem eiiciemus. Sume rot3κ Aatos, eorim ahqtia ε Maria a multatas , quoi petuntur numera, has Arita set; rim ici abianisum quadratum , proricta seorsim divisa per quadra m summa β ι-- ,-- mera m sua pos exhibeηι nameros.
IN vs Ni a duos numeros ut suinmae illorum quadratus , utroque dempto faciat quadratum. Primum accipio aliquem quadratum, a quo auserendo duos aliquos numeros,supersit quadratus. Esto I6. is enim detractus sueta. siue 7. relinquit quadratum. Statuo ergo illos in quadrato , alterum quidem pono Ia inalte-
165쪽
VARi Alli possunt hic postiones seut in praecedente. Nani posito quadrato summae I6 statuemus pro quastis duos quossibet numeros , qiii K tradita Io. sigillatiin relinquant qua.dratos . quales infiniti repetiuntur . si ponas eos di is inset eorum lumina af Q aqualis N. Nerit I N. . . di quaesati numeri V. & vi. Rursus autem loco m. in statui potest quadratus summae quilibet alius quadratus, puta as O6. se in infinitum. Vnde sane diuersarum 1oIuiationum ampla seges suppetit. Potest etiam huiusmodi quasio ad quotlibet extendi numeros. Ut s petantur quatuot numeri ut summae quadratus quolibet illorum detracto relinquat quadratum. Ponatur summae quadra ius dis in ipsi vero sint 23 ina 6. Q 4 horum sui in astro inaequalis 3 N. est ergo rN ri suntque 'iusti numeri quorum summa cuius quadrato si auferantur si gillatim inuenti numeri semper relinquitur quadratus. Hine quoque fiet huiusmodi Canon. Stime quadrartim numerum , a quo aufer Ilistiatim tot ahas qωadratos , quost peruritur numeri, ν Ilavia Aetio si sim in Iumptum quadratum , pro Ba seorsim dis a per quaarat- β-α,
eorundem resavortim, quaesitos exhιbent numeros.
Caeterlim hie desiderari videtur huiusmodi quastio, quae soluitur eodem attificio. Inuenire duos numeros , ut summae illorum quadratus a quolibet illorum detra ctus , quadratum relinquat. Ponatui summae qu3dratus I in quem auferendo tum 1 3 Q, tunsa Io elim relinqvanis tur quadrati, ponamur quaesiti numeri s Q.& Io Erit igitur illorum summatum i N. tum is Q Quare fili N. . . suntque quaesiti numeri S satisfaciunt proposito. Variari positi
nes possunt iisdemmodis, quibus S praecedentium quaestionum. Et eodem modo ad plures nume ros extendetur quaestio, & demum formabitur iste Canon. u drasum quemliber addis totidem aliis quadratis, quae ρερυηρων numeri. Auregata diaetro Aginatim in Miuritiam adratum, prodacta seorsim Laisa per quaciratum eorundem aggregatorum , quastos exhibene nnmeras. .
deleau numerorum qui sunt latus min
166쪽
ris quadrati, ut scilicet quod requirit
quae illo duorum latera coniuncta faciant f. 1ed productum multiplicationis adiecto maiore facit -- 3 N. I. Quadratus autem a latere 6 - a N. est 6 in Φ 35 - 2 N. Haec ergo aequan
zione S. Posueram minorem I N. erit
ergo ἰῆ- maiorem vero posueram N. - I. erit igitur F. & constat proposi
BEtie monet se liasses lemma quod assumit Diophantus, non de solis quadruplia, sed de omnibus numeris intelligendum este qui sint pIani similes. Quare se uniuersaliter proponendum
est & demonstrandum. Caesia Pu.bm nti reis, quorum maiori de fit unitas, quo minks ad minorem habear rari em quadrata ad quia sum, prodisus tua dialorum miatilpheiatione adsumta minore allorum quadratas fri
