장음표시 사용
211쪽
Habens autem summam numerorum, & productum multiplicationis eorundem, inuenies Numeros per trigesimam primi. Denique tam ex oritatione Diophanti, qu in ex priore Canone eolligitur, hute quaestioni hane conditionem debete adiici.
Uportet quadruplum summae cuborum, multatum cubo summae saterum, diuisuinpet triplum summae laterum, quotientem dare quadratum.
IN v a N i a a duos numeros, ut illorum internali uni datum faciat numerum, de cuborum quoque ab ipsis ortorum sit quod prescribitur interuallum. Esto interuallum numerorum 6.interuallum vero cuborum 3o . Ponatur rursus maioris cubi latus i N. - 3. minoris vero I N.
s. & manet illorum interualliam s. Superest ut cuborum interuallum sit ueo . sed cuborum interuallum est 18 Q. -- 3 H aec ergo aequantur so . & fit i N. 1. Ad positiones. Erit maioris cubi latus 8. minoris vero a. Ips autem cubi ueta. 31 8. & euidens est demonstratio IONEM ILAIc ex operatione Diophanti elietemus huiusnodi Canonem.
Diviris quadratiam interuam ciborum mul a se cubo interualli lateram, per Diptum incrematis laterum, oriemr quadratus pumma laterum. Cum autem habueris summam numerorum de eotum interuallum , inuenies ipsos numeros petr imam primi sed di alium Canonem non deteriorem eliciemus ex vigesima prima see di potisma tum, nimirum. Dialia interuallum euiarum mutiarum exbo anseruum Iaseram, per tripiam ante alti l feram, orierin planus sub laterιbus. Porro cum habucris interuallum numerorum , & productum eorum multiplicatione , inuenies ipsos numeros per trigesinam intiam primi. Colliges etiam tam ex operatione Diophanti quam
ea priore Catione , huiusmodi conditionem huic quaestioni prascribi debere. Oportet quadruplum interualli Cuborum multatum cubo interualli laterum , diui-Mn per triplum interualli laterum, quotientem dare quadratum. Quaestiones etiam aliquot hie desiderantur ad hanc materiam pertinentes , quas subiicere non gra
Datis duobus cubis, inuenire duos alios, quorum summa aequalis sit datorum in teruallo. Uportet autem duplum minoris cubi non superare maiorem.
Sint dati cubi L N a. quotum interuallum . oportet igitur diuidere r. in duos cubos. Esto latus unius, latus maioris datorum cuborum N. puta a. - N. & fingatur alterius latus 1 eerto Nume. r eum numero latere minotis cubi, dum talis sit numerus Numerorum, ut fiat diuidendo quadratum maioris latetis per quadratum minotis. Esto itaque latus seeundi eubi 4 N. - I. Est ergo summa cuborum 7 - 63 C. - aequalis γ. & fit x N. '. suntque latera quaesitotum cubitum
. Aliter fingatur latus votus quaesitorum eu tum i N. - latere minotis datorum, puta I N. - I. Alterius ver latus ponatui latus maioris euhi - tot Numeris, quot sunt diuidendo quadratum minoris lateris per quadratum maioris, ponatur itaque a- i N. fiet summa Cuborum 7 - a C. α' inaequilis T. 2 fili N. a suntqae euhi quaesiti qui prius. Hic moneo in tytonum gratiam
212쪽
Arithmeticorum Liber IU. . I 33
ingeniose fingi euhorum latera, ut moneat tandcm aquatio inter cubos N quadratos. Idcirco statuitur in uno laterum fictiorum maius datotum lateium cum signo & in altero latere fictilio
ponit ut mitius dat oi uni laterum cum signω - ut facta additione cuborum, maneant tantum unitates 7 quae abollantur per atque leni unitatum numetum , qui est ex alia parte , aequationis. Deinde tales utrobique ponuntur numeri Numerorum vi in viro cubo totidem inueniant ut Numeri cuin signo - . quot reperiuntur in alio, cum signo -. ut his etiam per additionem se mutuo elidentibus maneat tandem aequatio int et cubos & quadratos, cum quadrati ob signum - adiunetum itanteant in aliam aequationis partem. Ex utraque autem operatione sormat ut huiusmodi Canon.
