장음표시 사용
251쪽
secundo eubum resἰnquit , at primo detracto , relinquit g C. - Α-- 2 N. - I. aequa Iem eu latere a N. - I. &ifit I N. suntque quaesiti numeria. &I. a quorum producto si primum auseras, nihil remanet.
λmumδ-άμεα ς μ' α κῆ δάσIN v a s i Rs duos numeros , Vt productus eorum multiplicatione, summa ipsorum siue addita, sue detracta cubum faciat. Quoniam productus eorum multiplicatione adsumens virumque facit cubum, faciat s Rursus quia idem productus viroque detracto facit cubum, iaciat 8. Itaque duplum summae numeror. arquatur interuallo hortim cuborum 36. Proinde summa numerorum est et 8. sed productum multiplicationis cum summa facit ε . relinquitur ergo productuari multiplicationis esse as. Eo itaque loci deducta res est, ut inueniendi snt duo numeri, quorum summa st 28. productum multiplicationis 36. Ponatur maior i Ν.-- I . Minor ergo erit 1 - I N. superest ut productum multiplicationis nimirum
I9ε - 1 inaequetur 36. & fit i inaequalis
iso. & s unitates 1εo. essent quadratae, soluta esset quaestio. Sed 1 6o. est excessiis quo 196. superat 36. & I96. est quadratus
ipsius 1 . qui est semissis de r8. Quare 19s est semissis de di8. in se ductus. Atqui 28.est semissis ipsus ues .atque ideo I . est quarta pars eiusdem 36. Caeterum 36. est
interuallu in duorum cuborum 6 . de 8.
ipse vero est summae cuborum semis. sis. Itaque eo redactus sum ut inueniam duos cubos quorum interualli quadrans in se si ducatur , & ab hoc quadrato austratur summae cuborum semissis , sat
rum interualli quadrans est QP - Phocin se ducto fiunt diu I Q. hinc s auferatur summae cuborum semisiss, nempe C. - 3 N. relinquitur et Q 1-- iqQ - : - C. 3 N. Hoc aequatur quadrato. Sed propter minutias, Om
nia quadruplicentur , sty Q. - 6 Q.
--r - 4 ia N. haec quadrato aequantur a latere 3W--i - ό N. Ipse quadra-
252쪽
tus est y - a I - 36 C. - IaN. qui aequatur 9 QM- - 6 FI qC. - Ia N. Communis addatur desectus, di a similibus. auferantur similia, relinquuntur 3a C aequales 36 Qμ fit IN. l. Ad positiones. Posueram latera cuborum, huc quidem IN. - 1. illud vero IN. - I. Erit ergo alterum P. alterum et. Ipsi ergo cubi erunt , primus quidem τ .secundus autem reti. venio ad id quod initio propositum erat, ac quaero quomodo dentur duo numeri, ut productus eorum multiplicatione cum utriusque sim ima faciat & idem productus detracta ea- . dein summa faciat Quoniam ergo eroductum multiplicationis additum summae facit cubum PH. & idem pro- duetum detracta summa facit cubumi; z. horum cuborum interuallum, nempe R. est utique duplum summa. Ipsa igitur summa est T . sed productum multiplicationis cum summa facit summa inuenta est VI. erit igitur productiun multiplicationis . Quod reliquum est ut conficiatur demonstr tum est libro primo, sed explicandae causa quaestionis demio ostendamus. Ponatur primus I N. cum semisse unitatum quae summam exprimunt, hoc est Wς. secundus erit 'V2- I N. N est summa illorum προῦ. Sed productum multiplicationis est Q aoc ergo arquatur π
multiplicentur &auserantur initia a similibus fiunt acla I .Q.aequales aueoooo ct fiti N. T. Ad positiones erat primus m. secundus & demonstratio est euidens. IN ELAEAE ST ION EM XXIX.
