장음표시 사용
221쪽
latera cuborum 7. & I - & satisfaciunt proposito. V AESTIO SECUNDA.Inuenire duos numeros in data ratione, quorum cubi distent numero quadrato quadrato.
Sit data ratio dupla. Ponantur Iatera cuborum IN.&a N. micubi I C. & 8 C. quorum interuallum C. aequatur quadrato quadrato. Eito is quilibet quadratoquadrator uin numerus quadra loquadratus, puta I Q h. fit i N. 7.& sunt lateta cuborum ut prius 7. & t .
Inueniae duos cubos quadrato distantes, quorum latera distent cubo numero.
sit unius e ubi latus I N. alterius vero IN. - quolibet cubociabo puta I N. - 64. erit cuborum interualluma 6as 4 - I 2288 N. - Isa aequale quadrato, fingatur eius latus stet. --Iψ N. fiet quadratus 262I - 4336 N. - I96 infit fiet i N. 66s6. Sunt igitur cuborum lateta 6636.8t 672 o. quorum interuallum est cubus o . sunt autem cubi 294876348 to & 3o3 6 4 Moo. quorum interuallum 8388o9938 . quadratus est a latere s1672. Eodem attificio inuenientur duo cubi quadrato distantes , quorum Iatera distent eu boeubo, erunt enim iidem proxime inuenti. Similiter inuenientur duci e ubi quadrato distantes, quorum latera distent quadratoquadrato, si ponatur uoius latus IN. alterius I N. - quolibet quadratoquadrato, puta I N. - Ι6. Ac demum inuenientur duo cubi quadrato distantes, quorum lateta distent quadrato cubo, si ponatur unius latus I N. Alterius Vero I N. - quolibet numero quadrato simulti quadratoeubo, puta I N. - Io24.
Inuenire duos cubos, quorum interuallum ad interuallum laterii in si in ratione quadrati ad quadratum. Interuallum autem laterum sit datus numerus.' Esto interuassum laterum 3. Ponatur unum latus I N. alterum I N. - 3. erit cuborum interuallum 27. - 27 N. - 9 Q. quod cum ad 3. debeat habere rationem quadrati ad quadratum, diuisci eo per 3 fiet ς- ς N. - 3 Q equandus quadrato. Fingatur Cius latus 3- a N. fiet IN. ai. Sunt ergo cuborum latera ai&a .& satis fit proposito. Huius ultimae quaestionis auxilio uniuersalius adhuc quam per Iemmata supr1 tradita soluetur Diophantaeum problema. Licebit enim adiiciendum nummum ponere quemlibet Numerorum numerum , puta 3 N. sed tune quaerendi erunt duo cubi, quorum interuallum ad interuallum laterum sto quadratus ad quadratum. Interuallum autem laterum fit 3. & reperientur qui suptae Quare ponetur latus cubi 2I N. ipse cubus pa6t C. quibus si addas sigillatini N. fient 24 N. & sa 61 C. - N. quorum ille istius latus cubicum esse debet. Quare I 3824 C. aequantur 6I C. - 3 N. Zetandem s63. C. aequantur 3 N. & fit I N. Est igitur latus cubire ut apud Diophantum, & adii ciendus numerus λ. Et lite aduerte inuentis semel duobus cubis, quorum interuallum ad laterum interuallum sit ut quadratus ad quadratum, si sumantur duo alii quicunque numeri in eadem eum lateribus ratione, interuallum quoque cuborum ab ipsis ortorum fore ad ipsorum numerorum interualluni ut quadratus ad quadratum. Ita quoniam IOD. & al6. interuallum 78 . ad laterum io.& 6. interuallum 4. est ut quadratus ad quadratum , si loco ipsorum 6. N Io. luntas 3. de s. eu tum quoque 27. 8c lay. interuallum . ad laterum interuallum a. est Ut quadratus s ad quadratum r. cuius rei demonstratio ex iis quae ad sequentem Ostendetnus, liquido constabit.