Sint duo numeri A B & D. tales ut addita unitate B C maiori A B, fiant plani similes A C. & D. dieci productum eΣ Α Β in D adscito ipso D fim quadratum. in Quia enim A C. & D sunt plani similes. productus ex A C in D quadratus est. Λ....... B pioductus eae Α C in D aequatur productis ex Α Β & ex B C in D. productus. D a' autem ri .nitate B C in D. aequalis est ipsi D. Igitur productus ex A B in D adsumpto ipso D. quadratus est. Quod demonstrandum erat. Hi ne patet positiones infinitis aliis modis institui potuisse. Nam posito minore I N. poni poterat maior non solum 4 N. - I. ut secit Diophantus , sed etiams N. - . I6N. - i. & se in infini tum . Vel etiam posito minore 3 N. poni posset maior Ia N. L vela N. - a. &e. N posismis os minores N. pcineretur maior Io. N. - I. vel as N. - I. &c. Ex ipsa autem operatione eliete tui iste Canon. ω drarum qkemtibet unieare mutiarum avia duplo prata vix lasere ipsius in stirimam auram lis sertim, per aggregatum iuvide quadratum summa laterum vnstata avitium, orietin minor quasi rori . quem s diacas an quia rum initis sumptum, prodinus νnstare misattis erit matre quasi artim Sit data summa laterum I. Cape quemlibet quadratum unitate multatum, puta 8. cui adde 42 qui si bis ex γ. in latus quadrati lumpti, erit aggregatum D. per quod diuide quadratum ipsus 7. v nitate auctum, puta so. fiet I. minor quaesitorum, quem si dueas in quadratum s. initio sumptum. productus unitate multatus, nimirum 8. erit maior numerus. Itaque I.& 8. satisfaciunt proposito. Ouamobrem in huiusmodi Canone tradendo alluet natus est Raphael Bombelliu lib. 3. Probi mate 88. N ὸ salso Canone falsos elicuit solutionis numeros quos minimὸ soluere quaesti mem expetiendo deprehendes. Caeterum scut per suum lemma Diophantus se suas instituit positiones, ut productus adscito retianore numero faciat quadratum, sic poterimus eas ruisus ita instituere, ut productus adscito maiore numero faciat quadratum, tali premita lemmate.
Datis duobus numeris, quotum minori dest unitas quo minus ad maiorem , habeat rationem quadrati ad quadratum, productus ex datorum multiplicatione adsumpto maiore quadratum iacit. Sit maior A, & B C minor, eui addita unitate C D sani A. & B D. plani similes . ri dieo productum ex A in BC adsumpto ipso A saeete quadratum. Etenim ex Α ici B D nt quadratus. Sed productus ex A in B D aequatur producti x ex Α in BC. & in C D. & productus ex A in C D aequatur ipsi A. Igitur productus eΣ Α in B C. addito ipso A si quadratus. Quod demonstrandum erat, Hoe supposto statuatur maior N. minor i N. - I. se enim productus 4 Q q. N. adscit maiore facit quadratum 4 restat ut idem productus adscito minore, faciat quadratum . cuius Iatus st 6 - a N. facit autem 4 Q π3 N. - . Hoc ergo aequatur quadrato 4 Q. - 24 N. - 36.tist N. E suntque quaesti numeri Hine elicietur Canon alter. ,, Misarum q--ibu vnisare mia arum a rea duis producti eae iaιινι - in fiammam iurarem
167쪽
datara , ριννι -- Liade quadratum summa laterum una te antiam . oriarur minar 'tias a. . -- irine aαὶ ωι , que se unitate auctum si ducas in Amstrum ab initio quadratum, με αδιον ηsastorum. sit data summa lateriam r. vi prius. Sume quadratum s. unde ablata un;tate, residuum 8. ausitae a. qui fit ex ipso r. bis in latus ipsus o. relinquῆtur 3 . per quem divide quadratum ipsius 7. viii. tate auctum, nimirum so. set Hunde ablata unitate relinquitur minor quaesitoΝim: At ducto
in quadratum p. fit maior V, Sed de multo uniuersalius proponi potest haec quaestio, nimitum se. Inuenire duos numeros, ut productus eorum multiplicatione, adscito quolibet alterutrius multiplice quadratum faciat, & quadratorum latera itincta datum consciant Minerum.
Soluetur autem eadem arte auxilio eorundem lemmatum , quae & ipsa in unum contracta se proponentur uniuersalius.
