장음표시 사용
241쪽
eonditione vi qui 'sub ιribus inuentis sigillatim in quartum asscita unitatest qua .
aquantur quadrato es oritur triplicata aqualitas cuius solutio inuentions nos, adebetur. Fide qua rinotauimus ad quaestionem 2 . libri o. IN OVA EST IO N E M XXI No N apparet ex verbis Diophanti quomodo produm ex secundo in tertium , & ex tertio in
quartum adscita unitate quadratum faciant. Id autem omisit quasi euidens ex lemmate pia cedentis quia secundus . tertius & quartus finguntur 1 quadratis continenter troximis , unde sequitur ex supra demonstratis productos ex duobus proximis, videlicet ex secundo in tortium, di ex tertio in quartum addita unitate facere quadratos. Quamobrem cum etiam ex constructione manifestum sit modii flos ex primo in singulos ex aliis addita unitate facere quadratos , unum sanc restat curandum, vi scilicet productus ex secundo in quartum adscita unitate fiat quadratus. Fit autem ρ - 2 N hoc ego aequabimus quadrato a latere 3 N. tot unitatibus, quarum quadratus superet n. via r. N. - . cum Diophanto. Hae e etian, quaestio ad quemlibet quadratum extendi potest, eodem artificio quo praecedens. vcr. bi gratia. Quatrantur quatuor numeri, ut bini quein producunt adsumpto q. quadratus fiat. Posito primo i N. fingantur quadrati a lateribus IN. - a. a N. - - 2. N. - 2 erunt hi I Q 4 N. - 4. Q - . 8 N. -- 4. 9 - I 2 N. - q. A singulis auferatur ε. 8c erit pro duetus ex primo in secundu i N. ex primo in tertium 4 - 8 N. exprimo in quartum 9 in se ra N.Quare eam primu Asiti N. erit secundus i N. - - tertius 4 N. - ου. quartus 9 N. - Ia dc quidem tam ex constructio ne , qu)m ex demonstratis ad precedentem, constat productos ex primo Ii singulos ex aliis, item que productos ex se eundo in tertium, & ex tertio m quartum adsumpto Φ sacere quadratos. Supe-test igitur vi productus ex secundo in quartum adicito A. faciat quadratum. Sed iacit s. λ N - 11. hoe ergo aequatur quadrato sit eius latus 3 N. - 8 fit I N. . . Sunt ergo quaesiti numeri l. i. P. Ρroducti ex primo in reliquos, adscito A. faciunt quadratos quorum latera V. Producti .ex secundo in tertium di quartum adsumpto 4. faciunt quadratos '. . quorum latera P. 4'. Denique productus ex tertio in quartum adscito 4. quadratum iacit VI. cuius latus Caeterism quomodo in uniuersum solui possit huiusmodi quaestio , ut se ilicet productus ta bino tum mutuo ductu adscito quocumque dato numero faciat quadratum colligi non potest ex Diophanto, R id eum latuisse audaetet asserere ausin, alioquin non in s Ola unitate vel in solis quadratia petiecisset, qutid in omnibus numeris absoluere poterat. Nos pulcherrimum hoc problema explica iiimus ad duodecimam tertii. Et tutius idem persecimus additione in detractionem mutata ad deci
IN v a re i R ε tres numeros proporti nates , ut duorum quorumlibet interuallunt sit quadratus numeruS. Ponatur minor I N. Medius I N. - q. ut interual lum sit quadratus. Tertius autem si i N. - I3. Vt & huius excessus supra medium
sit quadratus. Porro si maximi & minimidiiserentia esset quadratus, iam indefinite satisfactum esset parti quaestionis qua
postulatur, ut disserentia duorum quorumlibet sit quadratus. At maximus minimum superat unitatibus 13. & 13. est summa quadratorum . & 9. Qimerendi igitur sunt duo quadrati aequales quadrato. Quod facile fit trianguli rectanguli sima piis lateribus, sivitque ρ.& I6. statuo minimum i N. Medium i N. - ς tertiuimi. N. - 2s. & sic duorum quorumlibet
242쪽
interuallima quadruus, est. Superi si ut mὶ ἀναλέγ,ν - , ὀ xm VI LO, AM 'si, ipsi sint proportionales. At cum tres nu- τώ Sm τω μί. . αλλ α o MMι - m,sso sineri proportionales fiant, qui sub extre- ἀ--ισις οὐ- et αυ--. mis continetur aequalis est quadrato me- . si λε. ὁ in ino PQUM dij, sed contentus sub maximo & mini- πα. hins δὴ vi te ε. γ mmm a P παmo, hoc est sub extremis est I - 23 N. ς ἐπὶ Ψαὶ ὀ grin Quadratus autem medij est 1 - 18 N. ς ὀ θ δα ερ:t ρuj ς. o δὲ hietoe o P c. - 8I. Haec ergo aequantur inter se, &fiti N. V. Ad positiones. Erit primus . . secundus 'V. tertius TIN AVAESTION EM XXII. TOTA diuersias solutionum pendet lite a duobus quadratis qui simul iuncti quadratum effaeiam . nam si viatis iisdem, eadem semper eontinget solutio, qi anauis pro primo quaesitorum numerorum statuas quemlibet Numerorum numerum, sic qiramuis si Hiras quaestos numeros a N. 3 N. - 9.