장음표시 사용
261쪽
ductus m D in ΑΒ. & idem quadratus F fiet idem quadratus C. Igitur Eest quadratus ipsius AB. Quod demonstrandum erat. Hae e quassio quoque ad quotl bet numeros extendetur, ut aliquot exemplis ostendere Iibet, cum hic ad propositiones libri quinti tecurrete mininia cogamur. Itaque.
Inueniamur duo numeri, vi summa quadratorum, laterum summa detracta conficiat. datum numerum. Oportet autem dati numeri quadruplum auctum binario componi ex duobus quadratis.
Datus esto 6. Igitur ad s. addendo duos quadrantes unitat s , patet 6 diuidendum in duos quadratos , S utrique lateri addendo sent quaesitorum quadratorum latera. ducantur omnia in A. fiet 26. diuidendus in duos quadratos. Diuiditur autem in as. & a. quorum latera 3 & I. quorum seminsis, puta & fiant latera quadratorum ex quibus 5 componitur. Addo ergo unicuique q. ti sunt
latera quaesitorum quadratorum 3. & I. quae soluunt quaestionem, nam summa laterum est 4. qua dratorum i . unde auferendo η. manet s. Rursus.
Inueniantur tres quadrati, quorum summa , laterum summa detracta datum conficiat numerum. Oportet autem dati numeri quadruplum auctum ternario componi ex tribus quadratis.
Datiis esto 8. Igitur ad p. addendo trea quadrantea unitatis, set 8 a diuidendus in tres quadratos. omnia pex 4. fiet 3s. diuidendus in tres quadratos. Diuiditur autem in I. s. as. quorum latera I. 3. s. quorum semissis ' . l. l. sunt latera quadratorum, ev quibus 8 l componitur. Quare unicuique addendo fient quaestorum latera quadratorum 1. a. 3. Nam summa quadratorum fit Iq. unde auferendo A. summam laterum, superest 8. ' Rurius.
Inueniantur quinque. quadrati, quorum summa, laterum summa detracta, datum
sectat numerum. Datus esto 3. Igitur ad s. addendo quinque quadrantes unitatis fiet diuidendus in quinque quadratos omnia per Α. fiet tr. diuidendus in quinque quadratos. Diuiditur autem in A. o. . & si duo ex illis in duos dividantur,totus 17. in quinque diuisus erit, diuidatur ergo A. in quadratos X-3e rursus s. diuidatur in duos quadratos ': . & sic totus I . diuisus est in quinque quadratos, quorum latera a. l. - . D. quotum semisses I. 9 L ἔ. sunt latera quadratorum ex quibus componitur 4 . unde singulis addendo ἰ. fiunt quaestorum quadratotum latera v. . u a. &soluunt quaestionem. Item.
Inueniantur quattuor quadrati, quorum summa, detracto sextuplo summae laterum, datum conficiat numerum. Datus esto 4.
Quoniam , ut constat ex lemmate supra tradito, omnis quadratus multatus sextuplo sui lateris,3e adsumens s. quadratum saeit, euius latus adscito 3. exhibet prioris quadrati latus. Quatuor utique quadrati multati se Ytuplo laterum & adsumentes quater s. nimirum 36. facient quatuor nuadratos. Quare cum quatuor quadrati multati sextuplo late tum faciant . patet addito 4. ad 36. fieri
o. diuidendum in quatuor quadratos, quotum lateribus f addatur a. sigillatim , fient latera quae .storum quadratorum. Porro o. diuiditur in duos quadratos 36. & q. quorum quilibet si diuidatu risus in duos, puta in γ' & 2.&similitet 36. in Iam totus 4 . in quatuor quadratos i uisus erit, quorum latera re. v. quibus addendo sillatim ternatium, fiunt latera quasi orum quadtatotum V. v q. & soluunt quaestionem. Rursus. Inueniantur quinque quadrati, quorum summa, detracto sextuplo summae laterum, datum iaciat numerum. Datus esto Io. Igitur ad Io. addendo quintuplum novenarii, nimirum M. fiet ues. diuidendus in quinque quadratos , &eujumbet lateti addendo a. fient quaesitorum qindraiotum latera. Diuiditur autem 1s. in quatuor quadratos r. I. 4. 49. Quare unus illorum puta I. rursus in duos diuidatur, nimirum in ri; & . & se totus sy. in quinque quadratos diuisus erit , quorum latera I x. a. 'auibus addendo sigillatim s. sent latera quaestorum quadrato tum V. V. 4 . I . & soluunt quaein