Datis duobus numeris quorum uni desiit quotlibet vilitates, quo minus ad alium rationem habeat quadrati ad quadratum , productus ex datorum multiplicatione adsumpto alterius multiplice secundum unitates quae alteri desunt, si quadratus
Quaerantur ergo duo numeri, ut productus eorum multiplicatione adscito alterutrius duplo quadratu in faciat, di latera quadratorum consciant s. Donatur minor IN. maior per lemma praeceis
dens esto 4 N. - 2. se eitim productus Α - 2 N. ad seito minoris duplo facit quadratum 4 in Restat ut idem productus adscito duplo maioris faciat quadratum , latere 6 - 2 N. iacit autem 4 -- 6 N. - 4. Hoc ergo aequatur 4 - 24 N. - 36. & fit a N. . Sunt ergo quaesiti numeri r &quorem p oductus adscito sigillatim utriusque duplo quadratos facit 3 quorum latera . & quorum summa I seu s. Rursus. Quaerantur duo numeri ut productus eorum mult*plicatione adscito primi duplo, tum feeundi triplo quadratum faciat, & latera quadratorum conficiant s. Ponatur rimus i N. secundus N. - a. se enim productus a N. adscito urimi duplo saeit quadratum hestat ut idem moductus ascito secundi triplo faciat quadratum a latere ε - 2 N. acit autem N. - ε. H cergo aequatur 4 - 24.N. - 36ast fit x N. 6sunt ergo quaesiti nummi V; &R quorum productus Sesto primi duplo Ac secundi triplo,qiiadratos saeta a. &-quotum latera & quorum si misma II seu ε. Hinc etiam Canon elici potesti quod exercitationis gratia tibi faciendum relinquo.
IN va Ma a duos numeros, ut Pr ductus ex eorum multiplicatione deis tracto alterutro quadratum faciat. At quadratorum latera coniuncta faciant datum numerum. Faciant itaque s. 6c quoniam si duo sint numeri, quorum maior si minoris quadruplum auctum unitate, productus eorum multiplicatione, de tracto minore iacit quadratum. pono maiorem N. -- I. minorem verb I N. Et productus eorum multiplicatione d tracto minore iacit quadratum 4 inculus latus a N. Superest ut idem produllus detracto maiore faciat quadratum , & ut quadratorum latera continacia conficiant imperatas unitates s. sed productus ex multiplieatione illorum dempto macir facit IN. - r. hoc ergo aequatur uadrato a latere 1 - 2 N. de fit i N. : .rit igitur minor g. maior π . de lausΩ-ciunt quaestioni.
168쪽
IN AN EST ION EM XXVIII. LEMMA, quo utitur Diophantus sie uniuersaliter proponendum est. Datis duobus numeris quorum malor unitate multatus, ad minorem sit in ratione quadrati ad quadratum , productus ex datorum mutuo ductu, detracto miuore quadratum relinquit. ae Sit maior A C. & D minor, de fi maiori ausi tendo unitatem B C. supersit A Bri η ε' ' qui in ratione quadrati ad quadratum, dico productum ex Din ACU ' dei racto ipso D relinquere quadratum. Etenim productus ex Din A C ' atqu tui productis ex D in A B & in B C. At productus eY D in unitatem B C aequatur ipsi D. Igitur pt ductus ex D in Α C detracto D telinquit productum e et D in Λ B. Sed productus ea D in Α Β qu dratus est cum A B S D ponantur plani similes. laso eonstat propositum.
Hinc etiam patet positiones infinitis modis variati posse. Nam posito minote I N. maior poni poterit non solum 4 N. -- I. ut feeit Diophantis , sed etiam 9 N. - vel IO N. - Ne. & si minor ponati r 3 N. ponetur maior Ia N. - vela N. . I &c. Rursus si ponatur minor N. ρο- netur maior 9 N. - I. vel 16 N. - . i. vel as N. - 1 &c. Ex ipsa quoque operatione formabit huiusmodi Canon.
Sit data summa laterum s. & semoto quadrato s. aufer ab eo unitatem superest g. quem aufer ago. duplo producti ex s. in 3. superest aa. per quem divide quadratum ipsus s. unitate auctum puta 26. fiet or minor quaesitorum, quo ducto in quadratum s. st γ cui addendo unitatem fit --ior quaestorum N satissae iunt proposio. Possumus etiam ita instituete positiones, ut productus detracto malare numero relinquat quadratum , tali praemisso lemmate.
Datis duobus numeris, quorum minor unitate multatus, ad maiorem si in ratione quadrati ad quadratum, productus eorum multiplicatione, detracto maiore quadratum relinquit.
Quod de in onstrat ut eodem prorsus modo quo praecedens demonstratum est. Hoc autem praemisso. Ponatur maior N. minor I N. - I. sic enim productus, nimirum N. detracto maiore radiatum relinquit euius latus a N. Superest igitur, ut idem quadratus detracto minore quais ratum relinquat a latere s - a N. relinquit autem 4 Q - - 3 N. - I hoc ergo aequatur quadrato as. - ao N. - ufiti N. n. Sunt ergo quasti num Ηine etiam elicietur Miua Canon. Maratum quemlibet unitate senas m avia duplo nod ι ax Iasera ipsius in summam d tam l
rerum , per auregatum iuua de Padra tim summa laterum, unitate auctum, orietων manar qua serorum initiare mutiatus , quem sc mritiarum tarato in quadratum initio sumptis , set masον --
. potest & uniuersalius proponi quaestio. Inuenire duos numeros, ut productus eorum multiplicatione, detracto quolibet alterutrius multiplice, quadratum relinquat, & quadratorum latera illincta, datum
conficiant numerum. Et soluetur eodem prorsus artificio , auxilio lemmatum traditorum . quae N ipsa in unum comtracta proponent ut uniuersalius, hoe pacto.