&3N. -- Iy. eandem solutionem inuenies quam repetit Diophantu, postri tiu em nu- metis IN. N. o. 8e IN. - . as.& se quantumuis varietur primus, duin in iecundo S tuitio ponantur iidem quadratis. Ae 21. eadem continget solutio, quod patet experientia, de sacile est deis monstrare. C tetu inest quod moneam ex duobus quadrati qui simul quadratum consciunt, minorem sti tuendum in medio numero, non autem maiorem , sic Diophantus medium potuit I N. -- ς. non tN. - Is. Quamuis posito eo IN. - I s. tribus quoqne postulati patribus satisfiat, cum hiuctum interuallum sit quautatus. Sed in aequatione qua medii quadratus aequatur plano iub extremis. in ueniuntur tandem 32 N. - 216. aequales as N. Quod est impossibile, quia 3a N. sunt plus quamas N. fiunt autem ga N. ex duelo quadrati Io. qui postus est in medio, at as N. est lumina quadrato tum 16. 8e o. Oportet igitur duplum quadrati qui ponitur in medio minus esse summa quadratorum, quare oportet minorem quadratum colloeati in medio. Quandoquidem duplum maioris duorum humetotum excedit summam ipsorum, seut duplum minoris descit ab eadem summa. potio ek ipsa operatione elieitui Canon facillimus. Sume Aos qsaaratas quadrariam consteientes, per horum tare alium Laide quadratin minoris uiarati, orietur primvis sti Martim. Cri savias minorem flaadratum, miscuiatis. Es h ιι si addas maιarem q ararum , set tertias.
'χ N. per A N. - - q. habebimus tertium. Verum haec diuisio non est pollibilis. Ut alitem fieri possit curandum est ut se habeat i Q. ad 4 N. scuta N. ad y. d
243쪽
at 1 scinistis est quantum ad viritates attinctὶ de a N. ut si N. quoque eodem modo futilent semissis ex q. militui pollet diuisio. Atqui N. Oriuntur ex eo quos N. superant a N. Sed 6 N. orti sunt ex duplo eius quod fit ex 3. in i N. hoc est ex
duplo ternari j. Vnitate Sautem y. est quadratus de 3. Cogor igitur inucia ire numc-rum loco ipsius p. cuius di plum multatum binario sit semissis quadrati ipsius numeri. Esto qtiaestus i N. Huius duplum binario multatum est a N. - 2. quadratus autem eiusdem est i Volumus igitur a N. a. esse dimidium de i Q Proin dei R. aequatur 4 N. - 4. & fit i N. a. Revertor nunc ad primo propositim. Posueram primum I. soliduin autem sub tribus contentum I -- a N. ΟPorterautem solidum adsumpto secundo facere quadratum. Ergo si ab aliquo quadrato subduxero a Q. - a N. habebo secundum. Formo quadratum ab i N. & toe unitatibus , ut duplum unitatum dempto binario sit dimidium quadrati earum , casautem iam ostensum est esse a. Fornaci ergo quadratum ab i N. - a. is est im- N. - . Ausero hinc solidum sub tribus contentum, nimirum I Q. - 2 N. relinquitur secundus a N. - . Itaque si solidum sub tribus contentum diuido per productum ex primo in secundum , nempe pera N. - q. habeo tertium, nimirum: N. Restat ut solidus sub tribus contentus adscito tertio faciat quadratum, sed solidus ille adscito tertio facit 1 -- a N. Hoc ergo arquatur quadrato Q. & fit
i N. ἰ Ad positiones. Erit primus :. se
OP a Rario Diophanti subii Es est, sed tamen per spreua. Lemma qxio quaerit numerum, cuius
duplum binario multatum sit semisssis quadrati eiusdem numeri, soluitur per tertiam regulam compositarum, nam manent 4 N. aeq uales I α-- q. N quadratus semissis Numerorum aequatur unitatibus, sequitur ipsum semissem Numerorum esse valorem Numeri, ut liquet ex ipsius r oulae demonstratione. Verum alicui non immerito videri possit casu quodam fieri ut lemmatis huius solutio contingat rationalis, eum regulae compositae si nulla cautio adhibeatur solutionem ut plutimum exhibeant irrationalem. Quamobrem ut hoc scrupulo careamus, aliam placet tradere opera istionem similem prorsuς illi qua in sequenti quaestione utitur Diophantus. Ponatur primus numerusi N. solidus autem sub tribus contentus esto I - i N. sic enim primo adsumpto fiet quadratus.
