장음표시 사용
191쪽
Sit datus numerus A B. eui addatur undas B C. & totius A C semissis esto A D. di eo quadratum ipsius Α D multatum numero Α B. relinquere quadratum. ' Etenim quadratus A D aequalis est producto ex Α B in B C una cum quadrato ipsius DB. Sed productus G Α B in B C aequatur ipsi ΑΒ, quia BC est unitas. Igitur ΑΒ & quadratus E, D B simul aequantur quadrato ex A D. Quare si a quadrato ex A D auferatur Α B. relinque tur quadratus ex D B. Quod erat ostendendum. Leet etiam per nostram analysin soluere quaestionem hae arte. Datus esto aci. Quaeratur quadratus a quo auferendo eto. supersit quadratus, puta 26. & statuantur pto primo & secundo quaestorum numerorum , duo quilibet quorum mutuo ductu fiat 36. sit ergo primus y. seeundus A. Tum ponatur tertius quilibet quadratorum numerus, qui ductus in secundum A. quadratum faciat, putar in eique adite iantur tot unitates ut ductae in eundem secundum A. saeiant datum numerum aci. Et esto totus lettius i Q - . s. se enim duabus propositi partibus satis fit. Restat ut productus etiprimo in tertium detracto Io. faciat quadratum, facit autem s Q - - 23. hoc ergo aquatur quadrato , estolatus illius 3 N. - t. fiet I N. q. sunt ergo quaesti numeri s. .eti. N eonstat. Sed digestiuum Canonem eliciemus ex libro secundo potismatum . motum primus est. Nisum semerum adde Aobus quaisiatis , Utramae summam iuuari Ritatim per inte istam L
eerum, avis qtiarientes una cum eodem interuatis, qua fros exhibent nameros.
Vt s datus sit ro. adde Io. quadratis Io. & 36. sunt summae 26. & 46. quas si diuidas per a. inte villum laterum, fiunt 13. & 23. duo ex quaesitis numeris, quorum tertius est ipsum interuallum late um a. Canonis huius demonstratio in promptu est. Nam constat per eonstructionem ducto a. in ipsos n. N et . fieri et s. & 46. a quibus auferendo datum nummum Io. remanent quadrati Is &36. At productum ex I3. in 23. detracto 1 o. esse quadratum, Ostelisum est duodecima secundi potismatum. Secundus Canon erit. Datum numerum avia Labus quadratas , vιramque summam Laide per interualium late mi dia γι/ientes una eum duo summa illorum mutiata eaiam interuallo qti si os exbibent mmeros.
Itaque sumptis eisdem quadratis, duo primi numeri coincident eum duobus primis per praec defitem Cisonem inuentis. Tettius autem diuersus erit. Nam sumptis ut prius quadratis Io. ωU. fient duci ptimi vi supta r3. Si 23. At lettius erit ro. Huius autem Canonis demonstratio habetur decima quarta secundi potismatum. Porro utriusque Canonis ope soluetur huiusmodi quaestio.
Inuenire quatuor numeros, ut prodimus ex binorum mutua multiplicatione de tracto quouis dato numero, quadratus maneat.
Datus esto 1 o. Smge duos quadratos, altetum ab t N. - aliquo quadrato numero, puta ab I N. 4. erunt quadrati I in& I '8 N. - 16. His adde Dinatim datum numerum Io. N Tummas diuide per interuallum raterum 4. Erit ergo primus quaestorum - . b Seeundus V -- a N. Tettius holum summa duplum multatum eodem interuallo nimirum I Q I -- η N. Quartus denique erit idem interuallum , videlicet 4. Sic enim ex v roque Canone constat quinque pro posio partibus abundὸ Tatisseti. Itestat ut productus ex tertio in quartum detracto Io. relinquatur qua diatus. Relinquit ut autem 6 - io N. Hoe ereo aequatur quadrato. Esto eius latus - o. set a N. s. Ad eositiones. Erunt quaesti numeri qui satissaeiunt postulatis. Nam ex primo in reliquos tres qui moducuntur, detracto 1 . iaciunt quadratos 'm'. c., . quotum latest l. At ploducti ex secundo in tertium & quatium, detracto M. Reiune quadratos & T quorum latera di N. Denique productus ex tertio in quartum, detractoro. quadratum iacit cuius latus V.
. Aliter. Ex quadratis qui exponuntur initio ponatur alter, quilibet quadratus, puta I. Alter vero fingatur ab i N. - latere plioris, nimirum abi'N. - . i. erit is a N. - r Tum utriqu quadrato addatur datus numerus to. S summa diu idantur sgillatim per interuallum laterum I NMEt statuatur primus quaesitorum Η. . Secundus I N. - a -- A. Tertius horum summae duplum multatum interuallo latetum. videlicet i N. - ': . Quartus denique ipsum interuallum laterum , puta I N. Itaque patet ex utroque Caii ne quinque postulati pallibus esse satisfactum. Ressat ergo ut productus ex tertio in quattum detracto Io. maneat quadratus. Manet autem -- 4 N. - Hoc ergo aequatur quadrato. sit eius latus I N. - 8. fit IN. a. Ad postiones. sume mist Dumeri. P. H. l. qui soluunt quaestionem. Etenim ex in ptimo intres reliquos qui pria ducuntur . detra Io. faciunt quadratos . '. i. quorum latera V. . I. At producti ex secundo in tertium& quinum, detracto io. manent quastati I & et . quotum latoa & l. Deniqueri: reti in quatum qui pro dueitur, detracto io. relinquit quadratum cuius latus V. Quomodo autem repetiendi sint tres numeri, ut productus ex hinorum multiplicatione detra ctus dato numeto,' relinquat quadratum, nondum in uniuersum assequi licu t, sed soluci quaestionem huiusmodi, cum datus numerus vel quadratus est, vel ex duobus quadratis eoinpositus.
