장음표시 사용
231쪽
Ialme eiusdem quadrati, qui pro minimo positus erit. Et tandem in singendo latere quadrati qui pici
medio stitisetur , adhibenda etit eadem cautio, de qua supra est actum , erit enim necesse ut per v lorein Numeri resoluendo hypostatis , medius inueniatur maloi minimo. Denique eommuni denominatore abiecto, sbios numeratores retinet Diopliantus, quia hi aequ/bene soluunt quasstionem. Cuius rei ratio est, quod in fractionibus ciuiaeni denominationis, tam summa quam interuallum penes solos Numeratores consideratiat, unde ad hoc ut trium stactionum eiusdem denominationis summa aequalis sit ipsarum interuallis, necesse est prius Numeratotum summam, ipsorum interuallis aequari. Sed & vniuersalitet verissimum est. Quamcunque rationem trium Numerorum summa habeat ad ipsorum interualla, eandem habete, summam trium aliolum meadem ratione suinptorum, ad ipsorum interualla, ut facile est deinotarate. sed hoc trionibus exercitationis gratia relinquatur.
IN v E N i R ε tres numeros , quorum bini quilibet coniuncti, & in reliquum duisti , faciant datos numeros. Imper ἀtur ut summa primi & secundi in tertium
ducta iaciat aue. summa feci di & tertij in prim im ducta faciat et . At sumnis primi
deteriij in secundum faciat 3a. Ponatur tertius i N. Ergo primus & secundus simulerunt l. . Esto primus secundus igitur erit : I. . duo adhuc postulata restant implenda, nimirum ut secundus & tertiussi iuul in primum ducti faciant 27. & ut tertius, primus simul in secundum faciant 3a. sed secundus & tertius in primum faciunt Io - C. Proinde I ab aequantur a7. At tertius & primus in secundum faciunt aue. - . PrOInde 23 C. aequantur 31. sed ut ostensum est, etiam io in Ioaequamur et . & excessiis unitatum super vilitates est 3. ut si etiam 21. - . c. Ultra Io. habuissent s. aequalia utique sui Dsent interualla. Sed rue. v nitates a secundo sules, & unitate Io a primo. VolumuS ergo harum interuallum esse ue. Ipsi autem primus & secundus non sunt quiuis, sed coniunciti faciunt 3s. vsti venit ergo mihi ut aue. diuidam in duos numeroS, quo- ruam disserentia sit 3. & est alter 13. alterro. POno ergo primum ::- secundum A.& summa secundi Sc tertij in primum duo sta iacit Is --lz. aequalia 27. At summa primi & tertij in secundum facit χο - . Ο aequalia 32. & si is aequem et . fit x N. s. Ad positiones, erit primus 3. secvndus A. tertiuS I.
232쪽
TExetus alio morbo non laborat, nisi quod tractiones Numerier & Quadrati cae ambigue exprimuntur, ut iam semel atque iterum monuimus passim in hoc eodice eontingere. Sed ex nostra vel sone omnis tollitur ambiguitas. Operatio attificiosa est, quam etsi totam ita tradat χilander, veram tamen eius causam, S aequationis resoluendae rationem non intellexit, ait enim abiici debete utrimque 3OO.& comparandos inuicem antecedentes II. & ao. itemque consequentes 27. α32. quorum idem interuallum s. valor Numeri. In quo turpiter errat,t si existimat idcirco s. esse valo rem Numeri. Quod set manifestini si statuas secundum vel tertium i N. quod fieri posse doeebimus infra. Tune enim simili prorsus logismo inuenies valorem Numeri longe diuersum ab interuallos in ilium antecedentium Aeconsequentium. Itaque resoluitur aequatio via ordinaria. Comparando vel bi gratia Is Q -- 3 . cum 27 inauserendo scilicet vitimque aue inunde tandem Ia in manciat aequales 3oo. & fit a inas. ac proinde a N. s. similiter aequando ro Q. goo. & 32 Q auferendo scilicet utrimque 2o in inanent vi prius a a Q. aequales 3oo. vnde fit tursus. idem valor Numeri s. Cian autem utraque aequalitas necessario inseratur, nec ine est utique eundem utrobique teperiri valorem Numeri, in quo totum artificium Diophanti consistit. Si enim auferendo is Q. 1 27 dem supcisti quod superest auferendo 2o Mi 3a unius in vado, num illud residuum utrobique aequabitur eidem numero; O.Id autem continget si inter is & ao. idem sit interuallum quod inter a 4 32. Nam datis quatuor Numeris 13. 2o. 27. 