244쪽
Iam si solidus sub tribus contentus per primum diuidatiit, quotiens i N. - i erit productus ex secun-oci an tertium. Ponatur secundus i. erit tertius I N. - a. Superest ut solidus i Q I N. tam secundo quam lettio adscito saeiat quadratum. At secundo adscito iacit P . 1 - a N. adscito tertio facit I. uterque igitur aequatur quadrato. Hic iam duplicata occurrit aequalitas , quae te luenda est modo quem au decimam quintam tertia explicauimus, quoque rursus ulus est Diophantus vigesima & vigesima prima eiusdeni. Horum videlicet interuallum est a - N. proinde quaero duos numeros, quorum mutuo ductu id sat ita vitani in semisse sui inve ipsorum , quam interualli, iii ueniatur i N. liant hi i&4 2 N. horum summae sein illis quadratus aequatur I α - I-IN. N iit IN. d. tantus est psimus, secundus I. tertius s. qui soluunt ouaestionem. Nam iolidus sub ipsi x eontentus est qua adsumens fgillatim ipsos tres numeros, facit quadratos br. E:τ. ZR . quoruni Iatera iunt v l . Quoniam vero siue ita opereris, siue secun sum Diophantum , semper unus quaesitorum p nitur unitas, placet explicare modum quo perficiatur operatio Diophanti, di reddatur uniuersalior, ita ut primus statuatur quilibri quadratus numerus, & absque lemmate i Ilo quo ad regulas ctim sitas deuenitur, instituantur commode positiones seeundi S tertis. Ponatur ergo primus, quilibet quadratus puta s. di fingatur quadratus ab IN. - 3. is erit 1 --μ ε . o. vndu auferendo s. statuatur et Q - . 6 N pro solido sub tribus humeris contento. Itaque quoniam primus est s. portet talcm ita tui secundum , ut eo ducto in s. per pro uctuin diuidi possit solidus I Q - . 5 N. vi oriatur ex hac ciuisone tertius. Fingatur igitur quadratus ab IN. -- ε. tot scilicet unitatibus quot sunt Numeri in il lido, setit secit Diophantus , estque hae tegula ueneralis θ erit is i D N. -- 36. unde ausere udo solidum , testat secundus 6 N. - 26. quo cucto in primum 9. st 34 N. -- 324. per quem
quadratum, iacit autetrao N. Oritur tertius ἡ N. Superest igitul ut solidus adsumpto tertio faciat
Q. - Ο N. hoc ergo aequatur quadrato. Esto quadrato a Sisti N. primus s. secundus '' tertius qui soluunt quaestionem. Nam solidus N. Ad positiones. Erit primus s. secundus ' tertius . qui soluunt quaestionem. Nam solidus sub ipsi, eontentus est qui ad adsumens s gillatim ipsos tres numeros, iacit quadiat
Porio ne quis supersi dubitandi locus, positionibus ita institutis, diuisionem sol di per productu ineu primo in secundum semper commode fieri in quo totum negotium consistit sic demonstrabitur. o Λ ου N D Mi ius 3 Q. - A certo Numerorum numero & semissis numeri A' ID. N CA8 'uadratiis esto in primus quaestorum numerorum. Tum fingatur qua ' ΑΙ - cAὴ ' oratus ab i N. - A. qui siti m . B - . C. patet ergo numerorum s LN Gi, Numerum B. esse duplum ipsus A. & viaitates C. esse quadratum nu-H 3'q' meri Α. Quate eum ausitetur solidus I -- A. a quadrato I - B-- C. relinquetur E -- C. eritque E. aequalis ipsi A. cum supersit E auferendo A. ex B. duplo sui. Caeterum constat ex modo operandi tradito E. - C. fore hypostas in secundi Numeti. Dueat ut ergo primus D. in secundum E -- C. &sat s M. C. dico per hoc productum commodὸ diuidi solidum se ut A ad G. Quia igitur ducto eodem D. in ipsos E C. sunt F G. erit F. ad G. vi E. adC. hoe est ut A. ad C. eluti A E. ostens sint aequales sed ut A. ad suum quadratum C. ita & unitas ad A. Igitur ut a. ad A. sic& F. ad G. & permutando vir. ad F. sie A ad G. Quod erat de in onstrandum.