merum , & eadem facere ordine inuerso. Esto cubus cuborum cubicorum quotlibet verbi gratia 8 C. Igitur latus erit a N. Ponatur autem adiiciendus, alius cuborum numerus cubicus, minus latere prioris cubi, esto itaque 27 C. - 2
N. de si addatur ad a N. fiunt a C. qui est
222쪽
fiunt 33. C. - a N. Volumus autem l arcesse latus cubicum factorum 27 C. hoc ei N. Proinde 33 C. - a N. aequantur IN. α fiunt f N. aequales 3s C. di si omnia per numerum dividantur 33 aequantur 3. & non contingit solutio rationalis, propterea quod spcc: cs ad spccicm non habet rationem quam quadratus ad quadratum. Sed sue incit summa duorum cuborum, ipsiuis 27. de ipsius 8. unitates veros. est summa laterum ipsorum. Res itaque eo deducta est , ut iniic mendi sint duo cu-bi, quorum summa ad summam laterum ipsorum rationem habeat quam quadratus ad quadratum. Sunto latera illorum coniuncta unitatum quotlibet, verbi gratia a. & ponatur prioris cubi latus I N. Igitur alterius latus erit a I N. & cubi illo
rum iuncti faciunt 6 -- 8-Ia N. volumus ergo haec ad laterum summam, hoc est ad a. habere rationem quam quadratus numerus ad quadratum numerum , Atqui
2. duplum est quadrati. Quare & 6χ-S -ia N. duplum oportet esse quadrati.
aequatur quadrato. Esto quadrato a laterea - N.&fitIN. 47. Ad positiones. Erit altem latus alterum '. Tollo decimas tertias, &semisses ipsorum capio, fiunt cuborum latera s. & 8. Venio aa propositum ab initio, & pono cubi latus 3 N. cubus ergo est idis C. Addendum vero statuo cubum a atere 8 N. minus latere priori Scubi, nimirum si a C. - 3 N. de additus quidem ad 3.N.facit cubum,additus vero ad las C. facit 637 C. - N. Volumus ergo haec esse latus cubicum de si a C. Quare 8 N. aequantur 637C. -s N.&fiti N. ἰ- Ad positiones. Erit cubus l. latus vero P. At numerus adiiciendus I
Praeterea deerant multa , quae omnino flagitante sententia fuerunt adiicienda, quae omnia more nostro virgulis in elusimus. Denique denominatores passim omiss erant quos resutuimus. Potio manifessum est quaestionem pendete a lemmate quod assumti Diophantus, quo scilicet
223쪽
Querit duos Cubos, quorum summa ad summam laterum sit ut quadratus ad quadratum. Quod quia sequenti quoque quaestioni instruit, di multa sunt notatu digna in eius enodatione, pluribus a
Αduerte igitur primo laterum summam poni potuisse non solum a. ut fecit Diophantus, sed de quemlibet unita lim numerum, puta 3. 4. 3. Acc. Aduerte secundo summam tuborum 6 -- 8-ta N. diuidi per laterum summam a.& quotlantem 3 Q. - 4, 6 N. aequari quadrato. Quia summa cubotuin & summa laterum debent esse plani similes. At ex duorum planorum similium mutua multiplicatione vel diuisone quadratum
Adverte tertio non prituisse fingi latus ipsius 3 - 4 6 N. nisi vel quadratorum, velum ta- turn numerus quadratus fuisset a vi in siniti iam saepe docuimus. Quare videndum quomodo unitatum numeria sq. inueniatur quadratus, ne casu non arte certa id fieri putetur. Ρioueniunt autem unitates 4. ex cubo 8. diuiso per suum latus a. Quamobrem eum quolibet cubo per latus suum diis uiso, Otiatur quadratu, ab eodem latere, patet utique propositum.
Aduerte quarto caute admodum formandum csic latus supradicti numeri 3 Q -6 N. Etenim elim altetum laterum positum sit Σ - I N. patet Valorem Numeri debere esse minorem qu met. fit autem valor Numeri, a quodam quadrato subtrahendo ternarium, & per residuuin diuidendo quadrimium lateris multatum senario. Quare si ponatur huiusmodi quadratus 1 latet-: de here esse minus quam a. At proinde 4 N. - 6. minus sunt quam 2. - 6. & tandem 4 N. minore, esse debent quam et Q At si aequarentur fieret IN. a. Igitur patet quaesiti quadrati latus maius esse debere qu, ni a. Quare ipsius 3 - - - 6 N. latus fingendum erit 1 2- quotlibet nitineris, quorum multitudo sit maloi qu in a. sc Diophantus snxit hoc latus et N. di fingi posset a - 1 N. et . Praeterea eauendum est ne cuborum latera aequalia reperiantur , atque adeo ne ipsi eubi lautetquales, quainuis enim si hoe aecidat, lemma propositum nihilominus soluatur , quia quilibet euhus ad tuum latus rationem habet quadrati ad quadratum, cum inter eos cadat medius propor ilonalis quadtatus ab eodem latere, ac proinde duplum cubi ad duplum lateras si in eadem ratione. attamen per huiusmodi aequales cubos quaestio proposita nequit commodἡ explicari, quoniam re soloendo hypostases numerus additius inuenitur nihilum. Quamobrem non temetὸ additum est
textu. Ponatuν δι caendias a ivi castrum numerara, &c. Etenim ponatur verbi gratia cubus quaesitus 8 C. euius latus a N N ponatur addendus numerus 8 C. - 2 N. patet tandem aequationem proee.