262쪽
alteri addere. . alteri s. & productum eorum multiplicatione sacere quadratum. Ponatur primus I N. ergo secundus erit I IN.&s primo addantur; fit i N. 3. At s secundo addantur s. si s - I N. 5 productus eorum multiplicatione est 3N. - I8. - I aequalis quadrato. Esto quadrato mmunis addatur defectus, fiunt 3 N. - I8. aequales s . Q. &non est rationalis aequatio. Atqui 3
est quadratus numerus unitate auctu S. Oportet itaque hunc ductum in unitates
18. S adsumentem quadratum semissis 3
N. nimirum a z. sacere quadratum. Eo igitur nunc redactus sum, Vt quceram qua
ratum qui adsuinpta unitate, & per I 8. multiplicatus, adscitisque di et faciat quadratum. Esto quadratus ille 1 Q. Hic viaitate auctus & ductus in 18. adscitisque a. fit i8 Ἐ- - dio ἰ aequaldi quadrato. Omnia quater, fiunt a - - 81. aequalia quadrato. Formo quadratum a 8 N. -- 9.& fit i N. 18. Ad postiones. Erit quadrarus 324. Redeo ad propositum initio, &3N. - 18 - i Q. aequo quadrato iam inuento. 3a sest i N. iii hoc est . . Ad postiones. Erit primus secundus d. -ρεω ὁ- ec η' α. ο - δα-τρειη litia M' α r. Q. e ἐαῖ-τα - Aia
HI c Diophantus in solutione lemmatis assumpti ad tegillas compositas deuoluitur. Sed subtili
sane artificio eauet, ne incidat in numeros surdos, euius deiectae eautionis non albittatus sum ad huiusnodi regulas deueniendum esse vigesima tertia quaestione libri huius. Quamuis enim in proposito ibi exemplo res bene succedat, di solutio contingat rationalis, attamen non Ostendis author quom ci id necessario eueniat si aliquo modo mutetur operatio, quod in hae quaestione eleganter praestitit. Caeterum quid sibi velit Diophantus, non fatis adsequutus est Xiland . Putaseni in eo quod 3 aequantur N. - ix aequationem reducendam esse ad I in diuidendo sci Iicet omnia per s. unde tit x equalis i N. - ι . Quamobrem cum Diophantus ait quadratum semisssde N. addendum producto ex s. in i8. censet X ilandet sumi debere semissem non de 3. simpliciter, sed des& eius quadratum esse non a V simplieitet, sed a. de . o quae interpretatio nimis coacta est, N a mente Diophanti prorsus aliena. Tenebras autem effudit Xilandio, ignotantia methodi qua re. gulas compositaΑ resoluit Diophalitus, quam ad trige limam tertiam primi explicauimus. Nam adu tandas stactiones, rato Diophantus aequationem reducit ad i in Sed ducto numero quadiatorum in numerum unitatum, addit producto quadratum. semissis nitineri Numetorum, & reliqua perficit, ut loco citato docuimus. Hine est cur velit s. numerum quadratotum duci in unitates 18.3 producto so. addi a quadratum semissis numeri numerorum 3. Quoniam veto, ut solutio rationalis sit oportet hac additione fieri quadratum , apparet necessitas lemmatis assuinpti. Cum enim numerus quadrato aequandus sit 3 N. - I 8 -i QIatet quaerendum esse quadratum, qui unitate auctus ti perii R muuiplicatus, itaque ad mons a faciat quadratum. In huius quoque lemmatis explicatione insignis ciceuttit dissicultas, cuius tamen ne verbum qu dem xi lander. Cum enim tandem a. Q -- gr. aequandus si quadrato, euidens est quadrati latu commodὰ fingi non posse, nis vel quadratorum vel unitatum numerus, quadratus sit. Ostenden dum ergo est necessario euenite ut unitatum numerus, qualis est h;e 8 . quadratus si alioquin easu. non arte certa res succedere videbitur. Atqui si . est quadruplum ipsus Io. . . Quare ut gi. quadratus
sit oportuit prius aciet quadratum esse. Potio a o. fit ad 18. addendo a b Videndum igitur unde pio.