Vtrumque datorum cuborum ducito ter in latus alterius , productos diuide per suomam cuborum, a maiore quotiente auser minus latus, & minorem quotientem aufer a maiore latere, relinquentur cuborum quaestorum latera. Hine conditionis adicetae ratio deduci potest. Nam si maior cubus ad minorem sit in dupla tatione, vel etiam in minore, non poste perfici quod iubet hie Canon, se demonstratur. Sint cubi At B, C, D, C 4 A minor, ει B duplus illius , quorum latera CD. ductoque A in D rei silera 'c pQG,c , quo per F lammam cuborum A B. sit quotiens G. Ergo per hune
P ' ' Canonem, ut habeamus latus unius quaestorum eu tum, oportet auferre
G ab ipso D. Sed hae subtractione nil telinqui sic probatur. Quia B est duplus ipsius λ. patet summam ipsorum AB, puta F triplam esse ipsius A. At Eest triplum producti ex A in D. Catervin
idem quotiens C fiet siue E diuidatur per F. sue triens ipsius E per trientem ipsius P. diuidi concipiatur. Sed diuidendo productum ex Α i n D. pet A. st quotiens D. igit ut ipsi D C. sunt aequales, aeptoinde auferendo G ab ipso D nil temanet pro latete unius quaesitorum Cuborum. Quod erat propositum. Multo minus perfici poterit quod iubet Canon, s B ponatur minor duplo ipsius A, tune enim C maior esse Ostandetur quatra D, ae pio inde subtractio nullo modo persei poterit. Si enim B minor est duplo ipsius A. erit & F minor triplo ipsius A. Quare cum triens ipsius E nempe productus ex Α in D. diuidetur per trientem F qui minor erit qiuura A quotiens utique puta C. maior erit ipso D. Nam si ploductus es A in D. pet A. diuideretur, fieret quotiens D, Quale s idem productus cliuidatur per numerum minotem quam Α , fiet utique quotiens maior quam D. Quare patet pro'
Hinc quoque pendet modus inueniendi tres e Gos, qui simul additi cubum essetant, quod fit
- os evitas quarum maior superet duplum minoris, O dae ea maius iatus in summam mborum 'a laevi eula summam trium a Pantιs. Durita minus iatas in summam elaborum. Irem e maius laetis insevim rabam misistum d plo minoris eat. Ae denique miris latus in dupiam missoris eisi vitiatam minare ciabo, fient latera trium quasliorum cuborum. iIsta pluribus explicare Operae pretium fuit, quoniam hae quaestio , tanquam porisma est ad deci anam nonam quinti, ut suo loco docebimus.
DEιεν minarionem operationis iteratione Deilii mὸ toltimas o generaliter ram hane quasi os em tum sequentes quaestiones construimus, quod nee Baehetas nees e meta expeάire potuit. Sin ι da fi ι abs ε o las . inueniendi alij duo ρώοram fumisma aqvialis sit Διονam anιeνtiatio. Ex quasione tartia folio sequenti quaerantών da oati, ea bi quoram disserentia aquei Hsserentiam dataram. Illos Eaehetas inuenit orsant es t .., iisti duo labi ex eonfructione habent intertialiam aga ale interiati allo datorum. Sed isi duo etibi inuenti per quaestionis tertia operata onem possunt lamiransferri ad qώasionem primam eam duplum minoris non stiperet maiorem, datis itaque his daabas eu bis quaeruntur atij duo quoram summa aequeιών intersatio δει oram, id ardem Leet peν άeIerminationem haias ga nonιs ρνιm . est antersaIIam datorum sortim ea boram es per quaestionem te ιι ηm aquale intertia Ilo cubo νum prius famptorum 64. O ias. igitur eoni ruere nihil metal duos. ensos quorum summa aqua istis sit inserti allo dat oram ε . o Ias. quod sane miraretur ipse Pachestis. Imo se iressa qa tiron/s eant in ciretitum is iterens vir in infinitam, dabant vir δεο e tibi in iv mriam idem praefantes , ex anaenIis enim diti ima duobus culis qaoνam samma πρ aes
213쪽
disseνεηι iam datorum , per quassonis scanda opera ιι onem quaeremtis duos alios quorum disserentia aquei summam ultimoνam νοe si intera aliam prioram o ex hae different sa νώ Uam quaremus summam e sic in ιυ iram. sTIO SECUNDA. Datis duobus cubis, inuenire duos alios, quorum differentia aequet summam datorum.