192쪽
Sit enim datus sto. sumatur istis quadratorum , ex quibus Io. componitur , puta 36. N saluantur primus & secundus quaesi torum , duo quilibet numeri quotum mutuo ductu fiat 16. puta 8. N a. tertius vero ponatur talis unitatum numerus, qui ductus in secundum a. faciat datum numerum Io. est is numerus Io. cui addatut desectus tot Quadratorum, vi secundo et . in eos ducto fiat quadiatus. Statuatur ergo tertius io - 2 insic enim duabus proposti partibus satisfit. Restit ut prod eius ex primo ita tertiuin detractus ao relinquat quadratum. Sed relinquit 16 Hoe ergo aequatur quadrato cuius latus fingetur A N. - tot vilitatibus, ut per valotem Numeri te hiendoli1 potases sat a minor quam s. quia scilicet tertius positus est io. - a in Itaque cima quadratus debeat esse minor quant s. oportet valorem numeri minorem esse quam a b fiet autem valor N meti a quodam quadrato adsumente clo. R diuiso per octupluin sui lateris. Quaerendus ergo est quadratus qui adsumens clo. & diuisus per octu plum sui lateris, det quotientem minorem qu mar sit is I Q Igitur ra ς . minor est quam et & omnia ducendo in g N. st i Q. - 6o minotquam i8 N. Quare atquemus I 8 N. numero paulo maiori qu3m I α - 6O. puta numero i-- 6s. fiet a N. s. vel 13. Proinde Oportet latus quadrati fingere 4 N. - tot unitatibus , quae non desciant 1 s. nec excedant i3. fingatur 4 N. - s. set I N. F. sunt igitur tres quaesiti g. a. it.&constat.
IN vs Ni Ra tres numeros ut productus ex binorum multiplicatione adiecto reliquo quadratum faciat. Quando quaeri mus productum ex primo in secundum addito tertio facere quadratum, si exposito aliquo quadrato, partem illius aliquam statuamus pro tertio, residuum autem pro producto multiplicationis primi di secundi unum postulatorum praeitabimus. Formetur quadratus ab I. N. - 3. erit utique I -- s N. - q. esto itaque tertius y. relinquitur ergo pro ductus ex primo in secundum I -- έN. Ponatur primus Ire erit igitur sec-dus IN. - 6. oportet ergo & productum ex secundo in tertium adsumpto prurao, hoc est Io N. -- q. aequari quadrato, dc praeterea productum ex tertio in primum adsumpto secundo, nempe IoN. -- 6. aequari quadrato, bc fit duplicata aequalitas. Elt autem ipsorum interuallum 48. Quamobrem oportet inuenire duos quadratos quorum interuallum sit
8. Quod facile est, de infinitis modis fieri
potest; estque minor I s. maior 6 . Vtri horum aequationem accommodemus, reperiemus quantus sit 1 N. si enim dicamus Sq. aequari maiori, pura Io N. - inuenitur IN. I. Rursus si dicamus minorem Is. aequari Io N. -- 6. fit etiam i N. i. Ad positiones. Erit primus I.secundus 7. ter
193쪽
BEua' monet Xilandet hic duplicem contingete posse variationem. Prime enim Quadratus qui ponitur fieri ex producto ptimi in secundum , adicito tertio fingi potesta eertis numeris -- quotlibet unitatibus , finxit Diophantus ab I N. - sed fingere potuisset ab I N. - a. vel x N. . vel etiam a N. --3.2N. - 4. dic. Deinde duplicata aequalitas infinitis modo retolui P terat , suinendo sei licet duos quoslibet quadratos, quorum interuallum sit o. adhibita tamen cautione quam tradimus ad duodecimam secundi, ut videlicet maiores sint sumpti quadrati numerisy . & 6. Vetum quod praecipuum est, non attigit Xilander, quomodo nimirum positiones primi& seeundi ita instituat Diophantus, ut tandem in utroque numero quadrato aequando reperiatur idem Numerorum numerus, puta Io N. Hoc enim si non curasset, inexplicabilis suisset aequatio. Cum enim unitates 1 .8c 6. nec aequales sint, nec quadrati numeri, oportuit numerum Numetoiarum utrobique eundem reperiri. Itaque eum productus ex primo in secundum positus siti - N. ex infinitis numeris quorum mutuo ductu gigni poterat i Q. - 6 N. tales deligendi fuerunt, ut in eorum utroque idem esset numerorum Numerus, quales lumpsit Diophantus i N. di i N. - 6. nee alii proposito satisfacientes sumi potuissent, quia ut ductum est, oportet ducendo eundem tertium p. in utrumlibet ipsorum. & producto addendo reliquum, fieri utrobique eundem Numerorum numerum , quod fieri non posset, si Numerorum numeri primi & secundi non essent