Non solum ab ae lemmate Diophanti, feci etiam absque duplieara qtialitate HItietur quaestio. Ponatu olidam sub trigas I. ga. N. prιmas numeνoram fmnitas seundas a. N. Ita namque da ustis partibus propositionis satisf pro tersioditi id. ιιν folidam sub ιν bus r. - a N. per rectangatum sab primo O δε- eundo quoa es a N. orierar ex hae diaso ne tertius Q N -s quo addito ad solidam fab
IN v s N i R a tres numeros , ut solidus Υ P E l N πειο-ο-αί sub ipsis contentus dempto quolibet - , ποιη γεγάμνον.
245쪽
ipsorum faciat quadratum. Ponatur primus i N. solidus autem a Q. - 1 N. dc dempto primo facit quadratum. Et quia solidus sub tribus est a Mes--I N. at primus i N. erit productus ex secundo in tertium 1 N. - I. esto secundus i. ergo tertius erit et N. - r. Superest ut solidus sub tribus d mpto tam si cundo quam tertio faciat quadratum. Dcmpto veto sciscundo faciti χ- I N. - i aequale in quadrato , at dempto tertio secit 1 Q i. aequalem quadrato. Et e sistit duplicata aequalitas. Capio interuallum quod est 1
tuo ductu id fiat, ij sunt qui metiuntur t . nimirum & a N. quod est dupltim lateris quadrati. Et ergo quam nostri aquaiatio , & st i N. I . Ad positiones. Et it primus 'P..secundus i. tertius V.
Opsa Aetio Diophanti tacilis est, & utitur dupli eata aequalitate modo quem explicauimus ad decimam quintam tertii. Caeterum moneo secundum poni posse non tantum I. sed di quemlibet unitatum numerum. Ponatur verbi gratia a. cum igitur productus ex secnndo in tertium sit rN. - I. erit tertius j N. -- Solidus autem a tri detracto tam secundo quam tertio fiet. hine I Q. - I N. - 2. inde I Q -- . N. - . quotum uterque quadrato aequandus est eorum interis uallum est e N.-i T. quod producunt mutuo ductu a N. - s. & horum iummae semiliis quadratus i QO V N. - II. aequalis est I Q -- a M. - a. de fit i N. V. tantus est primus, secundus et . terint ius qui soluunt quaestionem . nam solidus sub ipsis contentus est V T. qui detractis sigillatim ipsis tribus numeris, faeit quadratos quorum latera B. :l. Sed & quadratorum numerus qni ponitur in solido , pro arbitrio variari potest, dum ponatur quadratus. Etenim sit primus i N. solidus 4 α - . t N. erit ergo productus ex seeundo in tertium 4 N. - ι Ponatur secundus quotlibet unitatuiti, puta a. erit igitur tertius a N. -- t. iuperest ut sol id 4α- i N. adscito, tum secundo, tum tertio faciat quadratum , proinde IN. - a&ηα- i. N. - aquantur quadratis. Horum interuallum est a N. - liquod producatur ex I in N. 3. Quare horum sui ranae semissis quadratus 4 Q - 3 N. - aequatur 4 -- IN. - 2.&fit μα. tantus est primus. secundus a. tertius qui soluunt quaestionem. nam solidus sub ipsis contentus
est qui sangulis detractis quadratos facie su. ::.. v. quorum latera ... ar Eodem plotius artificio soluetur quaestio tequens. quae & hie desiderari videtur. Inuenire tres numeros, ut qui sub iis continetur solidus detractus a quolibet ipsorum quadratum relinquat.
