장음표시 사용
181쪽
OV o n. supponit hἰc Diophantus , tale est.
Datis arabas morieris , si mrerualum qua duo ex illis se perant tertium is erasin a summis
eriam numerorum, remanet avum reri .
Hoe ipsum ueto iam demonstratum est ad decimam octauam primi. Duplieiter autem vatiari possunt tam operatio quana solutio. Primo enim quadratus qui ponitur pro summa trium numerorum finsi potest non solum a latere IN. - r. sed a quotcunque Numeris - quotcunque unitatibua. Deinde interuallum primi & tertii supra secundum, quod in hypothesi Diophanisa repetitur a N. potest aequati euilibet vilitatum numero quadrato, ut manifestum est.
xao primum tres numeros quadratos aequales quadrato. Si a tem duos quadratos composuero, ut A & s. & quaesivero quis quadratus adscito I3. faciat quadratum , inuemam 36. &erunt tres quadrati aequales uni quadrato. Restat vi quaeramus tres numeros, ut bini iuncti reliquum superent dato numero, , primus scilicet & secundus, tertium suis perent viaitatibus 4. secundus & tertius primum excedant unitatibus 9. tertius &primus secundo superaddant unitates . Hoe autem supra demonstratum est. Et est primus dio. secundus 6 e. tertius ra&
satisfaciunt proposito. IN ENAgsTIONEM VI.
DV o stipponit Diophantus. Psmum reperiri posse tres quadratos , quadratum simia consis Uentes, quod quidem facilὸ fit auxilio undeetitiae seeundi. Nam sumptis duobus quibusli- . bet quadratis puta A. & s. quorum summa I3. Iam quaero per undeeimam secundi duos quadratos quorum interuallum sit 13. & horum minor 36. est tertius quaesitus. seeundo supponit author tres excessus binorum supr, reliquum , aequari summae ipsorum numerorum, quod iam a nobis est demonstratum ad deeimam Oetauam primi potio tum ex hae operatione , tum ex Canone decimae Oetanae primi emitur huiusmodi Canon. - tres quadratos γ dratum ransieientes, ab ao m smma aufer Agulatim unumquemque irsorum, res oram fimisses erant quasi a numeri. Sed & non vulgari alti io quaestio extendetui ad quatucit numeros, & sic proponetur. Inuenire quatuor nun eros quadrato aequales, quorum terni reliquum superent quadrato humero. Ponatur summa numerorum quilibet numerus quadratus, puta g. Quia ergo ut ostensum est ad vigcsmam primi. suntina exeessuum dupla est summae numerorum, erit exeessuum summa f. Restat ergon 8 diuidatur in quatuor quadratos. quorum quilibet sit minor quam 4. Id autemnetlὰ fiet s 4. diuidatur bis in duos quadrato, pet octauam secundi, eruntque hi M. Itaque applicando h;c Canonem vigesinae primi, hoe est a semisse micessuum qui est 4. auferendo singulos eseessus, di residuorum eapiendo semisse, , sent quaesiti numeri et g . se licthie quaestionem ad quotlibet numeros extendere, sed aliquando utendum erit artiseio qu: duodecima quinti utitur Diophantias. Ut si qua tantur quinque ni eri quadrato aequales, quotam quaterni reliquum superent quadrato numero. Quare quaestionis huius explicationem reiicimus in decimam .septimam quinti, vDi commodiui afferetur.
182쪽
IN v et N a tres numerus aequales quadrato , ut bivi iuncti faci ni quadratum. Statuantur tres simul aequales quadrato i -- 1 F. -- I. esto primus cum secundo I relinquetur ergo tertius a N. - I. Eilo autem secundus cum tertio I -I-a N. a latere I N. - I. Et quia tres simul sunt I Q. - a No-. I. rcilinquetur utique primus N. sed primus cum secundo positus est ierit igitur secundus I A N. Oportet itaque & erimum tertio itinctum, nempe s N. - I. aequari quadrato. Sit ergo is ini. &fit I N. ao. erit igitur primus. So. secundus 3am tertius M. & soluunt quaestionem. Υ P EIN sic δειθμὸς σαδ ore γπ-
.uiter. PO N A N et v R tres simul r - 2N. I.&sint primus & secundus rQ, relinquitur ergo tertius a N. -- I. Esto rursus secundus cum tertio I Q - . - ΣN. horum ergo tertius cum sita N. -- I. relinquitur secundus I Q. - N. est autem & primus cum secundo I Q. quorum
secundus est ι N Relinquitur ergo
primus N.& tres coniuncti faciunt ima gratum quadratum I a. N. - I. cprimus cum secundo, itemque secundus cum tertio faciunt quadratum. Oportet itaque & tertium cum primo iunctum, nimirum 6 N. t. aequari quadrato. Esto quadrato 3σ. 8e fit IN. U. Erit ergo primus v. hoc est Vm secundus F. tertiussi'. & soluunt quaestionem.