IN v a N i R h tres numeros , Vt productus ex binorum multiplicatione dempto reliquo faciat quadratum. Po- Iiatur primus I N. secundus I N. -- q. Productus ipsorum multiplicatione erit I N. Oportet igitur hunc dempto tertio facere quadratum, si ergo ponamus tertium N. fatisfactum erit uni postulatorum. Superest itaque vi&pro . ductus ex secundo in tertium dempto pti no faciat quadratum, & praeterea productus ex tertio in primum dempto secundo faciat quadratum. Sed productus ex secundo in tertium dempto primo est 4 II N. aequalis quadrato. At productus ex tertio in primum dempto secundo est Q- I N. - . aequaliS quadrato. Et occurrit rursus duplicata aequalitas. Clini itaque interuallum ipsorum sit ire N. - Quaero duos numeTOS, quorum mutuo ductu fiat 16 N. - sunt au-xem 4. & N. - - I. Rursus ergo vel summae sic missis quadratus aequatur maiori et interualli semissis quadratus aequatur minori ; dc fit 1 N. . Erit igitur primus B secundus E . tertius constat propositu.
NON temere, ut male arbitratur Xilander, secundum numerum posuit Diophantus I N. - . Nam necesse est unitates seeundi numeri, quadratum esse numerum, puta 4. vel p. vel I6.&e. Cuius rei ratio ex ipsemet operatione subtilius considerata, statius innotescit. Tertius enim numerus semper aequalem Numeriarum multitudinem continet, unitatibus in secundo I N. - - 4.
194쪽
vel IN. -- 9.&e. erit tertius 4 N. vel f N.&c. Quamobrem tui sus ex ductu tertii tam in ptimum quam in secundum, in quorum utroque est I N. sent totidem quadrati, ut vides in hypothesi Dio. phanti , fieri u si secundus posuis esset i N. - s. serent f in Si autem in numeris quadrato aequandis in Q - is N. & Q - i N. - q. numerus quadratorum 4. non esset quadratus, explicari non posset duilicata aequalitas. Nam si, ut iacit Xilando, ponatur seeundus a N. -- Io. atque adeo tertius i N. nent tandem quadrato aequandi Io Q -- 99 N. & Io -I N. - Io. u cumque autem fingas quadratorum latera nunquam produces Io. cum nullus sit numerus qui in seductus esiiciat 1 o. unde necesse erit in aequationem complexam deueniti. S duas species, uni aeqv les remanere, ac proinde solutionem ut plurimum contingere irrationalem. Praeterea etiam titὸ facta positione secundi numeri, statuendo scilicet in eo unitatum numerum uadratum aduerte, posse te adhuc in easdem cautes impingere, nisi magna eum cautione seligas
uos numeros, quorum mutuo ductu fiat interuallum numerorum quaaraici aequandorum. Heianim in Diophantata hypothesi, ubi interuallum est I6N. - licet id ex infinitorum numerorum mutuo ductu produei possit, nulli tamen idonei sunt quaestioni soluendae praeter N. -- I. N q. senim verbi gratia, sumas a N. -- .&8. horum summae semissis quadratus, puta I - 8ri N. -- N aequabitur in Q . . is N unde siet solutio illationalis. Itaque tales seligendi sunt numeri mutuo duictu producentes propositum interuallum , ut in eorum summa contineatur duplum lateris Quadratorum, qui in nume is quadrato aequandis reperiuntur. Vt in eadem hypothesi, ubi quadratorum numerus est 4 Q uius latus a N. cuius duplum 4 N. Oportet tales deligi numeros, quorum mutuo ductu fiat i5 N. - q. ut eorum summa contineantur 4 N. Quia vero patet primum illorum neeessario constare debere ex Numetis & unitatibus, secundum autem ex solis unitatibus, sequitur in ptimo necesse ine constitui N. atque adeo ut ex secundo in primum sane Is N oportet secundum esse A. Vt autem praeter as N. fiant etiam 4. cum totum interuallum sitI6 N. - P necesse est primum esse AN. -- I. secundum A. Quoniam autem eodem artificio is insequentibus utendum erit, vires tyronum memoriae firmius inhaereat, age alio eam exem sciillustremus. Posito ptimo numerorum quaesitorum I N. st secundus I N. - s. tertius s N. ducto ergo tertio in primum, & inde ablato secundo remanet s. Q I N. - s. aequandus quadrato. Rursus ducto tertio in secundum, & inde ablato primo remanet y Q -- 8O N. aequandus quoque quadrato. Notum interuallum est gi N. - . s. Quare sunt inueniendi duo numeri , quorum mutuo ductu id sat eum cautione supta explicata. Itaque eum