aere inter 16 C. & N. seu inter I 6 Q s 4 unde fit I N. ζ per quem resoluendo hypostasex fit e ubusquet fit usi. latus a. Addendus uera nuincrus si I. id est nihil. Idemque semper eueniet, si in ad ditio nuineto ponatur idem cuborum numerus qui ponitur pro euho quaesto, ut Aelle est demonia mare. quia hypostasis additii numeri est semper in hoc casu numerus ille cuborum cubicus, minuasio latete. Quare eum ita opetando exibus semper inucniatur I. ae proinde latus i. neeesse est addititium numerum este I - I. Ne igitur in hoc absurdum deueniamus, eauendum est in lemmati, so sutione ne quaesiti cubis aequales reperiantur, hoc est ne valor Numeri si aequalis semissi summae laterum, ut in hypothesi Diophanti ubi summa laterum ponitur a. cauendum est ne valor Numerist i. st autem valor Numeri, ut iam ostensum est hoe ergo non debet aequati unitati , sed si ponatui aequari onitati, fient 4 N. -6. aequales I Q. 3. & tandem 4 N. aequabuntur I Q. - . 3. Qua aequatione testituta fit i N. 3. Quamobrem ad utramque cautionem simul respiciendo fingendum est latus quadrati 3 -- - Α-- 6 N. a 2. - tot Numeris qui excedant a. dum non sint . Adverte postremo cui Diophantus inuentis cuborum lateribus & adii ei at denominatorem. de sumat semisses Numeratorum, eain non esse causam qua in affert Xilander, haec enim ex parte M aliud est qu m manifesta petitio principii 3 ex parte vero nescio quid ad rem prorsus impertinens. Nam quod loco ipsorum ζῆ& - sumantur semisses eorum , nempe δὲ & d eam dicit esse causam quod oporteat eorum cubos aequari quadrato, quod sane non iacit ad rem, non enim quaeruntur duri Numeri , quorum cubi simul aequentur quadrato, sed quorum e ubi s mul ad ipsorum nume Yorum summam sint in ratione quadrati ad quadratum. De Inde quod adiecto communi denorei
natore , sumantur numeratores s.& 8. eam reddit rat onem quod denominator eo inmunis est, ut si de e ubiq numeratorum constet eos ad ipsorum numeratorum summam habere rationem quadrati ad
quadratum , abunde sit rei satis fictum. Hoc vero est petere principium , cum hoe unum sit quod
controuertitur, non enim ostendit cubos numeratorum ad laterum summam esse in ratione quadrati
ad qua diatum. Atqui cet tum est cubos ipsorumw& ἰi ad unitatem quae est summa ipsorum, lon
ste diuersam rationem habere, ea quam habent cubi numerorum s. & 8. ad summam ipsorum 13. quantilis si utrobique ratio quadrati ad quadratum. Huius ergo rei causam adaequatam afferemuirale demonstrantes Theorema
si fuerint duo numeri, quorum cubi s mul ad summam numerorum rationem ha beant
224쪽
heant quadrati ad quadratum, si sumantnr alij duo numeri in ea dc in ratione, circa illos, ipserumque cubos idem eueniet.
Sint duo numeri A B. quotum cubi C D. R ipsorum C D summa esto F. ipsorum AB. summa esto Esntque FE plani similes, sumanturque H X in ratione ipsorum A B. N sint eorum eubi L M. R a quotum summa p. ipsorum vero H Κ summa esto N. Dico ipsos quoque P N. esse planos similes, sumat ut lx denominator tationiss 4. ip tum H K. ad ipsos A B. ita ut dueto R in ipsos A n. fiant H Κ.IJ io. Τ 8. N si S quadratus ipsius R. & T. eiusdem cubus. Patet ergo ex cubo κ T in elibo, C D. fieri etiam eu bos L M. At quia ex Rin AB. sunt ΗΚ. ex eodem R in Esu in mam ipsorum A B. set utique N. summa ipsorum HK. Eademque de causa ex T in F. fiet P. Itaque quoniam F E ponuntur plani s miles , ' cadet inter eos unus medius proportionalis, esto is C. quo ducto in Ssat gilut quia FGE sunt continue proportionales, di ipsi quoque R S T. continue proportionales sunt, & ex ptimo R. in primum F. st P. At ex secundo Sin se eundum G st Q Ac deitium eκ tertio T in tertium E fit N, ' etu ut & ipsi P s. continue , . i. pro Ilionales. Quare cum inter ipsos P. N. eadat unius medius proportionalis Q 3 sunt ipsi P N. plani similes. Quod demonstrandum erat. ao. Hi ne patet cut loco ipsorum & 3 sumantur s.&8. quia scilicet hi sunt in eadem ratione cum illis, quia fiunt ducendo utrumque in i a. tum productos Io. N I s. diuidendo per a Hinc etiam
constat delaonstratio eius quod diximus ad quartam carum quas attulimus ad praecedentem , nimirum. Si fuerint δει nismisi quoνum interuatium ad interualiam cuboνum ab ipsis orsorum si in rara o ne quisυι ι ad quadratum , adem eueniet Hira qua buscunque numeras an eadem ratione semptis. Nam
eadem ratione ostendetur ex R in interuallum ipsorum Α Β fieri interuallum ipsorum H K. & ev Tiri interuallum cubotum C D. produei interuallum cuborum LM. & rursus ex S in medium proportionalem qui cadit inter interuallum elaborum C D. & interuallum laterum A B pr creati .medium proportionalem qui eadit inter interuallum cuborum L M. N interuallum laterum Η Κ. Qua-
amobrem eodem argumento concludetur propctfitum.