IN- has duas propositiones nulla omnino vel perexigua est differentia ; eadem ferme est operatici aliter atque aliter explicata. Diuersitas in eo eonsistit, quod in septima inuenta prius tertii numeri hypouasi, inuenitdqinde hypost sini primi. unde elieit hypostasim seeundi. At in
octalia nauento prius tertio. inde elicit sceundum , atque inde primum. Eodem tamen recidit vir que operatio, ut manifestum est. Itaque ut oninia explicentur dilucido, & varietra Omnis tum operationis tum solutionis perfecta eomprehendatur. Ad uerre primo , ut ben8 monet Xilander, pro quadrato ouem tres nupleti simul constituunt statui posse quemlibet quadratum, cuius latus eonstet ex quolibet Numerorum numero - quot
183쪽
sed Mani poterat I N. ' a. vel I N.
libet unitatibus. Posuit Diophantus latus illius I N. 3. Ne. vel etiam a N. . . a. a N. - a. a N. M lec. d. Τ 3 Aduerte seeundo pio s umina secundi di tertii statui posse quadratum quemlibet minorem quadrato, qui positus est pro sua ima trium mimerorum. Sic Diophantus posta sumna trium I 34α- a 4. i. posuit lumniam secundi'tertii -- I. sed si ponatui summa triuia, I Q - N. - 4. poni poteAt summa secundi& tertii I a N. -- I. vel etiam I Qoea N. I. - να - 4 N. 4.3c se in infinitum.
Aduerte tertio uininram primi di teriij quae quadrato aequanda manet, aequari debere tali quadrato , ut inde auferendo unitates quae continentui in eadem summa, S diuidendo residuum pernumetum Fumerorum eiusdem summae, prodeat quotiena maior numero Numerorum, qui rem
periuntur' cum signo desectis in hypostasi secundi numeri. ut in hypotesi Diophantaea, ubi summa primi & ietth 6 N. - 1. est aequanda quadlato, quia hypostasiis secundi est i Q N. Oportet
inuenire quadritum lim ,mine multatus, & diuisus tet s. det quotientem maiorem quam a Id autem in alte eerta eonsequamur. Ponatur huiusmodi quadratus unde ablata unitate, net TQ -I.q diuiso per fi fui Q. - mmor quam 4. ε supplendo desciuum, set maior quis 4. At omnia per o. multipite udo fiet I Q. maior quam as. Quamobrem aequabimus 6 N. - L milibet quadrato maiori quam as. In prima operatione Diqphantus aequavit 6 N. - I. quadrato rar. In secunda vero, quas rato 36. Eoemnque artiseio repetietur terminus supra quem consistere debet diuis quadratus, si primae postiones aliter instituantiir Pono ex Operatione Diophami elicio satis artificiosum Canonem. Cape Δos quadratas quorum rario sit maισν quamas ad i. horam interuisse. bessie eanti moe μου quasit.rum I suem Eaxfer,ae a quadrato Porsen ιι νά sit dati Ando adem anta istam perserieulum minoros Iapreis . Orieιών secunias. Denιque sieissem inire ni trienti adris αιχorem ad rum, siet tertius. . Verbi gratia eape quadratos iar. & I. horum interuallum est iaci. euius sunt M. primus numerus. Tum diuiae Iao. per s. sextuplum Minoris lateris fiet eto. euius quadratus Α . unde auserendo M. st 32O. secundus numerus. Denique trienti ipsus 1ao. qui est o. adde minorem quadratum I. fiet ηi. tertius numerus. sunt ergo tres quaesti numeri M. 3IO. qa.