32. ita ut inter is. & ao. ptimum & secundum idem si interuallum, quod inter 27. & 3a. tertium & quartum , erit di permutando idem interuallum, inter is . & 27. pri- Ianum de tertium, quod inter 2o. & 32. secundum ti quartum. Quod est intentum. Hinc patet verata germana causa totiuI operation s Diophanti, di eur cogatur diuidete as. in partes N ao. eodem distantes interuallo, quo distanta . &32. Caetetum, ut iam monui, tripliciter variari potest operatio , quia I N. pro quolibet trium quaesi- eorum numerorum statui potest, quod in tyronum natiam non pigebit uno exemplo confirmare. Ponatur secundus I N. erunt igitur primus de tertius smul Iam ut inueniantur primus de tertius separati. de duplicata aequalitas rite procedat. spoliet diuidete in duas partes, seruantes idem interuallum quod est inter as. & et . nimirum 8. id fiet per primam primi. Eritvrgo primus et, tertius Itaque ducendo primum & secundum smul in tertium sit χο - Rc aequalis 33. Et rursus du-Vendo secundum & tertium simul in primum, fit 1a - c aequalis et . & omnia ducendo in I Q. fit hine quidem ac α - 2 o. aequalis 3s Q Inde veto ia Q. - et O. aequalis 27 Q. N utraquemquatione resoluta fit utrobique x int6. ae proinde x N. . sunt igitur quasiti numeri qui prius 3. 44. Hine error Xilandri manifeste deprehenditur. Nam si ut iple argumentatur abiicias utrimque aqo. & comparando antecedentes Io. & ia. itemque consequentes 3s. & 27. quorum interua Dium idem 8. Inde colligas valorem Numeri esse g. vides quantum aberres a veritate. Porto ut solutio si rationalis, oportet, ut uno datorum numerorum diuiso in duas partes, quarum idem sit interuallum , quod est inter duos reliquos numeros, planus sub dictis partibus comprehensus habeat rationem quadrati ad quadratum, ad interuallum quo maior dictarum partium superat minorem ex duobus reliquis numeris, vel quo minor pars superatur a maiore duorum reliquorum
ΙΝva Ni Rs tres numero S aequales quadrato, ita ut quadr4tus cujuslibet ipsorum adscito sequente numero faciat
quadratum. Ponatur medius, Numerorum quotlibet, ac sit in N. & quia volo quadratum primi adscito secundo facere
quadratum, eo res redit ut inueniam quis quadratus adiecitis N. faciat quadratum. Quaero duos numero S quorum mutuo, ductu fiat N. hi sunt qui eum metiuntur, nimirum a N. &a. de si interualli horum semissem statuo pro primo, erit is I N - i. Iam ergo hoc consectum est ut primi quadratus cum secundo numero sa-
233쪽
ciat quadratum. Restat ut secundi quadratus, hoc est Is inadscito tertio faciat quadratum. Si ergo ab aliquo quadrato
auferam Is habebo tertium. Formoquadratum a latere ipsius is Q nempe absqN. - I. i S erit I 6 8. N. - - r. hinc ab lavis to Q. reliquus est tertius 8 N - a. Rursus quia volo trium summam aequari quadrato, est auteni trium summa IIN. hoc aequabitur quadrato , esto itaque quadratis munero quadrato , puta 169 fit i N. 13 QUAd postiones crit primus I ' Ἐ- I. secundus 3a tertius Io Q. - I. Ita indefinite impleta sunt tria postulata. Restat ut quadratus terti; , nimirum Io8I6 Q. -- χo8. - . adscito primo numero,Ioc est 13 in I. faciat quadratum. Facit autem Io816 - ari in hoc ergo aequatur quadrato. Omnia per quadratum duiidantur, filio 816 ' a 2I. aequale quadrato a latere Io N. - r. & fit i N. Ad positiones. Erit primus E . . secundus lora, . tertius
ELegantius fortasse ita soluetur ιας auaestio , yomstur primus numerus r. N. fecundus a N - - 1 ut cum quadrato prιmi consistat qua alum , ponaxur ter-rius quilibet unitatum se numerorum numerus , eί eondisione ut additus quadrato fecundi eonfiat quadratum , H G. sis q. N. - 3. ita igitur duabus propositi panibus sit fatis , superes ut fumma trium, sed es quadratus 1ersij una eum primo conficiat quadratum , summa trium est - N. famma vero quadrati terr cse primi est. s -- as N -- 16 Iles oriturque duplicata aqualitas cuias solutro in promptu si unitates quadrasas ad eundem numerum quadratum in utroωνs numero
Eademque via facillimὸ extendetur quaestio ad 4. numeros , insinitos cauenaum enim solummodo erit ut summis unitatum quae in singulis numeris ponunι- co-ciat quadratum quod quidem facillimum est. IN AEST IO N E M XVII.