Esto primus i N. solidus autem et N. - i . ut detractus a primo quadratum te inquat. Iam soli do per pili inuin diuis fiet I - i N. productus ex secundo in tertium. Poriatur secundus r. erit tertius 3 - 1 N. superest ut ab utroqtie detrahendo solidum I N. - I Q upetiist quadrati, de remanent rQ. - t - IN. I - 2 N. uterque igitur horum aequatur quadrato. Eorum interuallum est i N. quod fleeta N. in . Qiueare horum sit inniae semissis quadratus, puta I - . : N H. A. aequatit t. Q. - Ι - r N. unde fit i N. i. tantus est primus, seeundus i. tertius i.& luunt quaesti
DΑxv v numerum diuidere in duos
numeros, ut productus ex eorum
multiplicatione sit cubus suo multatus
246쪽
latcre . Esto datus s. ponatur primus relinquitur ergo secundus 6 - i N. Supere si vi productus eoru multiplicatione si cubus tuo multatus latere. Est autem hieproductus 6 N. - 1 αHunc ergo aequari oportet cubo cui suum dest latus. Folino cubum a numeris quotlibet cum desectu unitatis, esto adi N. - I. huius cubus latere detracto fit 8 C. - 4N. - is Haec aequantur ε N. - 1 mus numeri utrimque multitudine aequales essent, restarent cubi aequales quadratis, & rationali numero exprimeretur solutio. At 4 N proficiscuntur abescessu extera N. supra a N. &s ter a N.amittata N. fiunt utique bis a N. At vero f. dantur ex hypothes. Eo itaque redactus sum ut inueniam loco et N. aliquem numerum cuius duplum sa-ciat ε. Est autem di huiusnodi numerus. Quaerens ergo ε N. - 1 Q quales cubo
ARTisICIosa' Diophantus ut aequeis N. -I Q. elabo multato suo latere, fingit cubum a 3 N. - I. ut in cubo illius contineatur r. quod aboleatur detractatione lateris, in quo etiam t. postum est. At Numeri abcileantur per Numero qui sunt ex altera aequationis parte, S sic re-Haneat aequalitas inter cubos & quadratos. Vt autem incubo multato suo latere reperiantur 6 N. eum ex Atinatione euhi tradita ad primam huius constet numerum Numerorum in cubo contento tum itiplum scire numeri Numerorum positorum in latere, quia in latere eum Numeris ponitur unitas i oportet utique talem poni in latete numerum N umerorum, euius triplo auferendo ipsum nu metum, supersit o. sed a triplo alicuius numeri auferendo ipsum numerum, superest duplum elusidem numeri. Ieitur recte concludit Diophantus ponendum in latere cubi, numerum Numerorum, ius duplum Di s. hoe est a. Itaque nulla hic solutiomim varietas aecidit, eum per hujusmodi operationem unica duntaxat reperiri possat solutio. Verum inde formatur Canon satis expeditus.' Sod antem qua ali diali numeri tinitatemviratiam Luide per octantem eubi eiusdem, orieιur primus quasi oram. ua re huius subtramone a vita numero, habebas secundum. Porro produetas ex primo in semissem disti numera unitate revile tias. est latus e . qua=i.
Eodem quoque artiscio soluetur huiusmodi quaestio. inuenire duos numeros dato interuallo differentes, ut productus eorum multiplicationc sit cubus suo Auitatus latere i Sit datum interuallum 6.
. Priatur prImus i N. seeundus ε - N. erit productus 6 N. - qui aequas illis est cubo mulis lato sula' itere . qui ob causain supra traditam fingi debet a latere N. - r. ssetque cubus suo latere multatus z. C. - . 5N. et bequalis 6 N. - - i in& fit N. tantus est primus. Secundus autem et . 5 Huunt quaestionem, nam pmductus eorum multiplicatione T. .eu cubus I. . ni ultatiis suo latere line fit Canon. Dodrantem quisoac. disti numeri tinitate Bum m. ἁ uia. ρ'r οἱ antem e bi e Ullem, oriei r primus quasitorum. Cui adH-ο δε vim in/ὸν Ilum , fiet secundus. Forro productus ex prima insem iam diari numera 'urit ιε mahaius, est Iartis eat quasili.
247쪽
AU. γ.Jόι PT ' . τλὶ-ς in α DAxv M numerum diuidere in tres numeros , E quibus ortus solidus sit cubus latus habens summam interitallorum, quibus bini inter se distant. Eito datus 4.& quia solidus sub tribus conte tus est cubus, esto 8 C. cuius latus a N Iam interuallum primi & secundi, & interuallum secundi &tertii, itemque inte uallum primi & tertij , duplum faciunt