263쪽
uenerint i 8. Actus est autem i8. ex s. in o. N et ' est quadratus semissis de 3 N. Fiunt autem ιN. audendo simul -- 6 N. & - 3 N. in multiplicatione IN. - 3. per 6- N. Quare cum obsignorum eo nitarietate ni additici in subtractionem mutetur . patet 3 N. tandem seri auferendo 3 N. 1 sN. Quamobrem i8. est productus ex 3. in s. At a l est quadrarus semissis interualli eorundem s. & 6. Constat autem producto multiplicationis duorum numerorum addendo quadratum semissis interualli eorundem, seri quadratum semissis summae ipsot uni. Quate patet propositum; se videseto ' seu V esse quadratum semistis ducitum a. N 6. seu ipsius . Rulsus in fingendo latere quadrati 'a α -- 8I. magna cautio adhibenda est, quod non vidit XL lander . nec attigit ipse Diophantus. Etenim si ad hanc aequationens solum te spietas, si Me it s ponas
hoe latus 9 -- tot Numeris, quotum quadratus sit minor quam a. Sed s ponas lice latus 9 -- 6N. vel 9. - aliquo numero Numerorum minore qu m ornetvator Numeri qui prioribus positi nibus nullatenus accommodati poterit, cimi enim eius quadratus aequabitur 3 N. - ig - I Qua et I. N. maior vilitate quod est absurduin, cum I N. ponatur pars unitatis. Hoc igitur incommodum vivitemus, se ratiocinandum est. Quia 3 N. - 18 te quadrato aequandus est, ut sat i N. minor unitate, in hae autem aequatioue debent tandem 3 N. - i8 aequari cuidam quadratorum numero: at si a M. ponatur aequalis unitati, utique 3 N. -- I8. aequabuntur at Quo vero minor ponetur varor Numeri, eo maiori numeri quadratorum aequabuntur 3 N. - i8. manifestu est ut fiat i N. minor viai
tate oportere ut 3 N. - 38. aequentur numero quadratorum maiori qu m 2 i. Ρotto numerus iste qua
dratotu fit ex quodam quadrato unitate aucto, quare sublata unitate de ai. consequens est quadratumve ut aequari debet 3 N. - 18 - I in maiorem citi quam 2o.Cum ergo latus proximum ipsius Io. sit η manifestu est latus quadrati II Q 8. ita ponet dii esse ut fiat valce Numeri maior quam 4 fit autem in hac aequatione valor Numeri,ausetendo 17 a. quendam quadlatum,& pet residuum diuidendo prodii dium ex ig. in latus eiusdem quadrati. Igitur Q. maior esse debet quam 4 l. di tandem te ad integros redacta 18 N. maiores sunt qu in 24 4 t in& addito desectis, atque etiam facto parat abolisno , quia commode potest seri, tandem a. maior esse debet quam 4 N. - Q. Quam quatione resoluta eum fiat i N. 6 et sere patet latus fictilium ponendum 9 -- tot nummis, qui ex eedant o se Diophantus posuit 9 - 8 N. Poni quoque poterat 9 - - 7 N. vel 9 - - aliquot Numeris , qui excedam 6 l. & quorum quadratus sit minor quam 72. Eodem prorsus artificio quaestio haec ad omnem numerum extendetur. Quod ut exemplo eomprobemus. Esto et . diuidendus in duas partes, ut primae addendo 3. secundae s. di summas inter se multiplicando, sat quadratus. Esto prima pars i N. ergo secunda a - i N. & s prima addatur 3. secundae s. sunt N. -- 3. & 7 I N. N productus eorum mult plicatione est 4 N. -- 2I - I in aequandus quadrato, videlicet alicui quadratorum Numero quadrato, qui talis sumendus est, vi auctus unitate, di multiplicatus in a I. itaque adsumens 4. faciat quadratum. Ponatur is r in Igitur at λ - es. quadrato aequandus est. Sed curandum ut talis hic proueniat valor Numeri, ut applicatus priori aequationi, sat in ea i N. minor qu m a. quia i N. ponitur esse pars binarij. Cum ergo aequando 4 N. - at - 1 inalicui quadrato, tandem q N. - ai. aequentur aliquot quadratis , s autem I. N. ponatur a fiant N. - ar. aequales, Q patet visat i N. minor quam 2. oportere 4 N. - . et r. aequari quadratorum numero maiori quam 7:. Et quia ille quadratorum numerus est quadratus vilitate auctus, auferendo unitatem de I l sequitur quadratum qui aequalis ponetur 4 N. - ar - ria latruem esse debete quam 5 - . atque ideo latus eius maius esse oportet quam l. Quamobrem numeri ai Q -- as latus ita sngendum est, visat I N. maior quam Fit autem I N auferendo quadratum quendam de eta. & per residuum diuidendo decuplum lateris illius. Quate . maior esse debet quiin qua aequatione ritὸ praeparata, tandem fiunt 4 N. - naiores quam a t. unde constat 1 N. meedete debete 3. Ponatur igitur latus fictitium 3 - 4N fiet quadratus Is -- 4o N.