AR et I pIC Io s Is s xΜ e Diophantus per duas operationes propositum absoluit problema. Ηἰe itaque multa sunt obseruanda, quae vel non vidit Xilander, vel parum feliciter adnotauit. Primo enim medius quaesitorum numerorum poni puterat non soliuii 4 N. leddc alius quilibre Numerorum Numerus, ut non obscurὶ indicat Diophantus. Seeund6 sumi possunt etiam diuersi numeri, quorum mutuo ductu fiant N. & sie primi Numeri postici variari. eum inueniri possint infiniti quadrati qui adsumptis 4 N. quadratum faciant. Sed hie aliqua eautio adhibenda est. Curandum entin ut ex duobus huiusmodi Numeris, quorum mutuo ductu fient N. ille qui eonstat ex solis unitatibus absolutis habeat pro semisse quadratum numerum. Sic Diophantus selegit 2 N. N a. ubi vides semigem ipsius a. esse i quadratum numerum.
Sie etiam sumi possent ἰ N.&8. quia semissis ipsius 8. est quadratus Α. 8c sic alii infiniti cum eadem exutione deligi possunt. Huius vero rei causa subtili indiget indagatione. Equidem certum est semis-
234쪽
sem huiusmodi viaitatum absolutatum semper repetiti in hypostasi ptimi numeri eum fgno ut in hypothes Diophanti ponitur primus Numerus x N. - r. Eisi sumpsisses & R ad consciendum
4 N. mutuo ductu, statueretur primus Numerus 4 N. - 4. hoc autem accidit, quia primus Numerus habet ut sumendo semissem interualli duorum numerorum quotum mutuo ductu fiunt 4 N. Caetetum unitates quae ponuntut in primo Numero cum signo defectus debete consare quadratum ex eo colligitur , quod hae debent aequati illis quae ponuntiar in tertio numero eum signo - . ut sic unitatibus te mutuo elidentibus cum tres numeri simul adduntur, eorum summa constet ex solis Numetis, ut in Diophanto fit hujusmodi summa I3N. Atqui vilitates quae ponuntur in tertio nuis mero semper quadratas esse manifestum est. Etenim tertius Numerus est pars cuiusdam quadrati,
euius latus constat ex Numeris qui ponuntur pro seeundo M. quotlibet unitatibus, sic Diophantus pestio secundo 4 N. ut inueniat tertium, fingit quadratum , latere 4 N -- r. qui est 16 8 N. - . r. vnde ablatis Io in statuit tertium 8 N. - . Quare manifestum est unitates tertii Numeri semper ese quadratum unitatum in latere dicti quadrati positatum. Ut ergo illis aequentur vivitates primi numeri, illas Opportet conficere quadratum eundem. Tettio in prima operatione Diophantus aequale potuit I3 N. cuilibet numero quadrarorum qu drato , puta Io inaue 6 Q sec. Sumpsit author 69. Q. ad vitandas stactiones. Voluit autem in hac opetatione valorem Numeri exhiberi in inadratis, quia per eam non inquititur vltimus valor Numeri per quem propos ea quaestio soluatur, sed tantum id agitur ut peream hypostases trium quaesitorum numerorum ita constituantur, vi per eas tribus propositi partibus indefinite satisfiat, ut disertis verbis indicat Diophantus. Rectὸ itaque concludit si iet N. aequentur 169. Q. sequi I N. aequati i3 αQund ex sola proportionum regula per spieuum est. Deinde ad hane Numeri aestimaiatione in reducendo ante fastas positiones , inseri primum qui elati N. - ti sore lain 13 Q a. se- eundum qui erat 4 N. sole iam sa*Ae demum tertium qui erat 8 N. - i. sole iam Io - r. Quare patet allucinari Xilandrum eum putat 33 N. aequari I6s Q inqua aequatione quid ad rein conducens eonsequi possit non video. siue enim per regulam trium colligat i N. aequari 16ssue depressis characteribus i3. aequati riss C. unde si solutio irrationalis, in manifestum absurdum eum incidete necesse est. Adde in Graeco recte reperiti ad Ios. adiecti in notam Qi on autem in ut vete dici possit