장음표시 사용
201쪽
tum summa sit quadratus, & praeterea ipsi unitate multati rationem habeant quam quadratus ad quadratum. Enim vero si
numerus alterum quater, dempto ternario continet, ij unitate multati rationem
habent inter se quam quadratus ad quadratum , quia scilicet utrimque ablata unitate, fit diminutio hinc quaternarij, inde vilitatis , &patet si a quadruplis quadrupla , auferantur, residua esse quadrupla , atque ideo in ratione quadrati ad quadratum. Pono igitur primum IN. I. secundum 4 d -- i. & fit productus eOrum multiplicatione, dempto utroque -- I aequalis quadrato a latere a N. a. hoc est - - .-8 N. & fit r. N. I. erit ergo primus P secundus G 8c fatis-
fit uni postulatorum. Et quoniam primus est V secundus a T. pono tertium i N. & fit secundo in tertium 3 N. & utroque detracto, puta i N. -- 34 restat a. i N. - s aequandus quadrato. Esto quadrato 4. Qui autem fit ex tertio in primum est N.& utroque dempto restat : N. - aequanindus quadrato. Esto ipsi i6. & per hunc
istud multiplicetur fit Io N. - 26. R quZ dus quadrato. Similiter 2 N. - 3... d cantur in . fit Io N. - I . aequalis quadrato. Horum interuallum i et . quod fit mutuo ductit ipsorum a. & 6. quorum summae semissis in se iacit 16 aequalem maiori, puta Io N. -I . & fit I N. 3. Ergo tertius est 3. seu e. habebamus autem primum V. secundum 3 ἔ seu P. & soluunt
quaestionem. μ' s '. τὸν δὲ δd et ιρον μναύων γ. α π του-
OMNIA quae ad praecedentem adnotata sunt, hie etiam loeum habent. Modus utendi d plicata aequalitate idem est, & lemma quod assumit Diophantus eadem ratione demonstratu . ipsiusque demonstrationis sui damentum attigit Diophantus his verbis. uia sciticet viri sis abiam vivitate, sit Lmiuutio hine quaternaru, inde νnitatis, ct patet si is tabulis quadraevia auferanis vir, residua esse quadrupla. ioperationis quoque ic solutionis varietas totidem modis contingere potest, ut diutius pigeat immorari in re manifesta. .
202쪽
faciat quadratum. Ponatur alter i N. alter N. - . Quoniam si numerus sit numeri quadruplus dempta unitate , productus eorum multiplicatione adsumens minorem iacit quadratum. Iam duo postulatorum restant implenda, ut scilicet productus eorum multiplicatione adscito secundo, & utroque simul iaciat quadratum. Sed productus adsumens secundum fit 4 Q. -- 3 N. - 1. aequalis quadrato. Et idem productus utroque addito fit 'Φ N. I. aequandus quadrato. Et est duplicata aequalitas. Horum interua l.
a N. . .. Erit igitur primus . . . secundus A. de soluunt quaestionem.
MAON A est eonformitas huius quaestionis eum vigesim septima secundi. Vbi qualuntviduo numeri, quorum proditatas adscito alterutro quadr rum faciat. Sed hie praeterea postu. latur ut idem productus adsumpta amborum summa faciat quadratum. Itaque suas positionea e dem modo insIituit Diophantus. & eorundem lemmatum quae ibi demonstrauinius hie Hus esse potest. Porro notandus hie modus utendi duplicata aequalitate , cum numerorum quadrato aequando istum interuallum constat ex solu numeris. Tunc enim necesse est in numeris quadrato aquandis reperiri quadratorum numerum quadratum , ut hie 4 Q. Numeros autem quorum mutuo ductu fiat interuallum I N. accipit Diophantus N. & . ob simdem causam illius quam attuIimus ad e cimam quintam huius. Oportuit enim talem sumi numerorum numerum , cuius sentissis quadra dratux efficeret Quate debuit pro altero sumi N. unde sequitur alterum necessario .se i ve eorum mutuo ductu fiat i N. Caeterum tota diuersitas in primis positionibus eonsistit, quas diuersimodE fieti posse eoinit mulio lemmatum ad vigesimam septimam secundi allatorum.
IN v a N 38 a duos numeros , Vt pro ductus eorum multiplicatione siue alterutro siue utriusque summa multatus quadratum iaciat. Ponatur alter IN.