TIIc duo imprimis supponuntur 1 Diophanto. Primum interualluit, cuborum qui fiunt addita & adempta summa numerorum producto multiplicationis ipsorum: esse duplum eiusdem summae numerorum , quod facile est demonstrare D dig. D ig. π ςΠim A cxibus min C maior, & B procinctus multis iratione quaesitorum A g. B;6. C. M. Dumς um x qu rum summa D adempta ipsi B relinquat A , & addit, eidditi n uic interuallum cuborum C A csse duplum ipsius D. & patet eum enim interuallum duorum C B sit D.& duorum B A. interuallum sit tuistis D. euidens est extiς morum C A. interuallum esse duplum ipsius D. Quod erat propositum Secundo supponit Diophantus ipsum productum B. semissem esse summae cuborum Α C ouod
etiam euidens est, cum enim tres A BC. sint in medietate arithmetica ex hypothesi. erit medius B. semissis summae extremorum. Quod erat intentum. Hinc apparet, quod ait Diophantus Quaerendos esse duos numeros, quorum summa sit D. productum B. Id autem fiet per tri climam dirim cuius operationem hic repetit. Cum autem ex huiusmodi operatione, vel ex Canone inde inuo constet, ut quaestio solui possit oportere a quadrato semissis summae auferendo produetum.reli noui
Atqui, ut ostentum est, D. est lenustis interualli cuborum A C. ae proinde semissis ipsus D est
253쪽
quadrans interualli eorundem cuborum ; & rutius , ut ostensum quoque est, B. est semissis summae cuborum Α C. Igitur euidenter colligitur necessitas lemmatis a Diophanto assumpti, quo quaeruntur
tales duo cubi, ut a quadrato quadrentis interitalli eorum auferendo semissem summae eorundem, relinquatur quadratus. In huius lemmatis explicatione multa occurrunt obseruanda. Primo aduerte latera cuborum poni i N. - . I.&IN. - I. ut cuborum tam summa quam interia
uallum ex pauci limis constet spee 1ebus. Nam horum laterum cubi prorsus smiles lunt, nisi quod quadrati & viaitates desciunt in cubo tes dui, eum adsint in cubo binomii, sicut docuimus ad primam huius, cubi genesim explicantes. Vnde eolligendo summam eliborum, eum quadrati de unitates ob fgna contraria sese mutuo elidant, si ut summa cuborum eonstet solum ex cubis S Numeris, ut in hypothesi si sunt in a cuborum a C. H. 6 N. smiliter cuborum intemestum ex duabus tantum componitur speciebus, ex quadratis scilicet, & unitatibus quia cuborum & Numerorum iidem vitimque reperiuntur numeri, se in hypothesi est cuborum interuallum 6 Q a. cuius quadratus est i l .. Seeundo aduerte quadratum huius quadrantis, necessario esse trinomium eonstans ex quadrato quadratis, quadratis & unitatibus, ut colligere ex geneti quadrati quam tradidit Euclides quarta seeundi. fit enim huiusmodi quadratus 2 - Q a et in Quare cum ab hoc quadrato auferri debeat semissis summae cuborum, qui constat, ut iam diximus , ex cu bis & Numeris, necesse est hane subtractionem ficti per signum desectus, cum in dicto quadrato non reperiantur species eorundem nominum. Itaque set huiusmodi subductione qui nomium constans ex quadrato quadratis, quadratis, S unitatibus , cum desectu cuborum 3c Numerorum, nimirum et Q. ,-- I r C. - . N. qui aequandus est quadrato , ut soluatur propos tum lemma. Sed ad vitandas saetio nen . omnia per 4. multiplicantur, & fit 9 Q -- 6-- I - 4 C. -ra N. aequalis quadrato. Tertio aduene ita formandum latus propositi quinomii, ut aequalitas consistat inter duas species proximas. Quate tria potissimum lunt praestanda. Primo tollendi sunt quadrato quadrati. Secundo unitates quoque tollendae. Tertio vel Numeri tollendi sunt, ut aequalitas eoiis stat inter cubos de quadratos. vel tollendi sunt cubi, ut aequales maneant quadrati & Numeri. Duo quidem prastabuntur sacile, quia tam quadrato qualitatorum quam viaitatum numerus, quadratus est, puta s Q Ad 3 quare si in latere fictilio ponantur horum quadratorum latera, nimirum 3 in& I. habebitur intentum. Tertium veto, ut perficiatur, adiicienda est in latere fietitio tertia species, qua vel cubi .ei
Numeli elidantur , unde duplex aequationis ratio consurgit, quarum primam duntaxat prolequutus est Diophantus , nos utramque non grauatim explicabimus. Primum ergo si libeat abolete numero , eurandum nobis erit vi in quadrato fictilio repetiantur ia N. Cum igitur Numeri produci non possint, nisi ex ductu Numerorum in unitates , patet in latere fictilio numeros ponendos esse: ut vero eorum multitudo nobis innotescat, cimi latus selitium debeat esse trio nomium constans ex