Is inaequalis at in . 2s. & set N. 8. quadratus 6q. Redeo ad prispositum initio, &AN. - 11- I Qes aequo quadratos Q.& fit I N. - . . Prima pars binari j. Secunda vero est quae soluunt quae
sionem nam primae addendo 3. secundae s. fiunt& V quorum mutuo ductu fit zet quadratus
meros , Sc addere virique datum numerum , S productum eorum multiplicatione facere quadratum. Sit unitas diuidenda in duos numeros, & oporteat
alteri addere 3. alteri s. & ita sacere quadratum productum multiplicationis e
264쪽
Ium. Ponatur primus I N. - 3. quando
quidem 3. debet illi addi , relinquetur
ergo secundus - 1 N. & s primo addantur 3fra N. s autem secundo addantur 3. st y - i N. & fit eorum multiplicatione 9 N. - x inaequalis quadrato. Esto
nes hoc applicare coner, non possum auferre 3 de i N. Oportet igitur numerum maiorem quidem esse quam 3. minorem vero quam 4. Atqui 1 N. factus est diuiso 9. per 3. Ipse autem s. est quadratus unitate auctus. Iam si9. diuisus per quadratualiquem vni ate attictum iacit numerum maiorem quam 3. oportet eum per quem diuiditur minore esse quam a. sed his per quem s. diuiditur est quadratus unitate auctus. Ergo quadratus unitate auctus minor est quam 3. Auseratur unitas. Igitur quadratus minor est quam a. Rursus quia volumus secundum diuisum per quadratuvnitate auctum, sacere numerum minorem quam A. Oportet eum per quem diuiditur maiorem esse quam 2 Is autemper quem s. diuiditur est quadtatus unitate auctus , proinde quadratus unitate auctus maior est quam a b Auseratur unitas. Erio quadratus maior est quam ab Sed iam ostensus est minor quam a. Eo itaque res deducitur , ut inueniam aliquem quadratum maiorem quam I i mi- o garvo lora μ' δ λεμ ει α . κἰ ἰα,
quadratas, nempe in sexagesimas quar-- . stas, & fiunt 8 o. & ir 8. Facile ergo inue- . Uri NHniςtur quadratiri et seu A. Revertor ad id τος . o δατερ - κquod initio erat propositum. Quaereban3 9 N. - I Q quare quadrato. esto inuento
quadrato Qμ fit i N. π . Ad positiones. Erit primus n. secundus r. IN RI AEsT IO N EM XXXIV.
EADEM est quaestio haee eum praecedente, sed diuersa operatio, qua videtur Diophantus rem
absoluere voluisse absque auxilio tegulatum compostatum. Nam ita suas instituit politiones. ut tandem fiat s N. - quadrato aequandus , q'od si per sinplicem aequationem qua quadrati Numeris aequales sunt, Eent valot Numeri diuidendos. per aliquem quadratum unitate ausium. . Quoniam vero altera pars unitatis posita est x N. - 3. altera I N. debere esse maiorem qua m q. Igitur quaerendus est quadratus qui unitate auctus , 3e diuidens s. det quotientem minorem quam 3. maiorem quam 4. Quare cum diuidendo s. tum per 3. tum per 4. fiant 3.de a. . patet quadratum unitate auctum consistere debere inter 3 de a b ae proinde auferendo utramque unita. tem, quaerendus erit quadratus minor quam a. maior quam Tale , niti reperientur reducendo a. 8e r ἰ ad fractiones quadratas ab eodem aliquo quadrato maiore denominatas, ut fecit Diophan-' tu, qui redu2it ad sexagesimas quartas, . n. Caeterum Ee hane operationem euilibet numero applicabimus, quod iam ante nos praestitit vieta nostergeteticora. lib. s. Sit diuidendus 3. in duas partes, ut alteri addendo s. alteri Ia. 8t summas m- Λ a
265쪽
ter se multiplicando , fiat quadratus. Ponatur pars altera I N. - ε. altera ergo erit s. - IN & primae addendo o. secundae ra fiunt N. &ai. - a N.qtiorum mutuo ductu producitura I N. - inaequaudus quadrato. Sed ex ipsis positionibus appatet quatendum esse quadratum qui unitate audius de diuidens ai. det quotientem maiorem quam d. minorem quant s. Itaque cum 2I. diutius tuna per 5. tuto per s. det quotientes 3 de a l. in adratus unitate auctus sumendus erit inter 3 de a l. N ablata unitate quaerendus quadratus minor quam a I. maior quam I:. Redueatur uterque ad triges mas se
ias, fient & M inter quos sumi possunt quadrati proposto satisfacientes I.. si sumas ultimum seu aequabis :Qs 2I N. - 1 vnde fiet i N. . Sunt ergo quaesitae partes ternarii quae soluunt quaestionem , nam ptimat addendo ε. secundae ia. fiunt V & Q quotum mutuo ductu fit quadratus a latere V. Ied N aliau, ait lysm huic soluenda quaestioni excogitauimus , Diophantaea vitaque non deteri rem, atque etiam faciliorem. st a. num eius diuidendus, & addendi 3. S 3. patet ergo summarum aggregatum scite ro. Quare res eo deducitur H Io. diuidatur in duos planos similes, quorum alter superest a. alter excedat s. Sic enim ab altero auserendo 3. ab altero D remanebunt quaestar binarii partes. Portis io. diuidetur in duos huiusmodi pian s similes hae arte. Sumpto minore addend rum 3. comparo illuna eum res duo de Io. puta cum 7. di quaero duos quadratos , uiolum sit minotratio quam 3. ad ν. quales sunt & s. vel s. N I 6.& alij infiniti. Diuidatur ergo Io. in duos numeros in ratione 4. ad 9. Inuenientur hi per Canonem secundae primi Quare si ab altero detraxero 3. ab altero s remanebunt quastae hi natii partes & e . Rursus si diuisito Io. in duos numeros sestiantes rationem s. ad i6.etunt hi & primo auserendo 3. a secundo s. remanent quaestae binarii partes ' &Eadem arte licebit & sequentes quaestiones soluere.