I. alter N. Quandoquidem si numerus numeri sit quadruplus, demptis quatuor mitatibus, productus eorum multiplicatione detracto maiore quadratum facit. Restat itaque ut productum multiplica tionis siue minore, siue utriusque summa multatus, faciat quadratum. Sed prodi ctum illud dempto minore fit 4 Q, - 3 N. - I. Et idem prodinctum dempto utroque fit A I N. - r. Horum utrumque quadrato aequale eit. Interuallum N. Statuo illud mutuo ductu producentes N. dus 3. dc manifesta est demonstratio.
203쪽
FAns M aut sintvia dici possunt de hae quaestione, quae de superiore dicta sunt v;de quam si eon
imis vigesimae ostium feeundi, & quomodo utrobique eodem utens lemmate Diohantus. eodem modo suas instituat positiones. Modus utendi duplicata aequalitate idem est, quo usus est in praecedente,dc easdem ob causas adeonseiendum intexuallum N. sumpsit 4 N. & 3.
β G. ιῆ ξε , ω' γινεται ρ ῶε θμος μ' ΙΝvs Ni Ra quatuor numeros ut compositi ex omnibus: quadratis, singulorum tam adiectione quam detractionefaciat quadiatum. Quoniam in quolibet triangulo tectangulo quadratus hypotenuis siue auctus , sue multatus duplo eius quod fit e multiplicatione laterum circa rectum , facit quadratum. Quaero . primum quatuor triangula rectangula aequales habentia hypotenuses. Hoc ipsum vero est, quadratum aliquem, diuidere quater in duos quadratos . Atqui di- discimus datum quadratum diuidςre in
duos quadratos infinitis modis. Nunc e go exponamus duo triangula rectangui, In nummis numeriS, quales sent3. ::D& . D. II. de multiplicetur unumquodiaque ipsorum per hypotenusiam alterius,& erit primum triangulum 39. 3a. sis. ω-cundum et s. so. 6s. & sunt rectangula aequales habentia hypotenuias. Adhuc autem sit apte natura numerus 6s. diuid tur bis in duos quadratos , nempe in I 6. Scqq. Et rursus in s . & I. quod ei contingit quia fit ex multiplicatione mutua s. MI3. quorum uterque in duos diuiditur quadratos. Nunc expositorum 49. & r6. sumo latera, sunt autem 7. dc q. 8c sermo triangulum rectangulum a duobus numeris '
& . & est 33. 36. 6s. Similiter ipsorum
64. & i. latera sunt 8. & I. a quibus rursus sermo triangulum rectangitium , cuius latera sunt Is. 63. 63. & fiunt quatuo triangula rectangula aequales habentia hypotenusis. Resero me igitur ad propo stam initio quaestionem, & pono compositum ex quatuor numeris σ3 N. et libet vero ipserum quatuor pono tot quadratorum quot continet unitates quadruplum arear. Primum quidem os 6MSOcundum autem 3ooo. α Tertium 3696
204쪽
lorum summa Ia 68M aequalis 63 N.&fit i N. Ad positiones. Erit primus
sub boo. Secundus I 2671ooo. sub eiusde partis denominatione. Tertius II 6I36oO. 1 ub eiusdem pariis denominat Ione .Quar ius 8 176oo. sub eiusdem partis denonii.
natione. Est autem partis denominator I 63 18 et .