I va Ni Ra tres numeros in aequali interuallo, ut bini iuncti quadratumessiciant. Quaero primum tres quadratos numeros aequalibus interuallis distantes, quorum summae semissis maior sit quouis ipsorum. Ponatur igitur primus i inse
ipsorum interuallum a N. -- I. si autem addidem secundo a N. . i. fiet tertius to N. - a. Haec aequantur quadratoa Aterea N. -8. fitque quadratus f - Is N. aequalis I QU- - Α N. - a. &fiti N. . hoc est E. Erit ergo primus 96I. secundus ris8i. tertius dentque aqoI. &.
satisfaciunt proposito , sunt enim tres quadrati aequali interuallo distantes, lesemissis summae illorum, quouis ipsorum est maior. Venio nunc ad id quod quaeritur, stilicet quo pacto tres numeri i ueniantur eodem interuallo se superantes, quotaim bini coniuncti quadratum faciant. Primum quaero tres quadratOS in aequali interuallo , uti iam demonstratum est, Se sunt huiusmodi quadrati. Primus
184쪽
Primus ysi. secundus 1681. tertius a CI.
inueniendum iam est quomodo primus& secundus sacere possint ρε I. secundus& tertius et Ao I. nam Oh interualli aequalitatem inuertitur ordo, tertius S primus 1681. Statuatur trium summai N. Cum
ergo tres simul sint i N. si inde detraxero summam primi & secundi nimirum 96 I. habebo tertium i N. - ysi. & rursus si ab i N. abstulero summam secundi &teret ij , nempe I cI. habebo primum IN. - 24oI. s autem ab i N. dempsero summam tetiij S: primi, nimirum I 58 I. habebo secundum i N. - 168i. Restat ut tres simul iuncti aequales sint i N. & fit 1. N. 23 et t. t&sactum est quod imperabatur.
HIc multa obseruanda sunt quae minimὸ attigit lii Iander, sine quibus operatio Diophanti nequit persectὸ intelligi.
Primo , quaerit tres quaἡtatos aequalibus interuallis distantes, quorum summae semis ;s maior sit quolibet ipsorum, quia vult ut quaesti numeri bini & bini constituant huiusmodi quadratos. Id autem steti non potest, nisi trium quadratorum summae semissis quolibet ipsorum sit maior, ut de monstratum est ad decimam sextam primi, ad quam tandem reducitur haec quaestio, ut liquet eae ultima operatione quae prorsus eadem est eum operatione decimae sextae primi. unde etiam uti postea Canone ibidem tradito. Secundo, sumit huiusmodi quadratos aequilibus interuallis distantes , quia . inde sequitur ipsos tres nummos quaesit , qui bini hos quadratos constituunt , distate etiam inter se interuallis aequaliis hus . vi postulat quaestio. Quod pendet a tali propositione,
Si fuerint tres numeri, qui bini constituant summas aequalibus interuallis distis tes , & ipsi numeri aequalibus distabunt interuallis, & e conuerso.
A, n. C a Siri tres Λ B C. quorum Α Β simul faciant D. At Α C simul eomponant E. de D Eth si, BC. simul constituant E sintque DEF. aequalibus distantes interuallis. Dieo se I' s' ipsos ΑΒ C. aequalibu, interuallis distate, imo iisdem pioisus quibus distant ipsi D E F. Etenim quia idem A. additus utrique B & C. facit D N E. erit idem interuallum inter D & E.