Datum numerum in duas partes secare, ut ab utraque auferendo datum numerum, ex residuorum mutuo ductu, fiat quadratus . oportet autem numerum diuidendum maiorem esse summa detrahendorum numerorum.
Diuidendus sit Ia. in duas partes, ut altera auferendo 3. ab altera s. ex res duorum mutuo ductu. quadratus fiat. Ponatui altera I N. - 3. altera ergo erit s. - I N. & a prima auferendo 3. a seeunda . remanent I N. N i N. quotum mutuo ductu fit 4 N- I aequandus quadrato. Esto cuilibet quadratorum numero quadrato , puta s in fiet I N. Sunt ergo partes quasitae 3 ἰ di 8i & soluunt quaestione in . Aliter. Quoniam summa detrahendorum est s. qua ablata de 12. superest oportet diuidere 4. in
duos quose unque planos similes, sic enim es teri addendo 3. alteri s. fient qua sitae partes numeri tau V AESTIO SECUN DA. Datum numerum secare in duas partes, ut utramque auferendo a dato numero, ex res duorum mutuo ductu fiat quadratus. Oportet autem numerum diuidendum mi norem esse summa numerorum, a quibus partes detrahendae sunt.
Diuidendus sit . in duas putes, ut alteram auferendo 1 3. alteram a s. ex resduorum mutuo ductu fiat quadratus. Ponatui altera 3 - I N. altera ergo erit r. - I N. N primam au serendo a. secundam a s. remanent i N.& I N. quotum mutuo ductu fit 4 N. - I inaequandus quadrato, quἰ sc ponendus est, ut unitate auctus & diuidens det quotientem minorem quam 3. quia scilicet altera pars posta est 3 - I N. At diuidendo . per 3. fit a. patet ergo quadratum unitate auctum, debere esse maiorem quam ablata unitate, quia latus debet esse maior quam sit is s Q fiet a N. l. Sunt ergo quaesitae ipartes a I & I q. & soluunt quaestionem.
Datum numerum secare in duas partes, ut alteri addendo datum numerum, ab altera datum etiam numerum detrahendo, ex mutuo ductu summae & residui, fiat quadratus. 'Oportet autem numerum diuidendum maiorem esse detrahendo.
Sit diuidendus R. in duas mites, ut steti addendo g. ab altera detrahendo s. ex summa in residuum fiat quadratus. Ponatur altera pars I N. - 3. ergo altera erit II - I N. N primae addendo 3. secunda auferendo s. fiunt Quntum mutuo ductu st 6 N. - rQ. aequandus quadrato, qui seponendus est vi unitate auctus & diuidens s. det quotientem maiorem quam 3. Quare cum diuidendo o. per 3. sat a. patet quadratum unitate auctum debere esse minorem quam 2. di detracta unitate,
266쪽
sumendus erit quadratus minor quam I. Ponatur iet 1 N. in sum ergo quaestae paties et & ri
Datum numerum secare in duas partes, ut alteri addendo datum numerum, alteram detrahendo a dato numero, ev summa in residuuin fiat quadratus.
Hie duplex casus datur , quia numerus a quo fit detractio nune minor, nune maim esse potest numero diuidendo. Primum ergo sit 8. secandus in duas partes , ut primae addendo 3. 1ecundam auserendo 13. fiat quod postulatur. esto seeundas I N. ergo prima erit 3 -- I N. & secundam auferendo a 3.& addendos. primae fiunt x N. 3c6 -- I N. quotum mutuo ductu fit 6 N. - aequandus quadrato. qui sie ponendus est, ut multatus unitate & diuidens 6. det quotientem minotem quam s. Quare cum diuiso 6. per s. fiat patet quadratum unitate multatum , debere esse maiorem quam& addita unitate, sumendus est quadratus maior quamsino s. in fiet I N. l. sunt ergo quaesitae partes prima I seeunda SDeinde sit 8. secandus in duas partes , ut primae addendo 3. secundam auferendo a Io. fiat quod petitur. Ponatur secunda Io - I N. ergo prima est I N. - ΙΣ. & seeundam anserendo a Io. addendo g. prima, sunt i N. & i N. - quorum mutuo ductu si I 9. N. aquandus quadrato , qui talis ponendus est ut detracto eo ab unitate ,& per residuum diuidendo s. fiat quotiens minor quam a . maior qu in tet. Cum itaque diuidendo p. tum per ΣΟ. tum per ra. fiant ri de l. & utrumque auferendciab unitate, relinquantur A N patet sumendum esse quadratum maiorem qi iam μ. minorem quam E. sumature Qbiet ergo i N. π α erunt quaesitae partes. Prima I. secunda V.