quadratorum numerus sit s. in cuius latus 3 N. cuius duplum 6 N. Ohortet in ptimo quastotum statui 6. N. Quamobrem ut ex secundo in primum sam 81 N. necesse est secundum est Ia s. Rursus autem ut sat alia pars interualli, puta s. euidens est primum debere esse 5 N. - secundum aget. Reliquam Operationem absolue , si vacat. Caeteritin moneo totam solutionunt diuessitatem, otiti ex illo quadrato qui ponitur in seeundo numero. Nam eodem ibidem posito quadrato, licet primus ponatur a N. vel 3 N. vel 4 N. Re. e dem tamen semper continget solutio. Quod uno aut stero exemplo fiet manifestum. Ponatur pH-mus a N. secundus a N. H. q. tertius 8 N. productus ex seeundo in tertium abiecto primo fit is in - 3O N. aequandus quadrato. Et rursus pliauctus ex primo in tertium adiecto seeundo fit 16 Q a N. - . aequandus etiam quadrato. Horum interuallum est 32 N. - 4.qui fit ex8 N. in su enim soli apti sunt proposito ob causas supra traditas.Horum summae semissis quadratus est Is α-- Io N. -- 2 aequalis Io Q. - aci N.&nt I N. l. sunt ergo quasiti numeri P. s. iidem quos inuenerat Diophantus. Rursus pone pes mum 3 N. secundum 3. N. - . 4. Tertium II N. sent tandem aequanis
di quadrato 36 Q. - s N & as. Q. - 3 N. - . quorum interuallum 48. N. - 4. quod fit ex IIN. - in horum summae semissis quadratus est 36λ -- 3o N. - V qui aquatum 6 Q - 4s N.& fit 1 N. A suntque quaesti numeri, ut prius s.
Denique animaduersione dignum est, qualiscunque numerus Numerorum statuatur pro primo. Dum idem statuatur pro seeundo -- aliquot unitatibus quadratis, & tertius ponatur productus ex primo in unitates secundi, semper contingere in numetis quadrato aequandis , numerum quadrato
rum esse quadratum, ut in Diophanti exemplo in prori mE allatis is Q & 36 Q quod ex necensitate seri, sie demonstrabitur. Esto A numerus Numetotum primi. Et A H. Bunitatibus quadratis esto secundus. Et tertius esto D. productus es A in B. Itaque ut patet ex operationis processu, ex D in A fiet quadratorum numerus qui repetitur in numeris quadrato aequandis, si is E. Hune dico esse quadratum. Nam sump
195쪽
IN v E N a tres numeros, ut productus ex binorum multiplicatione adsumpto reliqui quadrato, iaciat quadr tum. Ponatur primus I N. secundus N.
- 4. tertius autem 1. ut duabus propositi
partibus satisfiat. Superest ut productus ex tertio in primum adsumens quadratum secundi faciat quadratum. Sed productus ex tertio in primum adsumens secundi quadratum facit I 6 -- 33 N. 16. Haec igitur aequanda quadrato, nempe a latere N. - qui est Is Q - 23 - o. N. & fit I N. Erit igitur primus 9. secundus 328. tertius 73. & satisfaciunt quaestioni.
FALLrrv K hἰe etiam X dander existimans positiones pro arbitrio variati posse, nulla adhibita
cautione, hoc enim maniscstae falsiuatis arguitur ipso exemplo quo tuam nititur comprobare sententiam . ait enim licuisse ponere primum L N. secundum IN. - 2. tertium I. Quod nequaquam verum est, nam productus quidem ex primo in secuΠdum adscito quadrato tertii, facit quadratum. Ο - . a N.-i. At productus ex secundo ii tertium adscito quadrato primi facit i Q - rNa. Qui quadratus non eu, cum tamen per ipsas positiones duabus propoliti partibus satisfieri velit Dici 1ntus. Itaque tali attificio ipsas positiones instituemus. Statuatur pro lecundo quilibet numerus Numerorum in quotlibet unitatibus. Et Ponatur primus quadrans Numerorum, tertius Quadrans umtatuin secundi. Sic Diophantus posito secundo N. - 4. posuit primum I N. fecim-dum I. Quod si panas se eundum 4 N. - - 8. erit primus I N. tertius a. Et si ponas secundum S N. - r Eri primus a N. Tettius 3. di sic de alijs. Hoc autem ne quis absque iandamento dictu in
putet, sic demonstratur. - a msit secundus certus Numerorum numerus Α - vnit acidus V.
- y &st C primus, quadrans ipsius Α. sitque D. tertius quadrans ipsiusC2N. Α8 N. - B a. D 3- B es quia C A sunt plani similes. sit medius eorum proportionalisCI 6 Q. - Η N. K9 Eistipiti, scilicet ad C. sub duplus ad A. Similiterque sit F medius L Q - Μ δ N. - P 36- h oh otiionali, inter B D, duplus se ilicet ad D, sub duplus ad B.