interualli primi & terti j. Hoc cit. Siluerint numeri tres inaequales , trium inter ualla sunt duplum interualli extremorum. Habemus autem in positione lateris cubi a N. Quare oportet a N. aequari summae interuas lorum. Proinde intervallum, tertij supra primum est I N. Esto primus numerorum quotlibet, puta a N. erit ergo tertius 3 N. Et quia solidus ex tribus ortus, est 8 C. at proin . ductus ex primo in tertium est 6 in erit utique secundus I ; N. Hoc loca si secundus tertio minor , maior primoeextitisset Bluta erat quaestio. Sed secun
diis prodiit diuiso 8 per productum ex
primo in tertium. Primus autem & ter. tius non sunt temere sumpti, sed unitate differentes. Eo itaque deuenimus , νt quaerendi sint duci numeri unitate dast rentes, ut diuiso 8. per prodinctum multiplicationis eorum, fiat quotiens minore illorum maior, & maiore minor. Potia istur minori N. maior eriti N.' -- i dc si diuidam 8.per productum multiplicati nis corum quod est I in I N. fiet me, dius Volumus autem hunc ma torem quidem esse quam I N. n noren Vero quam I N. .. i. Cum igitur horum interuallum sit 1. erit interuallum prim & secundi unitate minus, ideoque iecim dus addita unitate maior erit primo. A qui secundus adscita unitate, Sc relo
tus in minutiam . cuius denomin Q. - N. fit IV. Hoc er in ius
est quam i N. - I. Sc omni biis perrueIiminatorem multiplicatis At I in . . - 8. maior quam i G. - 1 . - L MAulerantur similis a s milibus, relinqua-.tur 8. maior quis Is --
248쪽
denominator hic abiicitur , & inuenti Ah G - η-ὰύσ
sunt tres numeri, quorum ex multiplicatione ortus solidus,est cubus latus habens summam interuallorum ipsorum. Pono ergo primum AO N. secundum 17 N. tertium aue N. & est solidus sub ipsis contentus cubus cuius latus aequatur interuallis ipsorum simul junctis. Volo autem trium summam aequari dato numero 4. Igitur 9 a N. quantur . & fit 1 N. .a. Ad positiones. Erit primus ζ'. secundus : . tertius
OV AE R E N s Diophantus tres numeros quotum summa sit 4. Ita ut solidus sub ipsis contentus sit cubus latus habens summam interuallorum quibus hini inter se distant, seu quod idem est, Iatus habens duplum interualli misi mi & minimi, primis tu quaerit in uniuersum tres uumeros reliquis propositi partibus satissaeientes nulla habita ratione summae quam consciunt, his enim inueniatis, puta qo. 27. 23. Iaira statuit quaestos numeros M N. 27 N. Is N. quoriam summam set N. aequa rem faciendo ipsi 4. soluit quaestionem pro postam. Itaque totum negotium in eo consstit ut inue Niantur tres numeri, ut solidus sub ipsi, contentus sit etibus latus habens duplum interualli maximi . di minimi. Ponatur solidus ille quilibet cuborem numerus cubicus, puta 8 C. Cum ergo illius latus sit a N. patet hoc esse dupltim interualli maximi & minimi, quate ipsum interuallum maximi 'di minimi erit i N. Ponendi ergo sunt maximus & minimus certi numerorum numeri unitate distantes ; sed quia per eorum productuin diuidendo 8 C. solidum , debet oriri medius qui
minimo maior esse debet, & minor maximo, apparet necessitas assumpti lemmatis, quo quaeruntur duo numeri unitate distantes per quorum productum diuidendo S. fiat quotiens minore maior, & minor maiore. In huius autem lemmatis enodati ne quantum a scopo aberrarat dii Iander, qui eius commentatios legerit , sae ite intelliget. Nobis non vacat in refellendis inani- hus illius Gniecturis diutius immorari, quibus plopost uin est Diophantum explicare . non alio-Tum errata omnia persequi. Ponuntur ergo quaesti numeri r N.&I N. - r. fitque produetus eorum multiplieatione I - - N. per quem diuidendo R. st quotiens p . tu qui debet esse maior quam IN . minor quam I N. - r. H;c.quis asserat Diophantum non satis accurate rein persequi nili quid ex illius verbis exciderit 3 non saltetur. ut puto. Nam ut utrumque quod instat, ritὸ procureis tur, Omnia reducendo ad eandem denominationem patet 8. maiorem esse debere quam I C. - Q. minorem autem quam IC. - et in F a N. & primum quidem sollicite eauci Diophantiis, ptis remum vero negligit innino. At ut si hoc neglecto ad illud tantum respiciamus, saepe in absurdum deuenieinus. Nam verbi gratia ut 8. st maior quam I C. - - 1 Q. sufficit si aequemus 8. alicui cu bri maiori quam I C. - . t Q dum is non sit maior quam 3. Attalis est I C. -- 3 a N. - Huie ergo aequemus 8. & latus lateti comparantes sent a. aequales 1 N. -Φ I. & erit I N. a. Quare quasti numeri erunt r. & a. quod est absurdum, nam