장음표시 사용
171쪽
quit quadratum A. Pono igitur altetum I
Iterum A. & productus multiplicationis dempto i Q selinquit quadratum. S erest ut idem prρductus detritis ti st
Erato. Omnia per sedeon mulaificentur, tum dividantur per as. fit aequandus quadrato. Fo O quadratum 1 .N - Ipse igitur cla I .. - 16. 8. N. qualis I Q. -- g. vi Erit ergo primus .e . fecundus cini S citi aciunt postulatis. zz.: a L.
Exest et M a verba hisius proposkioni , in Gravis monstreia depram a sime, ut ex ipsa aequetistione manisestum sit, qua nuinerias Q 23. liniri nidiet et N. - 4. unde commutis - 8 N. aequari as Q as. & in comptivam aequati em de temtur eam tandem M. maneatiqis,lis 24 Q. . 8 N.&'fit solutis irrationalis. in me ueseio quomoso sia persi a te potuerit Seholiastes hane esse mentem Diophanti. Nam quod ipse ait valorem Quadrati esse I. atque adeo α idem esse atque et . sunt merae nugat. & puerilius etiam nugaeu Σ1tander, elim mirificam appellat rationem hane insentendae simplieis aequatio alia si enim x vii. non et amet N. . hisit ese non autem . Set voci modus iste quo utitur scholiastes a itendas est i nonne vectetiam ponete latus quadrati i N. - 2. N aequare I N. - q. Homero as Q as sed haereticine tandem 29. ἄν tur 24 4 μ Quod v, - uouiniae Scholiastes a Res d. g. a a Q. sunt et fiet valot Numeri l eratque alter quaesitoruin . quadratorum ci alter rarius . qui sequa quam satisfaciunt postulatis, &se alus in uitas exemilis prouum est ostendere futum esse hane etandi rationem. Nec a i. ob istat siquis, valorem Numeta Seholiasse in i in m ne o, satisfaee te prop*lito. nam ex Luci uraum inerti poMu . de ex uno aut audin axemplo aron fitὸ eolligitur regula generalis. Falsitatis etiam manifestὸ arguitut hae aequatio, o eo quod petualorem numerareset endo hypostate. I in -s N. - - 16. Moci reperia r aqualis as α'as, Hami. Qis N. a se et M as Q as valeat rem ridiculum Scholiata coinurentum . quo non calceus ad petim , sed pes ad calceum accomodatur. 1Ρvito itibus modis cottigi potest tertias Diophanti. Primo numeri Μ -- as. ponendu tituanoni N- . Sed s N. - I unde fiet i N. V erumque qua siti quadrati a Qua ratio e mimeri solaticinis omnes mutandi et uat. secundia concipiendo Diophavium, numerum di in Aptius multiplicove pet 16. unde si as u.de hune deinde taudere per D vnta fit Is Q tis. aequandus quadrato, cuius latus fingitur nou i N. - Sed 4 N. - I ia fit I N. V si lationis nomeri non m talitur. Denique , quod maxim mihi arridet, de mea in versione se uutus sum , Eici potest Diophantum non solum multiplicare per I6. numerum s Q - Q unde ni as Q, - as. Sed hune praetetea diuidere per as. undem lainsem I Q r. aequandus quadrato, quod familiate Diophanto est, Qt in minimis numeris faeilior sit operatio; & ut iam monuimus quadratus per quadratum
multiplieatus & diuisus, quadratus inauet. Tum numeri I m. I latus tingit I N. - . & omnia optime cohaerent, & solutionis numeri Oirines congruunt. Non ausus sum tamen in textu Graieci
172쪽
Metbi gratia tape Σ3. compintum m μ ει ε. cua adde quadratum I. fit M. cuius diade Per nisi ter iiii r έ quater, fiet alim quaesitorum C. Altra vero est V ves viti hie dei er dupleti tum mill loliatim. Caeteium hie desiderari uidetur iramismodi quaestio
BMaenire ch,6s quadratos, ut uterque multatus pro sto multiplicationis eotum quadratum relinquat.