Tum dueat ut C in Α Σμ B. & fiat G - Η certus scilicet quadratorum numerus - certo numero Numerorum, ris a te adiiciatur Κ quadratus ipsius D. Dico totum G Η Κ esse quadratum. Quod ut piobetur, oportet ostendere iplos G Κ esse quadratos , R ex eorum latetibus his inuicem ductiso suci H. Et quidem ipse Κ quadratus est ipsius P. ex constructione. ' At G. cum fiat ex mutuo
Is uici e i A sit duplus ipsiu, E. fiet idem Η exE in D bis. Quod erat probandum. Similitet si D
ducatur in A - B. unde fiat M - Ρ. certus scilicet numerus Numerorum in certis unitatibus, hi
me adliniatur L quadratus ipsius C dico totum L M P quadratum esse. Quod iisdem probatur argu mentis. Nam L. ex eoni etione quadratus est ipsius C. Ae P. qui sit ex inu tuo ductu planorum similium B D. quadratu est medii proportionalis F. Denique ut ostensiim est M, qui producitur ex Ain D, producetiit etiam ex C in B. hoc est ex C in F bis. Igitur ex omni parte constat propositum. Ex dictis patet duplici de causa diuersas contingere posse solutiones. Primo prout diuertini odeinstituentur positiones eum tradita cautione. Secundo prout Producti ex primo in tertium adsumentis quadratum secundi latus diuersi modὸ fingetur, ut iam saepe in simili, fieti poste docuimus. Ca terum huius quaestioliis ope, Iieebit & tequentes ab soli iere.
196쪽
α UAESTIO PRIMA. m , D A T v M numerum diuidere in tres numeros, quorum bini mutuo ductu quem producunt, is adscito reliqui quadrato, quadratus fat.
n--superiorein quaestionem inuenti, & starii antist in Numeris. Erunt re quaesiti 9 N. 73 N. 3ag N. N productus ex binorum multiplicatione adscito reliqui quadrato, chra.dratum facit. Ressat ut eorum luminast Io. ramobrem 4 Io N. aequantur io. & fit x N L Zue ςrg. qu siri numera se H in seu g.
IN v EN Ista tres numeros, ut producti ex binorum multiplicatione adscito reli qui quadrato quadratos faciant, oc quadratorum latera datum constituant numerumia et M t 'μ' ri umeri P d imam sextaria inuenti, nimirum o
N. 73 N. 328 N. sic enim prodlicti ex binorum multiplicatione adscito reliqui quadrato, Quadratos iaciunt Io8a I aqO2y. 828I quorum latera 329 N. yyy N. 9I N. Restat ut horum laterum silmina aequetur as. Quare 371 N. aequantur ety & fit I N. Sunt ergo quaesiti numeri r V. '
ram, adscita ipsorum summa quadratum facit. Ponatur itaque primus . secundus s. ut productas eorum multiplicatione quadratus, nempe 36. adscita utriusque summa faciat quadratum. Restat ut de productus ex secundo in tertium , adsci-IO utroque: itemque productus ex tertio in primum utroque adiumpto faciat quadratum. Statuatur tertius I N. fitque productus ex secundo in tertium, utroque adsuinpto Io N - 9. aequandus quadrato. At productus ex tertio in primum adsumens 'trumque si s. N. - . aequalis quadrato. Hic quoque ruris duplicata aequatio occurrit , estque interuallum sN. -- 3. Quaero igitur duos numero quorum mutuo ductu fiat s N. - s. dc stat, hic quidem i N. - r. ille vero s. Atque ut in secundo libro docuimus, vcl summae horum semissis quadratus aequatur maiori r vel interualli seinissis quadratus aequatur minori. Et fit 1 N. 28. Erit igitur pri-
mus . secundus 9. tertius et 8. dc satisfaciunt postulatis. IN RU AE ST IO N E M XVII. . DEMONsTRANDvM est Porisma quod assuinit Diophantus , nimirum. Productys ex multiplicatione duorum quadratorum , quorum latera unitate distant, adscita ipsorum quadratorum summa, quadraturn facit.