Sint dati 8. & t. oporteat inuenire duos alios eu bos , quorum interuallum si s. Ponatur latus unius α -- i N. alterius vero 4 N. - I. ob caulas in precedente explicatas. Erit igitur Cubottim interuallum s -- ς ' C. aequalism & fiet I N. q. sunt ergo lateta eubotum b. di Ipsi
Aliter ponatur latus unius cubi I N. - I. alterius verba N. erit interuallum euborum s M. 3I Q --C. aequalis s. unde si IN. suntque cubi qui prius. Ex utraque netatione elicitui h iusmodi Canon. triam a dis omis ciborum duello ter in latus at mitis, proavisos ἀίδρον inrematium exbarum. re minari quotiensi adde maius latus. Atque a misιore quotiente axfer manas latas , summia σrsutium exhibebunt quastarum Meria cuborem. Hi ne etiam alius eoiligitur modus inueniendi tres cubos , quotum summa cubum saeiat, qui talis est. Sume duas quas is numeras , ct d cita maiorem ἱn suiam rubiam auctum dupla manoris e bi, De
Caeterum moneo inuentis semel tribus cubis siue pet hane, sue per praee edentem quorum summa eubum saeiat, si eorum latera sigillatim per quemlibet numerum vel multiplicentur vel diuidantur, fore ut & productorum & quotientum eubi idem piaestent. Quod facile est demonstrateri. .aaia. ex eo ' quod cubi sunt in triplicata ratione laterum, unde sequitur numerorum proportionalium cubos este proportionales, & propos tum nullo negotio concluditur. Ita cum per priorem regulam inuenti sunt eubi a lateribus s. aa. Is. qui aequantur eubo a latere I 8. si singula latera dividantur per 3. fient rursus latera 3. 4. s. quorum cubi simul aequabuntur cubo ipsius 6.
m . sTIO TERTIA. Datis duobus cubis, inuenire alios duos, quorum disserentia aequet datorum di
fetentiam. oportet autem duplum minoris excedere maiorem. . Sint dati cubi 6 & ias. quorum differentiast. & quaerendi sint alis duo e ubi, quorum itidem interuallum sit sa. Ponatur unius latus I N. - latere minoris cubi, puta I N. - 4. Et ponatur latus alterius tot Nume totum quot sunt unitates in quotiente divisonis quadrati a minore latere per quadratum maioris- latere maioris euhi. Sit ergo huiusmodi latus N. - s. Cuborum interuallum est - ς. ist. quod aequatur 6 i. & fit t N. seu in minimis v Sunt igitue latera evborum & Ips vero cubi εἰ ramati 'redi quorum interuallum 4 E s seu OI. ut postulabatur. Aliter. Ponatur Iatus unius e ubi I N. - s. Alterius vero AN. - 4. & eadem repetietur solutio.
Quamobrem ex utraque operatione hie tirmatur Canon. γνοώmum ex Drraque euba per in Iasus alterius diuιῶ per svimmam cuborum. A maiore quoricente aufer minas Iarus , a minora qMatiense aufer maius laιus, relinquantur urera quasso m
Portis inde eonditionis adiectat latio patet argumentando eodem protius modo quo ad primammarum factu in est. Nam smilitet ostendetuis maior cubus sit duplus minoris, minorem quotientem aequari maiori lateri, & s maior euhus minoris sit plus quam duplus demonstrahitur minorem quotienteiri, minorem esse maiore latere, ae proinde sub eaAionem huius ab illo fieri non posse. i Hine etiam eolligitur modus inueniendi quatuor eubos, ut bini hinis sint aequales. nimirum.
Same duo a numeros. Da vit avium cuba manoris superest maioris rabiam. Deinda Δίiro minorem numerum tum in diaptum cubi maioris mutiarum eas minore, tum in summam cuborum, feni Literia δεσrtim evibaram quasi aram. Rursus ducito maiorem mmeram, rum in ripiam minoris cubi multatum rabo maior . rum insammiam euio m. sient reliquorum cubartim titera.' Ita si sumas numero, s. & 4. sent e ubi h lateribus .n s. aequalas eu bis 3 lateribus f s. & Is. Et diuidendo omnia lareta per 3. eiunt cubi a lateribus a . oc asa. aequales cubis a lateribus 3II. Us.