eorruptum hoe loco Diophantum a Xisandro. Quarto in ultima aequatione ubi fingitui latus numeri Io8 6 Q - - 2et r. qui fit addendo primum numerum ad quadratum tertii, magna etiam cautio est adhibenda. Quia enim primus p situs est Ia. Qer Opotiet talem inueniri valorem Numeri, ut I3 QIxcedant v nitatem. Hoe autem ut sat, oportet naiore in esse quam d. quare elim latus vero maius ipsus is sit L. Oportet va-Iorem Numeti excedere A. Porto fit valot Numeri auferendo quadratum aliquem hasta. di residuum diuidendo pellatus eiusdem quadrati ductum in ac8. Quare posito illo quadrato I Q fit valor Nu- meti V. - qui debet excedere A quate etai - 1 debet excedere N. S tandem I Q debet essemat, qu3m U N. - aar. Qua aequatione per approxinrationem resoluta fit I N. Quamobtemmanisestum est fingendum latus quadrati io N. -- tot unitatibus quae non excedant π. Vnde si pona, latus illud lo N. - in eides in abnitdum , nam fiet x N. ἰi: per quem tesoluendo hyposta. 1es, primus numerus inuenitur minor nihilo, & se de aliis. Denique ne nos ignauiae arguat Xilanser, examen quaestionis subiicere libet. Summa trium numerorum est quadratus a latere Quadratus autem primi nempe R, ..2 3 adscito secundo quadratum iacit 'a latere Quadratus porto secundi , nempe ibi ...'' adscito tertio quadratum iacit latete Denique quadratus tertij, nempe adsumpto primo quadratum eonficit a latete
IN vs Ni Ra tres numeros aequales quadrato , ut cuiusuis ipsorum quadratus dempto qui eum ordine sequitur, faciat quadratum. Ponatur rursus inediiis 4.
N. & quia volo primi quadratum dempto secundo sacere quadratum , oportet in . uenire quadratum, qui demptis N. sa
ciat quadratum Quaero primum duos numeros, quorum mutuo ductu fiant Mhi sunt qui eum metiuntur a N.& a. Nunc
235쪽
pono primum i N. - r. sic uni postulatorum satis fit. Rursiis quoniam volo secundi quadratum, hoc est 16-dimpto tertio facere quadratum, si abs r6. iniu- seramus aliquem quadratum, habebimus tertium. Formo quadratum a 4 N. - I. fit 16 I -8 N. hunc aufero de i6. relinquitur tertius 8 N. - i. & ulteri postulato satisfactum est. Rurtiis quia volo trium summam, hoc est r3 N. aequari, quadrato esto i69 Q.& fiti N. 13 Q. Ad positiones. Erit primus quidem i3 'i. secundus 31 QPertius autem Io Q r. & rursus indefinite tribus postulata Sest satisfactum. Stiperest ut&tertii qua dratus dempto primo faciat quadra- 'tum. Sed tertii quadratus dempto primo facit lo816 Q U- et ar Q. aequale quadrato. Omnia per quadratum diui dantur , fiunt Io816 - 22I. aequat Iaquadrato a latere Io N. - r. & fit I Ν. d. Erit primus TVP secundus tertius ': ; II.
Eodem quo in f periori 3 Mohie usi sumus ratiocinio hane
ad quottibet numeros exiendemus.
quoque solvemus crIN A FAE ST IO N E M XVIII.
OMNIA quae ad pincedentem dicta sunt, hie etiam locum habent, ut non opus sit ea repetere. Eodem eriore lapius est Xilander, cum notam Ques temerὶ inserit loco notae Q. sed Stalsos exhibet num ros solutionis, ut videte est ex comparatione verorum quos in Diophanti contextu re- potuimus. Examen quaeitionis tale est. Summa trium numerorum fit ' ἀν quadratus a latere A quadrato primi qui est si auferas secundum, perest quadratus a latere quadrato secundi qui est in si auferas tertium, superest quadratus ditier a latere Denique a quadrato ter ij qui est finxi a si auseras primum , superest quadratus ψ: a la teri . Hic etiam vides in Graeeo ita exprimi solutionis numeros, ut Myriades , reliquis unitatibus uittinguatitur, quod familiare esse Diophanto iam monuimus ad vigesimam secundam terti j.