. . diris quadrati x, Numeris , S unitatibus, erit quadratus illius aequalis quadratis singulatum patii uin,&duplo producit ex qualibet parte in quamlibet ex aliis , ae proinde Numeri qui erunt in quadrato
fictitio, erunt duplum pro lueti ex unitatibus in Numeros in latere contentos. Quamobrem cum ut doeuimus, in latere, unitatum numerus sit I. ut ex eius ductu in Numeros bis , fiant i a N. mani se
num est ini latere ponendos esse 5 N. & quia signi quoque ratio habenda est, S -ia N. fieri nossunt sue eae 6 N. in - i. bis, sue ex r. in - 6 N. his, dubitati potest utrum latus fictilium ponendum sit 3 α-- 6 N. - r. v I 3 Q. - I - 6 N. nam utroque modo, in quadrato reperientur 9 Q R. ia N. Sed si ponatur latus fictilium a Q. - 6 N. - I. st totus quadtatus 9 Q ia N. --h6 C. - 3o in ubi quoniam uterque cuborum & quadratorum Numerus maior est numero cubo -rtim di quadratorum numeri quadrato aequandi; manent enim 3ο - 36 C. aequales s Q C. id tandem incommodi aecidit, ut et o C. aequentur nihilo. Igitur fictilium latus poni non potest Q -- 6 N. - . Quamobrem restat ut fingat ut 3 Q. - o N. ut fecit Diophantus, &aequat triti te procedit, nam si I N. sunt ergo euborum latera &:ips e ubi & d . Quo ruitis omniae semissi, interualli vero semissis Quare si inueniamus duos numeros, quorum sum ma si productus veto soluta erit quaestio. Inuenientur autem per trigesimam primi, & etunt quaesti humeri in minimis I 8e quorum productus cui addendo & detrahendo summam ipsorum numerorum, fiunt euhi T. . de m Materibus Aliam viam si libeat amplecti, & curare ut aequalitas consistat inter quadratos & Numeros, abolendo eubos, puta-- C. Citin in latere sint 3 patet ex 3 Q bis in i N. seri C. unde eonstat inia die ponendos N. Sed de signi ratio si habeatur C. aequὸ bene fiunt ex 3 Q n N. atque
N. in - 3 in Vetum si ponas latus fictitium 3 I - N. fiet quadratus 9 1 - C. - 6 N. unde hoe incommodi acridit, ut tam quadratorum quam Numerorum numerus,e2eedat numerum quadratorum & Numerorum , qui sunt ex altera aequationis parte, puta 6 Q. ra N. ae proinde tandem: α-- IO l N. aequantur nihilo. superest igitur ut latus fictilium ponatur
254쪽
M. Per quos si propostam initio quastionein soluere velimus , cum horum summae semissis sit Quaerendi sunt duo numeri quotum sunt ma sit prouullum vero 'I Igii ut Operantes pct-Canonem ttigesimae prim1 sumemus quadratum semissas summae , puta - .... a quo auic mia, Fioductum. & telinquetur aeui. cultis latus additum & ademptLm lcmissi lumma. 4:abit q..κ-stos numeros seu in minimis I.: l . Horum procu&u, tu C p. cui si addas di adimas summam numerorum fient cubi qui supra. dc .
Caetetum & latera cuborum qui per hoc lemn a quatiuntur diuerum ode nnm ponunt, nimirum alterum poni potest quodlibet binomium constans ex Numeris & unitatibus, alterum vero ι ius ein hinomii residuum. via N. - a Zc 2 N. - 2. vel 3 N. -- a.&3N. - a. bcmPer eram alhquia mouo-xum quos explieauimus, ad aequationem commotiam peruenIctur.
IN vε Ni Ra tres numeros , ut productus eorum multiplicatione siue addita summa ipsorum, liue detracta cithum faciat. Hac in in scias quod quolibet quadrato diuiso in duas parte S, quarum altera sit latus eius , productus harum partium multip) icatione addita summa illarum, cubum facit. Ponatur igitur quadratus 1 Q diuidatur in latus suum, &4n id quod superest , nimirum in i N. in I -I N. & productum multiplicationis
eorum , vimque adscito facit cubum.
Superest ut idem productum , detracto utroque iaciat cubum. Atqui facit 1 C. - 2 in Haec ergo cubo aequantur qui sit minor quam I C. sormo cubum ab . N. is est; C.& omnia octies fiunt 8 C. - 16
nes. Erit primus secundus II. ET P SIN δυο αειθυους , Oame o car
HAEC quaestio eadem est eum praecedente, sed tractatio eius diuersa, & quidem Aellior. Lemma quod assimitur de inueniendis duobus numeris , quorum productus adscita amborum summa eubum saeiat, facile est demonstratu. Sit enim quilibet Numetus A cuius quadratus B. - unde auferendo ipsum A supelsit C. dulioque A in C fiat D. dieo s ad ipsum D ad. F. F' datur summa ipsorum A C. seu B fieri eubum. Etenim ducendo A in suum quadra- το - ος' tum B. st etibus ipsius A. Sed dueere A in Bidem est. ae ducere A sgillatim in ipsos A. C. eu quibus B componitur; productus autetnex A in A est B, & productus e2 A in C est D. Igitur summa ambolum B D aequatur cubo ipsius A. Quod erat demonstiandum. Reliqua sunt perspicua, nec maiori explicatione indigent. Caeterum simili piorsum artificio soluentur& huiusmodi quaestiones.