T V Le, susti Muti est hoe problema & rarae subtilitatis, in quo cum multum demdarit χilati I der , posectatri tamen eius enodationem afferre non potuit, destitutus scilicet ope potismatum qua ad hoc requiruntur. Quoniam ergo gloriam rei perosculae explicandae nobis libenter teIIquit, nos eam libentius ainplectantur. Et ut omnia clariora fiant, singula quaeque notatu digna ordine
Aduerte itaque primo lemma quod assumit Diophantus de triangulis rectangulis idem ser3 egelieri aliis verbi, cnunciatum , quod iam usurpauit trigesina ptima lecundi, ubi Ec monuimus, quod hae repetere non pigebit, illo nil aliud contineri, quam quod osenditur quarta secundi Euclidis de quarta seeundi potismatum. Etenim per quatiam se eundi, constat sui imam quadratorum a duobus numeris adsumpto duplo producti laterum escere quadratum summam laterum. At per quartam secundi potisiuatum patet duplum producti laterum de tradium , summa quadratorum, rel1nquere quadratum interualli laterum. Quare cum in triangulo rectangulo quadratus hypotenuis sit -o iis quadratis latarum ei te a rectimi, manifestum est, quod ait Diophantus, quadratum hypotenusat siue adsumpto, siue detracto duplo Hoducti late tum circa rectum , sacere utrimque quadratum. Proinde recte Diophantus summam quatuot quaesitorum numerorum constituit hypotenusam Hieuius trianguli rectanguli, unumquemque vero ipsorum numerorum ponit duplum productitat rum cirea tectum , seu quadruplum areae trianguli, ut eonstat ex tertia definitione tertii porismatum, se enim optimὸ satis fit postulatis. Quamobrem ut ipsi numeri diuersi reperiantur, superest ut inia uenianaus quatuor triangula rectansula, quorum eadem sit hypotenusa. Aduelle igitur secundo, ut bene monet Diophantus, reperire quatuor triangula rectansula eandem habentia hypotenusam, nil illud esse quam quadratum quemlibet diuidere quater in cuos quadratos. Quare niti stactiones in operando vitare voluisset, poterat rem ab luere per Octauam secunia di, qua docuit quadratum quemlibet infinities diuidete in duos quadratos. Vt autem fractiones in operatione vitent ut, subtili sane artiseio quadratum inuestigat author, qui quater diuidatut in duos 'quadratos integros. Exponit scilieet duo triangula rectangula non similia, puta 3. q. . de s. II. q. Timc vitiusque latera per alterius hypotenusam multiplicans, inuenit alia duo triangula, quorum eadem est hypotenusa , nimirum 3s.1a. 6M & 21. 6o. os. Nam 8e hae esse latera trianguli rectanguli patet per prunam tertii porismatum eum sant latetibus trianguli rectansuli per eundem numerum multiplicatis. Quod autem dixi exponenda esse triangula non s milia, id factum est, quia si triangulas milia snt, nos. iam alia duo hae latione sotinabuntur ab his triangula, sed unicum duntaxat. Quod se demonstratur. Sint itiangula smilia ABC. DEF. de ducta hypotenuia F in singula alterius latera fiat triangulum G. H. X. di eo idem triangulum G H X, Ac non aliud , fie-
pothesi ex C in F fit F fiet K. Deinde quia est A ad D ut C ad F. fiet, utique idemo ex C in D qui si e2 A in s. sinii litet quia est B ad Et ut C ad F. set tuisus idem H e, C in E qui fit ex B in F. Quare constat propositum.
Aduerte tertio.Vt rursus inueniatur alia duo triangula quotum sit eadem hypotenusa 6s. Diophantum uti porismate,quod demonstrauimus propositione septi ina libri tertii nimitum.Si duo numeri Gduobus quadratis compositi inter se dueantur, productus componetur bis ex duobus quadratis. Hae de causa triangula initio exposita ita delegit, author,ut cuiussitat hypotenusa componatur ex ducibus quadratis,puta s. ex quadratis r. & 4. ac 13. ex quadratis Α.& s. unde Optimὸ eoncludit G. componi bis ex duobus quadratis, nimirum semel ex I6. N s. Atque iterum ex I. N 64. Hi autem quadrati ut reperiantur Ostendit septima tertii porismatum. Sed illius limitationes attendendae sunt, quatum prima requirit, ut quilibet expostorum numerorum componatur ex duobus quadratis inaequalibus. nam s alter ex duobus aequalibus quadratis compositus sit, productus eorum multiplicatione comia ponetur tantum semel ex duobus quadratis, ut si sumamur s. N 8. quorum 8 componitur ex aequalibus quadratis 4. & erit produms 4o. semel tantum ex duobus quadratis compostus , puta exa 6. 3e q. secunda vero limitatio requirit, ut expositi numeti componantur ex quadratis minim pl. -
205쪽