IN u a Ni R ε duos numeros, ut primi cubus adscito secundo faciat cubum, at secundi quadratus adscito primo faciat quadratum. Ponatur primus I N. secundus ergo erit 8 -I C. ω ςubus prioris ac sumens secundum fit cubus. Itestat n& quadratus secundi adsumpto primo sa-
236쪽
ciat quadratum , sed secundi quadratus
adsumpto primo facit I CC. - I N. . σψ - 16 C. haec aequantur quadrato a latere a C.- . 8. hoc est I CC. - I 6 C.' 6q.
. & additis utrimque communibus desectibus, te auferendo sit nilia a similibus te. linquuntur 32 C. aequales t N. & omnibus per numerum diuisis 32 QLaequanturi. & est I. quadratus. Quare saet inesset quadratus, explicari posset aequatio. Sed 32. Q. Proueniunt ex duplo 16. C. Ipsi autem Io C. orti sunt ex duplo producti 8. in I. C. hoc est ex duplo ipsius 8. Proinde 3et Q Tignuntur ex quadruplo elusidem 3. Id ergo mihi incumbit, ut inueniam cubum qui sumptus faciat quadratum. Esto quaesituti C. hic quater fit 'C. aequandus quadrato. Esto Is Q. fit i N. . Ad positiones erit cubus f .Pono itaque secundum 6 . - IC. & superest ut quadratus secundi adsumpto primo faciat quadratum. Sed quadratus secundi adsumpto primo facit I CC. -
ΑΟ96. - IN. -I28 C. hoc ergo aequatur
TE x T v s lacunas replevimus, ut vides; quo praestito patum , aut nihil superest dis euitatis in huius quaestionis tractitione. Vnum est quod moneam numeti quadrato aequandi et CC. - oo6 - i N. - 28 C. latus ingeniose fingi 1 C. - . 64. ut quadrato vitiusque patiis sani I CC. - 96. ae proinde cuboeubis & unitatibus utrimque sublatis, maneat aequatici inter Cti s re Numetos, unde fit solutio lationalis, quia prouisum est, ut utraque Cuborum & Numerorum multitudo sit quadratus Numerus, lemmatis scilicet auxilio , quo tepetitur cubus, cuius quadruplum,
saeiat quadratum. Possumus etiam ex ipsa operatione satis expeditum Armate Canonem, hac arte. Siama 'a etiati libes c ocula. est per iasius latus quisis tum, Hulde ιnitatem, quotians erit ροι-ι ou fhον-. --s eaum aufer ab a sumpta eias ba, relinquetur sondus.
Vtiumpto cubocuta, . erit illius . . a. cujus latus a. pet quod si diuidas i. fit et primus quasitorum , cuius cubum si ausetas ab ὀ ipsius o . videlicet ab i. relinquetut seeundus Sunt ergo quaesii numeri e &l. Nam primi cubus adsumpto secundo facit cubum a. At secundi quadratus adsumpto primo , facia quadratum L . Quod spediat ad verbum Grepsisti, quo in hae & in sequenti quaestione, & alibi etiam viam esse Diophantum eaistimat Xilander, pro eo quod est quadruplieare , moneo adulterinam vocem li-hi iij inscitia, .el oseitantia in textum Diophanti irrepssse pio vera & germana τετρακις, quain ubique teposui. Poeth ettotis ansam praebuit quod haec vox ut plurimum expressa erat nota quateris nasi eum x supersetipto, hoc modo N. unde V κρωσὸν setolus nescio quis esto auit. Siepiopositione ista post illa verba, ωτι αἱ δαυα-e - Φετρακιe ipitari statim sequitur in codice manu exarato , γιγνι οπι Asa ευρῶν κυρον, oc δυς γινόμω πώει τετραγ-M.