Inuenire duos numeros, ut productus eorum multiplicatione sue addito sue detracto ipsorum interuallo cubum faciat.
Donatur alter quest rum numerorum i N. alter I Q '. t N. nam productus eorum multiplieatione , puta I C. - t Q. detracto interuallo ipsorum , cubum faciti superest ut idem productus addito eodem interuallo cubum faciat , facit autem I C. - a QmOe ergo aequatur Cubo. Esto 8 C.
R se 1 N. . Sunt ergo quasiti numeti l 3e E qui soluunt quaestionem. Nam eorum productus est eui addendo & adimendo interuallum numerorum, puta fiunt cubi id de illi. Vbi & ani-
255쪽
maduersione dignum est interuallum numerorum esse semper quadratum , seut & in priore quae sione summa Numerorum quadratus erati
a V STIO SECV N D A. 'Inuenire duos numeros, ut eorum summa siue addito siue detracto producto mul tiplicationis eorundem, cubum iaciat.
Ponatur alter N. alter 1 - 1 N. se enim summa addito producto cubum saeit. Superes via summa detrahendo productum, cubus fiat. Fit autem et Q - C. aequalis cubo, si is quilibet numerus cuborum cubicus minor unitate , ut salvator Numeti unitate minor, S haberi posIit alternumerorum qui positus est a Q - i N. sit ergo cubus : C. aequalis et Q C. & st i N. sunt ergo quaesiti numeri qui soluunt quaestionem , nam productus est V V summa vero ad eandem denominatorem redaei a cui addendo di adimendo ploductum , fiunt e ubi et, & latetibus
V. STIO TERTIA. Inuenire duos numeros, quorum interuallum sue addito sue detracto producto cubum faciat.
D ta V tentes eodem lomsmo serὸ quo usus est Diophantus quaestione vigesima nona A ta n huius. cubi qui neri debent A C. N productus multiplicatione qua si totum nu-inctorum esto D interuallum eorundem B. Igitur ex hypothesi addendo Dad B fieteubus C. & auferendo eundem D. ab eodem B te manebit cubus A. Quamobrein cuborum Α Ci. , interuallum duplum est ipsus D. At quoniain Α Β C sunt in medietate arithmetica, B est semissiqsumma ipsorum A C. Eo ergo redacii sumus ut inueniamus duos Numeros , suorum prodiictus si semistis interualli duorum cuborum, & eorundem interuallum si semissas summae eorunisdem cuborum. Atqui, ut constat ex Canone trigesimae tertiae primi , dato interuallo duorum numerorum, & producto multiplicationis , si qua tantur numeri, ut solutio contingat ration iis, oportet ut quadrato interualli addendo quadruplum producti quadratus sat. Igitur quaerendi sunt duo cubi tales , ut quadrato semissis summae ipsorum addendo quadruplum senilissis interualli, seu duplum interualli eorundem, sat quadratus. Ponantur ipsorum latera a N. - 1 IN IN. Etit summa eu tum o a. cuius semissis 3 Q F I. cuius quadratus s Q V o t. cui si addatur duplum interualli cliborum, puta 4 C. - a N. fiet s Q α - ε α - - I. - C. - Ia N. aequalis quadrato. Huius latus esto I -- 6 N. - 3 in set quadratus s. Q Ω - I-ra N. - 6 C. aequalis o Q. - 6 -- I- C. - . ra N.unde fit x N. .& sunt eu horum lateta & l. ipsi cubi e l. & ; . . semissis summae horum est . se missis interualli bis Itaque si inuenianius duos numeros quorum interuali niti sit m productus veto ' soluta erit quaestio proposta. Inuenientur autem per trigesimam tertiam primi puta 'ξ S la. quotum productus H. at interuallumi . . cui si addatur di adimatur productus , fiunt cubi
interuallum numerorum fiat cubus utrimque. Patet ex hypothesi, euborum qui fieri debent interuallum componi ex summa & ex Interiicillo quaesitorum numerorum. Quare sint e ubi qui seri debent r. 8 8. Igitur horum interuallum 7. est ag- 3 M p is gregatu in e2 summa & interuallo numerorun, ' Quare r. est duplum maioris numeri, & ipse maiotnia metus est 1. ponatur minori N. erit productus i N. eui addendo summam numerorum , puta ' IN. st=-c N. aequalis L vel a producto auferendo interuallum numerorum, manet N. -qaequalis I. & utraque aequatione resoluta fit utrobique idem valor Numeri t. Sunt ergo quaest; Numeri 3 - &1. Ex hae autem operatione sequitur cubos ad faciluin sumi posse qui fiant huiusmodi additione de subitactione.