: Maia gratis capes. ac re.& alaemm s. diuide per stimanam M. fieorae quaesitorum Tum et, demis adde alium quadrati- .set I3 p x huius quadratum Ios. diuida quod fit ex 4. in m. quater , nimirum r44. At alter quasi totum'
IN v a Mi a s duos murae S,/vt pmdu ctus ex eorum multificavi Que summa illorum siue δε ita, siue detravia quadratum faciati tam cum duorum quo Inmubet nimae cum quadrati simul iun.cti, sive detracto duplo producti inesti, placati lus eortia , quadratum iaciant, ponamufi duos numeros a. & 3ω lia et duplo producti multiplicariorus facit quadratum as. Et rursus ab eadem summa quadratorum detracto eodem duplo p ducti muhiplicati s relinquitur quadiciatus I. Pono ergo productum ab iis 3 Q. ipsorum alterum I N. alterum II N.& fit ex eorum multiplicatione 13 QLAt-
mus I N. erit ergo D Ad secundus qui erat D N. erat ia in v. α soluunt quaestionem
LEMMA quod assumit Diophantus . nil aliud eontinet qu)m quod ostensum est quarta seeunia Euclidis, di quarta seeundi scitisinatum. Nam altera illarum propositio um demonstratur duplum producti additum summae quadratorem, efficere quadratum s immae numerorum . altera veto concluditur duplum producti detractum a summa quadratorum, telinquere quadratum in temuli numerorum. Caeterlim tota operationis &solutionis varietas pendet a duplici eapite. Primo enim loco a. & 3. sumi possunt alii duo quilibet numeri. & aggregatum quadratorum ab ipsia statui pro producto mult plieationis; & duplum producti, pici summa ip tum numerorum. Ut
173쪽
si suma I. &η. Pones productum multiplicationis . Q ummam numerorum Is Seeundo, manente eadem prima postione. ipii numera variὸ poni possunt, ut in hypothesi Diophanti posito producto 3 Q &summa ia Ipsi numeri poni pollunt duo . quilibet quotum mutuo ductu fiant 13 Q, authotvit vitandas stactiones posuit I N. I3. N. sed poni pcissent et M.&6 N. vel 3. N. & a N. &sie in iusinitum. At posito producto ao Q oni poturunt ipsi numeri a N. de io N. vel 4N. & 1 N. vel duo quilibet alii numeri quorum mutuo ductu Fant aci Canon quoque hinc laetu latinabitu , sed parum in eo erit compendii simili quoque artificio soluetur huiusmodi
Inuenire duos numerosi, ut summa eorum, producto multiplicationis siue addito, siue dempto quadratum faciat.
Ponatur summa I3mproductum Ia Ripsi vero numeri IN. N Ia N. fiet ergo summa ra: aequalis ra fit I N. I. suntque quaesita muneri I dc IM . A
INVanaa a duos numeros aequales quadrato, ut productus eorum multiplicatione sue addita ,siue dempta a botum sepi a quadratum faciat. Quo- ctiam si sint duo numeri in dupla ratione , & duplum producti multiplicationis. eorum , quadratus est, semma quedratorum ab ipsis, siue addito , siue dotracto duplo producti Madratum sedit, exponamus A. & a. & patet quod duplum producti eorum iacit quadratum iὸσω summa quadratorum ab tess puta masue addito 16. siue dempto laete quati
tos σε. Ponantur ergo in quadrato.&esto productum multiplicationis Io summa vero numerorum Is. instau malter a N. alter Io N. ergo .uterque s l
, EMMA hqe assumptum idem sere est eum plo quod in praeeedente explicitum est, eui tamen usu peraddit . expolitos numeros deberet esse in ratione dupla , si duplum producti eorum stquadratus numerus, cuius rei ratio euidens est, quia ducere numerum aliquem his in suum duplum . idem est atque ducere eundem numerum in suum quadruplum i At numeri in ratione qua-.-drupla sunt plani similes. ' Quare patet ex eorum mutuo ductu fieri quadratum. Vatiari autem potest operatio & solutio totidem modis, quot di praecedentis, & easdem ob eausas ut manifestuita .st. Caeterum etiam aliter Operari possumus, hae arte. Sumantur duci numeri qui sint latera citra tectum trianguli tectanguli, seu quorum quadratismul quadratum eonficiant, quod fiet per te tim tertij potismatum, sintque hi 3. & 4. Eritque summa quadratorum as. duplum producti 2 Et statuantur in Quadratis, ponaturque productum dis summa numerorum 24 Q. Ipsi veron meri a N. & as N. vel alii duo quilibet quorum mutuo ductu fiant as erit ergo summa 24 α
aequalis et Q. &fit x N. l. suntque quaesti numeri E N e. Hae etiam desdefati videtur huiusmodi quaestio. Inuenire duos numeros, aequales quadrato , ut summa eorum, producto multiplicationis sue addito sue dempto, quadratum faciat.