ΡOtto ioco Ieminatis a Diophanto assumpti, licebat assumere aliud lemma smile illi quo usures ad praecedentem, nimirum.
Inuenire duos cubos, quorum summa sit quadratus numerus, & laterum summa
sit etiam quadratus numerus. Ponatur laterum summa 4. ut sit quadratus. & si alterum I N. alterum 4 - I N. Erit summa cu- horum 64. - 12 Q 48 N. aequalis quadrato, cuius latus fingetur8 - tot Numeris ut sal valor Numeri minor quam 4. dum is non sit a. ob causas supra explicatas aduertendo quarto. Quare s-mili artificio determinando numerum hune Numerorum in latere fictilio ponendum inueniemus eum maiorem esse debere quam dum non sit s. Ponatur ergo latus fictilium 8 - ia N. fiet qua citatus 54- N. aequalis 64- - ia Q. - 8 N. & si N. :: Sucit igitur cuborum Iatera ' i X quorum summa 4. Ipsi vero cubi & ni quorum summa quadratus a latete Itaque s libeat his uti euhis ad Gluendum problema Diophantaeum pones cubum quaestum C. cuius latus di N. addititius numerus erit C. - N. quem addendo latcti si cubus C. &eum addendo cubo si Est C - A N. aequalis 2 N. Quare tandem aequantur 4. & fit a N. a. Est ergo latus cubi quaesiti ' ipse cubus Et Numerus addititius constat. Hie etiam possumus afferre nonnullas quaestiones ad instat earum quas ad praecedentem attulimus videlicet.
Q . ESTIO PRIMA. Inuenire duos numeros in data ratione, quorum cubi sinul quadratum conficiant. Lilo data ratio tripla , sit unus i N. aster N. diorum cubi simul conficiunt 28 C. quod aquatur quadrato. Sit is quilibet numerus quadratorum qua status, puta i96 it I N. 7. Sunt ergo qua sti numeri 7. de ai. quorum cubi 3 3. di fas i. quorum summa 95O . quadratus est a later 8.
225쪽
N. s. Sunt ergo quaesiti numeri s. & I8. quorum cubi ras. & 3832. quorum summa 6s6I. qualuato quadratus est a latere f.
--sTIO TERTIA. Inuenire duos numeros cubum simul conscientes, quorum cubi simul quadratum faciant. Ponatur summa quaesitorum Numerorum numerus cuboetibus , puta sit alter I N. alter ε N. botum cubi faciunt aclat 4 - 392 Q Iaan N. quod aequatur quadrato, euius latus debet fingi siet. -- tot Numeris, vivator Numeri reperiatur minor quim 64. Quare per artiseium traditum aduertendo quarto, inuenietur hanc Numerorum multitudinem quae ponenda est in Iatere fictitio, maiorem esse debete quam 36. fingatur ergo huius nodi latus siet - 18 N. fiet x N. f. sunt igitur quaesti numeri p& quorum summa 64. At eorum cubi sunt quo rum summa era seu in minimis dilaticleamk-δ 14 1ξ l' quadratus est a latere
lateribus. Statuantur cuborum latera in numeris, alterum 2 N. alicrum 3 N.