Inuenire duos numeroso vi producto addendo interuallum , 3c ab eodem auferendo summam numerorum , cubus sat Vtrinque. Sumantur ut prius cubi ad placitum 8. N 64. qui fiant huiusmodi additione & subtractione. Igi-33- a. poris tur horum interuallum sis. componetur ex summa, & ex interuallo quaestorum numerorum.' Qua- res s. est duplum maioris numeri, ipse maior numerus 28. ponatui minor I N. etit productus 28 N. cui si addas ' interuallum numerorum fit et N. - . 28. aequalis 6 . vel si ab eodem producto auferas summam Numerorum fit a N. - ag. aequalis 8. de vitaque aequatione resoluta fit utrobique a N.
sunt ergo quaesiti numeti a8. de l. QV, STIO
256쪽
GV AESTIO SEXTA. Inuenire duos numeros, ut summae addendo interuallum, & ab eadem auferendo productum, cubus utrimque sat .
Stimant ut cubi ad placitum dum duplum minoris non superet maiorem, sumam ut ergo 8. de εν Quia igitur summae nilaesitorum numer rum addendo interuallum spiorum, fit 64. 'patet 6q. esse, , . i. p.M duplum maioris numeri. ergo ipse maior numerus est 32. Ponatur minor I N. fiet summas i N. a qua auferendo productum a N. superest 3a - 3IN. aequalis 8. S si I N. B Sunt ergo quaesti numeri aa. & m.
GV STIO SEPTIMA. Inuenire duos numeros, ut summae addendo productum, & ab eadem auferendo interuallum, cubus fiat utrimque. ' .
Stimantur tu istis cubi quicunque g. & 64. Quia ergo ex se inma Numerorum auferendo interual lum temanet 8. ' Patet 8. esse duplum minoris numeri Quare ipse minor est q. Ponatur maiori N. P.M erit productus in N. eui addendo summam fit 4 -- s N. aequalis 64. & fit I N. 12. suntque quaesiti Numeti 4. N II.s V AESTIO OCTAVA. Inuenire duos numeros , ut interuallo addendo summam , & ab eodem interuallo
auferendo productum ' cubus utrimque conficiatur. Sumantur duo eubi, Quorum maior superet duplum minoris, quales sunt s.& 64. Quia igitu
intet uallo numerorum addendo summam, fit 6.1. erit 64. duplum maioris numeri. Ipse maior nu metus 32. Ponatur minor I N. erit interuallum 3a -I N. unde auferendo productum, set aa -33N. aequalis S & fit 1 N. '. suntque quaesiti numeri 3a. Ra V sTIO NONA. Inuenire duos numeros, ut producto multiplicationis, siue addatur summa, sue
interuallum ipsorum, fiat cubus . . Donantur etibi qui fieri debent 8. & 64. Cum igitur eidem producto addendo interuallum &summam num crotum fiant 8. N 64. patet inter ipsos 8. & 6'. eandem esse differentiam , quae est in ter summam & intervallum numerorum, at haec dupla est minoris Numeri. Igitur 16. est duplum a3. . Preis minoris numeri , N ipse minor numerus est 28. Ponatur maior I N. erit productus et 8 N. interuat Ium i N. dig. quo ad pioductum addito fit as N. 'ag. aequalis 8. unde fili N. A maior numerus. Quod est impost bile, cum minor sta8. Porro 36. est compositum ex minore cubo, & ex semisse in terti alli cuborum , at et s. est ip;e semissis interualli cuborum unitate auctus. Igitur inueniendi sunt duo e ubi , ut aggregatum ex minore 3t ex semisse interualli ipsorum, diuisum per eundem semissem unitate auctum , det quotientem maiorem ipso semisse interualli cuborum a seu quod idem est oportet ut aggregatum ex minore cubo de ex semisse interualli euhorum, superet productum ex semisse antetu, si eti bolum in seipsum unitate auctum. At hie Moductus aequatur quadrato semissis in te ualli cuborum aucto suo latere. Igitur oportet ut aggregat uiti ex minore cubo fle ex semisse inter .ualii eubotum, excedat quadratum semissis eiusdem interualli auctum suo latere , de auferendo ultimque eundem semissem interualli cuborum ἔ Oportet ut minor cubus excedat quadratum semisi fis in te ualli euhorum. Statuatur maior, quilibet cubus, puta 8. 