quod est inter B&C. nam idem numerus duobus inaequalibus additus, summas saeit eodem interuallo inaequales. Similitet quia idem C. additus utrique Α & B. componit ipsos E & F. erit ean dem ob causam, idem interuallum ipsorum E F. quod est ipsorum Α B. Quare constat propositum. unde etiam innotescit iuuersio illa ordinis de qua loquitur Diophantus, nam primus S seeundus constituunt D. At secundus & tertius faciunt FiΑe demum tritius ti primus componunt E. Quare&ipse in quadratis inuentis ordinem in uertit, vult enim primum quadratum esse summam primidi secundi numeri. At tertium quadratum esse summam secundi & tetiti numeri. Αe demum secundum quadratum es e summam tetiij & primi numeri. Tertio numeri quadrato aequandi N. - . a. latus fingit Diophantus I N. - g. tali arte ut resolueudo hypostases per valorem Numeri, fiant quadrati quaesti quales postulantur, nimirum vi quilibet ipsorum, minor sit semisse iammae eorumdem. Id autem quomodo edita scientiaco sequi possimus non statim apparet. Et χilandet quidem experiendo didieit latus fictilium esse non mitii N. - 6. Sed non docuit modum inueniendi tetminum supra quem consistere debet unit, tum numerus in dicto latere ponendus eum desectu, quem san/ si esse g. existimaula, Hlue inatus est, cum optime fingi possi latus illud i N. - . ut mox patebit. Itaque ut rem a su damentis aperiamus. Quia si sint tres numeri quotum quilibet minoi si semisse summa ill rum, hoe idem est . atque si duo quilibet ex ipsis maiores sint reliquo ut malit sessum est. Arduo quilibet maiores erunt reliquo, si duo minores simul superent maximum. Eo redacti Q
mus ut inueniamus tres quadratos in medietate Arithmetica, ut medius & minimus simul mee. dant maximum est autem minimus I Q. medius a N. - I. Horum ergo summa a
185쪽
a N. - I. debet esse maior maximo qui est I Q. - N. a di auserendo vitinque similia, temanet maior quIna a N. -- I. qua aquatione resoluta, fit I N. maior quam a. a - I. seu quam a . Quamobrem m fingendo latere quadrati a Q. - 4 N - a. curandum est ut valor numeri non sit minor quam a Atqui varie Numeri fiet a quodam quadrato, multato binario, & diuiso per duplum sui latetis quaternarici auetum. Inueniendus ergo est huiusmodi quadratus. Ponatur is I Q Igitur ra: non minor esse debet quam 2 . di omnia diicendo in a N. - 4. fit 1 - - a non minor quam 3 N. - o. & tandem Imnon minor quam s N. - ia. mare aequabimus Inumero paulo maiori quains N. - ita puta s N. -- r . N fieti N. 7. Itaque in latere sesitio ponetiatur unitates non minores quam . Quod si fingatut latus illud a N. - . fici quadratus i N. - - 4s. aequalis I - N. - a. & set I N. E. sunt ergo quaesiti quadrati aro9. 4221. 6a i. Hine ad solueudum hoe lemma elieitur huiusmodi Canon. Sume quemuιs numerum non mavorem quam 7. ct eius quiadria tim binario mirarum δικιῶρον δε- plum sus ut is quale ario auctam , quotientis quiad Ius est minimias quo ιον-. cti si addas duplam si I feris Onilate uestim, fiet seeundus, ct hvic si addas i.em a me a tam , far arentia. semel autem inuentis tribus huiusmodi quadratus, repetientue alii infiniti idem prastantes, si Iam inuenit per eundem aliquem quadratum multiplicentur vel dividantur, nam fient quadrati aequalibus quoque interuallis distantes , ut iam monuimus ad vigesimam secundi, quae causa est cui Diophantus Onaisso cominum denominatore, solis viariir numeratoribus. Denique hoc lemiamate expedito, soluetur iam ipsa quaestio per Canonem deeimam-sextam primi , ut euidens est. se inuentis quadratis aeto . ras. 6243. horum summam cape set Ia673. euius semims ε; l. vnde auferendo sgillatim eosdem quadratos, remanent ordine inuerso quaesiti numeri Aia8 4. alia
DA τ o aliquo numero, inuenire tres
alios, ut compositus ex binis qui buslibet adsumpto dato numero faciat quadratum; sed & summa trium dato numero adiecto faciat quadratum. Esto datus numerus 3. Compositus autem ex duobus primis sit I N. - r.
adscito 3. faciat quadratum. Duo vero deinceps sint r. 6 Ν. - 6. Tres autem simul r - - 8 N. - 3. ut & hi adsumpto 3.faciant quadratum. Et quoniam trium summa est i Ἀ- 8 N. -- 13. quorum primi duo suiu I - - N. - I, Relinquitur utique tertius qN. - II. Rursus quoniam tres simul sunt i in- . 8M- I3. quorum secundus & tertius sunt r. - . S. N. -- 6. relinquitur utique primus a N. - - 7. sed & primus & secundus sunt I N. - I relinquitur ergo se cundus I -- a N - 6. Superest ut primus & tertius adscito 3. faciant quadratum. Sed primus & tertius adscito 3. Aciunt 6 N. - χχ. Haec ergo aequantur quadrato. Esto is Ioo fit i N. 13. Erit igitur primus 33. secundus I89. tertius 6 . &m tisiacuitu proposito.