Ipsi ergo cubi coniuncti facient 33 C.
a quales summae laterum, hoc est s. N. de omnia per numerum dividantur. Igitur 33 inaequantur s. Et non fit numerus rationalis. Atqui 3s summa sunt duorum cuborum 8. & 27. & 3. N. est summa laterum ipsorum. Itaque res eo rediit, ut inueniendi sint duo cubi quorum summa per laterum summam diuisa , quotientem faciat quadratum. Hoc autem iam ostensum est, & sunt cuborum latera 8. & s. Redeo igitur ad propositum ab initio,& pono latera cuborum 8 N. & 3 N. & fit summa cuborum 637 C. suminae laterum aequalis nimirum is N. & fiti N. . Adpositiones. Erit prioris cubi latiis l. alterius I. Ipsi vero cubi T. &IN EVAEST IO N E M X LOP a R A τ I o Diophatui iacilis est & perspieua, & tota innititur lemmati ad praecedentem explicato. Caeter uni eodem set E artificio lotuemus huiusmodi quaestionem. Inuenire duos cubos, quorum summa ad summam laterum sit in data ratione, dummodo denominator rationis sit quadratus, vel triens quadrati.
F adem addenda bule determinationi qua in notis sequentis addidimus , s miror Bac elum non quod methodum genrralem, quae fanὶ est docilis , non videri d ed quod saltem non admonuerit Iecures hane qua ab ipso traditur, non essegeneralem.
Sit primum data ratio quadrupla, cuius deponat nator quadratus est. Ponatur unum latus I N. alterum 2 N. erit sumina cuborum s C. aequalis quadruplo summae laterum, puta Ia N. & est solutio irrationaliῖ, quias. ad iti non habet rationem quadrati ad quadratum. erendi ergo prius
226쪽
sunt duo cubi, quotum svnama ad quadruplum summae laterum si in ratione quadrat; ad quadratum. Ponatur sunt ma laterum quilibet unitatum Numerus, puta 6. & sit unum I N. alterum 6 - IN. erit si mima cuborum II 6 -- i8 Iog N. quae ad quadruplum summae laterum, nimirum ad a . debet habere rationem quadrati ad quadratum. Quare altera summa per alteram diuisa,fiet y - - aequalis quadrato, omnia ducendo in η. fiet i5 -- 18. N. aequandus quadrato. Et per artificium ad praecedentem explicatum inuenies tingendum latus 6 - tot numeris qui supere tu a. fingatur 6 - s N. fiet I N. . . Sunt ergo cuborum latera pi& sumendo minimo, in eadem ratione, fient euhorum latera & is. Redeo igitur ad propositam initio quaestione in , & pono quaestorum latera cuborum I N. R Is N. fit summa cubotum 3738 C. laterum eta N. euius quadruplum n. N. aequatur 3718 C.& fiti N. Sunt ergo latera cuborum ei ει α satisfaciunt proposito. Deinde sit data ratio tripla, cuius denominator 3. est triens quadrati s. erunt ut nitis qua tendi ducietibi, quotum summa ad triplum summae laterum sit in ratione quadrati ad quadratum. Donatur laiatus unius ut supra I N. alterius 5 - i N. igitur summa cuborum 18α-- 2 6 -Io8. N. ad triplum summae laterum 18. debet habere rationem quadrati ad quadratum, unde altera summa per alis teram diuisa fit i Q -- ia - ε N. aequalis quadrato cuius latus fingendum est i N. - tot unitatibus, ut superet allatus ipsius I a. ita tamen ut valor Numeti si minor quam 5. Quare eum pet artificium ad praecedentem explicatum eonstet unitates ponendas in latere notitio debere esse minores quam Patet fingendum latus i N. tot unitatibus, ut eadant inter 3 & o. Fingatur I N. - 6. siet quadratus 1 α-- 36 - a N. aequalis I Q. - Ia - s N. & sit a N. q. Sunt ergo latera eliborum 4. N I. vel in minimis a. & i. Venio itaque ad initio propositam quaestionem. Et pono latera cuborum i N.& di N. suntque s C. aequales o N. unde fit i N. i. At patet cubos I.& 8. soluere quaestionem. Quod si quadrati i Q - Ia. - Ο N. fingas latus a N. - 8. Det x N. N latera cuborum quorum summa ad triplum summae laterum habet rationem quadrati ad quadratum. erunt in minimi a & n. Quibus utendo pones quaestorum cuborum latera a N. R i3 N. unde fient tandem aetos C. aequales 4; N.& fieti N. erunt ergo latera cuborum quae soluent quaestionem.