214쪽
Anthmeticorum Liber IU. 13sOBSERVATIO D. P. F.
HVitis quasionis determinationem non esse legitimam si miti qώa vs in primί
quaestione sumas operatione aperiemus. Imo ex supra ciis qmestionem quam Bachetas ignorauit, feliciter eonfrviemus,G- tum nώmertim ex da Obas evibas compostam in da os alios culos diuidereis ιὸ instat is modis per operationum eontinviatam it fura monaimus, operationem. Sint dvio etibi ρti ibas a 6 dtio aequales inueniendi 8. es i. primum ex quaestione se eunda qtiarantar duo cuba qώoram aserenisa aequet summam datorum , eranι ae. V oras usa daplum mιnoris excedit maiorem, res deducitur ad tertium quaestio nem qua demuo redueetar ad primam o eo abit propositio , si velis ferandam solationem ν Utis quaesto redibis ad secandam se. D autem paleas qvi sionis reνtiae determanationem non esse legiι imam. datis δεο- fas ea bis 8. o I. inueniendi a J άuo quoram disserensia aequet disserenisam ad o νum. Sane Baesertis impossibilem hane quaesionem pronuntiaret , essi Iam n duo per nostram methodam insenti fant sequenses qώoram nempe disserentia aequa aν
Inuenire duos numeros, ut summa cuborum ab ipsis ortorum , & productus eorum multiplicatione, datos conficiant numeros. Oportet autem ut a quadrato summarcu tum , auferendo quadruplum cubi producti multiplicationis remaneat quadratus.
Esto tum ma cuborum 72. productus 8. Pone alterum cuborum 36 -- I N. alterum 36 - I N. Quia igitur productus ex mutuo ductu duorum euborum aequatur cubo plani sub lateribus, si ducas 35 -- i N. in 36 - N. fiet Ias6 - 1 aequalis siet. Ac proinde i N. est as. suntque cubi quaestiri . & 8. & ipsa latera η. N a. Hine si Canon. A qaadrato semiso summa cubarum aufer culum nodiacti , residui latras quadratum adri es a nasmumsumma cuborum, halebas cubos qs si as. vel etiam A quad ara summa ruborum aufer quadrupiam rasa producti, re vii latus quadratum adde O auima seu me eulorum , aggregaιι ct resδει semisses quasii os exhabebunt cubos. Vnde patet conditionem propositioni adiectam non omnino susscete, ut solutio eontingat rationalis. sed oportet ut a quadrato summae cuborum auferendo quadruplum cubi a produlio, et maneat quadratus, cuius latus addendo & adimendo sinu ae eu tum, aggregati & residui semisses fuit cubi numeri.
Inuenire ducis numeros, ut interuallum cuborum ab ipss ortorum ,& productus eorum multiplicatione datos conficiant numeros. Oportet autem ut quadrato interualli addendo quadruplum cubi producti, quadratus sat.
Esto interuallum cuborum sue. productus 8 Ponatur alter cuborum I N. - 28. alter I N. - 28.
Erga, productus eorum multiplicatione I Q - 8 . aequatur cubo ipsius 8. puta si a. & fit I N. 36. sunt ergo cubi quaesti sq. & 8. ut prius. Hine fit Canon. Maisato semissis inseruali; μιαν- -ue eiabtim prodacti, fiammis latus quadraram adue O MYma semissis itii. Uti cubarMm, fient cubi Polii. Vel etiam. Q. /drino interuam eviborum adde Padrupura cubi produs. , sitimma Iarus Padratum adde Oadime interuatio euboram, auregati s re Nisemisses seni cubi quassi. Hie quoque conditio adieeta non suscit, ut solutio si omnino rationalis. Sed oportet ut quadrato livetualli cuborum , addei)do quadruplum cubi producti, fiat quadratus cuius latus addendo & adimendo interuallo euborum, aggregati & residui semisses snteubi numeri. Porro ex nonnullas harum quaestionum deducuntur Regulae Algebiae de cubo affecto sub latere, ut abunde docuit Vieta nollet libro de Recognitione aequationum.