Datis duobus Numeris quorum vnus quotlibet unitatibus superat numerum , qui ad alterum rationem habet quadrati ad quadratum, productus ex datorum multiplicatione, detracto alterius multiplice , secundum unitates qua bus alter abundat, quadratum relinquit.
Quaerant ut duo numeri, ut productus eorum multiplicatione detracto primi duplo ,& seeundi triplo, quadratum relinquat, & laterum summa esto s. Ponatur ptimus I N. seeundus I N. - I. se enim productus I α- . a N. detracto primi duplo relinquit quadratum i suius latus Restat igitur ut idem productus detracto leeuntii triplo saeiat quadratum, cuius latus si s - IN. cit autem I Q - I N. - 6. Hoc ergo aequatur I - Io N. - as. & st a N. q. suntque quaesti nomet V & q.
Caeterum hie desidera i videtur huiusmodi quaestio. Inuenire duos numeros, ut productus eorum multiplicatione, detractus a quolibet ipsorum, quadratum relinquat.
169쪽
Ponatur mἰnor I N. maior quilibet Numerorum numerus qui ad minorem rationem habeat quadrati ad quadratum, puta N. erit roductus ui detractus 1 quolibet ipsorum, relinquet x N. - 4Qb c N. - 4 inaequales quadrati . di quia Numerorum numeri sunt plani sinites, ducatur denominatocrationis eorum, in minorem ut Numeri aequentur, fient ergo N. - 16 QUM 4 N. - aequandi quadratis , horum interuallum est ia in are sumendi sunt duo numeri, quo- tutumutuo ductu fiant Ia Q.& horum suminat semissis quadratus aequabitur maiori, vel interualli semissis quadratus aequabitur minori, sunto hi a N. Ae 6 N. erit seminae semissis quadratus is maequalis N. - fiet I N. m. Sunt ergo numeri &'. horum productus ti detractus ab ipsi numeris relinquit quadratos quaestos H&vi. Quod si eui sorte modus iste utendi duplieata a qualitate obseu tot videbitur, legat quae adnotauimus ad quadragesinam tertiam quarti , ubi sus nobis explicatur.
- - LLOS, ut productus eorum multιplicatione adscito alterutro iaciat quadratum. Si ergo posuero unum quadraIorum Ialterum vero 1. erit productus eorum
multiplicatione quadratus I ROportetistitur hunc adscito utroque facere quadratum. Quamobrem res eo deducta est Vt quaeranaus qui quadratus adiecta vii blate faciat quadratum. natur quadratus quem volo esse productum multiplicationis et ergo is adsumat unitatem, fit T δ' I. hunc Oportet aequari quadrato. Formo quadratum a latere I N. - a. hic
aequalis erit 1 r. dc fit r. N, :. est ergo alter K. alter Eo & accidit productum multiplicatione Usorum adsumpta unitate fieri quadratum. Oportet erbo eundem productum adsumpto altero fieri quadratum. Et quandoquidem producitis ille est 5. Potiatur nunc in quadrato, nimirum ii Ἐ- 4. & omnia stdecies. Igitur 9 QU-- ρ. aequantur quadra o.FΟrmo quadratum a latere 3 N. - 4. ipse igitur quadratus erit 9---I6 - - N-& iiii N. t . Erit ergo primus secun
Cisse vas' i tii ut Diopstantus, nee tamen , Scholiasta vel 1Xilandro satis explicatur. Ita que nos hvie missoni se lueein afferemus. Potio altem quadratorum i Q ponitur alter ad libitu puta 3 quonam producto, si ipsi s illam adgantur, fient tinti et intum I - . r. aequandi quadratis, quae duplicata aequalitas inexplicabilis in. mimo em posito primo i QTecundus non est ad libitum ponendus, sed ut saltem uni propositi parti satisfiat per ipsas positiones, talis deligendus est secundus vi ductus ini in& produm
addendo i Q iat quadratus. Quia veris primus es r Q. N vnitas non immutat numerum quem multiplicat, patet eo nos reduci, ut inueniamux quadratum , cui addendo r. fiat quadratus. Id ergo fiet per aliain operationem, hoe paelo. Statuatur quaesitus quadratus a mis adscita viritate fiet a
170쪽