portionalibus, alioquin idem sequit ut incommodum, visi sumant ut 1. N ao. compositi ex quadratis proportionalibus i. 4. 4. Io. erit productus I . ex duobus quadratis semel duntaxat eo postus, Videlides x ε . & 6. Qia Omnia loeo citato demonstrantur. A me qua b. I equis quadnuis I 6. εἰ ηρ. itemque r. & is . ex quibus Q. componitur ex iis Diophanitiin formare triangula te iangula duo, quorum eadem est hypotentisa 63. eo quem demonstra utimis modo tertia vel quinta tertij potismatum. Etenim si pet tettiam libeat operati a quadratis as. N 4s. siet triangulum cuius hypotenusa erit sumina ipsorum puta 63 basis vel interuallum eorundem puta M. Perpendiculum autem erit duplum medii proportionalis, puta 36. Rursus a quadratis i. & 6 . tormabitur triangultim , cuius hypotenusa erat summa ipsorum, puta Q. Bass vero interualIum eorundem, puta 63. Perpendiculum autem erit duplum medii promitionalis, puta io.& sic habebuntur triangula duo quaesita 33. 16. 63.& I6. . 6s. Quae eadem reperienturpet quintam tertii potita. Verum hic notandus est Casus, clan productus ex muttici ductu duorum numerorum ex duobus quadratis, coinpositorum , componitur quidem bis re duobus quadratis, sed una compostione eomponitur ex duobus quadratis aequalibus,ut sumptis 1.3e ro. productus N. cum ponitur quidem semel ex quadratis r. & 49. inaequalibus. Sed componitur iterum ex aequalibus 23. Eeu. Vnde pet hane compositionem inutilis redditur operationi Diophanti, non enim inde eonelodi potest eius quadratum componi ex duobus quadratis, cum ipsorum as & et s. nullum sit intervulum, quod deberet esse latus unius quadratorum illorum. Porro id semper accidit, quando tales 1umuntur duo numeri ex duobus quadratis composti, ut quod fit ex interuallo laterum unius, in interuallum latet una stetius, aequetut duplo producti ex minore latere in minus latus. Quod ita demonstratur. Sint A B latera quadratorum unius, quorum interuallum C. 3e sint D E latet quadratorum alterius, quorum interuallum F. 3t productus ex C. in F aeque
tu e duplo producti ex A in D. Porro compositus ει quadratis ipsorum AB esto M. δὲ productis esse quadratis ipsorum i DE esto N. dito productum eχ M in N. componi quidem bis ex duobus quadratis, sed una compositione componi ex duobus aequalibus quadratis. Etenim ducto D in ipso, A B. fiant G H. N ducto E in eosdem Α B. nant Κ L. Paret ex demonstratis septima productum ex M. in N. componi tum ex quadrato summa amborum G L. de re ex quadrato interualli ipsorum CX. Tum ex quadrato sumnia amborum HK. de ex quadrato 4nterualli ipsorum H L. Vetum aio summam ipsorum B X. aequati interuallo ipsorum C L, ae proi de productum ex M in N. hae compositione colasti re ea duobus quadratis aequalibus. Quia enim L ne ex E in B. seu ex duobus D s. in duos Ac si hine auferat ut productus es D in A. puta G.
patet interuallum ipsorum G L. aequari oroductis ex A in F, ex C in D, & ex C in E Ze loco producti ex Cin F. si mendo duplum producit ex A in D illi aequalem ex hypothesi, erit pradictum inti mallum aequale duplo producti e Y A in D. N productis ex D in C. de ex A in F. Sed eladem productis patet aequalem esse suminam ipsorum H T. Nam H fit ex D in B. seu ex D in A. & eet D in C.
At xst ex A in E seu eae A in D. N eu Ain F. Unde eonstat duorum ΗΚ. summam aequari duplo produm ex A in D, R pro due is ex Din C. R ex Α in F. Igitur ipsorum Η Κ summa aequatur inimis uallo ipsorum C L. Quod demonstrandum erat.
Adverte quinto. Textus Graeci lacunas 1 me esse repletas, tum deficientes numeros restituendo, tum corruptos emendando, 3e ne sortὰ haereas in numetis Graecis, moneo Diophantum maximos numeros in quibus ingens Mytiadu in multitudo continetur , sic exprimete ut Myriadas a reliquis vilitatibus distinguat mi spieuitatis ergo , signum antein Myriadibus apponit titi Myriadibus myrandum titi. duplex ti. At reliquis unitatibus signum eonsuetum tio. Sie vides numerum 353 et 1ga
se ab eo exprimi, titi Q idest Mitias una myriadum. Misis id est Mytiades 'oa. tioi flest unitates i8a . Et se de aliis. Aduerte postremo , sue porismate Diophanti aeque bene inueniri posse in integetis quatuor triangula rectangula eandem habentia hypotonusain. auxilio decimae tertii potismatum. Etenim expositis triangulis non similibus a. s. & s. a. 13. s eum Diophanto sormes ex his alia duo ducendo utramque hypotenusam tu alterius latera, habebis 39.12.6s. & 23. . 6s. Tum s per decimam tertii γα ita. ex iisdem ttiangulis prius expositis se es alia duo modo ibi tradito , sent utique 33. 36. 6s EeI6. 63. 51. Immo exibi demonstratis licebit ampliare poti sina Diophanti , N illud extendeto non solum ad numeros ex duobus quadratis compositos , sed etiam ad duos ea duobus planis si imilibus eompositos. & uniuersalissime proponere.