215쪽
IN quadratum numerum, & in latus
eius eundem multiplicare numerum, di facere ex latere quidem , cubum I ex quadrato autem, latus cubi . Ponatur quadratus 1 Q. Erit igitur latus illius 1 N. Qui in hos ducendus est, sit viaitatum cu-hicarum quotcunque per i N diuisarum, esto eis. Hunc igitur ducentes in i inuensemus 8. N. adducentes in i N. i ueniemus 8. volumus itaque 8 N. esse latus cubicum de 8. Proinde a. aequantur
8 N. & fit 1 N.ή. Ad positiones. Erit quidem quadratus A. eius latus l. Qui in illos
OVasTIo Nas huius tractationem non percepit Xilando, eo quod fgnum Numeri mauhse insutum putauit , non videns numerum qui ducendus est in quadratum, & in eius latus non esse simpliciter unitate, R sed A. Alluci tus autem est Xdander, & hie & ubicunque erὸ stactiones Numericas adhibuit Diophantus, quia ut iam monuimus ad duodecimam tertii huiusmodi fractiones inteYtu Graeco passim ambiguὸ raptimuntur, ut ex hoc quoque loco ecilli gere est. Nam Iegitur in manu exarato eodice, o πο- τ, α ιδνος ηα. c' ταν κυζικυι σου, τηε. .m in t is a. quae more nostro emendauimus sie, ὁ π-απλαmao οι άειθιGςo, P χυcκων ore ν δ ποτε. εm en Belia autem vidit idem Xila et , ut adulterina expun genda esse verba illa. ab γιram. ὁ β. o δὲ πωλαπλαneto μοι λβ. ti' λβ. ια δε ω ἄ- ora se ia- ώη-avam ιδν α' S. quae ideiteo asteriscis inclusimus. Ceteterum emenis dato textu, ut iacimus in nostra versione, operatio Diophanti facilis est & pespietia. Vnde huiusmodi
Canon elicitur. Stime quemtibet numerum, eumque Laide per suum ciatim , orietur latus apiasti qualisia. -- meras autem an verumque dueendus, eaer auia locasus se pri inirio numeri.
Hie etiam desiderati videtur huiusmodi quaeilio. In quadratum numerum de in latus eius, multiplicare eundem numerum, δέ sacere ex quadrato cubum, ex latere latus eiusdem cubi.
statuatur quadratus I in erit latus eius I N. Qui autem in hos ducitur, esto quilibet Numerorum numerus cubicus, puta 8 N. Eum s iiii Miueas sent 8 C. si in i N. fient go Debent et 8 Q. esse latus eubleum cubi 8 C. id autem est a N. Igitur a N. aequantui 8 Q fit I. N. .. Ad positiones. adlatus est A. latus eius Is qui iii utrumque ducitur a. Hine formatur huiusmodi Canon. Stime queml bet numerum, eumque diu de pers m eubum, orietur Ditis quadrati qua siti. Namertis auiem in utrumqua a centas, estsumitvis inisio N merus. simili artificio solvemus quaestiones sequentes.
In cubum &ine iis latus multiplicare eundem numerum, & facere ex cubo quadrato quadratum , ex latere latus quadrato quadrati.
sit euhiis i C. latus eius i N. Numerus invitumque ducendus sit unitatuna quotlibet, puta a. Igitur a N. erunt latus quadrato quadrati cum de a C. ae proinde iis aequabuntur a C. & fiet I N. έ. eruntque quasti numeri I. Et
216쪽
Et sie Inuenietur numerus qui ductus in quadrato quadratum, & in latus eius faciat re quadrato quadrato quadratocubum, di ex latere latus quadratocubi. Ac demum inueniet ut numerus qui ductus in quadratoeubum & in latus eius, faciat ex quadratocubo cubocubum, & ex latere Iatus cuboeubi. Vnde fit Canon uniuersalis. Sume quemnbet νωχurum, eumque Hulde per gradum i - ,similem ei Dipos iatur fieri, orietuis
iatur quassa potestatas. Numerus Muem n utrum ue ducendus , erat sumptus numerus.
In cubum & in eius latus multiplicare eundem numerum, & sacere ex latere quadratoquadratum , ex cubo latus quadrat quadrati.