teruallum aequale sit interii allo laterum ipsorum. Sunto latera a N. & 3. N.& erit interuallum cuborum I9C. Inter ualluin autem laterum I N. Igitur i N. aequatur I9 C. Et non est numerus rationalis, quia species ad speciem non habet rationem quae est quadrati ad quadratum. Eo itaque sena redactus, ut inueniam duos cubos, ut ipsorum interuallum ad interuallum laterum rationem habeat quam habet quadratus ad quadratum. Sunto latera cuborum i N. & i N. - r. vide ipsorum interuallum sit quadratus , nimirum t. de quoniam unum latus est I N. alterum 1 N. -- r. erit quidem laterum interuallum 1. cuborum Vero 3 - 3 N. - I. Volumus ergo 3-- 3N. - - I. ad unitatem, interuallum scilicet laterum, rationem habere quam habet quadratus ad quadratum. Igitur productum eorum multiplicatione oportet esse quadratum. Est aut rin hoc productum 3 Q. -- 3 N. -- I. Hoc aequatur quadrato a
227쪽
8. Venio ad id quod initio propositu erat,& pono latera cuborum 7 N.& 8 N. Sc est horum interuallunt 1 N. At interuallum cuborum ab ipsis ortorum est 169 C. igitur 9. C. aequantur 1N .& fit i N. Ad positiones. Erunt latera cuborum ita & ,
LEMMA Diophanti est idem penitus cum quarta quoestione earum, quas ad nonam huἰus a tulimus, quamuis uniuersalius Operati simiis ibi, quam hie faciat Diophantus, vult enim interuallum cuborum poni quadratum, cum nos interuallum e uborum poni posse quemlibet numerum doeuetimus. Itaque vide quae ibi adnotauimus. Caetetum, scut ad praecedentem faetium est, proponetur etiam haec quaestici uniuersatius . nimirum se.
Inuenire duos cusos, quorum interuallum ad interuallum laterum datam habeat rationem, dummodo denominator rationis sit quadratus vel triens quadrati.
DEterminatio est illegitima, quia non generalis , addendam igitur , mel malis iuras per numeros primos qui sperant unita se ternary multutices , aut ab ipsis compossos ut . II. is. 37. Sc. veri I. FI. e. demon ratio se eonpνaltio ex nostra methodo petenda.
Dei insim sit data latici quadrupla, cuius denominator . quadratus est. Hie etiam eo redigimur, ut inueniamus duos cubos, quorum interuallum ad quadruplum interualli laterum sit in ratione quadrati ad quadratum. Ponatur unius latus i N. alterius a N H. a. Etit elaborum interuallum 8. - . ia N. - s Q aterum 2. euius quadruplum 8 ad elaborum interuallum debet habere rationem quadrati ad quadratum. Proinde illo per hune diuiso fiet i - N. -- l aequandus quadrato, &omnia per . multipli eando, fit 4 - - 6 N. - - 3 QUequandus quadrato. Esto latus eius a - 3 N. set i N. . Sunt ergo cuborum latera r. & s. Venio ad propolitam quaestionem , di pono quaestorum cuborum latera a M. &s N. fit cuborum interuallum 98 C aequale quadruplo interualli lateis tum g N. unde fit I N. ' sunt ergo cuborum latera & solitum quaestionem. Deinde fit data ratio tripla , cuius denominator 3. est triens quadrati p. sunt ut prius quaerendi duo euhi, quorum interuallum ad triplum interualli laterum si in ratione quadrati ad quadratum. Prinatur unius latus i N. alterius I N. - a. erit cuborum interuallum 6 -- ia N. -- 8. ad tria plum in tet ualli laterum, nimirum ad 6. in ratione quadrati ad quadratum, quare illo per hune diuiscis et tin- χ N. - . 'aequansus quadrato, & omnia Der s. multiplicando fiet s Q - 18 N. - ia. aequantus quadrato, fingatur eius latus N. - .n et I N. A Sunt ergo cuborum latera . . & rq seu in minimis i. 3e sta. Redeo ergo ad propositam initio quaestionem, S pono quaesitorum cuticitum latera i N. 12 N. cuborum interuallum est ros C. quod aequatur triplo interualli late tum , puta 63 N. & si N. sunt latera cuborum & soluunt quaestionem.