Si numerus ex duobus planis smilibus compostus, ducatur in alium ev duobus planis similibus compositum, qui non sint proportionales iis G quibus primus compo-Mitur, producetur numerus cuius quadratus componetur quater ex duobus quadratis. sint enim CF ex duobus plani A similibus uterque compositus, qui non sint proportionales. Et ex Cin F sat T. dico T quater componi ex duobus adtatis. Elemi quia C componitur ex duobus planis similibus, exit hy-
206쪽
Arithmeticorum Liber III. I 27
C , κ,, i potenuia Hanguli rectanguli per tertiam tertii potismatum. Sint ergo late L ,: ra circa A B. similiter F ostendit ut hypotenuia trianguli tectan-N ., p . ,. T m stili , cuius latera circa rectu in D E. Igitur a duobus triangulis Α Β C D E F.
tormentur alia duo ducendo hypotenusam vitamque in alietius latera, erunt
potismatum, erunt haec GKT. LM T. Quare constat propositum. Caetetum animaduersione quoque dignum est, quaestionem hane ad quotlibet numeros eadem arte extendi posse, eum si fractiones quidem minime vitentur, quilibet quadratus infinitis modis diuidi possit in duos quadratos. Si veto etiam per integros rem absoluere libeat, facile sit Diophanti artificium imitando quadlatum repetite, qui quoties quis aulsetit componatur ex duobus quadratis integris, quandoquidem set potisma quod assumit Diophantus, quodque demonstratum est septimaterii j potismatum licet numerum inuenire quoties quis fulserit ex duobus quadratis e Ompositum. Nam sicut per illud potisma inuenitur numerus bis eoinpositus ex duobus quadratis, ducendo numerum semel eu duobus quadratis compositum , in alium item semel ex duobus quadratis compositum , ita si numerus his eompositus ut is ducatur in alium semel compositum , quales sunt 3 I3. Io. II. productus ter aut quater c8 duobus quadratis componetur, ter quidem si Q. ducatur in s. vel in i a. ex quorum mutuo ductu ipse fit, vel in aliquem illorum multiplicem. Quatet autem si secus. Verbi gratia productus ex s. in Q. puta 323. ter tantum componitur ex duobus quadratis, nempe exars. N ico. ex Ia . N I. ex 289. N 36. Quod accidit quia s. & 6s. componuntur ex duobus quadratis. Quare si intelligamus 6s. componi ex 49. N is neceiti est productum ex s. in 6s. puta 323. componi ex duobus quadratis qui sunt etas. de ioci. 324. &IRursus vero si capiamus os . vi compositum ex sq. N i. necesse est productum ex s. in cf. puta 32s. componi etiam bis ex duobus quadratis, nimiarum ex 289. & 36. & ex au. & roo. Sed quia hi coincidunt cum duobus ob priorem multiplicatio nem in uetuis, constat 3as. tet tantum diuidi in duos quadratos. At si ducas i . in 6s. fiet Dos. quatereo positus ex duobus quadratis nimirum ea 376. S sam quorum latera a 23. ex Ioa . di 8 i. quorum latera 3 a. s. ex DI. IM. quorum latera 3I. & Ia. Ac demum ex Io89. & I s. quorum latera M.&4. Quod si velis numerum sexies eo inpositum ex duobus quadratis, sume aliquem ter compositum ut aue. eumque ducito in semel compostum, dum non sit aliquis eorum qui metiuntur gas. vel multiplex eorum, sed sume v. g. I . quo ducto in gas sit ssas. sexies compositus ex duobus quadratis, nempe ex 3oas. 21 . quorum latera Π. 3o. ex 38 q. 268 l. quorum latera Q. AI. ex 49OO. 62y.quorum latera 7 .as. r. 484. quorum latera 7Laa. ex na9. I96. quorum latera ri. I 4. Re demum ex ue 76. 49. quorum latera Tq. T. Ita si velis numerum octies ex duobus quadratis compositum, duces compositum quater In eompositum semel, vel bis compos tum in bis compositum, dummodo inter eos nulla si communieatio, & se in infinitum. Qua de eausa si ducas uesas. sexies compositum, ut ostensum est, in Io73. bis compositum . nimirum ex binis quorum latera a.& . Et rursus ex binis quorum latera 28. I . scissa'as. eompositus quod mirabile est vicesies & quater ex duobus quadratis, quotum accire
OBSERVATIO D. P. F. AD COMMENTARIUM,
praecipue ad locum illum, Aduerte tertio, Sc. .