186쪽
Arithmeticorum Liber III. . IOI
QV κ monet Xilat et de positionum varietate, vetissima sunt. Sed allucinatur eam ait numerum o N. -- 22. aequati posse cuilibet quadrato maiori quam aet. Nam oportet talem qua dratum deligi a quo auferendo aet. & residuum per s. diuidendo tiat quotiens euius quadratus auctus duplo sui lateris luperet 6. aliter habeete non posset secundus numerus qui positus est I Q. - a N. - o. Ita si ponas 6 N. - sta aequari quadrato as. secundus numerras inuenietur minor nihil . Qua. mobrem iumendus est quadratus 352 vel quilibet alius maior qu a 36. vi certa ratione saeit 8 e-- cindi potest. Etenim quia i a N. debent excedete 6. hae atquatione reioluta, si I N. maior quam B 7- I. seu non minor quam Isit autem valot numeri, ut dictum est 1 quodam quadrato auferendo aa. de tesiduum diuidendo per 5. quare quaeratur huiusmodi quadratus, & esto I Q Igitur i. non minor esse debet quam isti tandem I inreperitur non minor quam 3as qualis est 36. N alius quilibet supra 364 .
modo inuenienrisint 4 nameri oeompositas ex binis quibastibet adsumpto dato n mero conficiat quadratum inuenimus ad propositionem 3. tibri I.
DA τ o aliquo numer , inuenire tres alios , ut compositus ex duobus quibuslibet dempto dato numero faciat ruadratum, sed & trium summa detractoato numero faciat quadratum. Esto rursus datus numerus 3. Ponatur compositus ex duobus primis I Q. --3. Vt detracto 3. faciat quadratum. Duo verb deinceps sint I a N. - . Trium vero summa I, - N. - - 7. ut & hi dempto 3. faciant quadratum. Et quoniam summa trium est I - N. -- 7. quorum primus & secundus faciunt I. Ἐ- 3. re linquitur tertius N. -- q. Rursus quia secundus & tertius sunt I Q - 2 N. - q. quorum tertius est N. -- Α. relinquitur secundus I Q a N. sunt autem primus& secundus I -- 3. quorum secundus est r-- 1 N. re Iinquitur ergo primm 2 N. - 3 oportet itaque tertium & primum detracto a. facere quadratum. Sed tertius cum primo, detriato 3. iacit 6 N. -- q. Haec igitur aequantur quadrato.
Estois 64. & fit 1 N. io. Ad positiones. Erit primus 23. secundus 8o. tertius εε.& satisfaciunt quaestioni. AP I Θ Μ Ο Υ Φινος δε nuc προσκορε
III c quoque lapsus est XiIander elim putauit numerum A N. - 4. aequa i potuisse Duadrat is sic enim secundus qui positus erat 1 - α N. Inuenitur aequalis nihilo. Quare determinandum est de huiusmodi quadrato, hae arte. Vt I in si maior quam a N. Oportet ut ue I Amatorem esse quam a. Itaque quia aequando quadrato 6 N. - . fit valor Numeri , quodam quadrato auferendo . & residuum pet s. diuidendo 2 Eo redacti sumus vi inueniamus quadratum qui multatus quaternario, & per s. diuisus det quotientem maiorem qu m I. Esto is a Q. Igitur maior est quam et & tandem I Q reperitur maloi quam 16. Quamobrem numerus ε N. - 4. aequandus erit quadrato euilibet maior quam Is.
187쪽
ara κοDaimui ad tertiam obri s. docebunt quomo O inseniendisnt 4. numeri, 3. orum bini sultibet sumpti dempto dato numero conficiant quadratam.