237쪽
Tum paulo post. All Mκεκρι-Θ γε ἐγρο, &c. Vbi patet idem esse pro sus quod primo Po
situm est o vitae , deinde δέ demum . κε uiuis . Vigesima etiam propositione sequςnx eadem dictio ter repetitur, ubi euidens est eam loco τετρακις esse positam. Primo enim
αὐο,&c. Facessat igitur subreptilia vox, & eius insolentiam cum Xilandro miretur nemo. Equidem me non latet verbum δ κρίνειν inter ea quibus utuntur Arithmetiei eonumerari 1 Polluce lib. a. eap. m. sed quo sensu soleat usurpari non docet Pollux. Ergo sanὸ nunquam adducar, ut credam iii mi proco quod est quadrupli eate. Quid autem significet doceant eruditi.
i δὶο Φουe cς . ὁ γεγρα- ἄM J Q ia . Θελω ουν τὸν τετράκιζ υ, αὐο κ u απριεὼ τετραγωνον. ἀμα Κού 6 1mνnis δύο r. v Evi Ra tres numeros indefinito, ut quem bini ' ollicunt mutua multiplicatione , adscita vinitate faciat quadratum. Quia volo productum ex primo in secundum addita unitate sacere quadratum , si ab aliquo quadrato abstulero viii-tatem , habebo productum ex primo in
secundum. Formo quadratram a numeris quotcimque & unitate. Esto ab I N. - . I. erit is I - 2 N. - - I. hinc ablata unitate , quod ii iperest I -- α N. est pro-d uetum ex primo: in secundum. Esto secundus 1 N. Primus ergo erit I N. - a. Rursus quia volo productum ex secundo in tertiuin facere quadratum adscita unitate , si eodem modo ab aliquo quadrato abstiti ero unitatem , habebo productum ex secundo in tertium. Formetur qua
1 unde ablata unitate, relinquuntur 9 χ-6Ν. Oportet ergo productum ex secundo in tertium est e s Q 6 N. At secundus est i N. erit igitur tertius 9 N --6. Rursus quia volo productum ex primo
in tertium addita unitate facere quadratum, erit utique y QP - 24 N. - u. aequalis quadrato. Et numerus quadratorum
est quadratus. Quod si etiam unitates quadratae essent, & duplum producti talarere quadratorum in latus unitatia inaequale esset Numeris, indefinite iam satisfactum csset tribus postulatis. At unitates r3. fiunt ducto a. in s. & addita in late. Porro a. fit ex I N. in r. bis. At 6. fiunt ex 3 N. in I. etiam bis. Volo itaque ut bis numeri iti bis numeros ducti faciant quadratum adscita unitate. Sed bis numer
238쪽
ri in bis numeros est quadruplum producti ex numeras in numeros. Volo igitur quadruplum hoc addita unitate facere quadratum. Enimuero quorumcunque duorum numerorum unius in alterum producti, quadruplum cum quadrato interualli ipsorum facit quadratum . proinde si quadratum interualli constituamus um-tatem, quadruplum producti adscita viaitate saciet quauratum. Atqui si quadratorum interuallum sit a. erat & laterum interuallum I. Oportet ergo sormare quadratos a numeris deinceps, puta ab I Ν.- I. & a a N. - I. Quadratus ab i N. I. fit I in- - 2. N. - r. Vnde ablata unitate relinquitur I Q. - 2 N. Quare Oportet productum ex primo in secundum esse I. Q - 2 N. Ponatur secundus I Q. ergo primus erit I N. - - a. Rursus quia
quadratus abs a N -- I. est Q, - - 4 N. -- I. Vnde sublata unitate relinquitur - ψN. oportet productum ex secundo in tertium csse N. Sed secundus est a. N. Ergo tertius erit N. - q. Atque ita soli ita est quaestio indefinite, ut bini quique mutua multiplicatione pro
ducant numerum qui addita unitate fiat , quadratus. Et fit i N. quot quis voluerit unitatum. Hoc enim est indesnite quaerere , cum ita positiones i nstituuntur , ut quamcunque numeri aestimationem iis accommodes, semper postulatis satisfiat.
Hujus quaestionis Iolationem subiungemus o jam eonficta e st. Ita si solatio in
LE M M A quod assum t Diophantus , nimirum. Quprumetisque duorum numerorum unius in alterum producti quadruplum cum quadrato interualli ipsorum . iacit quadratum , idem est prorsus cum quinta seeundi porismatutia , pet quam constat etiam fieti inde quadratum summae ipsorum numerorum. Vnde optimὸ concludit Diophantus, si Numeri unitate distent, quadruplum producti eorum adicita unitate sacere quadratum. Sed & hine colligo uniuersalius.
Si quadruplum producti duorum numerorum unitate distantium ducatur in quem
libet quadratum, & producto addatur idem quadratus, fit quadratus.