NUme pr/mus qui superat Pnitate quaternarii multiplicem semel tantum es hypoten a trianguli rectanguli, eius quadratus bis , cubu 3. qu AEdrato uadratus A sec. in infinitum. Idem numerus primus se ipsius quadratas componantur semel ex duobus quadraris : eius cubus o quadrato quadratus, bis : quadratocubus es cubo cubas ser sec. in infinitum. Ss numerus primus ex duobus quadratis compostus ducatur in alium pr/mum
207쪽
etiam ex duobus compositam quadratis, prodacium componetur bis ex duobus quadratis e si ducatur ιn quadratum eiusdem p ramι . productam componetur ter ex duo in bas 1 uadratis : si ducatur in cubum eiusdem primi productum componetar quater ex
duobus quadratis , O sic in in finitum. Hinc facile est determinare quoties numeνus datus D hypoten a trianguli rectan-gali ,fumantur omnes primi quaternardi multiplicem unitate superantes qui datum
nomerum meἶiuntur ν. g. s. I3. II. Euodsi potestates dictorum prιmorum metiantur datam numerum , Disponantur νna cum reliquis loci laterum γ. g. metiantur datum numerum 3 per cubum, s. perquadratum cst 17. per latus simpliciter. Samantar exponentes omnium diuiserum Nempe numeri s. exponens est 3. propter cubum, numera 13. exponens es a. propter quadratum se numeri II. uniιas ιantam: ordinentur igiιur ut volueris dacti omnes exponentes vιs velis. I. a. I. ducatur pramus in secundum bis es producto adjiciendo summam primi O feeundi μ ιγ. --
eatur iam 17. interDum bis es producto adiiciendo summam ir es tertij μ sa. datas igitur numerus erit hypoten a s a. triangulorum rectangulorum, nee est risimilis in quotcunque diussoribus es ipsorum potesarιbus methodus. Reliqua numeri primi qui quaternarii multiplicem unitate non superant nihil aut addunt quasioni auι detrahunt neque imorum potestates. Inuenire numerum qui quoties quis metir m hypotenusa quaeratur numerus qui sit septies hypotenusa, numerus I. ductus dupletur r . adiice unitatem fit a s. sume omnes primos qui mensurant II. sunt hi s. O s. ab unoquoque dempta unitate sume reliqui dimidium, fiunt l. a. quarantor ιot primi diues quot hae sunt nu- mori nempe duo se secandum exponentes I se a inter se multiplicentuν nempe usus
in quadratam alterius, in hoe easu satisfiet quaestioni modὸ primi quos fumis saperent quaternarium unitate, ex his constat fac te postse inueniri numerum minimam
qui quoties quis velit sit Ρpotenusa.
i Inuenire numerum qui quoties quis velit componatur ex duobus quadratis r sit
datas numeras Io . eius duplum 2O. cuius omnes partes prima fumantur. 2. a. s. ab unaquaque tolle unitatem sunt I. I. q. famantur Urtur s. numera primi, qui nempe unitate superant quaternarium,) v. g. I. 13. 7. O qua atoquadratus ias propter exponentem . dacatur in reliquos duos. Fiet numerus quastas. Ut autem dignoscatur quotιes datus numerus ex duobus quadratis componitur. Sit datus
numerus 3 13. numeri primi qui eum componunt nempe quaternarium Mitare supe--nιes funi 1.33. hicsemel luper quadratum. Exponenies disponantur 2. I. productus multiplicatione iungatur summae, sit 1. eui adian Zά unitate sit s. eurus dimidiam 3. toties igitur numerus datus componitur ex duobus quadratis, s esseην 3. exponentes mi a. a. r. Ita procedendum productum sub prioribus adiuncrum summa facit 8 .duea- ν 8. in tertium se iungatur productum fummas II. cui iunge unitatem fit 18.enias dimitum dat s toties iste fecundus numerus componetur ex duobus quadratissere his faciti potest inueniri minimus numerus qui quoties quis velit componatur ex da obus quadratas. Si ultimas numerus bfariam diuidendus esset impar,tune dempta
mittate reliquι dimidiam fumi debet. Sed proponatur splacet sequens quaestio. Inuenire numerum in integris qui adfumpiato dato numero consciat quadratum, o sit hypotenso quotlibet triangulorum rectangulorum. Hae quaestio ardua est, proponatur v. g. inuestendus numerus qaisit bis potenus, o adsumpto binario confiat quadratum. Erit quaestus numerul aoas.