L v ε N i R a tres numeros ut quem bi ni mutua multiplicatione producunt, is adscito dato numero faciat quadratum. Datus esto ra. Quoniam igitur postulatur Vt productus ex primo in secundum ad L. cito 12. iaciat quadratum, si ab aliquo quadrato dempsero ra. habebo productum ex primo in secundiim. Et ho itaque quadratus 13. Si ergo ab eo detraxero Ir. reliquum habebo produetum e primo in secundum, nempe r3. Esto igitur prunus I3. secundus autem I. & statuantur innumeris, ita tamen ut productum multiplicationis eorum sitia. &sit primus I N. at secundus fit. Itaque si ab altero quadrato detraxero Ia. habe productum ex secundo in tertium. Esto a quadrato I f. relinquitur ergo productus ex secundo in tertium statuantur riar sus in numeris, ita ut productum multiplicationis porum sit 4. Cum ergo secundus sit ri. erit utique tertius 4 N. Oportet igitur de productum ex primo in tertium addito is fieri quadratam. Sed productus ex primo in tertium est Π Proinde 3a λ- II. aequλntur quatiato. Et si i3. numerus pro primo positus qua . drasus fuisset, facilis esset aequatio. Quod cum non sit, eo res deducta est in duo numeri sint inueniendi , ut productum multiplicationis eorum sit quadrδtus, Scpraeterea uterque cum Ιχ. faciat quadratum. Sed dc u loco numerorum quadratos inueniam, ij sua multiplicatione quadratum producent. Oportet ergo inuenire duos quadrato S quorum uterque adscito ra. faciat quadratum. Hoc autem
facile est, & aequationem expediet, &est alter . alter γ uterque enim additora. iacit quadratum. His repertis redeo ad id quod initio actum erat , depono primum N. secundum S. tertium N. Restat ut productus ex priino in tertium
188쪽
HAE c quastio eum sequente est de earum numero quas pro deplorati x reliquit Illander, inquam eum multa infelieiter commentus sit, textum tamen Diophanti leuiter admoduin deprauattim restituere non potuit. Sanὸ tota deprauatio in era est, quod seMimnem Numericam . . iiii peritus librarius ambigue semper expressit, nam primo imo sie eam exhibet eo et M. deaede palsine eum tamen aliarum fractionum more potius isset set exprimenda M . Hine erroris anuinaeeipiens xi lander, vertit ubique IN. loco .lk. unde in disseultates inextricabiles seipsum coniceit.
. Porth dupliciter variati possunt positione,& solutio, nam to eo ipsorum 4. & . infiniti alii qu Arati inueniri per undecimam secundi , qui adscito Ix quadratum iacianti Deinde numeri quadra.
to aquandi I ra. latus diuersim 8 fingi potest, ridelicet ab I N. - tot vilitatibus, qua. rum quia latus sit maior qu,m II. Diophantus aequauit quadrato k latere I N. - 3. unde fit I N. :. suntque quaesiti numeri a. 2 l. I l . Plaeet etiam in artis specimen aliam tradere analysim, Diophantaea utique non deteriorem. quam exeogitaueram priusquant mihi contigisset Graeum videre Codicem. Sit datas. numerusuo. quartatur quadratus qui adsumpto I . faciat quadratum. Is erit I Im ergo fatuantur. Pri
mut & secundus duo quilibet Numeri , . quotum mutuo ductu fiat IO..di si inimus L seeundus a. nam euidens est se uni parti propositi satisfieri. T. miverti statuatur pra toetjo certus quadratorum numerus. qui ductus intecundum a. faciat quadratum 'puta ac ves 8 .el dites
tui ei desectus tot unitatum, ut hae mltiplicata per eundem secundum num eiu in a. Latiant catum numerum etc. Hune voltatum numerum tem 4 diuidendo uo. per I unde fit Io. Quam rem p
velut tertius et R. semim eo ductu in secundum a fit 4 Q m. cui addendo datum num xum dici. fit quadratus η Q Superest ut productus primi in tertium adsumpto Im faciat quadratum faeie autem r6 ε . Hoc etso aequatur quadrat . Esto eius latus 4 N. - a. fiet I N. q. sunt argo quaesiti numeri R a. Ia. de misiaciunt proposis. a Hae ratione Ope an poni possunt primus S seeundu duo quilibet numeri. quorum mutuo ductu fiat quadratus qui adsumpto dato numero quia tarum faciat. Vnde iam duplex oritur vasmatio, tum quia huiusmodi diuersi quadrati infiniti reperientur per undecimam secundi tum quia eodem sumpto quadrato sumentur alii atque alij duo numeri, quorum mutuo ductu is sae. Peae. aerea in livpostasi tertii poni potest quilibet