8c diuidatut 8. in duas partes, qua tum maior excedat quadratum semissis minoris. Quoniam et o diuiso 8. in partes di quales 4. Eo eontingit alteram aequari quadrato semissis alterius, patet si altera ponatur maior quam 4. altera miror, haberi quod quaeritat nam maior excedet quadrarum semissis minoris. stoinde postra maiore cubo 8. talis ponendus est minor vi sit maior quam 4. sic enim minor cubus excedet quadratum te miss, interualli cuborum. Hoc ut facilἡ fiat, reducatut 8. ad stactionem cubicam denominatam amatote aliquo cubo, puta ad 3. p. N ad eiusdem denominationis fractionem redueat ut 4. set T. Tum sumat ut cubus aliquis inter iO8. N ais. puta Ias. cui subscribendo denominatorem eundem, sentquaesii Cubi N is seu 8. per quos commode soluetui qumstio. Nam eorum interuallum estv euius semissis Rest minor quaestorum numerorum. Ponatur maior IN. erit summa N. - pr ductus vero ' N. eui addendo summam si N. -- : aequalis 8. vnde fit N. maior scilicet numerus, minor autem est Et soluunt quaesti nena. Vt autem methodii, quam tradidi ad inueniendum duos cubos, quorum minor excedat quadra eum semissis interualli iplotum, firmius comprehendatur: statuatur rursus maior euhus 64. qui diuidatur in duas paries, quarum maior superet quadratum semissis minotis. Erit igitur maior pals 32
257쪽
1 N. minor 3a - IN huius semissis Io - : N. cuius quadtatus 216 - . Q Is N. debet esse minor quam 32-- N. & addendo utrimque aequalia, tum auferendo similia a similibus, ae demum omnia μt 4 multiplicando, fiunt 68 N. maiores quam 8sε -- Qua atquatione resoluta si rN. maior, vel certe non minor quam 18. unde conuat maiorem partem de M. debere esse 1o. vel ma. orem qu ms . Ponatur so minor Iq. Patet igitur maiore Cubo posito ε . minorem sumendum esse non minorem quam Io. sic enim eotum interuallum minus erit quam I . ae pioinde semissis interualli quadratus minor erit minore et O , ut requiritur. Itaque reducatur 64. ad fractionem cubi- eam , puta ad K: & ad eandem denominationem reducatur sci. set sumatur ergo cubus inter
aetoo. & 4 ρε. qualis est 337s. Huic igitur eundem denominatorem adscribendo, habe nitit cubiquaesti & ir: . seu Per quos tutius, s libet , soluet quaestionem.
Inuenire duos numeros, vi producto multiplicationis siue adimatur summa, sue interuallum ipsorum , fiat cubus.
Eodem se ὸ logismo quo supra coneludemus, reperiendos esse duos cubos, quorum maior superet quadratum seminis interualli ipsorum. Ponatur ergo minor 8 maior 8 - 1 N. Igitur 8 - i N. debet esse maior qu1m : Q. Qua aequatione resoluta fit x N. minor quhni 8. Quare posito minore cubos. debet maior esse minor quam Io. reducantur 8. & as. ad fractionena denominationis cubieae, puta ad V de 'U. Qiuerendus ergo est cubus inter ε . Ec I 28. qualis est ias. eruntque quaesti cubi RS Quorum interuallum v euius semissis .a est minor quaestorum numerorum. Ponatur maior I N. fiet summa a N. -- α productus veto N. unde auserendo summam, manet a N. - si aequatis 8.&sti vir. Tantus est maior, minor vero ' . & soluunt quaestionem.