239쪽
Hoe enim nil aliud est quam quadratum summae duorum numerorum unitate distantium dueere in alium quadratum. Quamobrem inde produci quadratum necesse est. Ita si sede cupio producti addas fiet quadratus, hoc enim idem est ae ducere quadratum summae numerorum in A. At si tri- euplo sescuplo producti addas s. set etiam quadratus, hoc enim idem eii ac ducete quadratum summae numerorum in s. & sie de aliis. Caeterum si quid obscuritatis est in huius quaestionis tractatione, hoe unum esse videtur, quod hon statini apparet quomodo positionibus trium numerorum sumptis a quadratis continentet pro-kimi constet productum ex primo in tertium adicita viaitate facere quadratum. Hoc ergo ut periectεκ si , demonstretur, sit primus A -- B. tertius C. . . D. nam secundus semper ponitur i N.)& methodo a Diophanto tradita sint Α & C.' ' e EM . Numerorum numeri quadrati continenter proqimi. Ipsi vero B D sne E 3 φρ' unitatum numeri dupli laterem ipsoruin Α C. Ductoque Α in C. fiat E quadratorum numerus, dictitque A in D. N B in C. fiat summa productorum s Numeretum numerus. Denique due O B. in D. S pro ludio addendo unitatem fiant G. unitates, dico ipsum E . F - . G. esse quadratum. Hoc ut probetur, oportet Ostendere ipsos E. G. quadratos esse , & ex latere unius in latus alterius bis produci F. sic enim per quatiam secundi totum E F G quadratum esse eonstabit. .Itaque cuin numeri Numetorum A C quadrati sint continenter proximi, sumantureolum latera H Κ quae unitate distent. Primum igitur patet ex quadrato A in quadratum C. productum E esse quadratum , cuius latus est productus ex H in K. secundo, quia H duplus est ad H,&D ad K productus ex B in D. adscita unitate, puta G. aequatur quadruplo .producti ex H. in Κ. adsie ita unitate. Igitur G. quadratus est per lemma supraaexplieatum, cuius latus est summa ipso tum
H Κ. Denique quia F constat productis ex A in D & ex C in B. seu ex A in Κ bis, di est C. in H. bis. At penducti ex Α in X. &eκ C in H. semel ' a ouant ut productis ex summa ipsorum H Κ in planum m. U sab ipsis contentum , ac proinde summa productotum ex Ain D.&ex Cin B. seu F aequatur duplos odi, et i ex summa ipsorum H Κ in planum sub ipsis, latus autem ipsus G est summa ipsorum H M& latus ipsius E est planus sub H Κ continens, ut Ostensum est, patet F produci ex latere ipsus E in
latus ipsius G. his Quamobrem totus E F G quadratus est, cuius latus constat eae lateribus ipsorum E G. Quod erat denicii, strandum. Hi ne apparet posito secundo semper I N. positiones primi & tertii i nitis modis posse vatia H. dum sumantur duo numeri Numerorum quadrati, quorum latera unitate dissent, & his addantur unitates quae sint duplum latet is cuiuslibet. Sie posuit eos Diophantus a N. - a.&4N. - Ρoni etiam poterant 4 N. - - 4. Ec ς N. - 6. vel adhue s N. . . o. N I 6 N. - 8. di sie in ins nitum. Hanc autem quaestionem si libet non soli vilitati applicabis, sed ad quemlibet quadratum extende; eodem protia, attificio, ampliando lemma D ophanti, ut supra docuimus. Verbi gratia, quae aut it indefinitia ites numeri, vi bini quem producent mutuo ductu is adscito s. saciat quadratum. Vi habeas productum ex primo in seeundum, aufer v. ab aliquo quadrato , cuius latus si quotcunisque Numerorum -- 3. sit latus I N. -- g. erit qtiadiatus I . - 6 N. - s. Ergo productus exprimo in secundum et it i QS- o M. st secundus I N. erit igitur primus I N. - . 6. Rursus vi habeas tertium. finge quadratum a latere a N. - - 3. ut scilicet numerus Numerorum superet unitate nutrierunt Numetorum latetis prioris quadrati erit quadratus 4 Q. - ra N. - s. unde auferendo manet productus ex leeundo in tertium 4 -- la N. Quare cum secundus sit x N. erit tertius 4 N. - . ia. Igitur tres numeti quaestioneni infinite soluentes sunt IN. 6. IN. N. - Ia. Porto temma Diophanti hic ampliari intelligitur inodo supra trad ito, nam patet s. unitates primi Numeti esse' sescuplum numerorum lateris prioris quadrati, de ra. unitates tertii Numeri esse sescuplum Nummiorum posterioris quadrati. Quare cinia productus ex sescuplo unius numeri in sescuplum alterius, si aequale trigecuso sescuplo producti eorundem numerorum, patet hie supponi, trigecuplum seia euplum producti duorum numerorum unitate dictantium, adscito s. sacere quadratum, quod sani concluditur per supradictum lemma.