174쪽
ponatur summa numerorum 23. produEtiam 24 ipsi vetδ numeri statuatur duo quilibet, uotum mutuo ductu fiant a Q puta N.&6N. fiet summa in N. aequalis M. & fit IN. bunt ergo quaesti numeri Caeterum huc quoque pertinere videtur talis quastio. Inuenire quadratum cui siue addatur, sue adimatur suum latus, fiat quadratus. Ponatur qua suus quadratus as Matus illius a4 migitur aequantur s N. de fili N. 4. Est ergo quaesitus quadratus l. Eodem artificio repetietur quadratus, cui addendo & adimendo suum latus quoties quis iusserit, fiat quadratus. Ut si quaeratur quadratus , eui addendo di adimendo quater suum latus. fiat quadratus. Ponatue quaestus quadratus as Q. Tum ipsius 24. sumpto quadrante , sutuatur latus o Q Nam eius quadruplum a additum vel ademptum ipsi as Q quadratum Deit. Igituro equantui s N. fitque i N. l. Est ergo quaesitus quadratus Ἀ
IN v a re t a a tres numeros, ut cui ucuis illorum quadratus adscito proxime subsequente numero, faciat quadratum. Ponatur primus i N.& quoniam si numerus numeri duplus fuerit, & adhuc uni- rate maior , quadratus minoris adscito maiore facit quadratum, ponatur secundus primi duplus & unitate maior, erit itaque a N. - t. Rursumque tertius huius duplus de unitate maior, erit utique
4 N. -- 3. & accidit quadratum primi adscito secundo fieri quadratum I Q. a. N. - &similiter secundi quadratum adsumpto tertio facere quadratum 4 QUUM 3N. - - ε. Oportet ergo & tertij quadratum adiecto primo sacere quadratum. Sed tertu quadratus adiecto primo facit 16
- 23 N. - 9. Hoc ergo aequatur qua drato. Formo quadratum a latere 4 N. - . Ipse igitur erit Is-- r6. - 32N.-ht i N. Erit ergo primus in secun
LEMMA Diophanti prorsus idem est eum decima octaua propositione primi potismatum , ut euidens est. Operatici & solutio dupliciter variari potest. Primo enim ipsi numeri poni possunt ad libitum, dum tequens contineat semper duplum praecedentis unitate auctum, ita primo posito a N. ponetur secundus N. - I. tertius 8 N. - 3. 8c sic in infinitum. vel etiam primo posito a re - I. erit secundus a N. -- 3. tertius 4 N. -- 7. Aee. Deinde ultimi numeri quadrato aequandi Iatus diuersitioile fingi poteu, ut in hypothesi Diophanti , numeri I6 -- 23 N. - latus fingi potest N. - quotlibet unitatibus quarum quadratus superet f. ut 4 N. - 444 N -y. N. -6. Sc. Immo in eadem hypothesi quia numerus unitatum s. quadratus est, posset idem latus fingi 3- quotlibet Numeris, quorum quadratus superet I 6 Puta 3 - N. 3 - 6N.&c.
175쪽
IN v v N I E a tres numeros, ut cuiusuis quadratus detracto proximὸ se sequente numero, faciat quadratum. Quandoquidem si numerus numeri duplo unitate minor sit , quadratus minoris dempto uadrato maioris , facit quadratum ratuo primum IN. -- I. secundum a N. . r. Tertium similiter & accidit quadratum primi ὸempto secundo facere quadratum, & adhuc quadratum secundi dempto tertio facere quadratum Restat ut& teriti quadratus dempto primo quadratum iaciat. Sed terti, quadratus dempto primo facit I 6 Q, in 7 N. Hoc ergo aequatur quadrato. Formoquadratum a s N. Proinde 23 Q. aequanis tur I6 Ἐ-- 7 N. & fit I N. Erit igitur primus πι secundus V. tertius P. Scconstat propositum. N V sTIONEM XXXIV. T E. MA quod assumit Diophantus nil aliud dieit . quam quod ostensum est prepositione de--rima nona primi potismat . operatio & solutio totidem modis variari potest, quot Ee praecedentis, ut diutius imminandum non sit in re manifesta.