INvε Ni η E quatuor numeros quadra. tos , quorum summa cum summa laterum conuamcta, numerum imperatum faciat. Sit is iet. Quandoquidem omnis quadratus suo latere & vilitatis quadrante auctus facit quadratum, cuius latus seniisse vilitatis multatum, exhibet prioris quadrati latus. At quatuor numeri qui quaerittitur , suis lateribus adsumptis faciunt i a. iidena utique adsumentes qua. tuor vilitatis quadrantes, facient quatuor quadratos. Atqui unitates Ia. auctae qua intuor quadrantibus unitatis , hoc est 1. sunt 13. Oportet igitur diuidere io. inquatuor quadratos , tunc si a cuiuslibet latere detraxero l. habebo quaestorum quatuor quadratorum latera. Diuiditur autem I3. in duos quadratos A. & ρ. &rursus quilibet ipsorum diuiditur in duos quadratos, nempe alter in η. alterin Ut & R. sumens igitur cuiusque latus, nempe l, . q. l. aufero ab unoquoque illorum e. Se sinit latera quaesitorum quadratorum A. E. d. n. Ipsi ergo quadrati sunt IE . l: . ita
258쪽
LEMM A quod assumit Diophantus , se breuissime domon statur. Esto quilibet numerus ΑΗ.& semissis unitatis B C. simque ipso tum quadtati D. E. & summa ipsorum A B. D. E sit F. Dico A . A : c. ρς qu*dratum a cuius latere si ausetatur B C. relinquitur A B. Etenim qua s. s 'isti' dratus totius AC aequatur quadratis D. E. R producto bis ex AB in BC. sed ''' quia BC. est smissi, unitati, , hie productus bis quat ut ipsi A B. ut euidens est. Igitur quadrarias totius A C. aequatur summat ipsorum A B. D. E. seu ipsi F. Quare F est quadratus,
cuius latus A C. a quo asserendo B C. remanet A B. Quod erat demonstrandum. Quoniam vero insta docebimus quaestionem hane uniuersalius pio poni pose, nimirum inueniri posse quatuor quadratos, quorum summa adscito quolibet multiplice summae latetum , datum conficiat numerum, necesse est S hoc lemma uniuersalius concipi, nimirum se.
Omnis quadratus quolibet multiplice sui lateris auctus, & quadrato semissis multiplicatoris , quadratum exhibet, cuius latus multatum semisse multiplicatoris, fit prioris quadrati latus
ἡ Esto quadratus E euius latus A B. & st multiplicator D. cuius semissis B C. Α s c cuius ouadratus F. & summa ipsorum E F. & producti ex A B in D. esto G.
Ε seph C AI esse quadratum , a euius latere s auseratur B C. remanet A B. etenim quadratus totius A C. ' a quatur quadrati et partium, nimitum ipsis E F & . producto his ex A B in B C. seu producto eκ A B in D. quam obtem G. est quadratus ipsus A C. unde patet auferendo BC. relinqui AB. Quod erat demonstandum. Caeterum totum analyseos Diophantatae negotium in eo consistit, vi datus numerus unitate auctus diuidatur in quatuor quadratos. Quod qui uniuersalitet fieri possit non docuit Diophantus. Equidem si datus numerus unitate auctus qnadratus sit, uel suaptὸ natura ex duobus quadratis compositus, saetiἡ diuidetur in quatuor, atque etiam in plures quotlibet quadratos per octauam secundi. Sed si harum proprietatum neutra illi accidat, quomodo res absoluendast non constat ex Diophanto. Ei enim datus numeros esto I 3. Tune numerus 1 . diuidendus erit in quatuor quadratos. Sed quci artificio λ Nam nee quadratus est, nee ex duobus quadratis compositus. Hae e dissicultas non immerito prima fionte inestricabilis appareat, quamuis rem subtilius eonsideranti saei l/ evanescat. Etenim datus numerus unitate auctus eis nee quadratus si, nec ex duobus quadratis compositus. attamen eum ex tribus, vel etiam ex quatuor quadratis suapte natura componi neccsse est. Ita supradictus numerus I . componit ut ex tribus quadratis t. 4. s. Quare uno ex illis in duos diuiso petoctauam se eundi, iam totus sumerus in quatuor quadratos diuisus erit. Omnem autem numerum ci quadratum esse, vel ex duobus, aut tribus, aut etiam quatuor quadratis componi satis experiendo deprehendes. Mihi sanε persecta is demonstratione assequi nondum licuit quam qui prosetet maximas ei habebo gratias, pia sertim cum non solum in hae quaestione, sed N in nonnullis libri quinii hoe supponere videatur Diophantu . Interim libet id inductione confirmare, ostendendo proprium
esse numerorum omnium ab I. usque ad iro. ut constat ex sequenti diagrammate. Quadratus
I . ex I. s. II. ex I. I. s. II. ex q. q. q. vel I. I. I. s.