197쪽
Sunto quadrati A. B. quorum latera C. D. unitate dissent. Et Productus ex A in B. esto G. euic , Di addendo summam ipsorum A B. fiat H. DicoH esse quadratum. Quia enim inter Α quadratos A B. eadit medius propoletionalis ploductus ex C in D. patet G esse qua. in .ia γ' itratum producti ex C in D. At veto summa quadratorum AB aequatur duplo pro. 3 - 49, ducti ex Cin D. 3e quadrato interualli ipsorum CD, hoe est unitati. Igitur eadem
sumnia quadratorum aequat ut duplo lateris quadrati G unitate aucto. Quamobrem eum addendo, s. i .. Uri Quadrato G duplum sui lateris v natate auetuni fiat H, ' patet hi esse quadratum , cuius latus unitate superat latus ipsius G. Quod erat demonstrandum. Quod autem attinet ad positiones ptimi & secundi numeri quos Diophantus vult esse quadratos continenter proximos, puta & s. allucinat ut etiam Xilander eum putat alios quos ibet numeros potuisse poni per trigesimam primam secundi inuentos. Nam si huiusmodi ponantur qui non siit quadrati, hi quidem vni parti propositi satisfacient, sed duplicata aequalitas ad quam per hanc operationem deuenitur, inexplicabilis erit. Etenim ut patet , nummi pro primo & seeundo positi, sunt iidem eum unitatibus quae teperiuntur tandem in numeris quadrato aquandis, ut in hypothesi Diophanti . cum primum & secundum posuisset q. & s. Inuenit quadrato aequandos io N. s. dis. N. - 4. Qupre eum hic Numerorum numeri sint inaequales, nee habeant rationem quadrati ad quadratum . necesse est unitates adiunctas quadratas esse , alioquin resolui non posset a quatio. Cum enim horum interuallum sit 1 N. - s. tales deligendi sunt numeri, quotum mutuo duetu id fiat ut in quadrato semissis summae illorum reperiantur unitates s N in quadrato semissis interualli reperiantur unitates 4. Ut scilieet v nitatibus in aequatione se mutud abolentibus una species uni aequalis remaneat, puta quadrati Numetis. Hoc autem seri nequit, nisi in semisse summae sint unitates a i latu in ipsius ς.& nisi in semisse interualli snt unitates a. latus ipsius 4. Proinde nisi s. & 4. qua-δrati sint, rem persci non posse est manifestum. Hi ne facile est . idete cui ad eonseiendum interuallum FN. -- s. sumpserit Diophantus numeros IN. - Ι &s. Nam ut ex dictis constat talesduis mendi sunt ut sunntia unitatum in ipsis contentarum fit ε. interuallum vero earundem 4. Quare pex Canonem primat primi reperientnr unitates ponendae in illis numeris esse a.& s. Atqui posito altercimultiplicatorum s. euidens est alium esse non posse nisi I N. - 1. ut eorum mutuo ductu sant f N. -- s. posset quidem ster poni a. altet verAs N. - s. Sed botum suin mat& interualli semissis quadrati secundum omnes suas partes maiores sunt propositi ad aequandum quadrato numeris, unde inuenitur valor Numeri minor nihilo. Quare testat solos s. N I N. - I. quaestioni soluendae idoneos reperiri. Attamen ostendemus ad quadragesimam quintam quarti hane aequationem etiam inis snitis modis resolui posse per modum utendi dupli eata aequalitate 3 nobis inuentum, quem ibi explicabimus. Quod ad Hypostasim totii numeri spectat, is non solum poni potest i N. sed etiam quilibet Numerorum numerus. Sed si iidem ponantur primus & secundus eadem semper e tinget solutio ut experiendo deprehendes. Quamobrem omnis solutionis varietas pendet ex primi
secundi positione . quae infinitis modis fieti potest. Cum sumi possint alii atque alii quadrati
Extat huius quastionis Diophanti problema in libra gainto quaestione quinta, Num
vero problema sequens ippe Diophantussciens praetermisit, an potius in aliquo tredecim Isbroram eonfrucIam erat , nescimus. Inuenire s. quadratos τι prodactus ex binorum multiplicatione adsumpta eorundem fumina quadratum faciat. Huius tamen quaestionis infinitas stationes dare possumus.
En verbi gratia sequentem solutionem Isatisfaciunt nempe problematι tres quadrari sequentes. Imo es ulterius progredi es Diophanta am quaestionem promo--α quadratu aere nihiIvetat. Sequens enim problema genera Iiιer se in niti
a M. a. quadratus. m lis construximus.
Inuenire numeros sub quibus binis quod si planum adscisa
4. 3. qu d xu amborum fumma faciat quadratum. Dueniantur per s. propositionem lib. s. tres quadratι ut quem bini faciunt planum adsciscens ambον am jummam faciat quadratum es fanto illi numeri quadrati su . . t a Sunt ergo tres si quadrati, tres primi numeri nostra quassionis, pona Iur euartus 1 t .sent irra producta una eum summis AEquat a.
198쪽
Arithmeticorum Liber III. ii 9
IN v a N i R a eres numerOS, ut productus ex binorum multiplicatione adsumens utriusque summam faciat quadratum. Ponatur primus I N. secundus vero 3. & est productus eorum multiplicatione addito utroque N. - 3. aequandus qua drato. Esto quadrato aue. dc fit I N. 3 e go primus 3 et erit, secundus 3. 3c uni po-1tillato tuni est satisfactum. Nam eroductus eorum multiplicatione adsumens viruinque iacit quadratum 23. Oportetigitur ut de productus ex secundo in tertium , itemque productus ex tertio in primum adscito utroque faciat quadratum. Ponatur tertius I N. Sc fit productus ex secundo in tertium utroque adscito rursus ε N. -- 3. At productus ex tertio in primum addito utroque fit 6 : N. 3 4. Horum uterque quadrato aequatur. Sed quia alterius de numerorum dc unitatum multitudo, iis qui sunt in altero est maior , neque eorum inter se ratio est quae quadrati ad quadratum, inutilis est huiusmodi positio. Eo itaque deuentum est ut quaerantur duo numeri, ut productus eorum multiplicatione utroque adscito faciat quadratum, dc praeterea ips rum unitate auctorum ratio sit quae quadrati ad quadratum. Quandoquidem si
numerus numeri quadruplum ternario excedat, ipsi unitate aucti rationem habent ad inuicem, quam quadratus numerus ad quadratum numerum. Pono primum i N. secundum vero ψ N. - 3. Restat ut productus eorum multiplicatione utroque addito faciat quadratum. Sed productus eorum multiplicatione viroque addito est -- 8 N. -- 3. hic ergo aequatur quadrato. Formo quadratum absa N-3.&fit quadratus Q. - 9. IzN. 8c si 1 N. a. seu H. erit igitur primusti secundus I seu Ita postularoruin uni est satisfactum. Superest ut productus ex secundo in tertium, itemque productus ex tertio in primum addito utroque ET P E I N εἰς ἀριθ&ους omις υπο
199쪽
saciat quadratum. Pono tertium I N. Est autem secundus 6ς. sit productus eoruin multiplicatione iadito utroque s ἰ N -' b aequandus quadrato. Esto quadrato 23. Rursus quia tertius cst I N. primu
autem erit productus eorum multiplicatione adsumpto utroque N.