I aequandus quadrato, cuius latus modo in superioribus quaestionibus saepe usitato fingetue ab I. N. - tot unitatibus quarum quadratus superet . Fingit illud Diophantus I N. - α.&fiti N. 1. di quaesitus quadratus A. Itaque ad propositam quaestionem redeuntes ponamus primum a. cundum . Sie enim productus f. Q. adluinpto primo iacit quadratum A fessat igitur vi idem productus adsumpto secundo quadratum faciat, facit autem ti Hoc ergo aequatur quadrato. Sed ad vitandas fractiones, omnia per eundem quadratum I6. multiplieantur, de fit se Q. - s aequandus quadrato. Nee immutatur per hane multiplicationem aequalitatis ratio, quia enim quadrato per quadratum multiplicato seu diviso, semper fit quadratus, patet si s Q -- s. aequetur quadrato, de eius partem decimam sextam, quadratum scire, Ac e conuerso. Huius igitur latus fingamus 13 N. - tot unitatibus quarum quadratus superet f. puta N. - . fiet I N. de s lutio est manifessa. Hine formatur Canon. Cape Aas q-dratas ruadrattim ut conficientes, altera ρν alterum .iuiso, fiat alter quasi orum. Tum .ia sum qua artim aufer a pretio assis quouis quiadraso , residuι quis artis dati vis per εώ Aviam proaucti ex tersio eoam quia Iam Piaratum initia dιαι iam. herum exhs.. . Verbi gratia. Cape quadratos 16. de s. fiet alter quaestotum Tum aufer i5. a quouis alio quadrato 36. restat aci. cuius qEadratum DO. diuide pet quadruplum producti ex io. in 36. nimiis rum per aeto . set alter quaestorum Diuersitas autem tum operationis , tum solutionis ἡ triplici capite otiti potest. Ρlimo enim utriusque numeri positioue eadem manente, primo scilicet posito a e seeundo I vitimi numeri quadrato κquandi, m mirum ipsius s s. latus diuersimode fingi potest, vis delieri a N. - . vel 3μ- sic in infinitum. ι . Secundo. Quamuis primus maneat I Q potest secundus aliter atque aliter poni eum inueniti
pollint infiniti quadrati diuersi ab ipso fi qui adsumpta unitate quadraturi faciant, quales sunt
Denique primus quoque numerus diuersim ἡ poni potest, nimirum quilibet quadratorum numerus quadratus, puta inrcl e. Sed tunc pro secundolumendus erit quadratu, aliquis numerus, quo ducto in primum & producto addendo ipsum primum, quadratu, fiat. Vtid tiptius soluenda erit huiusmodi quaestio.
Dato quadrato , alium inuenire , ut productus horum multiplicatione adstisteti,
datum quadratum , faciat quadratum. Datus esto 4. Quaesitus quadratus ponatura inhorum productis est 4. α uul adstito η. Aeli
Q. -- 4. quadraro aequandum, cuius latus esto I N. -3. fiet 1 N A. de in quaestus quadrat γ. quo ducto in η. & producto addendo η. fit quadratus E a latere . Hine. s libet, Bellemel acies Canonere. Datum Pad istum assis a quatilea quaisara, ct per quadruplum producti horum qu Aalommiu d. νι - .litas quaisatum, viri. ea reso. Utroque modo orae,r quasi rus quadratus. Vt in hypothes aufer η. a ς. & residui s. quadratum aD diuide per quadruplum producti ex in s. nimirum per M . fiet quaesitus quadratus-vel diuide I44. per H. fiet etiam quaestus quadratus T. Nam hie semper duplex eontingit solutio. Hae praemissa quaestione soluetur Diophantaeum problema, hoc pacto. Ponatur primus 4 Q. seeundus se enim satissi uni parti postulati. Restat ut productus horum multiplieatione, es. mirum m. adscito seeundo suetat quadratum , facit diutem Hoc ergo aequatur quadrato, Ae omnia ducendo in t q. tum diuidendo perdis. sunt Α-- I. aequales quadrato, euius latus esto 2 N - 3. de fiet I N. . erunt ergo quaesti quadrati : de
IN va N i a a duos numeros quadra tos, ut produetus eorum multiplic tione dempto alterutro faciat quadratum. Et si posuero primum i Q. alterum I. erit productus eorum multiplicationei Oportet ergo illum dempta unitatefieri quactatum, est autem quadratus. Eo itaque redacti sumus, ut quaeramus quis quadratus dempta unitate reia