quadratorum numerus, qui ad unitates secundi ta ticinem habeat quadrati ad quadratum, ut in nostra hypothesi, poni poterat tertius non solisma Qrro. sed etiam 8 . - Io. 3a Q fio. Se. Denique ultimi quadrati latus puta ipsus is Q εo. diuers modἡ fingi potest. ni initum N - quotlibet imitatibus. Vnde sane in nita solutionum diuelsarum suppetit sy ua. Canones ex his operationibus elici possent, sed non adeo expediti. Quata praestat duos es oseugamiissimos afferte, qui ex quibusdam plopositionibus libit ieeundi porismatum manifest/ dedu-ςuntur. Primus itaque Canon esto Catum merum aufer a Asbus quaisaris, Drom tis residuum Luide per Atera alta I ferum eorundem quadratorum , auo quatientes una eum prissim luterem inter no quassos exhiis
verbi gratia datus numerus esto Ia. aufer eum a quadratis 36. N sq. remanent 24. N o. quae si diuidas per a. inretustium laterum, fient quoirentes 1 a & 26. sunt ergo quaesti numeri ra. 26. a. Ηvius Cisonis dem stratiosae ilis est. Nam es ipsa constructione matii festum est, dudici a. in ipsoara. &as.& produistis et .& sa. addito eodem 1 a. fieri quadratos 36. R 64. Rursus productum ex Ia. in χε. adsumpto iet. Aeere quadratum , demonstratum est undeeima secundi potismatum. Quamobrem ex omni mrte patet propositum. Seeundus autem Canon est. Marum nume-m au' a Δομι quadratis , ut Hiis rasidiatim Histatim diuid. per Are alium arerum dua quotientes, una cam Δρυμmma ipsistim , mirata svradacta inseruatio, q- μ
Itaque duci ptimi numeri per hune canonem reperti, sunt iidem eum duobus primis per superiorem Canonem inuentis, sed tertius diuersus e s Ita dato eodem ra. 3: sumptis iisdem quadratis is N 6 . sent vi prius primus λ secundus ta. & et s. sed erit tertius duplum summae illotum multatum hinatio, nimirum . Huius Canonis demonstratio integra continetur propositione decima tertia
189쪽
seei,ndi potitinatum. Caeterem utriusque Canonis simul auxilio licebit prepositionem extendere ad quatuor numeros. N pulcherrimum Noblema nemine hactenus tesuatum en date. nis
nIInuenire quatuor numms . ut qpi producitur edi binorum mutuo du. adscito dato timneto fiat quadratus. Datus esto 3. .
Finge duos quadratos ab I N. - tot visitatibus quarum , quadrati superent 3. ita ut interuat Ium earundem unitatum fit quadratus numerus. Verbi gratiae finge latera quadratorum 1 N. - a&rN. .Φ 6. quorum interuallum est quadratus A. erunt quadrati - N. - 4. & i Q - - IaN -- 36. a quibus auset sigillatim datum numerum 3 S residua diuide sigillatim per inter- eallum laterum 4. Et statue primum quassitorum I N. - ' Secundum et - . 3 N. 8 . Tettium duplum iii inmae utriusque malimum interuallo . nimirum I -- 8 N. - 13. licet ini productus ex binorum multiplicatione adscito 3. quadratux fit per secundum Canonem. P natur denique quartus ipsum interuallum raterum A. si enim primus secundus, de quartus si bini inter se dueantur, & producto datur I. fit quadratus per primum Canonem. Superest igitur ut producto ex totio in quartum addendo 3. fiat quadratus. Fit autem A. Q. - - II. N. - ss. Hoc ergo aequatur quadrato. Frigo eius latus abs a N. tot unitatibus quarum quadratus superet 1s.sitque illiud a N. - ro. fit i N. I. Ad hypostases. Eruntquaesita numeri P . HL ijs & 4. qui satis is faciunt proposito. Nam ex primo in tres reliquos qui producuntur. sigillatim adsumpto 3. faciunt quadratos vitii. m. quorum latera tib κ . q. At ex secundo in tertium & quartum n ducti, adserito 3. iaciunt quadratos ' ηιν de 'Ed quorum latera in & Dinique Ex tertio in quartum qui producitur. adscito 3. qua stacum facie is cuius latus V. Aliter. Ex quadratis qui exponunt ut initio ponatur alter quilibet quadratus numeras maior dato numero 3. puta Sc fingatur alter ab I N. latere prioris quadrati, nimirum ab I N. -- a. fiet quadratus Ια-- 4N -- q. Tum ab utroque quadrato aularatur 3. & residua dividantur petinteruallum laterum quod est IN. Sc statuatur Primus quaesitorum τα. secundus IN. - - , Tertius horum taninae duplum multatum interuallo laterum I N. nimirum IN. -R - ' . artus autem ipsum interuallum laterum, nimirum I N. Constat itaque ex utroque Canone omia.