IN v a N i R a tres numeros , ut uniuscuiusque quadratus adscita summa omnium faciat quadratum. Quandoquidem si numerus numerum metiatur, & sumamus eum per quem metitur ; & duorum metientis scilicet, &eius per quem metitur) minorem de maiore auferamus, residui semissis quadratus adsumpto proposito initio ad metiendum numero , quadratum facit. Potio summam quidem trium aliquem quadratorum numerum, qui habeat tres ipsam metientes. Esto itaque Ir. Nam ipsum metitur unitas per II.&2. per 5.&3. Per . & si detraxero metientem ab eo per quem metitur , & residuorum semines sumpsero; Ponam tres numeros primum quidem 3ἰ. secundum Vero I. tertium autem e. & patet horum uniuscuiusque quadratum
176쪽
dum a N. tertii unal, mpq trium simimam aequalem elle i am iectrium summa est 3 N. i Proinde S N aequantur is inde fit tergo primus P secundus i. tertius il & eon,
LEMMA Diophanti coincidit prorsus eum quinta seeundi Euclidis, vel eum secunda seeundi pocismatum. Solutionis varietas duplici pendet capite. Primo enim summa numerorum poni potest non solum Iamsed N quilibet alius quadratorum numerus. Deinde posita eadem summata Q. ipsi numerudiuersimod/poni possunt, prout sumentur semisses interuallorum duoriim qum rumlibet numerorum, quorum mutuo ductu fiat II. Nam quod metientes sumendos esse ait Dimphantus, id facit facilitatis gratia , ad vitandas flamonum molestias. Caetetum quinta secundi eui innititur haec operatio, abstrahit a numeris integris, & fractis, ut liquet ex ipsius demon stratione. Hie si plaeet se abis huiusmi
Ioram semisses simia audatos eosdem sinisses , feκι quasi Verbi gratia sume 48. qui hi tu
misses sunt II. 4. I. quorum sumis 4. I. fiunt quaesiti numeti V l l.
fie e quo ducto sigillatim in ipses IN RVAE ST ION EM XXTULLEMuA hJe .sumptum iisdem inititur iandamentis, quibus & Iemma praecedentis, Ut mani sestum est. solutio quoque totidem modis variari potest. Et ex ipsa operatione formabitur huiusmodi Canon.
177쪽
Sume sue dei πιι merum, tim cape ter duas numerer, quarum mutuo Om i fat, auregatorum
reui Diopbant uim te reorumviendo fractionibus fractionum. Primum quidem exhibuit id est . dimidiis stoc si Tertium isῶQ . id est V. ita dimidium di. seu i.
Patet putem editem porsus altili tu , & hanc & ' dentem ad quotlibet numeros extendio e duod unico exemplo docuisse sussiciet. Qua runtur quatuor numeri, ut uniuscuiusque , est,tus multatus sunmia omnium, quadratus remaneat. Vtendo Cataone allato, sumatur 4K
178쪽
ARITHMETICORUM, LIBER TERTIUS.
QUAESTIO LNVENIRE tres nume- Iuri ros , ut uniuscuiusque eorum quadratus a summa trium
numerorum detractus, faciat quadratum. Expone duos quadiatos, alterum ab r N. alterum a 2 N. & fit summa quadratorum ab ipsis 3 Pono ergo summam trium numerorum quaesitorum primum I N secundum vero a
N. Ita duabus propositi partibus est Ω-tisfactum. Et quoniam habemus s. qui diuiditur in duos quadratoτ, nimitum I.& . diuidatur idem rursus, ut supra demonstratum est, in alios duos , quadratos , videlicet in G &R'. Pono igitur tertium latus unius horum , puta I N. &enim illius quadratus a summa omnium de tractus facit quadratum vi'. insuperestri tres simul aequentur sed tres simul eficiunt 3 e N. Igitur T N. fit M. Erit ergo primus τι secundus M tertius& satisfaciunt quaestioni.