259쪽
Tu, si vaeat ulterius experiare lieebit. Ego sata de omnibus numeris usque ad ns experimentum sunt psi. Facile autem ad quotlibet quadratos extendetur quaestio, sed si duo tantum quadrati postulemur, quorum summa cum summa laterum datum conficiat numerum, oportebit dati numeri quadruplum audium binario componi ex duobus quadratis. Et si tres quaerantur quadrati, oportebit dati numeri quadruplum auctum ternatio eomponi ex tribus quadratis. Si vero plures postulentur quadrati, nulla conditio praescribetur, quia tune continget quendam numerum diuidendum esse in quatuor aut in plures quadratos, quod semper fieri posse docuimus. Denique eadem arte, Be amispliando lemma Diophanti, ut iapra feci nus, in umitentur quotlibet quadrati, quorum summa adissumpto quolibet multipli et silmmae laterum , datum conficiat numerum. Quoniam autem in his omnibus quaestionibus fetumque accidit aliquem numerum ita diuidendum este in duos, vel tres vel plures quadratos, ut quilibet eorum excedat certum aliquem numerum, quod rite perfici nequit, nisi per artifieium quo utitur Diophantus duodeeima , decima tertia, Ac decima quarta quinti . s eius erit hujusmodi quaestionum explicationem in eum locum reiicere.
IMo propositionem puleberrimam o maxime generalem nos primi deteximus. Nempe omnem numerum vel esse triangulum vel ex duobus aut tribus triangulis eampo tum esse quadratum vel ex duobus aur tribns aut quatuor quadratis composisum
260쪽
esse pentagonum, veI ex duobus tribus quatuor aut gangae pentagonis compositum orsic deineus in iUritum in hexagonis heptagonis O potisonis quibus libeι enuntianda
νιdelicet pro numero angulorum generali or mirabili propositiones eius autem demon- .fratrenem qua ex multis varijs ct abstrusi simis numerorum mserys derivatarhic apponere non licet, opus enim es librum integrum baic operi destinare decreuia
mas oe Arithmeticen hae in parte ultra veteres or notos terminos mirum in moiadum promouere.
IN v ε N i R a quatuor quadratos, quorum summa laterum suinma detracta faciat praescriptum numerum. Sit is 4. Quia volo primum suo multatum latere, M secundum suo multatum latere, itemque tertium & quartum suis multatos lateribus facere q. Caeterum omnis quadratus sitio latere multatus, &adsumens unitatis quadrantem , facit quadratum , cuius latus adscito unitatis semisse exhibet prioris quadrati latus , quatuor vuque
quadrati quaesiti multati suis lateribus, &a d sumentes quatuor unitatis quadrantes, nimirum I. facient quatuor quadratos.
Sed & iidem multati suis lateribus, faciunt unitates 4. & adsumentes I. f ciunt 3. Hoc ergo mihi incumbit ut diui dam s. in quatuor quadratos , quorum singulorum lateribus ubi adiecero e. inuenero latera quaesitorum quadratorum. Dividitur autem s. in quadratos n. s. n. l. Horum sumo latera, nimirum qaddo cuilibet illorum'. & inuenio latera . . . ' . Sunt ergo quaesiti quadrati in l- ο ιζ ἔσος- ο κ o. 66ένω
νο : υσυ , e αγρί-ω -ς πλαγ e , ta MUMIO μνω οι My ρκα C. ος ο ιιῶ . ac οIN ALVAE ST IONEM XXXII. LE M M A Diophanti uniuersalius etiam proponetur hoe pacto. omnis quadratus quolibet multiplice sui lateris multatus, & adsumens quadratum semissis multiplicatoris, quadratum facit, cuius latus adscito semisse multiplicatoris , exhibet latus prioris quadrati. Oportet autem latus prioris quadrati esse maius semisse multiplicatoris. 4κ o Esto quadratus G. cuius latus A Q εc sit multiplicator D cuius semissis B C.
si' in cuius quadratus F. productus autem ex D in A C. BH. Itaque auferendo Hres o ὸ ' residuo addendo F. fiat E. Dico Equadratum esse a latere A B. eui addito 3 ' 9' ε' B C. fit A Clatus prioris quadrati G. Etenim quia productu ex Din A C puta H. aequatur productis ex D in singulos AB. B C. productus autem ex D in suum semissem B Caequatur duplo quadrati F. patet auferre Hex G. idem esse, atque auferre ex G productum ex Dia Α Β 8e duplum quadrati F. Quare cum residuo addendo F fiat E patet E fieti si ex G auferatur productiis ex D in Α Β & quadratus F. unde e conuerso si ipsi E addantur productus ex D in Α Β &quadratus F. fiet G. sed ut constat ex lammate praecedentis, si quadrato ex ΑΒ addantur idem Pt