DA τ v M numerum diuidere in tres numerus, ut qui fit primo in secundum ducto , siue addito tertio, siue detracto quadratum faciat. Esto datus s. Ponatur tertius I N. secundus unitatum aliquot quae sint minusquam ε. Puta a. Primus ergo erit 4 -I N. Restant duo postulata, nimirum ut productus ex primo in secundum , tertio siue addito sue detracto faciat quadratum. Et occurrit duplicata aequalitas,na'3 - I N aequantur quadrato , Sc 8 - 3N. aequantur quadrato. Expediri autem non potest, quia numeri inter se non habent rationem quam habet quadratus ad quadratum. Sed 1 N. unitate minor est quam a.&3N. Vnitate maior eodem a. Eo itaque res deducta est, ut inueniam numerum aliquem loco ipsius a. ut qui eo unitate maior est ad eum qui unitate minor est eodem, rotionem habeat quam habet quadratus ad quadratum. Esto squaesitus 1 N. erit ergo
Vnitate maior I N. -- r. At unitate minor IN-1. Uolumus igitur hos inter se rationem habere quam habet quadratus ad quadratum, sit ut . ad i. Itaque cium
expositi militeri rationem quam habet quadratus ad quadratum.erunt. 4 N. - 4.
267쪽
aequales 1 N. H. i. & fit x N. P. Pono igitur secundum : nam tertius est i N. ergo primus erit ci-i N. Restat ut postulata perficiantur, videlicet ut productus ex primo in secundum sue adscito tertio, siue dempto faciat quadratum. Sed productus ex primo in secundum adscito tertio facit; -i N. hoc ergo aequatur quadrato , & idem productus dempto tertio facit 3 - : N. hoc etiam aequatur quadrato. Omnia novies, sunt ε 3 - ε N. aequalia quadrato. de 63 - 24 N. aequalia quadrato. Exaequo numeros aequationis unius, multiplicans per &est 1εo et N. aequalis quadrato, itemque 63 - a 4 N.
aemiatur quadrato Horum nunc interuallum sumo quod est 193. & expono duos
numeros, quorum mutuo ductu sat 19s.
ij sunt 3. & 13. Horum interualli semissis in se aequatur minori, & fit i N. a. Ad positiones. erit primus i , secundus i. tertius, & demonstiatio est euidens.
Ira Deiliasset operatio, da Ius nam eras c. vleungae disidatur i. g. in s. o r. ρνoduertis dempta unis a te hoe es 4. per ε. datam namerum diuidatari eueniet t aem si iam . s. itim ab 1 ab satiris da o νesida aq erant dua priores partes numeri diuidendi s. igitur erat . IN EI EST ION EM XXXV.
OV i D lite praestiterim pn Diophanto restituendo eo ni iee te est ex versone Xilandri, cum in eois dicem emendatiorem non inciderim, sed textus lacunas replere, di passim deprauata emendare certistimis eoniecturis eoactus sim; ubi legebator ipso initio ψ ὁ δεύ-e ια' -- ω, τα Crestitui in .s ῆ. ut sit lenius, Ponendum feeundum aliquot unitatum super quas sit ε. idest quae sint
minus quam s. quod necesse est ut pars inueniatur minor toto. Caeterum emendato textu satis perspicua est operatio Diophanti ἔ utitur duplieata aeqnalitate e modo quem explicauimus ad decuriam octauam tetiij,& nihil amplius h;e addendum , nisi quod li- initationes qilaedam attendendae sunt, quibus neglectis in absurdum aliquod incidamus necesse est. Primum ergo eum quaeritur numerus qui unitate auctus ad seipsum unitate multatum rationem habeat quadrati ad quadratum , unde colligitur x N. I. ad I N. - I. debere esse in ratione quadrati ad quadratum , non temetὸ sumendi sunt duo quadrati quibus propositi numeri proportionales sint. Etenim a N. debet esse secundus Numerus quaestorum , ae proinde pars totius numeri diuidendi AN per eonsequens minor qu- 6. Quainobrem ales duci quadrati deligendi sunt quorum summa. ad ipsorum interuallum minorem rationem habeas quam 5 ad a. Alioquin I N. maior inueniet uesti m 6. vi s esse ponatur I N. - t. adi N. I. sevi s. ad 35. fiet enim per decimam nonam lepinti irai in N. - N. - . 36. aequalis 40. N. - 49. & tandem x N. fiet ε. Qusd est absurdum. Deinde in duplicata aequalitate te luendaeum quaeruntur duo numeri, quorum mutuo ductus at lys. hi tales sumendi sunt Ut quadtatus semissis summae eorum sit minor qu, m et . vel ut quadratus Iemissi et interualli eorundem sit minor quam fis. quia se ilicet numeri quadrato aequandi sunt et a N. N 6s - 24. N. Quare eum latus proximum de ει . st g. Oportet interuat Ium eoe um non excedere I 6. Ideirco sumi non notuerunt tu. & r. neque 3 o. & s. neque ulli integri praeter Is.& I3. quos sumpsit Diophantus . sed per stactiones infinitia modis res expediri poterat