228쪽
IN vastas duos numeros, ut maioriscubus adscito minore numero , sta qualis cubo minotis adscistenti maiorem numerum. Esto alter a N. altera N. maioris cubus adscito minore numero stet7 C. - a N. At minoris cubus adscito maiore numero facit 8 C. -- 3 N. Igitur 8 . C. - 3. N. aequantur 27 C. - a N. Omnia per numerum dividantur , fiunt 29 inaequales 1 N. & non provenit IN. rationalis. At 9 Q. sunt interuallum duorum cuborum. Vnitas vero est laterum disserentia. Eo itaque res rediit, ut inueniantur duo cubi, quorum interuallum ad interuallum laterum ipserum stin ratione qi adrati ad quadratum. Hoc
autem supra demonstratuin est, & sunt cuborum latera 7. &8. Venio ergo ad id quod primo quaerebatur, & pono alterum N. alterum 8 N. sunt 3 3. C. - . 8N. aequales siet. C. H. 7 N. & fit i. N. h. Ad postiones. Erit alter A. alter ω & demonstratio euidens. ET P EIN δυο αριθμουe o ' το ἀ
P a R A et I o Diophant; nil habet disseultatis. Vetum moneo absque noua operatione posse I solui quaestionem nane auxilio praecedentis , nam numeri quicunque praecedenti satisfacientes, hane quoque soluunt, quod sc demonstro. si Sint Numeri satisfacientes pracedenti, nimirum eubi ΑΒ. x eorum latera CD.c 'i' o ita ut cliborum A B interuallum sit aequale interuallo laterum C D. Dieo per eosdem ' χ numeros huie quaestioni satisfieri, nimirum maiorem cubum Α adsciscentem minus latus D, aequari minori cubo B. adscicienti maius latus C Etenim ob aequalitatem interuallorum est η. I. peris in medietate Arithmetica A ad B. vi C ad D. Quare extremotum A D summa aequalis est summe mediorum B C. Quod erat propositum. . Similitet per prae dentem soluetur adhue huiusmodi quaestio.
Inuenire duos cubos, ut interuallum maioris cubi & maioris lateris, interuallo minoris cubi, & minoris lateris aequale sit.
sint enim iidem qui supra numeri satisfacientes praecedenti, dieo interuallum maioris euhi AN maioris lateris C. aequale esse interuallo minoris cubi B.& minoris lateris D. Quia enim est in medietote Arithmetiea Α ad B ut C ad D. ' Erit & permutando Λ ad C Vt B ad D. Quod demon
Non aliter per undecimam huius soluetur quaestio sequens. Inuenire duos cubos, ut maior eodem interuallo superet latus minoris, quo latus maioris superat minorem cubum.
A p Sit maior cubus A. & eius latus B. sitque minor etibus C. N eius latus D. stque sum' ma cuborum Α C. aeqvalis summae laterum BD ut requirit undeeima. Dico eodein V ,ai. V 3 in e uallo Α superare D. quo B superat C. Quia enim extremorum Α C summa summae me irieum DB aequalis est, est in medietate Arithmetica A ad D ut Bad C. Quod erat Men- ρπύ-
229쪽
o 24υ νω c. c. o J ι Mynραι ψῆ Ἀοδειέι; e rata . IN vs Ni ηε duos numeros , ut alteruter, & amborum summa, sed&ipsorum interuallum addita unitate qua dratum sectat. Si unitatem austram ab aliquo quadrato, habebo primum. Fo mo quadratum aliquem a numeris quotlibet de unitate, esto a 3N. . ipse erit' in ' 6 N. -- I. & si inde auseram unitatem , ponam primum 9 Q. - fi N. Rursus quia volumus primum & secundum simul, addita unitate facere quadratum; sed & secundum adscita unitate esse quadratum , quaerendum uulti obtigit quis quadratus coniunctus cum 9 α - - 6 N. faciat quadratum. Expono duos nume-IOS, quorum mutuo ductu fiat qN. & sunt ρ. N. -- ε. ec 1 N. horum i teruallum 8 N. - s. cuius semissis 4 N. -- 3. quo in se ducto fit is Q. - a N. -- 9. Hinc aufero unitatem, re pono secundum Is in -- 2 N. - 8. Est autem
primus y IF 6 N. & alteruter , & uter que simul addita unitate facit quadratum. Superest ut de interuallum ipsorum adscita unitate faciat quadratum. Igitur 7 Q.
'I8 Ν. -φ 9. aequantur quadrato a latere
3 - 3 N. & fit i N. 18. Ad positiones. Erit
primus 3or . secundus I 624. & demonstratio manifesta.
subreptilia sunt, de omnino reiicienda. Vt contra suerunt adiicienda illa quae virgulis inclusa vides. Sic emendato textu nulla est hic dissicultas. Ad inueniendum quadratum qui additus ad oO - . 6 M. Aetat quadratum, non recurrit ad duplicatam aequalitatem Diophantus, ut male arbi-ttatur Xdander, non enim tum hἰc duo numeri quadrato aequandi. Sed utitur Canone ultimo vn-deei me secundi. cuius etiam usus est in duplicata aequalitate ad reperiendum duos quadratos dato interuallo disserentes. Diuersiitas autem operationis, & solutionis a triplici capite oritur. Primo enim primus diuersimodE poni potest. nimirum quilibet quadratorum numerus quadratus -- duplo lateri illius. Ut 9 α -- 6 N. vel N. vel 36 8 N. Sc. Secundo eodem manente primo, fecundus variari potest in infinitum, quia verbi gratia in hypothesi Diophanti per 'ndecimam seeundi, reperiri possunt infiniti quadrati diuersi, qui cum s Q, - 6 N. quadratum faciant, quorum singuli multati unitate statui poterunt pro secundo. Denique in fingendo latere quadrati qui numerorum interuallo aequetur, mira contingere potest varictas. Nani verbi gratia in hypothesi Diophanti quadrati H. I8 N. - p. latus fingi potest a 3- quolibet Numetorum numero, cuius quadratus luperet T. Non est etiam dissimulandum quaestionem hanc ad quemlibet quadratum extendi, ae proinde
uniuersalius proponi posse hoc pacto. Quaeratitur duo imuneri, quorum semina , ipsorum uterque, sed Se interuallum.