Hae e quidem Diophanti uestio iis insistendo facilὸ fuit excogitare. Vettim si propositum stinue.
mire tres numeros indesinitὸ , ut bini quem producunt mutuo dustu, is adscito quocunque numero quadratum faciat ; iam non licebit Diophantaeani analysim imitari. Nee sortὸ temerarium sueti easserare huius problematis enodationem ipsuin ignorasse Diophantum, quod mirum non est, quandoquidem , vivetissimὸ cecinit poeta, Non omnia possumus omnes. Nobis tamen ope Canonum ad duodecimam terti j traditorum , rem absoluere pronum erit. Etenim si propositum quaerere in des nite tres numeros , ut bini quem producunt adscito c. faciat quadratum. Fingantur duo quadrati a quotlibet numeris Numerorum diuerss -- eodem numero unitatum , cuius quadratus superet 6. puta fingantur quadrati a lateribus IN. - 3. N a N. -3. erunt hi i Q - - 6 N. - ς. & 4 - . ia N. -- s. auseratur s. ab utroque , & resilua dividantur per interuallum laterum quod est 1 N. siet ergo primus quaesitorum I N. - 6 - . u. secundus 4 N. - Ia -- .n . tertius a N. qui satisfaciunt postulatia ex Canone primo duodecimae tertii. vel iisdem manentibus primo S seeundo, erit
240쪽
erit tertius duplum summae illorum muItatum laterum interuallo I N. puta sN. - 36. ut ecinis stat ex secundo Casione. Eadem alte per Canones ad decimani tertiam tertii traditos licebit & hane soluere dissioneis. νInuenire tres numeros indefinite, ut quem bini producunt mutuo ductu, detracto
quouis dato numero quadratum relinquat. - . Datus esto Io. Fingantur duo quadrati, alter a quotlibet unitatibus, alter ab I N. - latere prioris. sint igitur latera I SIN. - l. erunt quadrati I & t Q. - 2 N. - I. Utrique addatur Io. S summae v vitai tui sigillatim per laterum interuallum I N. Eritque primus quaesitoruin secundus t N - 2- u. tertius horum summae duplum multatum i N. puta i N. - - η - - - I N. vel iisdem manentibus primo & secundo, erit tertius ipsum interuallum laterum , nimirum I N.
IN v Α Ν a R E quatuor numeros, 't quisit ex binorum mutua multiplicatione ad se ita unitate faciat quadratum. Quia volo productum ex primo in secundum cum unitate sacere quadratum , si ab aliquo quadrato detraxero unitatem , habebo productum ex primo in secundum. Formo quadratum ab i N. - . i. & fit i a N. -- I. hinc austro vnitatem, re stanti Q a N. pro producto ex Primo in secundum esto primus I N. ergo secundus erit I N. . a. Rursus quia volo productum ex primo in tertium cum unitate sacere quadratum, sermo quadratum absuN - . nimirum a numeris continenter proximis, ob ea quae supra demonstrata sunt, & ab illius quadrato, ausero unitatem , & statuo productum ex primo in tertium 4 Q. - 4 N. Quare cum primus si i N. erit utique tertius qN. - q. Rursus quia volo productim ex primo in quartum cum unitate facere quadratum, formo quadratum a numeris continenter proximis, nimirum a 3 N. - i. & a quadrato sublata unitate statuo pro duehum ex primo in quartum ς -- 6 N. Proinde cum primus si i N. erit quartus 9 N. - ε.&contingit praetcrea productum ex tertio in quartum cum unitate sacere quadratum. Caeterum ex secundo in quartum productus addita unitate facit 9 Q. - 2 N. - Ι3. Hoc ergo aequandum quadrato,
esto latus 3 N. - . S fit i N. i. Ad pos-tiones. Erit primus A. secundus si tertii