208쪽
DA et v xi numerum diuidere in duos
numeros,& inuenire quadratum, qui dempta utraque parte diuisi faciat quadratum. Esto datus io. Ponatur inueniendus quadratus I R- a N. -- I. Is si
bit quadratus. Statuo igitur primum a N. - I. secundum . N. Oportet horum summam aequari dato numero. Sed horum lumina est 6 N. - r. Hoc ergo aequa rumo. α fit i N. 1 l. Ad positiones. Erit primus . Secundus o. Quadratus au
δ εργ μ' ς' o ο τι ν de μ ς. α - . III s V sTIONEM XXIII. MIROR Xilandrum non aduertis quaestione in hane eandem esse cum decima sexta secundi, sicut di sequens non differt a decima quinta eiusdem libri. Operatio quidem est paulo diuersa sed eodem Atmh tecidit. Caeterum uarietas solutionis in eo consstit quod quadrati inueniendi latus potest finai diuersimode, nimirum ab I N. - quotlibet unitatibus, quarum quadratus sit minor numero diuidendo, puta in hypothesi Diophanti I N. - I. vel I N. - 3. vel I N. - quotlibet unitatibus, quarum quadratus sit minor qu m Io. se enim totidem diuersae contingent solutiones quot modis variabitur unitatum numerus, praeterquam in unci casu , cum scilicet tales duo sumentur unitatum numeri, ut vitiusque quadratum auferendo dato numero , & residua diuidendo per sektuplum sumptorum numerorum, fient quotientes eodem distantes interuallo, quo distant sumpti numeri. Vt si sumant ut numeri t. & a. in nostra hyrthes; nam ab eodem Io. auferendo quadratos eorum, puta l.& 4. remanent se. & 6. quibus diuitis per sextuplum ipsorum numerorum, puta s. per 5. & o. per ra. fiunt quotientes t &ὀquorum interuallu in idem est atque ipsorum i & a. Quamobreta siue fingas latus quadrati quaesiti I N. - .sue IN. - a. eadem continget solutio, euius symptomatis causam ex ipsa operatione paulo attentius eotis derata facile deprehendes. Sed de animaduersione dignum est eodem posto unitatum numero in latere Quadrati, eandem semper contingere solutionem. Mirantia inlibet vatietur Numerorum numeres. Sie in hypothes Diophanti,siue latus fingatur x N. - i. siue a. N. - siue IN. - I&e. semper eadem set solutio. eruntque quaesitae partes f. & 4. de quadrati latus 2 . similiter sue quadrati latus ponat ut a N. 3. siue a. N. - . 3. sue 3 N. - 3. se. semper erit eadem solutio, quippe quaesitae partes inuenientur & ς i. At quadrati latus Huius quoque symptomatis causam ex ipsemet Operatione de prehendes, & ab huiusmodi theoremate.