ἴ a. At ex secundo in tertium 3c quartum producti, adicito 3. iaciunt quadratos K de . quotum latera 'su δ: Denique productu tertio in quartum, adsumpto 3. quadratum secit
Utraque opera elegans est, Ec multam recipit varietatem, ut curioso Iectori considerandum relinquo. Videtur .pse Dioplianti an hoe emblemate Misisse. ut apparet ex vigesima prima quarti. Qua quaerit quatum Numeros, ut productus ex binorum mutuo ductu adscita mitate quadratum saeiat. Nam eius operatio cuilibet numero applicari nequit, sed solis quadratis, ut ibi docebimus.
ὀΜ. νιηις ἡ τριτος εμι ά visitIN v a N i R a tres numeros ut quem bini mutua multiplicatione producunt, multatus dato numero iaciat qua diatum. Sit datus Io. Quando volumus productum ex primo in secundum dempto Io. sacere quadratum, si alicui quadrato adieceroro. habebo illumproductiim. Esto quadrato . erit ergo productus ex primo in secundum i . sit primus 1 . secundus igitur erit I. Statuantur rursus in numeris, ita tamen ut productus multiplicationis faciat I . &esto primus I . N. secundus ... Rursus si alteri qua drato adiecero Io. habebo productum ex secundo in tert D. Adiiciatur quadrato 9. erit ergo productus ex secundo in ter-
190쪽
tium I9. proinde cum secundus sit xk.relinquitur tertius I9 N. Oportet igitur &productum ex primo in tertium demptoro . facere qLadratum. Facit autem 266. Q Io. haec ergo aequantur quadrato.
Quare ob ea quae in praecedenti dicta sunt, eo deuontum est ut inueniendi sint duo quadrati , quorum uterque dempto Io. iaciat quadratum. Hoc autem facilὰ fit , inuenies enim si quaeras quis quadratus dempto io. iaciat quadratum , dc quoniam si cui numero additur I. & sum. mae dimidium in seducitur, & a sic facto quadrato numerus initio sumptus detrahitur, relinquitur rurim quadratus. Addo i. ad io. 8c summae seminem nimirum s , duco in se, de a producto dici. Ruseroio. & habeo quadratum sto. a latere Pono igitur primum 3o tertium au tem I inoportet ergo ut &abi indempto I . remaneat quadratus. Quare I Q. IO. aequatur quadrato. Formo quadratum a latere IN. - a. nimirum a Q. -- Φ. - ΑN. & fiti N. 3 :. Tertius igitur qui positus erat I Q. erit in est autem & primus 3o
. nam uterque dempto Io. remanet quadratus. Venio ad id quod initio quaerebatur. Et statuo primum 3o. : N. secvndum TN. tertium Ia ἰ N. Superest itaque ut productus ex primo in tertium dempto IO. faciat quadratum. Atqui productus ille est 3 o Hic ergo dempto Io. aequatur quadrato, & ut quadrati integrisnt nultiplicemus eos per I σ. ergo Syzy. ,-Iso. aequantur quadrato a latere 7 N. - a. qui eii 3ρ23 Q. - - -w8 N. &fiti N. ix. Statueram primum Io N. erit igitur .. secundum . u. erit igitur s. tertium ra. ἰ N. is erit ir constat propostum
FA n s v sese dici possint de hae quΣstione quae de praecedente diista sunt. Operario & 1bluti
totidem modis potest vatiari. Nam infiniti quadrati tepetientur pet undecimam feeisndi. qua multati numero Io. quadratum relinquant. Et vltimi quadrati sya9. Q. - D o. utus ditie sim dfingi potest. nimirum N. - quotlibet unitatibus. Caeteriam Diophantus iis pendiim
tena ad undeeimam seeundi, hoc utitur lemmate. . .. .d . . O
Si dato numero addatur unitas , & a mimae semissili quadrato auferatu datus numerus, relinquitur quadratus. ii i inara. a