aequandus quadrato , puta Ico. Duco s Ν. - in et . fiunt I3O N. - - Io . aequanda quadrato. Similiter duco N.
- - ἀ in Ioo fiunt I3o N. - 3o. aequandλrursus quadrato. Et est eorum interuallum 3. & duplicata rursus occurrit aequatio, & fit IN. n. erit igitur tertius L. erat quaestionem.
SV a r th g est hoc problema,& elegans modus utendi duplicata aequalitate in eo eontinetur,quem chm non perceperit Xilander, mirum non est si parum se liciter eum explicauit. inam uis comiptos lolutionis numeros bene restituerit. Nos ergo triplicem Diophanti positionem percurrentes no. tatu digna quaeque percenseamus , Ec obscura dilucidemus. Prima positione quaeruntur duo numeri , ut productus illorum multiplicatione adscita summa eorundem, quadratum iaciat, dc repetiuntur I de 3. Quamobrem hos itatuendo pro primo & secundo, ponitur tertius I N. quem ducendo sigillatim in priores duos, de productis addendo summam eorum ex quibus producuntur , fiunt quadrato simul aequandi N. - - 3 de 6 : N -- 1 Haec autem aequatio inexplic bilis est, quia cum numeri quadrato aequandi componuntur ex Numeris Et unitatibus, opotiet vel numeros Numerorum aequales esse, ut contigit. propositione decima qua ta huius, ubi aequatur quadratis Io N. - sq. Sc Io. N. - - 6. vel numero Numerorum in aequali existente , oportet unitates esse quadratas, ut in praede dente quaestioneabi aequan ut quadratis io N. - .s Ee s N. -- 4. vel denique quod hucusque non aecidit cum unitates quadratae non sunt, nee nuis' meri Numerorum aequales, oportet saltem numeros Numerorum inter se rationem habere quadrati quam trademus in se,. Hoc igitur ut consequatitur. Videndum est unde prouenerint Numerorum ad quadratum, ob causam numeri in N. des: N. At prouenerunt ex ipsis initio inuentis numeris 3.
de simitate auctis, cuin ducendo sigillatim in ipsos i N. Ac productis addendo I N. fiant N. Ze 6 . N. Corrigenda ergo est prima positio, ge loco ipiorum 3. de s alij duo numeri sunt inueniendi, quorum productus adscita eorundem sumi ia quadratum faciat, ita ut ipsi numeri unitate aucti rationem inter se habeant quadrati ad quadratum. Id fiet ner secundam positionem. Seeunda itaque positione ut inueniantur huiusmodi numeri, de alterum postulatorum per ipsas positiones consequamur, tali utendum lemmate.
Si fuerint duo numeri quorum maior minoris quadruplum ternario excedat, ipsi numeri unitate aucti erunt plani similes.
Cuius lemmatis demonstratio facilis est. Sit eni in maior λ E minor C D. Ec maiore auferendo ternarium B Esupersit AB quadruplus ad C D. Dico si utrimque addat ut A v - V , niti, E F. D G. totos A F. C G. esse planos similes. Cum enim B F qu 1,.s ,1- ς' ' ternarius sit quadruplus unitatis DG. Est ut AB ad CD, ita BF ad Do Quite 8e totus A F ad totum C G est in eadem ratione quadrupla; quod erat propositum. Ponituremo piamus i N. seeundus N. - 3 unde restat ut productus eorum multiplicatione adscita eorum summa quadratum faciat, Si peracta aequatione fit I N. q. sumque quaesiti numeri Δ Se squibus
utente, tertiam instituemus positionem . . . ' . Vettia istitur positione quaestorum ab Initio numerorum ponitur primus L. Secundus 6 Iesetius I N. unde tandem proueniunt quadrato aequandi N. -- Φ: εc ἰ: N. - - λ. ubi quia Numea totum numeri sunt plani similes, sic explicabitur aequatio, sumantur duo quadrati in eadem ratione illorum numerorum, puta IOD. cay. ductoque minore in maiorem, & maiore in minorem fient rivis; iam quadrato aequandi I O N. -- IO . de 33O N. - 3P. Vbi numeri Numerorum sunt aequales , ' quia datis qiuatuor numeris proportionalibus, ex pruno in quartum idem procreatur numerus, qui
200쪽
fit ex seeundo in tertium. Nec per huiusmodi multiplicationem immutatur aequalitatis ratio , quia quadrato per quemlibet quadratum siue multiplicato, siue diuiso , semper fit quadratus , unde patet si a 3o. N. -- IOI. aequetur quadrato, & illius E puta s i N. - - sole quadratum. Et s 13o. N. - .