268쪽
IN v ε Nia a duos numeros, ut s alter
ab altero eandem partem siue easdem partes acceperit, ratio ad reliquum sit ea quae poscitur. Iubeatur ut primus accipiens secundi partem aliquam vel partes, sit ad residuum triplus. At secundus sumens a primo eandem partem, vel easi dem partes , sit residui quincuplus. Ponatur lecundus IN . Pars autem vel
partes eius esto I. Primus igitur erit 3 N I. sic enim primus sumens a secundo partem aliquam vel partes, nimirum I. fit residui triplus. Volumus itaque & secundum sumentem primi eandem partem,vel
ea sidem partes, residui quincuplum esse. Sed quoniam ambo simul faciunt N. di secundus aliquid accipit, primusque id dat , & summa residui fit quincupla.
Caeteriam summa eadem cum residuo iuncta facit N. residuum utique habe-hit ut si sumamus sextalitem de N. nem
e l N. si ergo a 3 N. - I. tollamus ἰ Ν.abebimiis primi partem vel partes. Si autem tollamus,relinquitur: N. - I. Hoc ergo pars est vel partes primi. Nam secundus accipiens a primo I N. - i. fit quincuplus ad residuum ex primo.Superest hic ut quaeramus an quae pars Vel partes est l. de I N - I. eadem pars, Vel eaedem partes sit I N - I. de 3 N. -i.Cum autem tale aliquid quaeris productum exi N. - I. in I N. -- 1. aequale est producto ex3 N. - t. ini. hoc est partes alternatim multiplicantur, & fiunt N. - I. aequalia 3 N. - i. Sc fit i N. I. Ad postiones. Erit primus p secundus r. Erat autem i. partes secundi, videamus ergo quae partes secundi sit i. Est utiqueis Multiplico per . duos numeros ἔ erit primus R. secundus Ia. Partes autem 7 Et quia primus non habet duodecimam, multiplico per 3. utrumque, ne incidamus in diuisionem vilitatis, , fit primus
24. secundus 36. Partes autem seu/illius quidem I . Huius vero ai. &demonstratio manifesta.
269쪽
INGENI os A operatione quaestionem hane soluit Diophantns. Sed emaculato textu , ve seeimus. omnia sunt perspicua. Caeterum placet & siam tradere analysim paulo competusoliorem. Pona tur quaesitorum numerorum summa quotlibet unitatum, puta Ia. & sit primus I N. secundus Ia-x N. Cum ergo primus sumpta parte seeundi fiat triplus ad reliquum , si ia. diuidatur in partes setuantes proportionem triplam , per secundam primi nempe in.& 3. patet primum sumpta parte secundi fore p. Quare inde detrahendo primum, fiet pars secundi ρ -i N. similiter diuiso Ia. in partes seruantes rationem quincuplam, puta in Io. & a. patet secundum sumpta parte primi, inte Io.Quar: inde avferendo secundum, fiet pars primi I N. - 2. Restat igitur, ut i N. - a. sit eadem pars de Et N.nuae nars est9-IN. de la- I N. Quamobrem hi quatuor numeri sunt proportionales, ' ac proin- Hr γ' tili , uti, sub Giremis aequatur plano lub me diis dest I4 N. - I - 24. aequatur 9 N. - I in indet fit 1 N. v. suntque quaesiti numeri : Se Quod si communem denominatorem abiicere libeat, fient quaesiti numeri et . & 36. iidem quos reperit Diophantus. Supponimus enim eum Diophanto inuenti, semel duobus numeris quaeltionem soluentibus, idem euenire duobus aliis quibuscunque sumptis in eidem ratione. Quod facile est demonstrare, quia de pallibus proportionalibus agitur numerorum proportionalium , ut tibi considerandum relinquo.