Si fuerint tres numeri a primo detrahatur quadratus secundi, S residuum diuidatur per sextuplum produm ex secundo in tertium, ac quotiens ducatur in tertium, idem semper procreatur numerus quamlumlibet varietur tertius primo de secundo
in uariatis. Noe vero nil aliud est qu in ex eodem numeto per sextuplum eiusdem numeri diuisci eundem semper procreari numerum, ut tibi considerandum relinquo. Porro hine talcm elicio Canonem. A duro numero a er quiadratum quemlibet, restautim cluari per faetulum titeris ι litus , quotiensauhitis eoam Iarere, erit latus quaesius quiadrati a rausem vero quotientis quadrupum erit ahe ra qua parum pararum. Moneo demum , etiam eodem modo facta positione quaesiti quadrati, ipsarum partium positi nes variati posse. Nam posito quadrato I Q - - a N. - I. sciit alteram partium Diophantus posuit N. qua detracta, quadrato posito , remanet quadratus I Q a N. -- L se& aliam ponere potuisset 6 N. - . vel 8 N. - 8. 5ec. quibus ab eodem quadrato detractis remanent quadrati I Q - N. -- 4. N IQ, -6 N. '- 9. Ita si ponas quaestas partes 4 N.&6 N. - a. set licitum summato N. - 3. aequalis I C. & erit IN. H. di quaesitae partes et de- . latus quadrati l. Qua ratione operam
209쪽
do , neeesse non est in quadrato quaesito reperiri plures unitates quam in dato numero. Nain ponatur quadratus quaesitus i Q. - 8. N. - I6.& ponamur partes quaesitae 16 N. M IS ab exposito quadrato detractis,remanent quadratia QP-8 N. - 16. de in . . o. ὶ - u 'summa est 34N. s. aequalis io. Ec fit 1 N. L sunt ergo partes quaesitae G -. latus vero quadrata
DA x v M numerum diuidere in duo
numeros, & inuenire quadratum, qui viralibet diuisi parte assumpta faciae quadratum. Esto datus 2o. Ponatur quadratus I Q -- ΣΝ - I. Huic sue addas 1 N. -- 3 Iue 4 N. -- 8. fit quadratus. Statuatur ergo primus a N. -- 3. Secundus N. --8. Erit utriusque summa 6 N. - . II. Hoc aequatur sto. & fit i N. i. '. Erit itaque primus 6. Secundus 34. Quadratus autem 6 ἰ. & demonstratio est euidens.
EAotu est haee quaestio cum decima quinta secundi, sed operatio aliquantulum diuersa. Positio Quadrati variari potest inlinitas modis, dummodo partes dati numeri sic ponantur, ut unitate, in iis eontenta simul sumptae minores stat dato numero. Pro partibus etiam dati numeri vatiae fieti possunt positiones, sed cum eadem cautione. Denique Canon ad decimam quintam traditus. ex huius etiam operatione forinari poterat.
210쪽
A T v M numerum diuidere in duos cubos, quorum laterum summa data sit. oporteat numerum 37o. diuidere in duos cubos, quorum latera faciant Io. Ponatur prioris cubi latus a N. - s. hoc est dimidium summae laterum. Relinquitur ergo alterius cubi latus 3 - r N. Ipsi autem cubi erunt simul 3o Q. -- et O.Haec aequantur 37o. dato scilicet numero , &
In IV. Librum Diophanti Commentari,
BINO MIOR vM IN. - &ς - IN.cubos sumit Xilander modo communi,sumendo scilicieptius eorum quadratos, di eos ducendo in ipsa binomia. Verum eoinpendiosius erit, huius. modi binomiorum eu bos sumere per vigesimam secundi porismatum. Qua ostensum est cuishum totius aequari eubis partium, & productis ter ex quadrato cuius ibet in alterum , ita si velis elabum ipsus IN. s. sumes partium cubos, puta I C. & Ias. Tum duces ter quadratum primae partis in secundam, sent Is QSemque duees ter quadratum secundae patris in priniam fient s. N. Quamobrem erit elabus totus a C. - - Is Q - - 7s N. - ras. Eadem arte inuenies cubum res- Aui 3 - 1 N nimirum ars - I3 Qta s.N.- I C. Vbi animaduersione dignum est in binomii, S in resis ut euhis duas semper species eodem signo, duas veris contrario assci. Nam partis quae in utroque latere assicitur signo - - cubus etiam idem signum retinet ut in hypothesi ias. At partis affectat si ιν no- eubus etiam idem signum habet in cubo residui, puta i C. Productus vero tet ex parte assecta signo -- in quadratum alterius, idem retinet signum, puta IF At proditistiis ter ex parte affecta signo- in quadratum alterius, habet etiam signum in cubo residui, nimirum 7s N. Caeterum ex operatione Diophanti elieitur huiusmodi Canon. Aufer eatim ma Drerum a er duplo s-- ωborum, resi um disiisper mo-summata.
Habens itaque lummam numerorum, de e tum interitalium, inuenies numeros per primam pH- mi, sed & alium non deteriorem Canonem elicere possumus ex decima nona seeund potismatum. Nimirum. r fer s.mmam mφη-- cuba fiam a lateram, ras m diuide per tresiam summa Laertim ari tur si vi sab Droibus.