Esto eu busi C. latus eius I N. Numerus autem in utrumque ducendus sit fractio Numerica unitatum quadratocubo bicarum, puta fienς ergo ex multiplicatione 216.& ille huiua esse debet latus quadratoquadraticum , quare as6. inaequantur 4. Ec fit I N. quaesitum latus, tot rureubus est; . Numerus in utrumque ducendus 1o 8. sic quoque inuenietur Numerus qui ductus in quadrato quadratum Sc in latus eius, faciat ex latere quadratocubum, Ac ex quadratoquadrato latus quadratocubi. Ac deniquc reperietur numerus qui ductus in quadratocubum, di in latus eius, faciat ex latere eubocubum, & ex quadratoeubo latus eu cubi.
OV o κατο & lateri eius eundem adiicere numerum, & eadem facere. Esto quadratus I Q. ergo latus erit i N. Addendus autem elio tot quadratorum, ut additus ad I infaciat quadratum, esto 3 Q Is adiectus adr facit quadratum 4 QOdditus autem ad I N. Dcie 3. -I N. Haec aequantur lateri
HIema ma αὐτῶ nil aliud est quam quadrato Ac lateri eius talem addere numerum, ut hae
additione fiant rursus quadratus εc latus eius. Caetera sunt perspicua, Zζ ex Operatione formatur huiu modi Canon. Suartim qώον-liber numerorum interualiam diaide per inrem Ilum quadratorum, quo tentemd-ιro an nranorem numeram, sin latus quaesita quadrati. Eiusium quotientis quisdratam ducisa an quiaratorum inter atium, fiet aviodvis numeras.
dem numerum S eadem facere Or. cline viuerso. Esto quadratus a latur ergo erit 1 N. Addendus autem ut ex la. rere quadratum iaciat, esto aliquot quadratorum quadrato numero, cuin desectu Numerorum qui sunt in latere priori
quadrati ; esto itaque i N.&s adiiciatur quadrato sit 3 in- I N. Haec aequantur di N. lateri scilicet facti qua drati ex priori additione, & fit i N. l. Ad
217쪽
TA ιν αλλαξ idem est quod teciproce, seu inuerso ordine, vult enina vi quadrato At latetiaddendo eundem numerum, fiat ex latere quadratus, ex quadrato latus quadrati. Operatio euidens est , & ex ea elicitur iste Canon. me quadra vim liquem, re per eum MN tara mitiem, iuri de Iatas eias mirata auctam, ories t tu, quassi quadrati. At qκastum quadratAm duciιο in quadratum iniιιο semptum, pro ducta a re Iartis γ6A. quadrari, residaeum erat aduentas numerus.
Monus quo hic inuenit Diophantus quadratum qui ad s. additus quadratum effetat,idem est prorsus eum Canone ultimo ad undecimam seeundi tradito. Caeterum positiones quais druplicitet variari possunt. Primo enim cubus quaesitus statui potest quilibet cuborum numerus cubicus, putat C. 8 C. ar. C. &c. secundo quadratus quaesitus poni potest quilibet quadratorum numerus quadratus, puta I Q. ε - . Te tio addendus quadratus etiam infinitis modis variati potest, nam verbi gratia in hypothesi Diophanti, per undecimam secundi infiniti quadrati repetiti poterant, qui ad s. additi Leerret
Denique vitinia aequatio institui potest cum quolibet euborum numero cubico maiore quam eiibus initio sumptus v. g. a C. Io aequari possunt 8 C. a . C. 64 C. vel euilibet eu botum numero cubico maiori quam I.