o. ponatur aequari quadrato, & eius centesimam partem , puta N. - . e. fore quadrato aequalem. Sumpsit autem Diophantus quadratos as.& Ioo. potius quis estos quoscunque in eadem ratione, ut vitaret fraenones, alioquin expeditius res ageretur ducendo denominatorem rationis, puta . iii
minorem numetum ii N. -- A unde serent quadrato aequandi N--4 Ss N. - - Ια Itaque subtili artificio res deducta est ad primum modum duplicatae aequalitatis, quo usus est Di Opliantu, tum duodeeima, & decima quarta secundi, tum decima quarta huius. Etenina ipsorum 13ON. Ios.& iso N. 3o. Interuallum est 3. qui fit, s libet, ex3. in 23. quorum summae lentillis qua dratus 195. aequatur maiori iaci N. -- ros & fit N. A. Caeterum vatietas in operatione & in solutione a multis oritur eapitibus. Primo enim inueniri possunt infiniti duo numeri, quorum productus adicita eorum summa qua dratum faciat, quique unitate audii fiam plani similes. Tum quia, ut bes monet Xilander, quod de quadruplis asserit Diopli tus, totest congluentet applicari omnibus aliis numeris seruantibus rationem quadrati ad quadratum ; similiter eni in si numerus numeri noncupiuin superet octonario, addita utrimque unitate fient plani sutiles ;&s numerus numeri sedecuplum excedat numero is adscita uterque unitate, fient etiam plani similes , & sc de alias. Tum quia numeri quadrato aequan di, quali, est in hypothesi Diophanti η α-- 8 N. - 3. latus diue simode fingi potest, vi patet. Secundo rursus in secunda eadem positione alia varietas considcrari potest. Primus enim non soluin potest poni i N. sed & quilibet Numerorum numerus lemmate tamen tradito utendo congruenter inpositione seeundi. Vt s ponatur ptimus a. N. erit secundus 8 N. - 3. vel 3a N. - s. &c. si ponat ut primus 3 N. erit secundus ia N. - 3. veI 27 N. - - S &c. Tertio in tertia positione iisdem manentibus primo & secundo potest etiam tertius infinities va tiari, & poni non solumi N. sed & quilibet Numerorum numerus, sed ad hoe intelligeratis ρmpliari lemma traditum hoc pacto. si fierint avio numeri, quorum maior quaarupiam minoris ternario superet, θυιθροι dia tur in steritum numerum , prodvicti qua addatur ι dem tertias, sera dao plani itis. Quod ita demonstrabitur.
Sit A C superans ternatio B C ipsum A B quadruplum ipsus D E. & tertiusA , A ... C quilibet numerus F ductus in iplos Α C. D E faciat G H. quibus addendo D . E F s sigillatim ipsum F sant Κ L. dico ipsos X L esse in ratione quadrupla, atque . Gn. H io ndeo planos similes. Etenim quia G. qui fit ex F. in Α C. aequatur plodu i, r. seMAE. X fio L. 11. ex F. in A B. & B QAt productus ex F.in Α B. quadruplus est producit ex F. in D E seu ipsiu, Η. eum A B. D E snt in Madrupla ratione productu autem ex F. in ternatium B C. triplus est ipsius F. patet G. eontinere quadruplum ipsius Η. R triplum ipsu. F. quare,s eidem G. addatur F. summa Κ. quadrupla est ipsorum H F. seu ipsius L Quod demoti
strandum erat. Non aliter idem ostendet ut de alia qualibet ratione quadrati ad quadratum. Vt s A C. ponatur excedere noncuplum vel sedecuplum ipsius D R tetnatio , concludetur & Κ ipsu, L esse noncuplum vel sedecuplum ,& sic de aliis. Quare manifestu in est iisdem manentibus primo de se- eundo puta & 4 l. Tettium poni posse I N. vel a N. vel 3 N. &e Denique ipsa duplicata aequalitas infinitis modis resolui potest, prout sumentur alii atque alii numeri, quorum mutuo ductu fiat 7s. dummodo horum summae & interualli semissis quadrati m lates snt ipsis ios. & 3o. ut docuimus ad duodecimam secundi.
IN v a NI R a tres numeros, ita ut binoiarum multiplicatione productus dempta amborum summa sit quadratus. Ut in praecedenti ponatur primus I N. secvndus unitatum quot uis, & eodem modo in dissicultatem inexplicabilem incidemus. Ut ergo multitudinem Numerorum ad multitudinem Numerorum habeamus subratione quadrati ad quadratum, eo deuoluitur res vet quaerantur duo numeri,qu