IN vani R E duos numeros indefinite, ut productus ex ipsorum multiplicatione uin utriusque summa datum faciat numerum. Faciat autem 8. Ponatur primus i N. secundus 3. & prodiictus eorum multiplicatione cum summa utriusque fieqN. - 3. Haec aequantur 8. & fit t N LAd politiones. . Erit primus i. secvndus 3. Nunc considero unde 1 N. sit factus . nimirum ex diuisione s. per q- sed s. est excessus quo8. mperata. Et ipse . est secundus unitate auctus. Si ergoatuam secundum numerorum quotlibet. Et auferam eum de 3. &residuum diuidam per secundum unitate auctum,
habebo primum. Verbi gratia sit secundus I N. i. haec ausero de 8. restant ρ - 1 N. Haec diuido per secundum unitate auctum, id est peri N. & fit primus Uni Et sic indefinite soluta est quaestio, nam productus ex eorum multiplicatione, cum utriusque summa facit 8. IndefinitΑ autem solui dicitur , quia quotcunquae unitatum ponatur I N. satisfaciet post latis.
V1nfit indefinῖt quaestionem soluere, iam alibi docuit Diophantus,& hie rursus explicat. 2Id enim fit eum ita instituuntur positiones, ut quilibet numerus sumi possit pro valore Numeria Quod tamen ea ut ε accipiendum est. Etenim saepὸ contingit non omnem omnino numerum sumi posse pro valore Numeri, sed omnem qui cadat intra certos limites. Vt in hypothesi Diophanti, cum alter quaesitorum sit i N. r. alter patet I N. maiorem esse debere quam I. minorem quam se Quod si ponas alterum quisitorum I. N. erit alter isti. vndo patet pro valore Numeri sumi posse
270쪽
quemlibet numerum minorem P m 8. Porid de huiusmodi terminis intra quoc sumi debet valor Numeri, plura dicemus infra ad quadragesimam primani.
IΝvs Nisa tres numeros , Ut qui fiunt ex binorum mutuo ductu, adscira
eorundem summa, faciant datos numeros. Oportet autem datos esse quadratos unitate multatos. Imperatum sit uteroductus ex primo in secundum adicito utroque faciat 8. Productus ex secundo in tertium cum utroque faciat 13. Denique productus ex primo in tertium cum utroque faciat et . Quoniam igitur Volo productum ex primo in secundum cum utroque facere 8. si posuero secundum quemlibet, de eum de 8. detraxero, &residuum diuisero per unitate maiorem secundo, habebo primum. Ponatur secundus iN - 1. & si eum abstulero dς 8. &residuisum diuisero per unita e maiorem secundo, erit utique primus I. Rur sus simili ratione , quandoquidem Volo productum ex secundo in tertium cum utroque facere 13. Ab his aufero I N. - r.& residuum diuido per unitate maiorem secundo, hoc est per i N. fiunt εώ - I. tantus est tertius. Superest ut productus ex primo in tertium 'cum utroque faciata . fac it autem τοῦ - i. Haec aequantur a dc fit 1 N. Ad positiones. Erit primus secundus . tertius v. & omnia ad eundem denominatorem, fit primus 'I. secundus Ir. tertius T.
CV R hic requirat Diophantiis datos numeros esse quadratos unitate multatos, ratio est euidens Cum znim verbi gratia as aequentur I . ut solutio esset rationalis, oportuit diuidendo uni. tes per quadratos, quotientemneti quadratum', fit autem 2ς. addita unitate ad 24. unum dat rum numerorum. Similiter I 4. fit ex mutuo ductu 9.Ec et s. qui fiunt addita unitate ad datos numerog8. & ID Vnde sequitur ipsum . esse quadratum, cum ex duorum quadratorum multiplication oriatur. Quamobrem quadrato I44. per quadratum 2s. diuiso , produci quadratum necesse est, reproinde solutionem eontingere Lationalem. . . . Porro ex his apparet eondicionem hane nimis stricth proponi a Diophanto, non enim erat necesse ε .& as. quadratos fuisse . sed sufficiebat ut essent quadratorum similes , elim certum sit huiusmodi numerorum siue multiplieatione, siue diuisione mutua semper procreari quadratum. Ita igitur praeseribi debuit hae eonditio. Oportet autem si cuilibet datarum numerorum addatur unotas, pro- ctum ex binorum mulsιplicatione, ad reliquis habere rationem quadratι ad quadratum. erbi gratia. Summa primi de secundi adstito plano sub ipsis eontento esto it. secundi Et temi r p. tertii &primi I . Hie nullus datorum numerorum est quadratus unitate multatus. Attamen opim e solua potest quaestio; ob conditionis a nobis allatae obseruationem. Nam ponatur seeundus I N. - Lerit primus tertius veto . ductoque primo in tectium, Be summa illorum produc .