218쪽
dratum, nempe tertium, additu quadrato, nempe iecundo,sacere cubum: laciat cubum nempe primum:Ita ut primus superet secundum,tertio,nimirum quadrato, cum tertius quadratus sit. Iam quoscunque duos numeros ex possiero,eorum quadrati
adiecto duplo prodi acti multiplicationis eorum , quadratum faciunt. Debeo ergo expositis duobus numeris ponere pro primo summam quadratorum quia primus aeqlialis eii duobus quadratis, quaesito, & addendo ; qui sunt secundus &tertius duplum autem producti multi plicationis , pro tertio. Atqui tertius debet esse quadratus, quare & duplum producti multiplicationis , quadratum esse oportet. Ponatur ergo alter I N. altera N. vi duplum producti sit quadratus. Sumens igitur summam quadratorum,statuo
primum 1 Q. Tertium vero duplum producti multipIicationis nempe Vnde relinquitur secundus i quia is una cum tertio arquatur primo superest veprimus sit cubus. Proinde s Q. aequantur1 C. & fiti N. 1. Ad positiones. Erit cu-
MA otio artificio Diophantu suas ita instituit positiones, ut tandem aequatio procedat in ter 3 Q. & I C. unde sequitur primum numerum reperiri cubum , ut postulatur. Itemque summam seeundi & tertii cubum conficere, quia scilicet fit aequalis primo. Superest igitur videte qua ratione reliquis propositi partibus satisfiat. Nimirum, quomodo secundus de tertius si uterque adlatus, M simul additi sint aequales ptimci Ae demum tertius ipse primo additus quadratum constituat. Haec autem Omnia necessario euenire Operando cum Diophanto, se demonstrabimus. n sumantur duo quilibet numeri Α B. ita ut duplum producti eorum E st quaia in ' ' dratus numerus. Et summa quadratorum ab ipsa Α Β st C. At numerus quo C suis Mao. D Ero. D. Dieo s C ponatur primus D seeundus E tertius satisnaum esse omnibus propositae quaestionis partibus, illa excepta qua requiritur petimum C esse cubum. Primo enim DE simul conseiunt C ex e structione. Quare si C nat cubus, erit & summa ipsorum DE cubus, ut postulatur. Secundo E quadratus est ex eonstructione, nam suppono tales sumptos esse A B, ut duplum producti eorum E si quadratus . tales autem numeri qui facile inveniantur instadoeebo. Tettio ipsum D esse quadratum constat ev quarta secundi porismatum. Nam ex summa quadratorum C. auferendo E duplum producti, superest D quadratus interualli laterum. Denique Ε additum ips C facere quadratum concluditur per quartam iecundi Euelidis, quam ideo assumpsit Diophantus. Nam summa quadratorum C & duelum ploducti E simul saeiunt quadratum summae laterum. Quamobrem patet ex omni parte propositum. & restat tantum , ut C cubo aequetur quod facilὸ fit supponendo ipsos CD Enota Q. insignitos esse, ut sint 2 SQ Tune enim aO. quabuntur cuilibet euhorum numere cubico, puta I. e. 8. c. &e. Inueniuntur autem Acilὰ duo numeri qui bis inuicem ducti quadratum faciant, si sumpto semisse cuiussibet quadrati, quatantur duo numeri, quotum mutuo ductu is fiat. Ita Diophantus si impio I. semisse quadrati A. inuenit numeros & a. quotum mutuo ductu fit a. Et nos in superiore diagrammate sumpto 8. semisse quadrati
I s. inuenimus numerosa.& q. quorum mutuo ductu fit ε. Poteramus eliam tumere r. de s. 8a
alios infinitos mutuo ductu producentes s. s ij
219쪽
cundus : at adiiciendus quadratus, tertius. Quia igitur volo quadratum adiiciendum , additum secundo, hoc est quadrato facere cubum, faciat primum. Rursus itaque quia volo primum additum tertio , facere quadratum, id mihi otieris incumbit , ut inueniam duos quadratOS, quorum summa cum altero ipsorum coniuncta quadratum exhibeat,& praeterea
duo quadrati addendus scilicet secundo,& ipse secundus simul faciant cubum, videlicet primum. Ponantur duo quadrati, primus quidem I Q secundus . & summa ipsorum cum altero juncta facit a Q. - 4. aequalem quadrato a latere a N - a. fitque quadratus Q με - 8 N. & fit I N. q. Ad positiones. Erit alter . alter I 6. Nunc ergo statuo quadratum addendum I 6 secundum autem Primus ergo erit 2 o. Q. quia volumus eum ambobus aequalem elle. Superest vieto inaequentur I C.& fit 1 N. dio. Ad politiones. Erit primus Moo. secundus I 6Oo. tertius addendus 6 oo. & infinitis modis soluitur quaestio.