per eo tum productum a. si diuidas 8. set . qui maior est utroque, cum deberet esse maior minimo, minor maximo. Non susticit igitur ut cubus cui aequatur p. st maior quam a C. Q sed oportet simul vi si minor quam I C. - aQ-I N. Hoc ut arte certa consequamur si gemus cubu in quo praeter I C.eontineatur I inde aliquid amplius, quod tamen Monaequet a QMuate cum latus cubi ponendum sit I N. -- aliquot unitatibus, ac proinde quadratorum numerus in cubo contentorum si triplum illarum unitatum, patet in latere poncndas tot unitates, ut earum triplum si minus quam a. sed non minus quam I. Quare utriusque trientem sumentes concludemus , sngendum latus eubi I N. tot unitatibus quae sint minus quam
sed uon minuu qutin I. sic Diophantus posuit huiusmodi latus I . N. - quod aequans lateri ipsius 8. puta et . inuenit valorem Numeri . N ii fingas latus I N. - l. hoe aequabitura. N set
249쪽
IN. 3. Erunt ergo qua sui duo numeri Τ& . quorum productus 2 pet quem diuidendo p. fit medius y . tres enim l l . satisfacimit. proposito, hoe est solidus sub ipsis contentus, est euhus latus habens summan, interuallorum quibus bini inter se distant, & Omnia redueendo ad integros, sent As. 64. s. per quos si velis soluere quaestionem propositam, pones quaestos Numeros As N. N. 7s horum summa 184 N. aqvatur 4. & fit N. sunt ergo quaesiti Numeri te. r. Itaque ut compendiosissam h propositum lemma perficiatur, cum sal valot Numeri auserendo 1 hinatio unitates positas in latere sciitio eubi, & Ostensum sit unitate, illas minores esse debete quisi' non minores quam his autem a binario detractis, supersint a & l. patet vasotem Numeri maiorem esse debete quam ' non maiorem qu im se sumi poterunt pro valote Numeri ). l. & alii infiniti. Unde constat allucinati Xilandrum, eum asserit valorem numeri esse posse . nam is cadit extra limites constitutos , eumque proposito non satisfacere 1enties experiendo. Restat videndum eur Diophantus loco ipsorum 4. sumat ipsos M. et .as. in iisdein rationibus. Quod ne cui se tu puluin inoueat, de imonstrabitur hoc Theoremate. Si fuerint tres ntimeri, ita ursisAdvis sis ipsis eon enim si ctibus latus habe , duplam interealii maximi O minima, ct tres ati; quιcunque an a dem rationibus idem rasastine. sint tres Α B C.& interuallum extremorum esto E euiu duplum D. At
solidus sub ipsis ABC. esto F cubus, cuius iatus sit D.& stimantur tres GH Κin iisdem rationibus eum i s Α B C. & si t eΨtremorum interuallum M. cuius dii plum L. & solidus sub ipsis G H Κ esto P. dico P. esse eubum euius latus est L Etenim eum latera A B C. G H Κ sint proportionalia , munt solidi F Ps miles eu des nitione. Quare habebunt inter se rationem cubi ad eubum, aepto inde eum p sit eu bus, erit& P cubus. Quoniam vero ex hypothes est Αad C. .t G ad K. etit diuidendo E ad C. vi M ad X. ae proinde erit D, duplus ipsus E ad C; sicut L duplu ipsius M. ad Κ, & permutando erit D ad L ut C ad K. Atqui solidi simile, F D 3 sint in tripli. eata ratione laterum C Κ. re similiter euhi F P. ' sunt in triplicata ratione lateris D ad latus ipsus RIgitur est C ad Κ. sicut D ad latus e ubi P. sed vi C ad X. sic est D ad L ut ostensum est. Igitur L inlatu eubi P. Quod erat demonstrandum. Caeter sim eodem attis eici soluet ut huiusmodi quaesto.
Inuenire tres numeros, ut selidus sib ipss contentus si cubus , Iatus habens sunt mam interuallorum, quibus bini inter se distant, ipsa autem summa interuallorum
sit datus numerus. Esto summa interuallorum Is. Quaerentur ut prIus tres numeri, ita ut solidus sub ipsis contentus sit elibus summae interuallorum, Ninuenientur 4o. 27. 2s. Quare ponentur quaesti Ao N. a Nisdiue N. & si summa interuallotum 3o N. aequalis is. unde fit x N. Sunt igitur quaesiti numeri
ductus ex eorum multiplicatione viro
libet adiecto faciat cubum. Pono primum, aliquot numerorum cubicorum, puta 8 N. se .undum vero i Q - I. Ita steri postulatorum satis fit. Nam productus eorum multiplicatione adscito primo, facit cubum. Restat v x idem productus adscito secuti do faciat cubum. Sed productus ille adscito secundo facit 8 C. - Ι
- 8 N. - I. haec ergo aequantur cubo. Formo cubum a a N. 1.& fit i N. η. Ad positiones. erit primus C. secundus p .