230쪽
ipsorum addito dato quadrato, quadratum iaciant. Esto datus quadratus A.
si ausetam 4. ab aliquo quadrato habebo primum. Folino quadratum a Numetis quotlibet M. a. latere dati quadrati. Esto a 3 N. - - 2. ipsi erit 9 α- , Ia N. - q. hine auferendo statu primum s Q. - a N. Iam ut habeam secundum , quaerat a quis quadratus adsumpto s Q se IaN. faciat quadratum. Expono duos numeros quorum mutuo ductu fiat s Q -- ia N. hi sunt s N. - a. & i N. horum interualli semissis est N -- 6. cuius quadratus Io Ακ N. - . 35. v de si auferam 4.ressabit pro secundo numero Ιεα-- 48 N. -- 32. Primus autem est s. Q - IaN. Et hi tribus postulati partibus satisfaciunt, nam& alteruter ,& utriusque summa adsumpto quadratum facit. Restatut& eorum uateruallum adiecto 4. quadratum faciat, facit autem γ- 34 N. - 36 Hoc ergo aequatur quadrato, cuius latus fingo 6 - 3 N. & fit 3 N. 36. sunt igitur quaesiti numeri ta 6. N 224ψε. qui soluunt quaestionem, nam vitique sigillati in addendo .nunt quadrati IIIoo, & 223 . quorum latera Ilo. &Iso. At si summae amborum, & interuallo eorundem addatur rursus A. fiunt quadrati 3 396. N Io o . quorum latera i86 & 1or.
ΙNva Nixa tres numeros quadratos, qui coniuncti aequales sint interuallis
ipsorum coniunctis. Quoniam differentia makimi & medii, & disserentia medii&minimi , & differentia maximi de minimi,
simul iunctae tribus numeris aequantur, at
tres differentiae sunt duplum differentia maximi & minimi. Ergo dupliadisserentia
maestini & minimi aequatur tribus nunor-ris. ponatur minimus quadratus I. maximus I in- χN. . iam duplum inter-Dalli maximi de minimi est a 4 N. Ergo tres quadrati s mul sunt et in-- N. quorum duo icum sint a Q. - . a N.
- a. relinquitur viique medius I a N. -a Oportet igitur haec aequari quadrato. Esto quadrato a latere IN. -Α.
M si 1 N. . Ad postiones. Erit maximus e. medius T. minimus 1. & omnia
Per et s. erit maximus 196. medius I 2I. mi nimus I S.
TEx Tu restituto, ut nos fecimus, non. magna est hie disseultas. Aduertendum tamen quod nec attigit Diophantus, nee vidit Xilander in fingendo latere quadraii I Q. - a N. - α aliquam adhibendam esse cautionem. Clim enim tres inaquales numeri quaerantur, Oportet utique medium maiorem esse minimo. At minimus positus est . medius a N. a. oportet igit ut talem mite niti valorem Numeri, vi per eum te soluendo hypostases a Q. - a N. -- a. sit plus qu mT. Hoc autem ut sat, oportet I Q -- 2 N. es cedere ternarium, S hoc etiam ut contingat, oportet vaIOre in Numeri excedere unitatem , vi manifestum est. Porro fit valot Numeri a quodam quadrato hinario aucto, &diuiso per duplum sui latetis binario auctum. Quare si ponatur huiusmodi quadratus I Q fiet valor Numeri Hoc ergo cum maius esse oporteat unitate, erit& I Q. - . a. maior quam a N. - I. N tandem I Q. maior erit quam a. N. unde constat unitates in latete fictilio ponendas plures esse deitate quam a. Ita Diophantus saxit huiusmodi latus x N. - 4. poterat etiam poni I N. - 3. vel x N. - s. &e. Sed si ponas i N. - I. vel I N. - a. incides utique in aliquod ab se dum. Aduertendum praeterea minimum quaestorum, non solum poni posse . sed& alium quemlibet quadratum, puta 8. s. ets. &e. Sed tune maximi latus ponetur certus Numerorum numerus - -