EA D E M est haee quaestio eum praecedente. Sed operatio paulo diuersa lemma quod assutae Diophantus ad inueniendum duos quadratos, quorum summa adscito altero ipsorum quadratum faciat, poterat reduci ad undecimam secundi, si propositum suisset hoc modo. Invenite duos quadratos, quorum interuallu insit duplum alicuius quadrati. Hoc enim idem esse manifestum est: QEia cum summae quadratotum addetur alter, hoc aggregatum continebit additum bis, de alterum semel. Porro ex operatione formatut huiusmodi Canore Sume Aos quadrator quorum summa eum altero Useram quadratum fac/at. Horam summa cubus eis primus quastorum. Et Am Fumma quadratus ductus in sumptos quadrator , dat reliquos
indie. εἰ δὲ e τὸ Q, θυι νγ ις δμη δ M. CV a o & lateri eius eundem addere numerum , & eadem facere. Sit addendus numerys I N. latus vero cubi Numerorum quotlibet. Esto a N. Ergo cubus est 8 C. Iam si i N. addatur ad 1 μfiunt a N. si ad 8 C. fit 8. C. --I N. haec
aequantur 27 C. Auserantur utrinque 8 C. relinquuntur I9 C. aequales t N. Omnia per numerum dividantur I9 aequantur 1. & est unitas quadratus & si I9. nu-
220쪽
merus quadratorum quadratus esset, explicari aequatio posset. Sed rq inproue munt ab excessu quo 27 C. superant 8 C.& 27.C. est cubus a latere 3 N. At 8 C. est cubus a latere a N. Proinde i9 Q. facti sunt ex excessu quo cubus a 3 N. superat cubum a a N. Atqui a N.habentur ex positione , & 3 N. fiunt unitate addita ad
ipsos positionis numeros. Eo ergo res rediit, ut inueniantur duo numeri unitate aifferentes, ut interuallum cuborum ab ipsis, sit quadratus numerus. Esto alter IN alteri N. - I. & interuallum cuborum est 3 Q. - 3N. -- I. Haec aequantur quadrato alitere 1 - 2 N.& fit i N. 7.
d positiones. Erit alter 7. alter 8. Iam redeo ad postulata ab initio , & pono adiiciendum numerum I N. latus autem
cubi N. Igitur cubus erit 3 a C. & si 1
N. utrique adiiciatur, facit hunc quidem 8 N. illum vero 3 3 C. - IN. Volumus ergo hunc esse cubum, cujus latus sit 8 N. Quare II a C. aequantur 3 3 C. - I N. &IN. ni. Ad positiones. Erit cubus .eJ. latus autem 4. Adiiciendus is
IONEM IMVE Ra A Diophanti perspicua sunt, & ad erudiendum aptissma. Cum enim in prima operatione
positionibus ad libitum factis, ad aequationem inexplicabilem deueniatur, ubi Is Q aequantula. & lolutio est irrationalis, repetitis analysios vestigiis considerat unde I9. prouenerit, fit quippe ex interuallo tuborum 8. Na7. unde recte inseri quaerendos esse duos cubos quadrato distantes, itavi de eubotum utera unitate dissent. Quod tamen lemma poterat etiam uniuersalius proponi, nismitum sit.
Duos cubos inuenire quorum interuallum sit quadratus Numerus, & quorum latera distent etiam quadrato numero. Sit unius latus I N. alterius r N. - 4. st laterum interuallum si quadratus numerus , erit cuborum interuallum s N. ηuod aequat ut quadrato. Fingatur eius latus 5 N - 8. fiet 1 N. s. Erunt ergo euborum latera S N Io. Ipsi cubi ar6. N Io . quorum inteluallum 78 . quadratus a latere 28. Huius autem lemmatis ope licebit etiam variare positionem numeri adiiciendi, nam poni poterit quilibet Numerorum numerus quadratus. verbi gratia ponatur N. Quaerendi ergo erunt duo cubi , ut laterum interuallum sit ε. & eubotum interuallum sit quadratus numinis. Hi sunt per allatum lemma f. & Io. Quare ponetur quasti cubi latus 6 N. ipse euhus ais C. N utrique adiiciendo N. fient IO. N. &a Io. C. - N. quorum hie cubus esse debet, ille vero latus huius cubi. Igitur ais C. - N. aequantur Iooo. C. & tandem N. aequamur C. N fit i N. Est igitur cubi quaesti latus t ipse cubus. R. Adiiciendus vero numerus quo vitique addito fiunt Ctibus stilicet & latus eius. Caetrium licebit etiam soluete huiusmodi quaestiones ad hanc materiam pertiuentes.
R AESTIO PRIMA. Inuenire duos numeros in data ratione, quorum cubi quadrato distent numero.
Sit data ratio dupla. Ponantur lateta Cuborum I N. & a N. etune eubi a C. & 8 C. quorum interuallum C. aequatur quadiato. Esto is quilibet numerus Quadratorum quadratus, puta 49 ins iis