NUM sRI cubo aequandi 8 C. - I -8 N. - r. latus ingenios ε fingitur a N. - I. ut cubo virilisque partis elidantur RC. - I. & remaneat aequalitas inter Numeros Se quadratos. Caete-tlim positiones diuersis modis institui possunt. Nam primus quanitorum poni potest quilibet Nurime totum numerus siue cubicus, siue non, dum secundus statuatur certus quadratorum numerus
250쪽
i. ita tamen ut ex primo in quadratos secundi fiat numerus cubus , ita si ponatur primus 4 N. ponet ut secundus a Q a. stque productus 8 C. - N. qui adscito primo cubum iacit. Restat ergo ut idem productus adicito secundo cubum faciat, iacit autem8C. - 2 - 4 N. - .Hoc ergo cubo aquatur, cuius latus finget ut a N. - i. N fiet I N. erunt ereo quaesiti numeri P & qui soluunt quaestioneni. nam eorum productus utroque adscito cubos facit I & Vetum ad ueste talem statuendum esse Numerorum numerum pro primo, ut sit maior vel aequalis numero quadratorum qui ponitur in se eundo, nam si ponatur minor, aequatio quidem rite procedet, sed valorem Numeri applicando positionibus, secundus inuenietur nihil , vel minor nihilo. Ita si ponas primum a N. secundum 4 QL- . erit productus 8C. - a N. qui adscito primo cubum facit. At idem produciti adscito secundo faeit 8 C. - Α λ- 2 N. - a. aequalem cubo a latere a N. - I. unoe fit i N. Quare seeundus inuenitui nihil. At si ponas primum 8 N. secundum 8 - 1. fiet tandem 6 C. H. 8 4 - 8 N. - I. aequalis cubo a latere 4 N. - I. & fiet I N. i. eruntque quaesiti nu.
IN va Ni ηε duos numeros, ut productus eorum multiplicatione , vir libet detracto faciat cubum. Vt prIus ponatur primus 8 N. secundus autem i. i. & productus corum multiplicatione,
dempto primo fit cubus i sed idem productus dempto secundo iacit 8 C.-8 N.
I - - r. Hoc aequatur cubo , & est impossibile. Statuo ergo rursus primum, numerorum cubicorum aliquot addita unitate, puta , 8 N. . secundum autem I&productus eorum multiplicatione depto secundo fit cubus; sed dempto pri. mo fit 8 C. - i Q 8 N. r. Haec aequantur cubo a latere a N. i.& fit a N. Adpositiones. Erit primus , secundus V. ΕΥ p E I N oba ἀειρ ueu , o υιπ
TE x et v s lacunas male eum repleuisset X ilander, non mitum est si Diophanti mentem minim assequutus est. Attamen satis apparet Diophantum primis voluisse imitari operationem praeeedenti, quaestionis. Quemadmodum enim posuerat ibi primum 8 N. secundum I ut produci 8 C. - 8 N. addendo 'imum fieret cubus. Ita lite ponere voluit primum 8 N. secundum a Q. . I. ut producto 8 C -- 8 N. detrahendo primum, cubus superesset. Vetiim ab eodem producto auferendo seeundum relinquebatur 8C. - . 8 N. - r Q. - I. quod est impossibile elabo aquati, nam is cubui non potest fingi nisi a latere a N. - I. ut tollantur cubi & unitates. Qitate hac aequatione tandem H - a N. remanent aequales nihilo. Idcireo ut hoc incommodum vitet ut aliter instituendae sunt posit ones,& primus ponendus est 8 N. - I. seeundus et inresque optime sue cedit. telum infinitis aliis modis institui possunt positiones , dum primus ponatur quilibet numerus Numerorum -- i. & secundus quilibet Quadratorum numerus, qui ductus in numerum Numerorum primi, cubum Aciat. Ita si ponas primum 4 N. -- I. secundum a Q. erit productus 8 C. a qui multatus secundo, cubum relinquit. At multatus primo, manet 8 C. et r. qui aequabitur cubo 1 latere et N. - I.&fiet N. l. Etum ergo quaesti numeri Naqui soluunt quaepionem, nam productus si Vnde auserendo ipsos numeros, remanent cubi id & K. Sed hie etiam aduerte talem statuendum Numerorum numerum in primo, ut si aequalis vel maior numero quadratorum qui ponitur pro secundo. Alioquin si ponatur minor, non poterit a producto detrahi uterqtie numerus. Ita si ponas primum 8 N. - r. secundum 8 es bene succedet, nam erit productus 64 C. - 8 inqui multatus secundo cubum relinquit, at multatus primo, remanet ε C. -- s Q - 8 N. - . oedualis elabo P latete 4 N. - I. & fit I N. d. sunt eteo quaesti numeri qui Q.
pra I de Sed s ponas pes mum a N. i. secundum 4 in erit productus 8 C. - inqui detracto