In III. Librtim Diophanti commentaris
P P -- T in. c. Deinde manente eadem summa numerorum
179쪽
puta s possunt Ipsi numeri poni diuersinode , prout s. diuidetur in alios atque alios quadratos.
Vt ii petantur 4. numeri. Sume M. quem ἡiui de bis in duos quadratos, erunt horum latera T. 8. q. T. quorum summa et . qua diruisa Der 8. fit a. quo ducto sigillatim in supradicta latera,fiunt
ΥPE IN Wvic ἀριθμe ruis: ο T NVENIR E tres numeros, ut quadra-.Itus summae ipsorum , quovis ipserum
adiuncto quadratum faciat. Ponatur quadratuν summae trium numerorum ITunc statuam primum 3 Q secundum 8 in tertium Is t quadratus summa trium, nimirum I inadscito quolibet ipsorum faciat quadratum, hunc quidem 4 illum vero g. illum denique
16 Q. Oporiet autem & tres coniunctos aequari lateri quadrati summae omnium, hoc est i N. sed tres coniuneti inciuntis in fit fgitur a. N. is erit ergo primus . secundusis tertius M. de Diuum quae
HI cceti m duplici de causa vati ripo & opera Se solutio. Primδ enim quadratus sum.
me numerorum statui potest quilibet quadratorum numerus quadrMus, pura Q e. Deinde quadrato summae manente eodem, im numeri ponentur diuersimoM, prout . quadram. summae utimur 'diuersis quadratis , di residua ponentur pro quaesitis utimetis. Sit Posito quadrato 1iimmae I inponis lint ipsi numeri, non solum ut iacit Diophantus 3 Q. 8. Q. set sed et min a 3s sic in infinitum. Vnde patet eadem arte quaestionem ad quo libet numeros extendi posse. Et hinc quoque formatur Canon uniuersalis. S eme que i, gula is tum, quem a era tolιdem f-drarii, Pae petramur numeri, Per mam. reficiareum Quide iatus siranni ab inisti auadrati, Disieruia quadratum ducito Agitauim in ipsa adem resid , sene ruasiti inmeri.
180쪽
Arithmeticorum Liber III. Io I
Ιει v a N a st a ues numeros , ut quadratus compositi ex tribus , detractus a quolibet ipsorum faciat quadratum. Ponatur, compositus ex tribus I Ν. Quadratus autem illius i Q. & sunto tres numeri , hic quidem et in ille vero 3 Qiter eius Io. Nam horum quilibet detracto quadrato compositi ex tribus, hoc est infacit quadratum. Et quia quadratus inpositi ex tribus, latus habet, patet hoc esse compositum ex tribus. Summa igitur trium est 1 N. sed est quoque et in Fit igitur I N. n. quadratus m. eridique primus .:;. secundus M. tertius M.& satisfaciunt quaestioni.
IN I ESTIONES III. ET IRNV ix a in his diis itas. Eadem seri bla diei possunt, quae ad duas praeeedentes sunt adnotata.& Canones eadem inellitate Armabuntur. Caeterlim his quatuor quaestionibus idem agit Dimphamus in tribus numeris , quod secit in duobus, libro seeundo quaessionibus 23. 2 23. a6. unde etiam colligere licet huiusmodi Praestiones ad quotlibet uumeros eadem arte ratendi.
IN v a N i a a tres numeros , quadrato aequales , quorum bini reliquum suerent qua ato numero. Ponantur aes mul aequales quadrato ab I N. - I. hoc est r-- a N. -- I. Quorum primus & secundus superent tertium unita
te. Erit ergo tertius N. sic enim primus & secundus iuperabunt illum unitate. Rursus secundus & tertius superent pinnum quadrato, nimirum I erit similiter primus a N. - . Reliquum ergo habemus secundum tin- . superest ut primus & tertius superent secundum quadrato numero. Sed quo primus & tertius superant secundum sunt a N. Hoc ergo aequatur quadrato, puta I6.